Эллипсоид Якоби

Так как в общем случае два отношения а Ь с подчинены условию (4), то фактически имеется только один переменный параметр, и эллипсоиды Якоби образуют так называемую линейную серию . [c.890]

Наибольший интерес привлек к себе случай первой бифуркации, которая имеет место в серии эллипсоидов Якоби. По Дарвину критическим эллипсоидом оказывается [c.902]

А устойчива, а далее неустойчива. Точки Р, Q обозначают места, в которых эллипсоиды Якоби становятся неустойчивыми. В этих [c.903]

До сих пор мы ничем не пренебрегали, и уравнения были бы, например, приложимы к конечным колебаниям эллипсоида Якоби при существовании потенциала вида (53). Но в случае малого возмущения из состояния равномерного вращения вокруг оси г величины р, q, р , д , будут малыми, в то время как г будет приблизительно постоянным. Оказывается, что коэфициенты можно рассматривать как постоянные, если пренебречь малыми величинами второго порядка в первых двух уравнениях системы (13) и в первых двух уравнениях системы (14). Изменения мгновенных осей при этом будут независимы от приливной деформации и оказываются точно такими же, как если бы жидкость была заключена в твердую оболочку, массою которой можно пренебречь. [c.920]

Пуанкаре показал, что при дальнейшем росте углового момента определённые фигуры равновесия на последовательности Маклорена становятся вековым образом неустойчивыми относительно гармоник более высокого (чем п = 2, Б. К.) порядка. Эти результаты для сфероидов определяются известными свойствами зональной и тессеральной гармоник, к которым сводятся эллипсоидальные функции Ламэ в более простых координатах, когда эллипсоид имеет две равные оси. Конечно, исследование самих эллипсоидов Якоби опирается на общие функции Ламэ. Аналогичным образом Пуанкаре смог показать, что и эллипсоиды Якоби теряют вековую устойчивость сначала от гармонической деформации третьего порядка, а затем, при большем растяжении и моменте вращения, появляются конфигурации, проявляющие неустойчивость относительно гармонических функций Ламэ четвёртого, пятого и т.д. порядков ). [c.16]

Для того чтобы установить существование сфероидов Маклорена и эллипсоидов Якоби как возможных форм равновесия, в первую очередь нам потребуется выражение для гравитационного потенциала таких фигур во внутренних точках. Рассмотрим эллипсоид, главные оси которого совпадают с осями координат его уравнение [c.64]

Таблица II. Эллипсоиды Якоби.

Важно отметить, что мы рассматриваем систему с тремя неравными осями, поэтому для её задания нужны две координаты. Если начать со сфероидов Маклорена, то мы ограничены случаем а = Ь, требующим только одну координату, а эллипсоиды Якоби вообще себя не обнаруживают. Именно по этой причине для форм Маклорена в таблице I нет максимального или критического значения углового момента, соответствующего точке В. С другой стороны, для ряда Якоби величина Н в точке В имеет критическое значение. Очевидно, сфероиды можно рассматривать как специальный случай эллипсоидальных форм, так что существует два ряда эллипсоидальных форм, пересекающихся в точке В, — это ряды Маклорена и Якоби. Но к сфероидальным формам относится лишь один из них. [c.79]

Автор хочет здесь сказать (но выражает свою мысль расплывчато и нечётко), что в действительности в природе из множества всех типов бифуркаций реализуется только та, которая связана с превращением сфероида Маклорена в эллипсоид Якоби. — Прим. ред. [c.162]

Вековая устойчивость эллипсоидов Якоби [c.164]

Условие для эллипсоида Якоби [c.165]

Следовательно, это и должно быть условием для эллипсоида Якоби . Легко проверить, что опо эквивалентно условию, полученному ранее в главе IV. [c.165]

Данное уравнение связывает между собой отношения полуосей в эллипсоиде Якоби и впервые было получено Пуанкаре. — Прим. ред. [c.165]

Исходя из этих предположений А.М. Ляпунову и удается при помогци методов, на которых мы здесь совергаенно не имеем возможности останавливаться перейти к доказательству сугцествования рядов фигур равновесия неоднородной врагцаюгцейся жидкости, мало отличаюгцихся от эллипсоидов Якоби и Макло-эена. [c.161]

Труднейший вопрос об устойчивости фигур равновесия был поднят Ж. Лиувиллем и Б. Риманом. Решительный прогресс был достигнут в этом вопросе в работах А. М. Ляпунова и А. Пуанкаре предложивших достаточно обилие методы исследования фигур равновесия враш ающейся жидкости, в том числе и их вековой устойчивости. Первые исследования обоих ученых в этой области относятся к середине 80-х годов. Уже в своей магистерской диссертации Ляпунов установил устойчивость эллипсоидов Мак-лорена при значениях эксцентриситета меньше 0,813 в обш их предположениях о возмущениях и устойчивость эллипсоидов Якоби при эллипсоидальных возмущениях В последующем были тщательно исследованы эллипсоиды бифуркации- и, в частности, обнаружены так называемые грушевидные формы равновесия. Однако Ляпунов указал в 1905 г. на неустойчивость этих форм в противоречие утверждению Дж. Дарвина об их устойчивости По этому вопросу возникла дискуссия, победителем которой оказался Ляпу- [c.77]

Данная задача принадлежит к тем разделам астрономии и гидродинамики, начало которым было положено открытием закона всемирного тяготения. Именно тогда стало возможным объяснять не только движение планет и спутников, но также и саму форму небесных тел. С той поры немало крупных ученых-математиков внесли свой вклад в развитие теории фигур равновесия. Имена Клеро, Маклорена, Якоби и Лиувилля говорят сами за себя. Но наиболее весомый вклад принадлежит А. Пуанкаре и нашему соотечественнику А. М. Ляпунову. В 1884-85 годы они независимо друг от друга установили, что в окрестности определенных сфероидов Маклорена и эллипсоидов Якоби (их множество бесконечное, но все же счетное ) существуют неизвестные науке неэллипсоидальные фигуры равновесия. Научный мир с изумлением взирал на эти открытия. И если можно (а почему бы и нет ) сравнить новые фигуры с драгоценными кристаллами, то шахта для их добычи оказалась круто уходящей вниз, где на большой глубине могут работать лишь сильные разумом и духом исследователи. И именно отсюда, с этой глубины берут свое начало такие отрасли математики, как теория нелинейных интегральных уравнений, теория бифуркаций, здесь же возникло само понятие линейных рядов фигур равновесия. [c.9]

Пристальное внимание исследователей привлекла уже первая фигура из этой коллекции, названная грушевидной. Ей Анри Пуанкаре и Джордж Дарвин отводили роль связующего звена между давно известными эллипсоидами Якоби и открытыми в XVIII веке Вильямом Гершелем двойными звездами. Но несколько раньше о двойных звездах [c.9]

Книга состоит из Введения и девяти глав. В ней подробно разбираются равновесные свойства классических сфероидов Маклорена и эллипсоидов Якоби, а также трудные и сложные вопросы их устойчивости. Особенно тщательно разбираются свойства функций и произведений Ламэ. Столь тщательного изложения гармонического анализа и его приложений к гравитирующим эллипсоидам не встретить [c.10]

Автор смещает акценты в открытии эллипсоидов Якоби. Согласно Тодхантеру, в письме во Французскую Академию говорилось не об одном, а о двух результатах, полученных Якоби, — об упомянутой выше возможности существования жидких [c.14]

Таким образом, для того, чтобы иметь полную информацию при рассмотрении малых деформаций системы, необходимо определить, остаётся ли ряд Якоби обыкновенно устойчивым вне критической фигуры. Условие динамической устойчивости заведомо выполняется, пока вековая неустойчивость не наступила. В принципе, вопрос о динамической устойчивости требует совершенно другого подхода, т. к. для его решения необходимо изучить действительные периоды возможных ма-,пых ко.пебаний системы, а не то, каким образом отде.пьный показатель, такой, как момент количества движения (угловой момент), изменяется на начальной стадии грушевидного ряда. Проблему определения обыкновенной устойчивости ряда Якоби разрешил Картан (СаЛап). Он с успехом доказал, что при деформации гармонической функцией третьего порядка эллипсоиды Якоби одновременно приобретают и вековую и обыкновенную неустойчивости . [c.19]

С точки зрения космогонии важно как можно дета.пьнее описать такой путь развития. Было бы интересно, конечно, представить эту эволюционную проблему как можно полнее, но литература по этому предмету очень разнообразна и, к тому же, носит в основном исследовательский характер. Поэтому едва ли в одном отдельном издании можно осветить эту задачу во всей полноте. П всё-таки имеет смысл дать полное математическое описание тех частей предмета, которые необходимы для обоснования достоверности упомянутой выше эволюции. Для этого сначала мы рассмотрим проблему устойчивости с главным акцентом на вращающиеся системы. За этим следует обсуждение сферических, сфероидальных и эллипсоидальных фигур равновесия и тех их свойств, которые можно вывести с помощью простых методов динамической теории. Далее мы излагаем элементы эллипсоидального гармонического анализа и доказываем некоторые важнейшие свойства функций Ламэ. Затем, используя этот математический аппарат, перейдём к изложению результатов исследования Пуанкаре вековой устойчивости последовательностей Маклорена и Якоби. После этого мы уделим внимание исследованию Картаном обыкновенной устойчивости эллипсоидов Якоби. В заключении рассматриваются этапы эволюции системы и обсуждаются возможные применения в космогонии. [c.20]

Это уравнение устанавливает связь между осями любых эллипсоидальных форм. Очевидно, что этому уравнению можно удовлетворить двумя способами либо мы берем а = Ь, тогда первый множитель обра-ш,ается в нуль, либо, допуская, что а ф Ъ (хотя, фактически, это так и есть), мы обраш,аем в нуль интегральный множитель. Первое решение относится к сфероидам Маклорена, а последнее — к эллипсоидам Якоби. Рассмотрим по очереди обе эти фигуры. [c.69]

Расположение пулей некоторых функций Ламэ данного типа можно определить ещё более точно, чем уже было сделано ранее. Это необходимо в связи с вопросом об устойчивости эллипсоидов Якоби. С этой целью мы докажем, следуя Стилтьесу, важную теорему. Однако вначале рассмотрим метод прямого построения эллипсоидальных гармонических функций в прямоугольных координатах. [c.120]

Эллипсоид Якоби, для которого характеристический коэффициент устойчивости третьего порядка обращается в нуль, был определён Дарвипым , который пашёл [c.175]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...