Точное уравнение амплитуды

Точное уравнение амплитуды [c.133]

В случае произвольной, не малой, амплитуды волны эти простые соотношения уже не имеют места. Оказывается, однако, возможным найти общее решение точных уравнений движения, представляющее собой бегущую плоскую волну и являющееся обобщением решения f x t) приближенных уравнений, применимых в случае малых амплитуд. Для отыскания этого решения будем исходить из требования, чтобы в общем случае волны с произвольной амплитудой плотность и скорость могли быть выражены в виде функции друг от друга. [c.526]

При 5=1/2 и х>1 из (7.43) получаем, что решение разностного уравнения колеблется около точного с амплитудой, не большей ао—а при увеличении шага эти колебания затухают довольно медленно. Тем не менее разностная схема при 5=1/2 дает решения, близкие к точному в тех областях, где величина ао—а мала по сравнению с а. Такие области соответствуют малым значениям г и течениям, близким к равнове- [c.205]

Но в то время как прежнее уравнение (15.3) описывало только малые колебания математического маятника и получалось лишь приближенно из точного уравнения (15.1), наше теперешнее уравнение (17.6) и, следовательно, полученная из него путем интегрирования формула (17.7) точно справедливы для любых амплитуд. Таким образом, циклоидальный маятник строго изохронен, т. е. его период колебания вообще не зависит от величины амплитуды . [c.128]

Более точное уравнение (2.63) показывает, что скорость поршня несколько отклоняется от закона синуса (при наибольшем значении а = — 30° это отклонение по амплитуде доходит до 15%), однако при меньших значениях угла а отклонения весьма малы (рис. 2.21). Поэтому в большинстве случаев без существенной погрешности можно пользоваться уравнением (2.64). [c.146]

Уравнение (18.28), подобно (18.14), приближенное. В 20 построим точное уравнение, определяющее амплитуду волны ускорения. [c.127]

После того как уравнение (П. 12) решено относительно )(р, р), можно найти функцию Р(Х,к) и все другие величины, характеризующие процесс рассеяния нули Р Х,к) дают связанные состояния и резонансы. Однако уравнение (11.12) не имеет того весьма удобного свойства уравнения (11.11), которое позволяет провести точный расчет амплитуды Оф, р) в заданной точке. [c.184]

В 7.2 рассмотрены квазипоперечные волны, распространяющиеся в положительном (для определенности) направлении оси х (волны, распространяющиеся в противоположную сторону, считаются отсутствующими). Это позволяет, как и в 7.1, оставить в качестве неизвестных только переменные, характеризующие эти волны. Система уравнений для квазипоперечных волн, распространяющихся в сторону а > О, состоит из двух уравнений (7.6). Эти уравнения, содержащие три постоянных коэффициента, преобразованием Галлилея и изменением масштабов могут быть приведены к одной из двух стандартных форм, соответствующих X > О или X < 0. Проверено ( 7.3), что упрощенные (приближенные) уравнения (7.6) с принятой при рассмотрении квазипоперечных волн малой амплитуды точностью дают описание волн Римана и ударных волн, не отличающееся от описания, полученного ранее (в Главах 3 и 4) при отыскании приближенного решения точных уравнений. [c.316]

Основные результаты о флюктуациях амплитуды и фазы при распространении волны в турбулентной среде, изложенные выше, были получены при помощи метода плавных возмущений . Напомним, что уравнение этого метода (26.29) отличается от точного уравнения для ф тем, что в нем отброшены члены а, = и 2 — ( ФО - [c.590]

В 9 мы по существу пользовались уже подобным упрощением, которое позволило найти в качестве приближенного решения плоские волны, бегущие без изменения формы, и определить скорость таких волн. Теперь сделаем подобные же упрощения в полной системе точных уравнений гидродинамики именно, отбросим в них те члены, которые для звуковых волн оказываются малыми по сравнению с остальными членами. Для того чтобы можно было выполнить такое разделение различных членов, оценим раньше всего входящие в уравнения гидродинамики производные по времени и по пространству от величин, характеризующих волну (давление, скорость частиц и т. д.). Так как речь идет не о вычислениях, а об оценках производных, расчет можно делать грубо, по порядку величины. Попутно получим такую же грубую оценку применимости понятия малые амплитуды , которой уже пользовались в 9, а также грубую оценку отбрасываемых малых величин в уравнениях. [c.36]

В гл. II мы показали, что точные уравнения гидродинамики и уравнение состояния нелинейны, и перешли от них к линейным уравнениям акустики, отбрасывая в уравнениях члены, содержащие квадраты и произведения величин первых порядков (давление, скорость, сжатие). Для плоских волн отбрасываемые члены относились к сохраняемым как М 1, где М — vie = рр — число Маха. Ошибка в решениях при пренебрежении нелинейностью тем меньше, чем меньше чис о Маха. Однако, как правило, эта ошибка накапливается ), и поэтому при любом значении М звуковая волна по мере распространения постепенно искажается по сравнению с волной, изображаемой решением линейного уравнения. Для очень малых М звуковая волна может затухнуть прежде, чем произойдет заметное искажение. Но скорость накопления ошибки растет вместе с амплитудой волны, в то время как скорость затухания остается неизменной. Поэтому, начиная с некоторых значений числа Маха, искажение волны станет существенным даже при наличии поглощения. В таких случаях говорят о волне конечной амплитуды, в то время как при возможности пренебрежения нелинейными эффектами говорят о волне бесконечно малой амплитуды. [c.407]

Это уравнение не вполне точно, когда стержень колеблется (так как некоторая часть момента идёт на то, чтобы повернуть элемент стержня при его изгибе), но оно очень близко к точному, если амплитуда колебания невелика по сравнению с длиной стержня. [c.176]

Во второй главе построены точные уравнения для одночастичной функции Грина и усреднённого поля деформаций. Одночастичный массовый оператор и связанный с ним эффективный тензор модулей упругости определяется амплитудой рассеяния вперёд продольных и поперечных волн на случайных неоднородностях. Хотя диаграммная техника наилучшим способом приспособлена для расчета эффективных транспортных и упругих параметров среды с учётом многократного рассеяния волн на сильных флуктуациях, эта задача нас здесь интересовать не будет. Мы хотели привлечь внимание математиков, физиков-теоретиков - специалистов по квантовой механике и студентов к проблемам геофизики. Поэтому в этой и следующих главах мы подробно излагаем диаграммную технику в применении к геофизическим задачам. Кроме того, мы посвятили один параграф квантовому подходу к теории упругого поля. Этот подход позволяет понять, как возникает необратимость при описании поля в случайно неоднородной среде обратимыми во времени уравнениями и отменить все дополнительные правила отбора решений и обхода полюсов. Эта проблема обсуждается известными физиками Б.Б. Кадомцевым [6], [c.40]

Плоская бегущая звуковая волна как точное решение уравнений движения тоже представляет собой простую волну. Мы можем воспользоваться полученными в предыдущем параграфе общими результатами для того, чтобы выяснить некоторые свойства звуковых волн малой амплитуды во втором приближении (понимая под первым приближением то, которое соответствует обычному линейному волновому уравнению). [c.535]

Точное решение волнового уравнения, описывающего относительное движение нейтрона и протона в потенциальной яме подобного вида, приводит к результату, согласно которому волновая функция -ф(г) имеет большую амплитуду в области с размерами (радиус дейтона), заметно большими радиуса действие [c.501]

Таким образом, исследованное положение равновесия (минимум потенциальной функции) соответствует на фазовой плоскости особой точке, называемой особой точкой типа центр, и отвечает положению равновесия, относительно которого система может совершать колебания, близкие к гармоническим или точно гармонические. Для представления на фазовой плоскости таких движений характерно наличие семейства замкнутых фазовых траекторий, окружающих центр, причем они (за исключением специальных случаев зависимости потенциальной функции от координаты в окрестностях данной особой точки) всегда стремятся к эллипсам при уменьшении амплитуды колебаний. Для рассматриваемого случая можно из уравнения (1.1.6) получить после ряда простых выкладок выражение для периода колебаний [c.19]

Отмеченные выше существенные особенности диссипативных систем, заключающиеся в том, что любые свободные колебания в системе, предоставленной самой себе, неизбежно затухают, приводят к тому, что для количественного рассмотрения свободных колебаний с учетом потерь нельзя без существенных оговорок пользоваться методом последовательных приближений, в котором за нулевое приближение принимается гармоническое движение. Данный метод может применяться лишь для ограниченных временных интервалов в случае достаточной малости затухания, и поэтому его использование с подобными оговорками существенно снижает его практическую ценность. Это заставляет нас в тех случаях, когда не удается найти прямое и точное решение дифференциального уравнения, описывающего систему, искать другие пути нахождения приближенного решения, учитывающего специфику нелинейных диссипативных систем и пригодного для любого интервала времени. Из возможных методов нахождения приближенного решения следует в первую очередь указать на метод поэтапного рассмотрения н, в частности, на кусочно-линейный метод, а также на метод медленно меняющихся амплитуд. Кусочно-линейный метод, пригодный для любых типов трения и нелинейности, основывается на замене общего рассмотрения движения всей системы в целом решением ряда линейных задач — уравнений, приближенно описывающих различные этапы движения системы, на которых ее можно считать более или менее [c.45]

Эти свойства свободных колебаний системы с одной степенью свободы основываются на приближенных линейных дифференциальных уравнениях. Эти уравнения тем точнее характеризуют истинное движение системы, чем меньше амплитуды колебаний. [c.29]

Уравнения (6) — (9), полученные для частных случаев, выражают аналитические зависимости плотности дислокаций от амплитуды пластической деформации eL (напряжения Оа) и числа N циклов нагружения. Какое из этих уравнений точно описывает изменение плотности дислокаций с ростом числа циклов N нагружения с постоянной амплитудой пластической деформации впл (напряжения Оа), будет зависеть от исходной структуры кристаллической решетки и чистоты материала. [c.180]

Эта задача не совпадает с проблемой собственных значений в данном случае вопрос идет просто о решении системы линейных уравнений. Однако проблема собственных значений, представленная уравнением (103.8), тесно связана с решением системы уравнений (104.4), потому что амплитуды возрастают, когда возмущающая частота близка к собственной частоте или, выражаясь более точно, когда т близко к одному из корней уравнения (103.8). Тогда имеет место резонанс. [c.374]

Результаты проведенных исследований позволяют сделать следующие выводы относительно последовательности решения прикладной задачи проектирования линейной колебательной системы составляется точное математическое описание системы (модель), затем методами декомпозиции эта система по ряду признаков разбивается на определенное число подсистем меньшей размерности, далее каждая подсистема подвергается анализу на ЭЦВМ или АВМ с использованием методики планируемого эксперимента, в частности метода ПЛП-поиска. На основе такого эксперимента строятся упрощенные математические зависимости. Таким образом, для целого класса колебательных систем, описываемых линейными дифференциальными уравнениями, проектировщик получает зависимости, позволяющие ему сразу принять то или иное проектное решение. В частности, проектировщик может подобрать такие сочетания параметров, при которых собственные частоты системы будут находиться вне требуемого частотного интервала или амплитуды колебаний в этом интервале будут существенно уменьшены, [c.23]

Решение упрош,енного уравнения движения (1, 10) показало, что характер < [)азовых портретов качественно соответствует характеру фазовых портретов автоколебаний точной системы (1, 2). Однако амплитуда автоколебаний в упрощенной системе [c.85]

В несколько раз больше амплитуды автоколебаний в точной системе. Например, при D = 0,22 и В --= 0,13 амплитуда в обеих системах была одинаковой, если интенсивность возбуждения П в упрощенной системе была настроена приблизительно в два раза меньшей. Учитывая, что упрощенные уравнения также не интегрируемы, даже для системы без рассеивания энергии, замену более полноценной аппроксимации (2) первыми членами ряда (10) не рекомендуем. [c.86]

Далее находим точное решение g (т) уравнений (6), соответствующее основному режиму, и, разлагая его затем в ряд Фурье, получим следующие значения амплитуд первой и кратных гармоник [c.238]

Простые выражения (73) и (75) углов б и i]) получены из точных формул (67) путем пренебрежения высокочастотными колебаниями малых амплитуд и упрощений, которые были сделаны в предположении, что собственная угловая скорость ротора весьма велика по сравнению с частотами свободных колебаний колец подвеса при невращающемся роторе. Но на этом же предположении основыралась приближенная теория гироскопа ( 153). Поэтому следует ожидать, что, исходя из этой теории, можно непосредственно прийти к упрощенным дифференциальным уравнениям для углов б и tp, минуя громоздкий путь составления точных уравнений (48), нахождения их решений и последующего упрощения этих решений. [c.615]

Из приведенных профилей интенсивности видно, что на начальном этапе распространения происходит быстрая трансформация фазовых флуктуаций в амплитудные. Средняя длительность пичков соответствует величине х . В дальнейшем происходит сравнительно быстрая фильтрация солитонной составляющей за счет дисперсионного расплывания шумовой компоненты. При 1 импульс превращается в соли-тон. Отметим точное совпадение амплитуды солитона, полученной в результате прямого интегрирования нелинейного уравнения Шредин-гера и вычисленной методом обратной задачи рассеяния для той же реализации начальных данных (6). [c.227]

Акустический луч в точной теории. Исключительно красивый вывод уравнения амплитуды дал М. Броун (работа неопубли-кована), основываясь на понятии акустического луча. Представим здесь этот вывод. [c.141]

К нелинейным эффектам в известном смысле можно причислить и так называемое радиационное давление или давление ультразвукового излучения, которое, в частности, проявляется в виде постоянных пондеромоторных сил, действующих на препятствия, расположенные на пути распространения ультразвуковой волны. Давление ультразвуковою излучения существует и в свободном ультразвуковом поле в виде постоянной составляющей давления. Радиационное давление присуще любому волновому процессу независимо от его природы отю связано с изменением у препятствия величины переносимого волной импульса. Возникающие прп этом пондеромотор-ные силы малы известно, что для регистрации, например, давления света требуются весьма чувствительные приспособления. Давление ультразвукового излучения также является малой величиной по сравнению с амплитудой переменного давления в ультразвуковой волне. Тем не менее радиационный эффект следует непосредственно из линейных уравнений электродинамики и линеаризованных уравнений гидродинамики. Нелиней1юсть же точных уравнении гидродинамики приводит при расчете давления ультразвукового излучения к поправкам , соизмеримым с величиной эффекта, вычисленной в первом ириблпженни, в отличие от нелинейных поправок к другим акустическим параметрам, таким, например, как скорость звука, плотность энергии и т. д., в которые они входят в качестве величин второго и более высоких порядков малости. Эти сравнительно большие поправки к давлению ультразвукового излучения и представляют собой собственно нелинейный эффект. Отличие акустических [c.104]

Описанный подход к распространению гармонических волн расширения в бесконечном цилиндрическом стержне с помощью точных уравнений приводит к выводу, что энергия не может переноситься вдоль цилиндра этим типом волн со скоростью, превышающей Сд. Некоторые исследователи — Филд [33], Саусвелл [132], Прескотт [114] и Купер [22] — указывают, однако, что теоретически допустимо рассматривать цилиндр таким же методом как безграничную среду. Тогда надо было бы ожидать, что упругие волны будут распространяться только с двумя скоростями, возможными для бесконечной среды (с и с.з), причем эти волны непрерывно отражаются от свободной поверхности цилиндра таким образом, как это описано в предыдущей главе. Тогда, если мы рассмотрим возмущение в некоторой точке внутри цилиндра, то обнаружим, что из этой точки должна распространяться сферическая волна расширения со скоростью с , часть этой волны должна распространяться вдоль цилиндра, не испытывая отражений от поверхности. Амплитуда этой неотра-зившейся волны должна убывать обратно пропорционально расстоянию, вследствие чего действие ее быстро затухает, но, тем не менее, часть энергии переносится со скоростью волн расширения в среде. Части волны, падающие на цилиндрическую поверхность, приводят к появлению отраженных волн расширения и искажения, которые, в свою очередь, при повторном отражении порождают волны обоих типов. Естественно ожидать, что наибольшая часть энергии возмущения будет распространяться со скоростью, меньшей скорости волн расширения. Но теория Похгаммера утверждает, что никакая часть энергии не может переноситься со скоростью, большей Со, и этот парадокс надо разрешить на основании экспериментальных наблюдений. [c.65]

При 5 = 1/2 и X > 1 из (2.5) следует, что решение разностного уравнения колеблется около точного с амплитудой, не большей ао —а , и при увеличении шагов эти колебания затухают медленно. Тем не менее разностная схема при 5 = 1/2 дает решения, близкие к точному в тех областях, где величина ао а мала по сравнению с а. Такие области соответствуют малым значениям т и течениям, близким к равновесию. В тех же областях, где т велико, а течение сугцественно отклоняется от равновесного (нанример, в угловой точке или за ударно волной), величина ко—а может быть сравнима с а и использование разностной схемы нри 5=1/2 может приводить к большим ошибкам. Кроме того, как показывает рассмотрение модельного уравнения при 5 = 1/2 и больших X, ошибка в начальных данных затухает лишь после значительного числа шагов. Это обстоятельство может затруднять отход от начальных точек вблизи равновесия, особенно для многокомнонентной смеси. [c.63]

Полная система уравнений гидродинамики удовлетворяется при любых движениях жидкости значит, звуковые волны также удовлетворя10т этим уравнениям. Это — точные уравнения. Но акустика интересуется только малыми колебаниями среды, и поэтому точность уравнений гидродинамики в акустике — это не только лишнее, но даже и вредное обстоятельство, поскольку оно связано с большой сложностью этих уравнений, в частности с их нелинейностью. Так как в дальнейшем мы будем интересоваться только звуковыми волнами малых амплитуд, то эти уравнения можно заменить более простыми приближенными уравнениями, решения которых будут тем не менее мало отличаться от решений точных уравнений. Особенно важно, что упрощение позволит прийти к линейным уравнениям. [c.36]

Вторая часть монографии посвящена микроскопическому описанию трещиноватых упругих и пороупругих сред и проблеме рассеяния волн на случайных неоднородностях. Основное её содержание сводится к применению методов квантовой теории поля и диаграммной техники Фейнмана [1] для вычисления усредненного поля деформахщй и его среднеквадратичных флуктуаций в трещиноватых упругих и пороупругих средах. Физическая мощь этих методов обусловлена тем, что они не связаны никакими ограничениями со стороны длин и частот распространяющихся в среде волн, ни с характером распределения случайных и регулярных неоднородностей. Математическая их мощь заключается в том, что они позволяют получить точные уравнения для одночастичной и двухчастичной функций Грина, контролирующих динамику усреднённого поля деформаций и его двухчастичной (парной) функции корреляций, и, в частности, амплитуду и энергию распространяющихся, отраженных, преломленных и рассеянных волн. Ядра этих уравнений (массовые операторы) нелокальны во времени и пространстве, их преобразования Фурье являются комплексными функциями частоты и волнового вектора. Тем самым они учитывают временную и пространственную дисперсию сейсмических и акустических волн и полностью определяют их спектр и затухание в трещиноватых упругих и пороупругих средах. К сожалению, эти ядра не могут быть вычислены точно (что было бы эквивалентно решению проблемы многих тел), и для их приближенного расчёта разработана диаграммная техника, позволяющая просуммировать бесконечную последовательность наиболее важных членов ряда, отвечающих за тот или иной процесс взаимодействия волн со средой. [c.40]

Полученное здесь решение обладает той особенностью, что амплитуда А отклонения стержня от прямолинейной формы при F = Fkp,5 осталась неопределенной,однако онадолж-на быть достаточно малой для того, чтобы были справедливы использованные нами уравнения. Если рассмотреть задачу в более точной постановке, где учитываются геометрические нелинейности и более точное значение кривизны в деформированном состоянии, то амплитуда отклонения оказывается зависящей от значения силы и график этой зависимости имеет вид ветвящейся линии ОАВ и ОАС (рис. 15.11). Пока F < fкр,а. у = 0 как только F>fKp,3. так появляется отличный от нуля прогиб, который определяется положением точки D, соответствующей значению F>F p,. Равновесные состояния при F > f кр-э- называются закритическими, и [c.348]

Приведенные примеры показывают, что уравнения (2.6.4), (2.6.5) позволяют достаточно точно описать кинетику изменения напряжений и деформаций при разнообразных программах нагружения. Отметим, однако, что удовлетворительные результаты получаются при программах нагружения, включаюш их циклы с различными амплитудами напряжений при отсутствии среднего напряжения в цикле. Использование уравнений для расчета диаграмм деформирования асимметричных циклов дает аффект одностороннего накопления пластических деформаций, что не наблюдается в экспериментах для циклически упрочняюгцихся материалов. [c.134]

Точно так же и при исследовании вынужденных колебаний механизма будем иредиолагать, что амплитуда периодического возбуждения, воздействующего на механизм (амплитуда пульсации или вибрации), остается малой. Условие малости амплитуды возбуждения, являясь необходимым, вместе с тем может оказаться недостаточным условием малости амплитуды вынужденных колебаний механизма. Тем не менее уравнения движения механизма будем составлять, исходя из предположения о малости последней, а в дальнейшем установим те условия, при которых это предположение остается в силе. [c.120]

Как известно, задачи динамической устойчивости систем сводятся к решению уравнений Хилла или Матье. Эти уравнения занимают особое место в математическом анализе. Однако точных методов решения уравнений типа Хилла или Матье в настоящий момент не существует. Нет и точных методов исследования переходных процессов в параметрических системах. Поэтому при решении различных задач пользуются всевозможными приближенными приемами, которые с той или иной степенью точности позволяют определить зоны неустойчивости системы, а для нелинейных задач оценить величины амплитуд колебаний. [c.198]

На стадии пуска наиболее сложными и одновременно наиболее точными являются натурные исследования усилий, деформаций, напряжений и температур на атомных реакторах при их предпусковых испытаниях — с воспроизведением режимов гидроиспытаний, пусков, стационарных режимов, срабатывания систем защиты, расхолаживания и разуплотнения [6, 7]. В качестве примера на рис. 2.7 приведены данные об изменении напряжений и температур в верхней части реактора ВВЭР [7]. Изменение напряжений вызвано изменением температур при энергопуске, когда давление в корпусе составляло 100 кГ/см (10 МПа), разогрев осуществлялся со скоростью 27°/ч, охлаждение — 40°/ ч. При разогреве напряжения на наружной поверхности увеличиваются, достигая к концу разогрева максима.льных значений (в разные моменты времени для разных элементов). При выходе на стационарный режим напряжения несколько снижаются при расхолаживании снижение напряжений происходит более интенсивно с последующим их повышением к концу расхолаживания. Приведенные на рис. 2.7 данные показывают на сложность формы цикла напряжений при выраженной нестационарности температур для режима разогрев — расхолаживание. Аналогичные данные о реальной нагруженности атомных реакторов при всех эксплуатационных режимах могут быть введены в расчеты по уравнениям (см. 3) для определения допускаемых амплитуд напряжений [о и долговечностей [А]. [c.43]

Точного решения уравнения (1.65) не существует. Рассмотрим 1фиближенный способ определения частот собственных колебаний в шисимости от амплитуд применительно к расчету пластинок и оболочек при сравнительно небольших прогибах (сопоставимых с толщинами). [c.33]

Точно также доказываются второе, третье и т. д. уравнения в (3.5). Более важным обстоятельством является то, что при написании приближения (2.28) мы пользовались оборванной цепочкой уравнений. Математическое обоснование такого обрьта обсуждалось на основе формулы (2.26). Аналогичное обоснование может быть предложено в отношение второго, третьего и т. д. соотношений в ряду (3.5). Приближение (3.5) является ключевым для того, чтобы бесконечная цепочка зацепляющихся уравнений для амплитуд вероятности распалась на бесконечное число пар уравнений. Итак, используя все три приближения, мы преобразуем систему уравнений [c.42]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...