Теоремы единственности решения краевых задач

Однородное уравнение (3.4) имеет нетривиальное решение Фо(г) = 2 + р (а и р — по-прежнему действительная и комплексная постоянные), поскольку оно соответствует нулевому напряженному состоянию. Из теоремы единственности решения краевой задачи будет следовать, что иных собственных функций нет. Напомним, что сама вторая краевая задача теории упругости для конечной области разрешима, когда равны нулю главный вектор и вектор-момент внешних сил. Первое условие автоматически приводит к однозначности функции f t), а второе же условие— к равенству [c.380]

Граничные условия. Теорема единственности решения краевых задач [c.47]

Теоремы единственности решения краевых задач [c.74]

В доказательстве существования и единственности решени краевых задач вида (11.1) — (И.2) основную роль играет следующая теорема [c.327]

Аналитическое решение его найти не удается, и требуется использовать численные методы, в частности, метод установления для решения соответствующих краевых задач 7]. В [8] установлена теорема существования и единственности решения краевых задач для широких классов функций ш (х). [c.516]

Положительность В позволяет рассмотреть теоремы единственности решения краевых упругопластических задач и вариационные принципы. При этом справедлива иная запись теоремы об энергии (1) [c.392]

Для нелинейных уравнений Лагранжа нет прямой связи между фокусами по определению 23.1 и единственностью решения краевой задачи (см. пример 23.2), но, как указывалось в начале параграфа, и в линейном и в нелинейном случаях наличие или отсутствие фокусов определяет тип стационарной точки действия по Гамильтону. Приведем без доказательств две теоремы , утверждения которых будут проиллюстрированы (с элементами доказательств в общем случае) на двух примерах. [c.104]

Таким образом, в силу доказанной теоремы, единственность решений в задаче Ы имеет место при условии (29.43). При его нарушении, как уже говорилось, однозначной разрешимости краевых задач в общем случае не будет, если даже нагрузки по норме [c.264]

При перечисленных условиях решение краевых задач — единственное (теорема Кирхгоффа). Действительно, предполагая наличие двух отличающихся друг от друга решений и, Т и и", Т" при одном и том же задании объемных сил в V, а также поверхностных сил на О2 и вектора перемещения на Oj, получили бы, что разности [c.182]

Теорема единственности решения первой краевой задачи. Докажем полностью теорему единственности решения для первой краевой задачи с начальными (финальными) условиями, а для других краевых задач сформулируем теоремы и укажем отличия в доказательствах. [c.74]

Замечание 3.1. При /3 = О и а = О получаем доказательство теоремы единственности решения второй краевой задачи, для = О получаем доказательство теоремы единственности решения смешанной краевой задачи (2,3), а при о = О — доказательство соответствующей теоремы для смешанной краевой задачи (3,2). [c.77]

Замечание 3.3. При /3 = 0 получаем доказательство теоремы единственности решения смешанной краевой задачи (2,1). [c.77]

Теоремы единственности и существования обнаруживают внутреннюю непротиворечивость построенной теории. Наличие этого свойства является необходимым атрибутом всякой правильно построенной для физической задачи математической теории. Нельзя, однако, недооценивать и прикладное значение этих теорем. Опираясь на них, легче искать практические приемы решения краевых задач. В ряде случаев метод интегральных уравнений можно использовать также в качестве практического способа построения приближенного решения задачи. [c.276]

Ряд результатов представляет общий интерес для математической теории упругости. Это — неравенства Корна в конечных и перфорированных областях, обоснование принципа Сен-Венана, асимптотика решений системы теории упругости на бесконечности и ряд других вопросов. Много места уделено теоремам существования и единственности обобщенных решений краевых задач теории упругости в конечных и бесконечных областях. Эти задачи исследуются единым функциональным методом на основе теоремы Рисса о представлении функционала в гильбертовом пространстве. [c.8]

Выше была дана постановка различных гранично-начальных задач теории упругости, высказаны соображения о разрешимости и получены теоремы единственности. Остается открытым лишь вопрос о корректности поставленных задач. Дело в том, что вся вводимая в постановку за чачи информация — форма граничной поверхности, конкретные значения краевых и начальных условий — есть величины, определяемые, в конечном счете, из эксперимента. Поэтому построение решения имеет смысл осуществлять только в том случае, если малое (в определенном смысле) изменение исходных данных приведет к малому изменению решения. [c.253]

Таким образом, правая часть в (2.16) есть положительная величина, а левая — отрицательная. Поэтому отношение (1—Яо)/(1+Хо) есть число отрицательное. Следовательно, А.о 1. С другой стороны, точка Х=1 соответствует задачам 1+ и П , решения которых единственны. Если же допустить, что эта точка есть полюс резольвенты, то пришли бы к неединственности краевой задачи. Другое дело точка Х = —1, соответствующая задачам 1 и И+. Если бы эта точка не была полюсом резольвенты, то интегральное уравнение задачи 11+ было бы разрешимо при произвольной правой части, а тогда и краевая задача была бы всегда разрешима, но это противоречит теореме существования. Следовательно, точка X = —1 обязательно является полюсом резольвенты. Поскольку же уравнение задачи И является союзным (а альтернативы Фредгольма выполняются), то и здесь интегральное уравнение будет разрешимо лишь при определенных краевых условиях, хотя для исходной краевой задачи они не являются необходимыми ). [c.564]

В теореме Кирхгоффа утверждается единственность решения, если оно существует. Доказательство существования решения первой и второй краевых задач рассматривается в пп. 4,2— 4.8 этой главы. [c.184]

Доказана теорема, согласно которой полученное неравенство устойчивости является достаточным условием единственности решения сформулированной краевой задачи для тел с зонами разупрочнения. Выведены экстремальные принципы механики закритического деформирования для тел с граничными условиями третьего рода. Получены соответствующие вариационные принципы. [c.13]

Теорема о возможных изгибаниях. Полная безмоментная краевая задача, отвечающая дополнительным предположениям ( 15.15), имеет решение, удовлетворяющее тангенциальным условиям непрерывности, тогда и только тогда, когда соответствующие ей заданные внешние силы не совершают работы на перемещениях U всех возможных изгибаний срединной поверхности, и это решение единственно с точностью до U [611. [c.219]

Вернемся к оболочкам положительной кривизны. Если один из краев такой оболочки закреплен от тангенциальных смещений, то независимо от того, имеются ли другие края, и от того, как они закреплены, ее срединная поверхность не может иметь изгибаний. Этот факт известен. Он относится к любым поверхностям положительной кривизны и очевиден с точки зрения теории дифференциальных уравнений, так как построение изгибаний при таком закреплении края сводится к однородной задаче Коши. Из сказанного вытекает, что по теореме о возможных изгибаниях ( 15.21) решение полной краевой задачи безмоментной теории для оболочки, рассмотренной в предыдущем параграфе (один край свободен от тангенциальных закреплений, а второй — заделан в обоих тангенциальных направлениях), должно существовать и быть единственным. Однако это утверждение может оказаться и неверным, и чтобы разобраться в получающемся несоответствии, вернемся еще раз к задаче построения аналитической функции по условию (18.38.4). [c.269]

Обоснование схемы. Краевые задачи, предусмотренные п. (1) и (2), представляют собой обобщение задач Я и р, сформулированных в 20.12 различие заключается лишь в том, что в рассматриваемом случае они должны-решаться для оболочки с изломом % и что на А. в каждой задаче должны выполняться два условия сопряжения. Примем, что теоремы существования задач Р п р здесь формулируются так же, как и в 20.12, 20.13. Тогда можно утверждать, что обсуждаемая схема соответствует случаю, когда тангенциальное закрепление — жесткое, т. е. когда изгибания срединной поверхности невозможны, а следовательно, задача Р при любых, достаточно гладких правых частях уравнений и граничных условий имеет решения, зависящие от г констант с/ (s), а задача р имеет решение (единственное) тогда и только тогда, когда выполнены г интегральных требований. В рамках этогО предположения обоснование схемы построения приближения (s) превращается, в сущности, в повторение рассуждений 20.12. Опуская их, оста-. новимся только на следующем обстоятельстве. [c.319]

Легко убедиться непосредственной проверкой, что число Я, = О является собственным значением краевой задачи, а соответствующее ему решение зависит от четырех неопределенных действительных постоянных (при этом используется теорема существования и единственности в классических теориях плоской деформации, изгиба и кручения). Эти постоянные выражаются через величину суммарной растягивающей силы и три составляющих вектора-момента от нагрузок в поперечном сечении 5. Получается классическое решение Сен-Венана (растяжение, кручение и чистый изгиб стержня). Естественно, сюда не входит решение об изгибе поперечной силой стержня конечной длины. [c.69]

Теорема 1 [2]. Начально-краевая задача для уравнений (1.1) — (1.5) имеет единственное обобщенное решение. В области упругости Qy пара (5, и) является решением начально-краевой задачи для уравнений динами- [c.130]

Теорема 3.1. Решение из Ь2(<5г,т) первой краевой задачи с начальными (финальными) условиями единственно. [c.74]

Теорема единственности решения краевой задачи теории оболочек. Если из однородных граничных условий вытекает неравенство (5.32.9), которое будет называться условием единственности, то решение неоднородной краевой задачи будет единственным с точностью, быть может, до смеш гний срединной поверхности как жесткого целого. [c.69]

Теоремы единственности решения краевых задач и вариационные принципы получили современную трактовку в работах Р. Хилла [1956] и В. Койтера [1961], однако наиболее важные результаты были получены здесь А. А. Марковым [1947] и А. А. Гвоздевым [1949]. [c.48]

Сначала на примере неоднородного стержня показывается техника применения методики осреднения к нелинейным краевым задачам. С помощью этой методики задача о стержне решается точно. Затем подробно описывается решение квазистатической задачи неоднородной и анизотропной теории пластичности. Рассматриваются теория эффективного модуля и теория нулевого приближения. Большое место в главе уделяется построению теории малых упруго-пластических деформаций для анизотропной однородной среды. Для такой среды доказываются теорема единственности решения квазистатической задачи в перемещениях и напряжениях, теоремы о минимуме лагранжиана и максимума кастильяниана, теоремы о простом нагружении. Описывается схема экспериментов, необходимых для определения материальных функций исследуемой теории. Показано, как исходя из теории малых упруго-пластических деформаций А. А. Ильюшина для изотропной среды получить методом осреднения соотношения анизотропной теории пластичности. [c.219]

Название метод граничных элементов , впрямую привязанное к дискретизации границы для проведения вычислений, вряд ли могло появиться до тех пор, пока численное решение сложных задач на ЭВМ не стало общедоступным — интегральные уравнения родились и долгое время оставались не средством численного решения задач, а мощным орудием теоретического исследования проблем математической физики. С их помощью доказывались теоремы существования и единственности решения краевых задач в различных классах функций, выяснялся характер сингулярностей в особых точках, изучались спектры операторов, соотношения между исходными и сопряженными уравнениями и т. д. Эта большая работа оставила заметный след в развитии математики. Достаточно назвать имена Э. Бетти, В. Вольтерры, Д. Гильберта, Ж- Лиувилля, Дж. Лауричеллы, А. М. Ляпунова, К. Неймана, А. Пуанкаре, С. Сомильяны, Э. Фредгольма, чтобы почувствовать сколь значительны результаты, полученные в теории интегральных уравнений. [c.266]

Аналазируется согласованность определяющих соотношений, установленных в первой части работы. Обсуждается обращение полученных соотношений в скоростях и единственность решения краевых задач при связанной термопластичности. Выведены упрощенные соотношения в скоростях в пренебрежении некоторыми взаимодействиями. Исследуется значение эффектов ййаимодействия при анализе устойчивости термойластической деформации. Описывается поведение элементов конструкций при циклических нагревах и нагружениях, напоминаются теоремы об оценках теории приспособляемости. [c.221]

Кроме задачи Коши (когда по состоянию системы в заданный момент времени надо найти движение), в механике важное значение имеет краевая задача найти движение 1 х 1), которое в заданные моменты времени о и Ь принимает заданные значения жо и Ж1. В отличие от задачи Коши, краевая задача разрешима не всегда. Наиболее эффективным методом доказательства ее разрешимости является вариационный метод среди кривых с закрепленными концами ищется стационарное значение (обычно минимум) действия по Гамильтону. Например, в отсутствие внешних сил (тогда траектории будут геодезическими метрики на М, определяемой кинетической энергией) краевая задача имеет решение, если все движения нестеснены, т. е. определены на всей оси времени (теорема Хопфа—Ринова). Эти две задачи имеют еще одно существенное отличие краевая задача может иметь несколько различных решений. Простейшим примером служат навесные и настильные траектории снарядов. Более сложный пример доставляет теорема Серра любые две точки компактного риманова многообразия можно соединить бесконечным числом различных геодезических. Единственности решения краевой задачи препятствуют сопряженные точки, где пересекаются бесконечно близкие траектории, выходящие из одной точки. [c.72]

Задача (2.404) — (2.405) представляет собой простейшую краевую задачу для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. Разумеется, для исследования вопроса о существовании и единственности решения этой задачи можно было бы воспользоваться надлежащими теоремами из теории обыкновенных дифференциальных уравнений, однако здесь будет использована теория, изложенная в приложении II, с тем чтобы потохм построить естественные обобщения на случай более сложных задач для уравнений с частными производными. [c.109]

Излагаются методы эффективного построения этих решений и много внимания уделяется обстоятельствам, при которых решения существуют и единственны. Эти вопросы в безмоментной теории решаются нетривиально. Общая линейная краевая задача моментной теории оболочек единообразна она заключается в интегрировании эллиптической системы уравнений с выполнением в каждой точке края (или краев, если область многосвязна) четырех граничных условий. Она всегда имеет единственное решение. Однако при переходе к описанной выше безмоментной краевой задаче картина становится весьма пестрой, так как тип уравнений, подлежащих интегрированию, может оказаться любым (эллиптическим, гиперболическим и параболическим). Различными по своему характеру оказываются и краевые задачи безмоментной теории это могут быть задачи типа Дирихле, задачи типа Коши, а также задачи, не предусмотренные существующей классификацией. К тому же может существовать несоответствие между типом краевой задачи безмоментной теории и типом уравнений, для которых ее надо решать. Например, задачу Дирихле иногда приходится решать для гиперболического уравнения, а задачу Коши — для эллиптического. Все это приводит к тому, что теоремы существования и единственности для краевых задач безмоментной теории формулируются далеко не единообразно и в них вопрос не всегда решается положительно. Однако такая ситуация не свидетельствует о принципиальной порочности самой идеи выделения в самостоятельное рассмотрение краевой задачи безмоментной теории. Каждая из описанных выше странностей краевых задач безмоментной теории свидетельствует об определенных особенностях искомого напряженно-деформированного состояния оболочки. Для широкого класса задач это будет показано в части IV. [c.174]

Заключительные замечания. Теоремы существования и единственности решения поставленной задачи представляют собой обобщение соответствующих теорем теории оптимального управления системами, описываемыми дифференциальными уравнениями в частных производных гиперболического типа [15]. Теорема существования будет локальной, поскольку в общем случае минимизируемые функционалы являются многоэкстремальными. Более того, для существования решения требуется свойство полной непрерывности отображения X —> К Х), которое в общем случае можно только постулировать. Проблема доказательства полной непрерывности для рассматриваемых здесь нелинейных прямых краевых задач, описываемых вариационными или квазивариационными неравенствами, по-видимому, пока не решена. [c.483]

Ф. И. Франкль (1947) первый указал на возможность математической некорректности задачи об обтекании фиксированного тела с безударной (бесскачковой) местной сверхзвуковой зоной. Опираясь на теорему единственности решения обобщенной задачи Трикоми для уравнений типа уравнений Чаплыгина, он провел рассуждение, которое, не будучи доказательством, сделало в глазах специалистов его предположение о некорректности упомянутой выше задачи о бесскачковом течении весьма вероятным (это рассуждение Ф. И. Франкля получило в литературе название аргумента Франкля ). Указанное рассуждение Ф. И. Франкля легло в основу последующего доказательства для течений, близких к заданному, теоремы о некорректности указанной выше краевой задачи безударного обтекания, выполненного в США К. Моравец. [c.102]

Дан полный математический анализ краевых задач иелииейиой теории оболочек. Для всех физически осмысленных постановок доказаны теоремы разрешимости и корректности в условиях глубокой нелинейности. Приведены условия единственности решений и условия неединственности. Получили обоснование в этом круге нелинейных задач методы приближенного решения Бубнова — Галеркина, Ритца, Ньютона — Канторовича и др. Большое внимание уделено нелинейной устойчивости, в которой различаются две проблемы оценка числа решений краевой задачи и выбор наиболее реального. Подробно проанализированы возможности принципа линеаризации Эйлера, дано строгое математическое обоснование существования нижних критических чисел, развит статистический подход. Основу рассмотрений составили топологические и вариационные соображепия. [c.2]

Часть IV книги посвящена в основном уравнению Гельмгольца и волновому уравнению. Здесь подробно изложена теория краевых задач для уравнения Гельмгольца в неощ>аниченных (внешних) областях, доказаны теоремы существования и единственности решений таких задач с условием излучения Зоммерфельда на бесконечности, причем для доказательства существования решения используются метюды теории потенциала, а также метод предельного поглощения и метод предельной амплитуды. Рассматривается вопрос о продолжении резольвенты в комплексную область, вопрос о частотах рассеяния, изучена задача об акустическом резонаторе и поведении его частот рассеяния, а также другие физические задачи, связанные с уравнением Гельмгольца. [c.8]

В практических применениях, как правило, приходится иметь дело с оболочками, в которых тангенциальные геометрические условия обеспечивают жесткость срединной поверхности, т. е. исключают ее изгибания (в противном случае оболочка станет невыгодной в прочностном отношении этот физически понятный факт подтвердится в части IV). Тогда возможные изгибания иадо Считать равными нулю, а это значит, что любая внешняя нагрузка будет удовлетворять условию нулевой работы и теорема о возможных изгибаниях превратится в теорему существования и единственности решения полной безмоментной краевой задачи при любой, достаточно гладкой, нагрузке. [c.220]

Если поверхность (любого знака кривизны) не имеет бесконечно удаленных точек, ограничена только неасимптотическими краями и во всех точках этих краев она лишена свободы смещения в обоих тангенциальных направлениях, то такая поверхность не может изгибаться. Отсюда по теореме о возможных изгибаниях должно следовать, что полная краевая задача безмоментной теории при граничных условиях вида (17.34.1) на всех краях оболочки, не имеющей бесконечно удаленных точек, должна иметь решение (единственное) при любой, достаточно гладкой, нагрузке, если ни один из краев оболочки не касается асимптотических линий срединной поверхности. Справедливость этого утверждения доказана в 17.34 для сферического купола с плоским краем, а в 15.23 — для произвольной замкнутой оболочки нулевой кривизны с двумя неасимптотическими краями. Оно, по-видимому, останется правильным и в самом общем случае. [c.261]

В этом случае некоторые теоремы существования решений полной краевой задачи безмоментной теории формулируется точно так же, как и для оболочки с одним краем. Примером могут служить оболочки, края которых жестко заделаны в обоих тангенциальных направлениях. Как уже говорилось в 17.34, решение полной задачи в этом случае существует и единственно при любой, достаточно гладкой нагрузке, независимо от числа краев (если только они неасимптотические) и даже независимо от знака кривизны срединной поверхности. По-видимому, сохраняется при любом числе краев также и теорема существования, обсужденная в 18.36 надо только требовать, чтобы все края оболочки были неасимптотическими и свободными в обоих нетангенциальных направлениях. Для оболочек положительной кривизны это следует из результатов работ [16—19], в которых теорема доказана при любом числе краев. В 15.24 показано, что теорема остается в силе для оболочек нулевой кривизны и не видно оснований предполагать, что исключение представят оболочки отрицательной кривизны. Более сложным является случай, когда гауссова кривизна оболочки меняет знак, так как при этом может иметь место касание с плоскостью вдоль замкнутой линии, что является нарушением условий теоремы о возможных изгибаниях ( 15.21). Вместе с тем не исключено, что теорема снова станет справедливой при отсутствии такого касания. [c.263]

Естественно, возможно и другое сочетание граничных условий, допускаемое теоремами существования и единственности решения задач линейной теории упругости. Причем только при некоторых вариантах, как указано, например, Л. М. Флитманом [69], начально-краевая задача для полупространства распадается на две независимые. [c.354]

Доказательство полной теоремы единственности будет завершено, если мы установим монотонное возрастание величины Л (а)=Г(1) с ростом параметра а, так как в этом случае значение iV = 1 может достигаться только при единственном значении а. Речь все время идет, разумеется, о таком множестве значений параметра а, при которых решение задачи Коши (6), (4), (55) продолжимо вплоть до ж = 1. Если временно считать параметр N данным и выбрать Сз в соответствии с (10), то для системы (12), (16), (20) получится краевая задача со следующими условиями s(0)=F(0)=0, F(l) = . При этом параметр а = Г (0) определится соотношением [c.52]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...