Функции Ламэ

В вопросах, относящихся к эллипсоидам с тремя неравными осями, мы можем применить более общий вид эллипсоидальных функций, известных под именем функций Ламэ ). Не вдаваясь в формальное изложение этих функций, мы изучим, имея в виду гидродинамические применения, некоторые решения уравнения [c.183]

Пуанкаре показал, что при дальнейшем росте углового момента определённые фигуры равновесия на последовательности Маклорена становятся вековым образом неустойчивыми относительно гармоник более высокого (чем п = 2, Б. К.) порядка. Эти результаты для сфероидов определяются известными свойствами зональной и тессеральной гармоник, к которым сводятся эллипсоидальные функции Ламэ в более простых координатах, когда эллипсоид имеет две равные оси. Конечно, исследование самих эллипсоидов Якоби опирается на общие функции Ламэ. Аналогичным образом Пуанкаре смог показать, что и эллипсоиды Якоби теряют вековую устойчивость сначала от гармонической деформации третьего порядка, а затем, при большем растяжении и моменте вращения, появляются конфигурации, проявляющие неустойчивость относительно гармонических функций Ламэ четвёртого, пятого и т.д. порядков ). [c.16]

Тогда исходную функцию L[X) называют функцией Ламэ первого рода или первого типа. [c.91]

Если полученная таким образом V удовлетворяет уравнению Лапласа, соответствующая функция Ь(Х), которая теперь содержит в качестве множителя один из радикалов л/А + а , л/Л + Р или уЛ + с , называется функцией Ламэ второго рода. [c.91]

Если = О, многочлен У х, у, г) называется многочленом Ламэ или эллипсоидальной гармонической функцией, и для каждого тина функций Ламэ существует отдельный вид эллипсоидальной гармонической функции. [c.92]

Разумеется, функции М(1л) и N(u) в каждом соответствующем случае также классифицируются, как функции Ламэ первого,. . ., четвертого родов. — Прим. [c.92]

Возможные формы, которые могут принимать функции Ламэ (А), в конечном итоге проверяются условием, чтобы V обязательно удовлетворяло уравнению Лапласа. В связи с этим продолжим анализ возможных способов построения функций Ламэ. [c.93]

Прежде чем показать, что К можно выбрать так, чтобы суш ество-вали решения данного вида, заметим, что полиномиальные решения по X, у, Z уравнения = О можно разбить на четыре разных типа. В таблице III представлены эти четыре случая, а также дана связь между степенью многочлена Ламэ V и функцией Ламэ L. В этой таблице F обозначает многочлен по х" , вида [c.97]

Форма соответствуюгцей функции Ламэ Ь [c.98]

Если п — чётное, существуют функции только (1) и (3) видов, причём полное число функций Ламэ данного порядка п равно [c.99]

IV) Функции вида (4) также существуют, когда п — нечётное. Теперь L X) содержит все три множителя-радикала, а её рациональная часть имеет степень i(n — 3). Соответственно существуют i(n — 1) вещественных и различных значений К, которые ведут к (гг — 1) разных функций Ламэ. [c.99]

Если п — нечётное, функциями Ламэ являются только те, которые относятся к виду (2) и (4), и их полное число [c.100]

Таким образом, не зависимо от того, чётное п или нечётное, всегда полное число функций Ламэ равно 2гг + 1. Именно этого результата следовало ожидать, т.к. каждая из функций Ламэ L(X) ведёт к многочлену Ламэ V(.x, у, z), удовлетворяющему уравнению = 0. Члены высшей степени в V образуют присоединённый однородный многочлен, скажем Vh, порядка п, удовлетворяющий S/ Vh = 0. Теперь путём подсчёта коэффициентов можно легко доказать, что существуют 2п + 1 независимых однородных полиномиальных решений степени п. Очевидно, члены высшего порядка в каждом из многочленов Ламэ будут являться определённой линейной суммой таких гармоник, представленных в эллипсоидальных координатах. [c.100]

Функции Ламэ и многочлены О, 1, 2 и 3 порядка [c.100]

Пять функций Ламэ второго порядка есть [c.101]

Семь функций Ламэ третьего порядка одна равна [c.101]

Эта связь является особенно важной в случае со сфероидами, когда а = = Ь или Ь = с, поскольку тогда функции Ламэ можно выразить через хорошо известные функции. Однако в некоторых случаях результаты не могут быть получены простой подстановкой а = Ь в общие функции Ламэ, и здесь должен применяться предельный переход. [c.102]

В данном случае N является результатом подстановки Ь = с в общую функцию Ламэ, в то время как М получается предельным переходом. Действительно, имеем [c.106]

Установив форму функций Ламэ в случаях со сфероидами, мы вернемся к вопросу о значениях, которые К принимает в общем случае а > Ь > с), чтобы представить решение Ламэ в виде многочлена, умноженного на О, 1, 2 или 3 множителей-радикалов. [c.111]

Теперь можно легко доказать, что в общем случае, когда а Ь, предшествующий результат остаётся в силе, так что для функций Ламэ любого типа данного порядка п все величины К являются вещественными и различными и разделяют функции, соответствующие любому другому типу того же порядка. [c.112]

Линейная независимость 2п- -1 функций Ламэ данного порядка [c.114]

Функции Ламэ порядка п удовлетворяют следующему уравнению [c.114]

Нули функций Ламэ [c.116]

В настоящем разделе обозначим через Ьг рациональную часть любой из выбранных функций Ламэ, т. е. такую, где радикалы (если они существуют) опускаются. Радикалы, если они есть в функции Ламэ, являются нулями при Л = —а , Л = —6 или Л = —с , так что если рассматривать Ь как многочлен от Л + (а это окажется удобным впоследствии), наличие радикалов будет означать нули Ь при Л + а = = О, иди аР — г . Также отметим, что [c.116]

Функцию Ламэ общего вида в этих случаях можно записать как [c.124]

Для данных кг, К2, кз множество т + 1 функций Ламэ Ь[Х) данного порядка можно расположить в такой последовательности, что рациональная часть функции с номером г из этого множества имеет г—1 нулей между —а и —Ь , а оставшиеся т — г + 1 нулей — между и —с . [c.124]

Таким образом, если г имеет одно из значений 1, 2,. .., m -Ь 1, существует соответствующая функция Ламэ с такой рациональной частью, что г — 1 её нулей лежат между —и —6 , а оставшиеся т — г+1 лежат между —Ь и —с . Кроме того, поскольку при данных значениях Ki, К2, Кз существует т + 1 функций Ламэ данного типа, то все они получаются по очереди, когда г задаётся последовательностью значений 1, 2,. .., m + 1. [c.125]

Дополнительные свойства функций Ламэ и их применение к гравитации [c.126]

Дополнительные свойства функций Ламэ 127 [c.127]

Дополнительные свойства функций Ламэ 129 [c.129]

Дополнительные свойства функций Ламэ 131 [c.131]

Дополнительные свойства функций Ламэ 133 [c.133]

С точки зрения космогонии важно как можно дета.пьнее описать такой путь развития. Было бы интересно, конечно, представить эту эволюционную проблему как можно полнее, но литература по этому предмету очень разнообразна и, к тому же, носит в основном исследовательский характер. Поэтому едва ли в одном отдельном издании можно осветить эту задачу во всей полноте. П всё-таки имеет смысл дать полное математическое описание тех частей предмета, которые необходимы для обоснования достоверности упомянутой выше эволюции. Для этого сначала мы рассмотрим проблему устойчивости с главным акцентом на вращающиеся системы. За этим следует обсуждение сферических, сфероидальных и эллипсоидальных фигур равновесия и тех их свойств, которые можно вывести с помощью простых методов динамической теории. Далее мы излагаем элементы эллипсоидального гармонического анализа и доказываем некоторые важнейшие свойства функций Ламэ. Затем, используя этот математический аппарат, перейдём к изложению результатов исследования Пуанкаре вековой устойчивости последовательностей Маклорена и Якоби. После этого мы уделим внимание исследованию Картаном обыкновенной устойчивости эллипсоидов Якоби. В заключении рассматриваются этапы эволюции системы и обсуждаются возможные применения в космогонии. [c.20]

Одна функция Ламэ нулевого порядка равна единице (или любой постоянной), соответствующей решению V = onst уравнения Лапласа. Три функции Ламэ первого порядка [c.101]

Для ответа на вопрос, какая из общих функций Ламэ приводится к ospif, а какая к sinpep, было показано, что M ji)N[u), будучи выраженным через 0, ер, принимает вид тессеральной гармоники таким образом, [c.107]

Расположение пулей некоторых функций Ламэ данного типа можно определить ещё более точно, чем уже было сделано ранее. Это необходимо в связи с вопросом об устойчивости эллипсоидов Якоби. С этой целью мы докажем, следуя Стилтьесу, важную теорему. Однако вначале рассмотрим метод прямого построения эллипсоидальных гармонических функций в прямоугольных координатах. [c.120]

Теперь мы можем доказать теорему Стилтьеса о расположении и распределепии пулей функции Ламэ данного порядка и указанных типов. [c.124]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...