Исследование устойчивости относительного равновесия

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ОТНОСИТЕЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ [c.157]

Случай нагружения системы следящими силами наиболее простой с точки зрения записи уравнений (3.5), (3.6). Однако, как следует из частных задач, не всегда при действии следящих сил имеет место статическая потеря устойчивости [3, 17], Возможна и потеря устойчивости равновесия с переходом системы в движение относительно этого состояния равновесия. В этом случае определить критические силы из уравнений равновесия, как правило, нельзя. В подобных задачах для исследования устойчивости состояния равновесия требуется рассматривать уравнения движения [c.97]

Устойчивость относительного равновесия точки. Важно заметить, что если кориолисова сила инерции не входит в искомое уравнение относительного равновесия, то она появляется, как только точка начинает двигаться, и должна быть принята во внимание при исследовании устойчивости. [c.261]

К нему можно приложить все рассуждения, сделанные при исследовании устойчивости абсолютного равновесия (пн. 208, 245, 267), так как эти рассуждения основаны только на существовании интеграла энергии. Так, в примере п. 415 (относительное равновесие тяжелой точки на плоской кривой, вращающейся вокруг вертикали своей плоскости) существует силовая функция [c.261]

Если кинетическая энергия вращения спутника достаточно мала по сравнению с работой моментов внешних сил, то движение спутника будет носить либрационный характер спутник будет колебаться около некоторого положения устойчивого относительного равновесия. Выявление таких положений равновесия и исследование либрационного движения представляет особенный интерес для задачи стабилизации и ориентации космических аппаратов с помощью моментов внешних сил. [c.58]

I. Условия устойчивости относительного равновесия. Плоские колебания. Рассмотрим влияние восстанавливающего аэродинамического момента (первый член в (1.3.14)) на колебания спутника около центра масс. В настоящем параграфе для исследования совместного влияния аэродинамических и гравитационных моментов удобно будет принять, что осью симметрии поверхности спутника является ось л тогда Л в выражении (1.3.11) есть единичный вектор по направлению оси л . [c.122]

Переходя к исследованию устойчивости невозмущенного состояния равновесия рассматриваемой системы с двумя степенями свободы, обозначим у —перемещение центра тяжести пластинки С1 и Сг—коэффициенты жесткости упругих опор т1 1 2 —момент инерции пластинки относительно оси, проходящей через ее центр тяжести перпендикулярно плоскости чертежа Ь —расстояние от точки приложения подъемной силы до правого края и —упругие реакции [c.185]

Определим условия устойчивости этого решения, исходя из нелинейных уравнений движения (5) в областях резонансов второго рода. Исследования показывают, что решение (6) устойчиво, если устойчивы состояния равновесия относительно некоторых из координат 0, ijj, ф. [c.112]

Результаты термодинамического исследования критериев наличия равновесия и его устойчивости совпадают с данными статистического анализа устойчивости равновесия относительно флуктуаций, полученными в 26. [c.196]

Исследование устойчивости равновесия при неограниченной ползучести сводится к исследованию свойств возмущенных движений на конечном интервале времени. При этом интервал, в котором состояние равновесия можно считать устойчивым, зависит от характера и величины вводимых в расчет возмущений. Рассматриваемые возмущения должны быть ограничены. Практически задача при этом сводится к расчету зависимости от времени перемещений системы, имеющей некоторые детерминированные начальные отклонения от идеальной формы или от формы, соответствующей основному движению, и определению значения времени, при котором достигаются относительно большие перемещения или скорости [c.263]

Дальнейшее исследование устойчивости эллипсоида Маклорена завело бы нас слишком далеко. Пуанкаре показал, что в этом случае равновесие обладает вековой устойчивостью относительно всякого рода возмущений, пока е лежит ниже названного выше предела. Это устанавливается тем, что для эллипсоида вращения с меньшим эксцентриситетом не существует формы бифуркации. [c.902]

Неустойчивость, вызванная условиями теплопередачи от частиц, была замечена при исследовании процесса окисления этилена [Л. 6]. Увеличение температуры нагрева реагентов с 72 до 81°С увеличивало скорость реакции в 10—100 раз, потому что нри температуре около 80° С перепад температур от твердой фазы к газу достигает критического значения. Разность температур может быть определена относительно простым расчетом [Л. 17], который мол<ет быть проведен для всех кинетических стадий. Температурная неустойчивость имеет место также для большинства реакций горения, включающих регенерацию катализаторов, отравленных углеродом. Для быстрой регенерации катализатора иногда желательно осуществлять управление в верхней устойчивой точке. Однако, если при этом не будет тщательно поддерживаться концентрация кислорода, то внезапные повышения температуры могут привести к расплавлению катализатора. Существование двух устойчивых состояний равновесия было показано даже для случая, когда жидкие насадки содержат мелкие частицы, некоторые из которых, обладая более высокой начальной скоростью горения, нагревались до более высоких температур, чем основная масса катализатора [Л. 18]. [c.431]

Если шарик поместить в положение, определяемое углом Оо, то при движении системы будет изменяться только циклическая координата ф, а координата а будет сохранять постоянное значение. Такие движения, в которых все нециклические координаты сохраняют постоянное значение, Раус назвал стационарными. Для исследования устойчивости положений относительного равновесия рассмотрим вторую производную от функции и [c.567]

Об устойчивости равновесия плавающих тел. Мы ограничимся исследованием устойчивости равновесия тел цилиндрических, однородных или таких, в которых плотность распределена симметрично относительно среднего сечения, и плавающих так, что образующие их горизонтальны. Задача о плавании таких тел сводится, как было показано, к аналогичной задаче о плавании материальных площадей, представляющих собой их средние сечения. Поэтому мы будем рассматривать вопрос об устойчивости плавающих площадей и относить полученные результаты к плавающим телам. [c.683]

В результате исследования получаем картину распределения устойчивости вдоль кривых относительного равновесия в области (—тг/2 < а, 0 < тг/2), изображенную на рис. 2. Сплошными линиями на рисунке показаны кривые, точки которых соответствуют устойчивым формам относительного равновесия (Лх > О, Л2 > [c.742]

Неустойчивые формы относительного равновесия (один из корней отрицателен) соответствуют точкам штрихованных кривых. Наконец, точки штрих-пунктирных кривых соответствуют формам относительного равновесия с четным количеством степеней неустойчивости (Л1 < О, Л2 < 0), в этом случае, как известно, для окончательного решения вопроса об устойчивости необходимо дополнительное исследование, здесь возможно явление гироскопической стабилизации. [c.742]

Остановимся особо на кривой относительных равновесий I. Эта кривая непрерывна, определена для всех о G [О, оо) в области (—тг/2 < а, /3 < тг/2), начальная точка этой кривой есть точка а = /3 = О при о = О, что соответствует положению статического равновесия тела. Как показали численные расчеты, эта кривая не имеет точек бифуркаций и точек пересечений с другими ветвями относительных равновесий. Поэтому любой точке этой кривой соответствует устойчивое положение относительного равновесия. Кривая I, и будет предметом нашего дальнейшего исследования. [c.743]

Изучается точечная устойчивость внутренних положений равновесия, которая может обеспечиваться структурой уравнений без каких-либо дополнительных предположений. В общем же случае исследование устойчивости или неустойчивости внутренних положений равновесия сводится к изучению соответствующих свойств некоторой новой системы уравнений, полученной из исходной, которая имеет меньшую размерность и допускает применение хорошо разработанных методов теории устойчивости, поскольку лишена факторов, затрудняющих изучение исходной системы (неразрешенность относительно старших производных, разрывность правых частей уравнений). Ири определенных условиях доказана теорема об устойчивости относительной границы множества положений равновесия, как необходимом и достаточном условии устойчивости всего этого множества. [c.57]

Ряд работ посвящен исследованию устойчивости положений относительного равновесия спутников, снабженных роторами, т. е. спутников-гиростатов. Рассматривались два типа гиростатов. В первом типе постоянной во все время движения остается [c.778]

Мы здесь будем заниматься механизмами неустойчивостей и исследованием устойчивости движения в малом , т.е. в рамках уравнений, полученных из исходных с помощью разложения в ряд вблизи интересующего нас решения всех нелинейных зависимостей и оставления лишь линейных членов (уже обсуждавшаяся процедура линеаризации). Наиболее важным является исследование устойчивости, во-первых, статического положения системы, т. е. состояния равновесия линеаризованной системы с постоянными коэффициентами, во-вторых, периодических движений системы, малые отклонения от которых описываются линеаризованными уравнениями с периодическими коэффициентами. Относительно же устойчивости линейных систем (а не их решений) дадим пока лишь не вполне строгое определение динамическая система, описываемая коэффициентом передачи Ж р) р = ш) и находящаяся под внешним воздействием V, называется устойчивой, если малое изменение внешнего воздействия приводит к малому изме- [c.129]

Продолжим исследование роли инерционных и аэродинамических сил в маховом движении лопасти. Если аэродинамические силы отсутствуют, нет относа ГШ и каких-либо стеснений движению лопасти, то уравнение махового движения имеет вид РР = 0. Решением этого уравнения является функция р = = Pi os г 1 + pis sin г ), где р, и Pis — произвольные постоянные. Таким образом, в этом случае ориентация несущего винта произвольна, но постоянна, так как в отсутствие аэродинамических сил или при нулевом относе ГШ нельзя создать момент на втулке посредством изменения углов установки лопастей или наклона вала винта. Несущий винт ведет себя как гироскоп, который в отсутствие внешних моментов сохраняет свою ориентацию относительно инерциальной системы отсчета. Когда винт вращается в воздухе, угол установки создает аэродинамический момент Me относительно оси ГШ, который можно использовать для отклонения оси винта, т. е. для управления его ориентацией. Если бы / 0 был единственным моментом, го циклическое управление вызывало бы отклонение оси винта с постоянной скоростью. Однако возникает также аэродинамический момент демпфирования 1Щ. Наклон ПКЛ на угол р или Ри создает скорость взмаха (во вращающейся системе координат). Следовательно, момент, порождаемый наклоном плоскости управления, вызывает процессию несущего винта, наклоняя ПКЛ до тех пор, пока маховое движение не создаст момент, обусловленный моментами и как раз достаточный, чтобы уравновесить управляющий момент. Вследствие равновесия моментов, обусловленных углом 0 и скоростью р, несущий винт займет новое устойчивое положение. Таким образом, маховое движение лопастей можно рассматривать с двух точек зрения. Во-первых, лопасть можно считать колебательной системой, собственная [c.191]

Для обеспечения прочности рассчитываемого элемента мостовой фермы недостаточно выбрать для него такое допускаемое напряжение, чтобы не получалось остаточных деформаций или явления усталости, нужны еще дополнительные исследования относительно устойчивости той формы равновесия, которая положена в основание расчета рассматриваемого элемента только при достаточном запасе в отношении устойчивости этот элемент будет представлять прочную составную часть всего сооружения. [c.415]

При отыскании равновесных состояний какой-либо термодинамической системы приходится, наряду с полным равновесием, рассматривать также и мало от него отличающиеся неполные равновесия, энтропия которых меньше равновесной. На первый взгляд может показаться, что случай изолированной системы при таком исследовании существенно отличается от случая системы, связанной с другими термическими системами, и что условие максимальности энтропии в первом случае менее жестко, чем во втором. Ведь для изолированной системы требуется только, чтобы ее энтропия была больше, чем энтропия неполных равновесий с той же энергией и с теми же значениями механических параметров, что и в равновесии. Если же система входит как часть в более обширную систему, ее энергия и механические параметры могут, как и для изолированной системы, оставаться постоянными, но могут и меняться. Можно сказать, что равновесие изолированной системы должно быть устойчивым только относительно внутренних нарушений равновесия, а неизолированной [c.108]

Математическое исследование уравнений состояния регулируемого объекта и регулятора, рассматриваемых как малые линейные колебания относительно положения равновесия, дает возможность установить параметры системы регулирования, при которых- процесс регулирования будет устойчивым. [c.883]

Пуанкаре показал, что при дальнейшем росте углового момента определённые фигуры равновесия на последовательности Маклорена становятся вековым образом неустойчивыми относительно гармоник более высокого (чем п = 2, Б. К.) порядка. Эти результаты для сфероидов определяются известными свойствами зональной и тессеральной гармоник, к которым сводятся эллипсоидальные функции Ламэ в более простых координатах, когда эллипсоид имеет две равные оси. Конечно, исследование самих эллипсоидов Якоби опирается на общие функции Ламэ. Аналогичным образом Пуанкаре смог показать, что и эллипсоиды Якоби теряют вековую устойчивость сначала от гармонической деформации третьего порядка, а затем, при большем растяжении и моменте вращения, появляются конфигурации, проявляющие неустойчивость относительно гармонических функций Ламэ четвёртого, пятого и т.д. порядков ). [c.16]

Частоты колебаний относительно точки покоя (равновесия) г = О суть со = 1 — Если V > О, то равновесие устойчиво, если V <0, то неустойчиво. Если же V = О (частоты действительны), то требуется дальнейшее исследование. В данном примере это сделать не трудно. Находим точное решение при р = 0 [c.188]

В главах 2 и 3 рассмотрены либрационные движения спутников. Здесь показано, что гравитационные моменты обеспечивают устойчивое относительное равновесие спутника на круговой орбите при расположении наибольшей оси эллипсоида инерции спутника по радиусу-вектору орбиты, наименьшей оси — по нормали к плоскости орбиты и, следовательно, средней оси — по касательной к орбите. Исследованы плоские и простран ственные колебания около этого положения. На эллиптической орбите такого относительного равновесия не существует. Но анализ нелинейных колебаний на эллиптической орбите показывает наличие устойчивых периодических ( эксцентриситетных ) колебаний около направления радиуса-вектора. Исследованы условия появления резонанса в плоских и пространственных колебаниях. Возможность практического приложения исследованных в главе 2 эффектов иллюстрируется [c.11]

Таким образом, термокапиллярный механизм наряду с обычным механизмом, связанным с конвективной подъемной силой, может служить причиной неустойчивости равновесия подогреваемой жидкости. Для выяснения относительной роли обоих механйзмов в возникновении конвекции Нилдом Р] было предпринято исследование устойчивости равновесия плоского горизонтального слоя с учетом как термокапиллярных, так и подъемных сил. В предположении монотонности X = 0) дело сводится к решению амплитудных уравнений для нейтральных возмуще- [c.289]

По опыту исследования устойчивости конвективного вязкого течения в наклонном слое ( 6 и 7) можно ожидать, что в пористом наклонном слое в области действия рэлеевского механизма ведущую роль играют пространственные спиральные возмущения. Для амплитуд монотонных спиральных возмущений получается краевая задача, которая не содержит профиля скорости основного течения. Как и в случае вязкого течения, замена — Казша -> Ка приводит к задаче устойчивости равновесия в подогреваемом снизу слое. Таким образом, граница устойчивости течения в наклонном слое относительно спиральных возмущений находится по формуле [c.161]

В работах Э. И. Григолюка и Ю. В. Липовцева (1965, 1966) был развит статический метод исследования устойчивости вязко-упругих оболочек, основанный на изучении ветвления форм равновесия в процессе ползучести. Так как вследствие ползучести напряженное и деформированное состояние оболочки непрерывно меняется, то в некоторый момент времени исходная форма равновесия оказывается не единственно возможной и появляются смежные формы равновесия, отличные от исходной. Э. И. Григолюком и Ю. В. Липовцевым было показано, что учет ползучести не приводит к принципиальным изменениям тех представлений о понятии устойчивости и методов решения, которые сложились при исследовании устойчивости упругих систем. Меняется и уточняется лишь расчетная схема. Причем эти изменения существенны лишь в той ее части, которая связана с определением напряжений и деформаций исходного состояния системы. Здесь необходимо учитывать возможные отклонения системы от идеального состояния, обусловленные наличием начальных перемещений, особенностями приложения нагрузки и т. д. Уравнения же нейтрального равновесия, записанные относительно мгновенных приращений (вариаций) напряжений и перемещений, имеют тот же вид, что и для упругих систем. При их записи необходимо лишь учитывать те дополнительные деформации и напряжения исходного состояния, которые накапливаются в процессе ползучести. [c.349]

ПИЮ сжимающей силы Р, сохраняющей в процессе нагружения вертикальное положение (рис. 13.2). В зависимости от величины силы стержень может иметь прямолинейную или искривленную формы равновесия. Пока величина силы Р меньше некоторого критического значения стержень сохраняет исходную прямолинейную форму равновесия (рис. 13.2, я). При решении задач устойчивости может быть использовап динамический метод, основанный на исследовании колебаний упругой системы относительно исходного положения равновесия. Если верхний конец стержня слегка отклонить, а затем отпустить, то после ряда колебаний стержень возвратится в первоначальное прямолинейное состояние. Таким образом, при Р<Р прямолинейная форма равновесия стержня является устойчивой. Частота малых колебаний стержня по отношению к исходной прямолинейной форме равновесия зависит от величины сжимающей силы Р. При возрастании силы частота уменьшается. Когда величина силы достигнет критического значения, частота колебаний обратится в нуль, и стержень придет в состояние безразличного равновесия. Если теперь слегка отклонить стержень от первоначального прямолинейного состояния и затем отпустить, то он останется в изогнутом состоянии (рис. 13.2, . Таким образом, при Р = Р р прямолинейная форма равновесия становится неустойчивой. Происходит раздвоение (бифуркация) форм равновесия, то есть наряду с прямолинейной возможно существование смежной слегка искривленной формы равновесия. [c.261]

В течение XVII в,, в эпоху формирования классической механики, статические задачи, побуждавшие в той или иной мере заниматься проблемой устойчивости, были оттеснены на задний план задачами динамики. В новых задачах динамики вопрос об устойчивости, принципиально более сложный и гораздо менее наглядный, чем в задачах статики, поначалу вовсе не ставился. В результате в течение примерно столетия в проблему устойчивости не было внесено ничего существенно нового. Обновление приходит вместе с развитием в XVIII в. аналитических методов механики. Новыми существенными успехами учение об устойчивости обязано Л. Эйлеру Стимулом было, как и прежде, исследование проблемы плавания. В 1749 г. в Петербурге была издана двухтомная Корабельная наука (на латинском языке) Леонарда Эй- лера Этот труд был закончен в основном еще в 1740 г. Его третья глава — Об устойчивости, с которой тела, погруженные в воду, упорствуют в положении равновесия ,— начинается с утверждения, что устойчивость, с которой погруженное в воду тело упорствует в положении равновесия, должна определяться величиной момента восстанавливающей силы, когда тело будет наклонено из положения равновесия на данный бесконечно малый угол. Здесь дается обоснованная предыдупщм изложением мера устойчивости, четко введена устойчивость равновесия по отношению к бесконечно малым возмущениям, а в дальнейшем изложении устойчивость равновесия исследуется с помощью анализа малых колебаний плавающего тела около положения равновесия. Дифференциальное уравнение второго порядка, описывающее эти колебания, составляется в соответствии с введенной мерой устойчивости, путем отбрасывания малых величин порядка выше первого и поэтому оказывается линейным уравнением с постоянными коэффициентами (без слагаемого с первой производной, так как трение не учитывается, и без правой части). Это позволяет сопоставить его с хорошо изученным к тому времени уравнением малых колебаний математического маятника при отсутствии сопротивления среды. Качественная сторона дела тоже учитывается введенной Эйлером мерой момент восстанавливающей силы зависит от оси, относительно которой он берется, и для одних осей он может быть положителен (устойчивость равновесия), для других отрицателен (неустойчивость), для [c.118]

Во всех тех случаях, когда в конструкциях применяются тонкие стержни или пластинки, необходимо считаться с возможностью потери устойчивости деформации таким образом ставится общая проблема устойчивости упругих систем. Мы уже видели, что первые исследования, относящиеся к проблемам этого типа, были сделаны Эйлером и Лагранжем, которыми был решен ряд отдельных, не связанных между собою задач. Во всех этих задача % при одних и тех же внешних силах возможны два вида равновесия и обычное доказательство 134) однозначности решений уравнений теории упругости оказывается неприменимым. Общая теория устойчивости была предложена Брайаном (G. Н. Вгуап) Он пришел к выводу, что исключения из теоремы об единственности возможны лишь тогда, когда большие относительные смещения разных частей тела сопровождаются малыми деформациями в отдельных точках, как это имеет место в случае тонких стержней и пластинок, или же тогда, когда возникают смещения, мало отличающиеся от тех, которые возможны для неизменяемого твердого тела последнее обстоятельство имеет место, например, в случае сферы, сдавливаемой круглым кольцом несколько меньшего диаметра. Во всех случаях, когда возможны две формы равновесия, критерий для определения той формы, которая будет иметь место, состоит в условии, что энергия должна иметь наименьшее значение. [c.42]

В этих условиях точка х(г) никогда не сможет покинуть окрестность точки равновесия, следовательно, Хо — стационарная точка, устойчивая по Ляпунову. Иногда вместо метода Ляпунова используют спектральный метод, как более простой. Он состоит в исследовании спектра частот линейных колебаний системы относительно точ1си равновесия. По этому методу равновесие устойчиво, если всё частоты — затухающие, и неустойчиво, если хотя бы одна является растущей. Однако если хотя бы одна частота нейтральна (действительна), а остальные частоты затухающие, этот метод неэффективен. Поясним это на примере нелинейной системы [c.188]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...