Конечный элемент лагранжев

Для того, чтобы воспользоваться полученным результатом на практике, необходимо иметь результаты о достаточной регулярности решения в частности, если используются конечные элементы Лагранжа класса С с А=1, то для применения теоремы 4.10 необходимо иметь иеЯ (Й), что в общем случае неверно, так как теорема существования в рассматриваемом случае дает лишь иеЯ ( ). [c.194]

Приведем краткое описание первого этапа начнем с конечных элементов Лагранжа. Зададим F = F(x) в виде комбинации некоторых функций с неопределенными параметрами, эти параметры будем определять, потребовав, чтобы заданный набор точек 1,р на f переходил в заданный набор точек "Lp Ti. Естественное ограничение состоит в требовании непрерывности F х) при переходе от данного элемента Ti к соседнему (между смежными элементами не должно быть щелей ). Заметим, что набор 2/7 вовсе не обязан совпадать с множеством Е если то соответ- [c.199]

Рассмотрим изопараметрические конечные элементы Лагранжа. Указанному выше условию непрерывности проще всего удовлетворить, задав F х) в виде комбинации тех же базисных функций, с помощью которых производится аппроксимация [c.199]

Во всех предыдущих вариантах метода конечных элементов предполагалось, что приближенное решение принадлежит некоторому подпространству исходного функционального пространства например, при построении конечных элементов Лагранжа для решения задач теории упругости требовалось, чтобы объединения Я-интерполяций были непрерывны при переходе через границы конечных элементов. [c.208]

Что такое конечные элементы лагранжев семейства Какие типы конечных элементов Вы знаете [c.297]

Интерполяция Лагранжа и конечные элементы для операторов II порядка [c.160]

Наличие двух типов сумм в разложении (4.80) сильно осложняет программирование алгоритма, использующего с самого начала это разложение, поэтому в отличие от случая интерполяции Лагранжа на практике чаще используют варианты метода конечных элементов, аналогичные описанным в 3.3. [c.173]

В методах сосредоточенных параметров или конечных элементов реальная физическая система с распределенными параметрами заменяется ее моделью в виде совокупности дискретных элементов. Например, рассмотренная здесь консольная балка представляется в виде конечного числа сосредоточенных масс, расположенных в ряде точек и соединенных между собой невесомыми упругими элементами с одинаковыми свойствами. При этом уравнения движения обычно получают методом Лагранжа. Важнейшим преимуществом методов конечных элементов является их гибкость, позволяющая применять их при анализе сложных конструкций. Таким образом, при исследовании новой системы проблема заключается в выборе для нее наиболее подходящей модели с сосредоточенными параметрами, а не в разработке совершенно нового метода анализа. [c.428]

Число и порядок полиномов Лагранжа определяются количеством узлов конечного элемента. Для получения всего набора функций следует осуществить в (6.60) круговую перестановку индексов По схеме ... [c.189]

Базисные функции (6.64) зависят от формы границ заданной оболочки и в общем случае являются трансцендентными, однако они обладают такими же основными свойствами, что и полиномы Лагранжа равны единице в узле i и нулю в остальных узлах. Трансцендентные базисные функции (6.64) отличаются от полиномов Лагранжа (6.60) характером изменения между узлами и видом производных. Эти функции используют также и для построения изопараметрических конечных элементов. В ряде случаев [247] конечные элементы с трансцендентными функциями дают лучшие результаты. Кроме (6.60), полиномы Лагранжа могут быть получены и по формуле (6.64) как частный случай при соответствующем выборе функций fj(af ). [c.190]

Пусть, например, дана произвольная триангуляция в Кг- Пусть h — наибольшая сторона треугольника как конечного элемента, 9 — наименьший угол в треугольнике, интерполяция производится с помощью полиномов Лагранжа, at/ Е С . Тогда [c.285]

Вариационный подход в методе конечных элементов не исчерпывается поиском функционала Ф по уравнению Эйлера—Лагранжа. Например, для задач расчета на жесткость наибольшее распространение получил вариационный принцип Лагранжа, в котором функционалом Ф является полная потенциальная энергия механической системы 175]. [c.144]

Рассмотрим эти причины более подробно. В самосвалах рамы, надрамники, платформы представляют собой тонкостенные конструкции открытого профиля, причем прочность и жесткость этих конструкций во многом определяется плоским напряженным состоянием, в котором находятся их элементы. В настоящее время используют разнообразные конечные элементы, построенные на основе вариационного принципа Лагранжа (принципа минимума [c.75]

Пусть / — одно из пространств типа конечных элементов, описанных в 2, 3, 4 или 5, — функция из базиса Лагранжа, -какой-то элемент. Заметим, что е, как и сужение L функции на е, могут быть получены с помощью следующего построения. В плоскости рассмотрим основное множество Д, которое является либо квадратом Г15 1, либо треугольником с вершинами [c.46]

Определение. Пусть 7 —пространство типа конечных элементов на й, е ,. .. — элементы соответствующего разбиения О, ы,, и ,. .. — базис Лагранжа для II относительно функционалов р2, — Пространство и называется равномерным с постоянной д, если для всякого сужения Не некоторой базисной функции щ на элемент е диаметра /г имеем [c.72]

В настоящей книге множители Лагранжа используются редко, исключение составляют случаи, когда приходится вводить некоторые ограничения. Типичным при.меро.м этого может служить ситуация, когда прн применении метода конечных элементов нарушаются условия непрерывности. В результате введения дополнительных условий в виде ограничений на параметры получается корректное решение. Однако в связи с тем, что такие ограничения приводят к увеличению общего числа неизвестных, появляются дополнительные трудности. [c.49]

Пусть (К, Рд-, 21 д-) —такой лагранжев конечный элемент, что для некоторого целого числа к имеют место включения [c.130]

В разд. 4.3 мы рассматриваем один из возможных путей получения конечных элементов второго итг изопараметрических конечных элементов, сейчас часто используемых при вычислениях. Основная идея, лежащая в основе понятия таких элементов, заключается в обобщении понятия аффинной эквивалентности Пусть задан лагранжев конечный элемент [c.176]

Теорема 4.3.1. Пусть К, Р, 2)—лагранжев конечный элемент в R" при 2 = р(а,.), l / /V -, и пусть задано такое взаимно однозначное отображение F х К —> Fj (л ))"=1 R", что [c.222]

Существуют даже более общие понятия гибридных методов Например, Фикс [5] называет метод конечных элементов гибридным, если для учета неприятных ограничений используется (какого-либо рода) техника двойственности. Предложенное Бабушкой [8] использование множителей Лагранжа для учета краевых условий —пример таких методов. [c.408]

Рассмотрим функционал Лагранжа на примере двух конечных элементов, разделенных очень тонким слоем толщиной Ах, кото- [c.27]

В то же время следует развивать приложение методов механики сплошных сред, возможности которой еще далеко не исчерпаны. -Достаточно указать на обнадеживающие результаты расчетов опорного давления в слоистых породах (с различными деформационными свойствами) с применением вариационного метода Лагранжа (см. гл. X), а также на результаты, получаемые с использованием метода конечных элементов. [c.352]

Приложение. Уравнения Лагранжа. Пусть выполняются определенные с самого начала (стр. 345) общие условия. Если все наложенные контактные связи являются голономными, то координаты X, у, г различных элементов рассматриваемой системы И выражаются в конечной форме через время I и параметры д , от которых зависит положение системы [уравнения (1)]. [c.350]

Определим далее подпространство из Хд, возможно лучше учитывающее краевое условие и = 0 вдоль 1раницы Г множе- ства о. Например, если общий конечный элемент—лагранжев элемент, то все степени свободы равны нулю в граничных узлах. Но опять, так как конечный элемент не принадлежит классу 5 (см. замечание 2.3.10), то функции из пространства Х д, вообще говоря, будут обращаться в нуль только в граничных узлах. [c.207]

Вторую группу методов составляют так называемые прямые методы.. Их характерной особенностью является то, что минуя дифференциальные уравнения на основе вариационных принципов механики упругого тела строятся процедуры для отыскания числовых полей неизвестных функций в теле — перемещений, усилий, напряжений. В гл. 3 при рассмотрении двух основных принципов — Лагранжа (вариации перемещений) и Кастильяно (вариации напряжений) — уже были изложены два таких прямых метода, а именно метод Ритца (см. 3.5) и метод, основанный на принципе Кастильяно (см. 3.7). В дополнение к ним в данной главе излагаются общие основы наиболее эффективного в настоящее время прямого метода — метода конечных элементов (МКЭ). Перечисленные методы либо полностью основаны на вариационных принципах (методы второй группы), либо допускают соответствующую трактовку с использованием этих принципов (методы первой группы). Поэтому часто эти приближенные методы называют вариационными. [c.228]

Вывод основйого матричного уравнеяня движения конечного элемента нз уравнений Лагранжа второго роца [c.21]

В статье [5.20] приведен пример оценкя погрешности для этой же задачи, решенной с помощью функционалов Лагранжа и Кастильяно методом конечных элементов с использованием ста-тико-геометрнческой аналогии. [c.203]

Настоящая монография посвящена изложению особенностей применения МКЭ к расчету тонких оболочек. Описываются все известные в настоящее время подходы к построению конечных элементов тонких пологих и непологих оболочек на основе различных вариа -ционных формулировок (функционалы Лагранжа, Кастильяно, Рейссне-ра, Ху-Ваиицу, смешанные и гибридные постановки) и разрешающих уравнений либо теории оболочек (с учетом гипотез Кирхгофа-Лява или с учетом деформаций поперечных сдвигов), либо теории упру -гости. Основное внимание уделяется проблеме удовлетворения требований, гарантирующих быструю сходимость. Приводятся различные способы улучшения свойств элементов с анализом возможности распространения этих приемов с одних типов элементов на другие. Имеется обширная библиография. [c.2]

В настоящей главе дается описание известных искривленных конечных элементов тонких оболочек, поотроенных в предположении справедливости гипотез Кирхгофа-Лява. Исходным вариационным принципом для всех злементов из зтой главы является принцип Лагранжа, и вое они объединяются единым методом построения матрицы жесткости - классическим методом перемещений ( I.I). Большое внимание уделено качественным аспектам используемых аппроксимаций с точки зрения даваемой ими точности при изменении геометрических параметров злемента - толщины и степени непологости ( 1.2,4,7). Рассмотрены вопросы построения аппроксимаций, удовлетворяющих необходимым условиям глад- кости, как для треугольных ( 1.3,4), так и четырвхугольннх злементов ( 1.2,5). Описаны способы ослабления требований гладкости первых производных от прогиба с помощью методов штрафа и множителей Лагранжа и даются примеры их использования для оболочек ( 1.9,10). Много места уделено особенностям расчета оболочек сложной геометрии в отличив от оболочек канонических форм ( 1.4, 5,7). Затронуты вопросы параметризации поверхности оболочки в случае дискретного задания ее геометрии и приведены требования к аппроксимации радиуса-вектора средин-нйй поверхности ( 1.5,6). Дается сравнительный анализ точности, даваемой различными КЭ, на примере некоторых общепринятых задач ( 1.8). [c.16]

Гибридный метод конечных элементов основан на использовании независимых аппроксимаций внутри элемента и на его границе. Как правило, неизвестные функции внутри элемента и на его границах берутся различной природа, т.е. если внутри элемента аппрокси-мирупюя усилия и моменты, то на граница - перемещения, и наоборот. Математически, зти граничные неизвестные являются функциями Лагранжа и служат для стыковки внутренних неизвестных. Особенность ностроения гибридной модели состоит в том, что внутренние степени свободы исключаются и после некоторых матричных операций подучается о(№ная матрица жесткости относительно уэловых перемещений. [c.205]

Изложенная здесь схема обоснования метода БГР в задачах нелинейной теории оболочек принадлежит автору [10, 11, 12, 13, 14, 21, 31]. Она допускает непосредственный перенос на другие прямые методы конечных элементов, конечных разностей, сплайн-аппроксимаций [42, 73, 88, 89, 92, 97]. Здесь важно, чтобы были выполнены два основных условия 1) аппарат аппроксимации должен позволять приблизить сколь угодно точно в норме соответствующего пространства любой элемент, если неограниченно растет число постоянных аппроксимации 2) уравнения для определения постоянных аппроксимации должны получаться на основе какого-либо вариационного принципа, например Лагранжа, Алумяэ. Именно такой путь получения уравнений для определения постоянных [c.255]

Примечание 36.3. Изложенные в данном параграфе схемы обоснования методов БГР в задачах глобальной устойчивости пологих оболочек обобщаются и на случаи, когда аппроксимация решений производится методами конечных разностей или конечных элементов. И здесь важно выполнение двух условий 1) аппарат аппроксимации должен обеспечить приближение любого элемента из Нх, если используются схемы Папковича, или любого элемента пз Htx (соответственно Нд ), если используются схемы X. М. Муштари (соответственно В. 3. Власова) 2) определение констант аппроксимации производится на основе какого-либо вариационного принципа Лагранжа или Алумяэ. [c.331]

Эйлерова сетка конечных элементов допускает произватьные искривления, но в вычислительном отношении очень неэффективна из-за наличия конвективных членов, содержаш,ихся в несимметричной матрице А уравнений (8.31). Наоборот, если используется схема Лагранжа при изучении движения жидкости, то сетку элементов легко можно сделать очень искривленной. Представляется удобным (см. пример 8.2) для такого типа задач применять смешанную эйлерово-лагранжеву схему. При этом будет выполняться простое интегрирование, присуш,ее формулировке Лагранжа, но сохранится вычислительная сетка, используемая в схеме Эйлера. [c.233]

Результаты, представленные на рис. 8.5 и в таблице, свидетельствуют о точности и сходимости схемы Лагранжа — Эйлера. На рисунке показаны результаты сравнительных расчетов выполненных по итеративной схеме [см. уравнение (1)]. При этом были использованы шестиузловые треугольные конечные элементы. [c.234]

Кроме процедуры, описанной а разд. 4,2, существуют и другие способы удовлетворения граничным условиям в методе конечных элементов. Например, а гл. 7 показано, что путем использования множителей Лагранжа а аарнационвую формулировку могут быть включены уравнения связи. Так как граничные условия можно рассматривать как уравяения связей, значение такого подхода очевидно. В методе множителей Лагра-нжа граничные условия вводятся непосредственно в матричное уравнение системы. Хотя достоинством этого метода является простота, его существенный недостаток состоит а том, что расширенное матричное уравнение системы должно решаться и для дополнительных неизвестных, т. е. множителей Лагранжа. С деталями этого метода, выходящими за рамки нашей книги, читатель может ознакомиться по работам 5—7]. [c.101]

Множитель Лагранжа пробегает все допустимые функции, определенные на Г, а в истинной стационарной точке он связан с решением равенством % = dujdn ). Ошибку в стационарной точке ( K ) на подпространстве метода конечных элементов легко оценить [Б6]. [c.160]

Если все степенн свободы конечного элемента имеют вид р—>р(а,-), то будем говорить, что зто лагранжев конечный элемент, если же в качестве степени свободы используется хотя бы одна производная по направлению, то соответствующий конечный элемент называют эрмитовым конечным элементом. [c.86]

Пусть К, Рк, к)—лагранжев конечный элемент со множе-сгвом узлов о) Г, т. е. множество степеней свободы имеет вид р(а) а аТ. Если К — произвольная грань множества К, [c.103]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...