Дискретизация задачи

Для пояснения математического характера задачи оптимизации конструкции часто бывает полезной замена сплошной конструкции ее дискретным аналогом. Рассмотрим, например, свободно опертую упругую балку, представленную на рис. 1. Максимальный прогиб, вызванный заданной нагрузкой 6Р, не должен превышать заданного значения б. Для дискретизации задачи заменим балку некоторой последовательностью жестких стержней, соединенных упругими шарнирами. На рис. 1 введено лишь три шарнира чтобы получить реалистичные результаты, при дискретизации необходимо использовать намного большее число шарниров. Предполагается, что изгибающий момент Mi, действующий в г-м шарнире, связан с углом поворота 0,- зависимостью [c.88]

Этап 1. Построение сетки в заданной области (дискретизация задачи). [c.12]

В любом варианте МГЭ результатом перехода от дифференциальных уравнений в частных производных к интегральным уравнениям в конечном счете является система уравнений, включающая значения переменных только на границе заданной области. Поэтому в отличие от МКЭ и МКР последующая дискретизация задачи проводится только на границе исследуемой области. Последнее обусловливает, во-первых, более высокую по сравнению с МКР и МКЭ точность решения, во-вторых, существенно меньший объем входных данных при реализации методов на ЭВМ. [c.61]

Как правило, точность численного расчета возрастает с уменьшением размера ячеек сетки, на которой произведена дискретизация задачи. Однако при этом увеличивается время счета, что не всегда допустимо, особенно в случае решения больших задач и использования электронных вычислительных машин с малой производительностью. Важной проблемой является выбор разностных схем, удовлетворительно работающих на крупных сетках с экономным расходованием времени. [c.232]

Рассмотрим пример [25], когда нарушение консервативности при построении разностной схемы обусловлено появлением членов, величина вклада которых в общий баланс определяется не физическими законами, а дискретизацией задачи. Это обычно приводит к решению, не соответствующему точному (т. е. разностная схема получается расходящейся). Рассмотрим одномерное стационарное уравнение теплопроводности [c.249]

Для получения локально-одномерной схемы достаточно провести дискретизацию задачи (3.79), (3.81) по пространственным переменным с использованием неявных схем [c.121]

Пример 4. Рассмотрим задачу динамической устойчивости упругого консольного стержня при наличии периодической следящей силы. Для дискретизации задачи применим метод Бубнова - Галеркина, приняв в качестве базисных балочные функции консольного стержня. Ограничившись разложением по первым четырем формам колебаний, уравнения возьмем в виде [c.492]

Рис. 6.9. Геометрия и способ дискретизации задачи о группе свай.

После дискретизации задачи строительной механики имеем [К] 0 -f [С] 0 -f 0 -f Fb + = 0. (16.29) [c.354]

Метод конечных элементов легко программируется для быстродействующих вычислительных машин и достаточно эффективен, поскольку с помощью ЭВМ можно решать большие системы линейных алгебраических уравнений, которые получаются после дискретизации задачи [1]. [c.462]

Чтобы провести дискретизацию задачи, используем конечные элементы Куранта. [c.119]

Далее, рассмотрим иное очертание L, которое можно получить из L путем смещения его узлов, сохраняя при этом симметрию и устраняя любое пересечение стержней. Для каждого стержня очертания L мы определим скорость удлинения Я, как интеграл по скоростям удлинения его элементов в рассматриваемом поле разрушения. Очертание L является оптимальным, если <( г + о) о каждого стержня очертания L и для всех возможных положений его узлов. Очевидно, что такая проверка явится чрезвычайно трудной задачей. Взамен отыскания истинного оптимального очертания мы будем рассматривать очертания, близкие к оптимальному, получаемые при соответствующей дискретизации очертания Мичелла. [c.59]

С дифференциальными уравнениями и краевыми условиями для и(х) и ti(x), содержащими неизвестную осевую жесткость s x) = 2ЕЫ х). Хотя анализ, приведенный в [5], и ведет непосредственно к цели, однако он весьма трудоемок и показывает, что решение этой, в принципе очень простой, задачи находится почти за пределами возможностей чисто аналитических методов. Поэтому при практическом решении менее простых задач становится неизбежным использование численных методов, основанных на соответствуюш,ей дискретизации. [c.85]

Рассмотрим представление исходной информации в задачах начертательной геометрии с учетом дискретизации. Пусть, например, исходной в задаче является некоторая поверхность. Задание ее в виде уравнения малопригодно, так как в памяти ЭВМ можно хранить только коэффициенты этого уравнения. Это не приводит к воспроизведению поверхности, поскольку ЭВМ не имеет возможностей анализировать уравнение, а по нему и структуру поверхности. Для воспроизведения поверхности с помощью ЭВМ необходимо задать алгоритмы вычисления координат точек, принадлежащих поверхности. Алгоритмы должны базироваться на явных относительно координат формулах. Поэтому на чертеже поверхность задается дискретным каркасом, в котором ли- [c.159]

Приведем теперь дискретизацию уравнения (5.284) по методу конечных элементов. Пусть Я —узлы сетки метода конечных элементов в области Qo (а) — соответствующие базисные функции. Приближенное решение задачи Ил разыскиваем в виде [c.279]

Задача минимизации функционала (5.318) на множестве М является задачей нелинейного программирования, которую можно решить известными методами, используя при этом дискретизацию с помощью равновесных конечных элементов (см. 4,7). [c.285]

Для снижения методической погрешности при использовании моделей средних значений важно осуществить рациональное условное деление конструкции ЭМУ на отдельные элементы, либо увеличить число таких разбиений. Но в последнем случае метод приближается к методу сеток и становится громоздким, в то время как практически важно получение высокой точности расчетов при ограниченной дискретизации. При умелом применении схем замещения методическая ошибка в сравнении с методом сеток составляет обычно не более 5 % даже при ограниченной степени дискретизации. По крайней мере, это заметно меньше, чем погрешности от неточности задания входной информации. При выборе числа разбиений важен и характер решаемой задачи. При грубой оценке показателей поля возможна упрощенная схема замещения с пятью-шестью укрупненными телами (ротора в целом, объединенных обмотки и пакета статора и т.д.). Если необходим анализ изменения осевой нагрузки на подшипники, то особо подробно должны быть представлены тела, входящие в замкнутую размерную цепь их установки, а остальные элементы могут рассматриваться укрупненно. При анализе относительных температурных деформаций требуется наиболее детальная дискретизация ЭМУ, особенно для элементов, имеющих различные коэффициенты линейного расширения. Здесь ТС, например, должна содержать не менее 15—20 тел. [c.127]

Таким образом, фактическое вычисление сингулярного интеграла на поверхности требует введения определенной дискретизации поверхности (определяемой каждый раз в зависимости от положения точки до) так, чтобы элементарные области описывали поверхности ere- Следовательно, при необходимости вычисления интегралов в совокупности точек до надо вводить соответствующее количество различных дискретизаций. В дальнейшем (в 3 гл. VII) приводятся приемы вычисления сингулярных интегралов, присутствующих в интегральных уравнениях пространственной задачи теории упругости, основывающиеся на специальных свойствах их ядер. [c.63]

Дискретизация задачи заключается в покрытии R сеткой и замене множества R конечным множеством точек X, являющихся узлами сетки. Сетка может быть прямоугольной, косоугольной, с постоянными или переменными межузло-выми расстояниями вдоль координатных осей (величинами шагов). Наиболее часто используют прямоугольную сетку с постоянными величинами шагов. На рис. 4.3 представлен фрагмент такой сетки для двумерной задачи с величинам. шагов hy и /22 вдоль координатных осей Х и Хг- [c.160]

Диакоптнка 225, 243 Диалоговое средство 58 Диалоговый режим 58 Дискретизация задачи 155, 160 Дисплей 74 [c.393]

Вариационные соотношения (4.5.38) и (4.5.39) представляют слабые формулировки итерационных методов, из которых, задаваясь связью деформаций и перемещений, можно получить в качестве уравнений Эйлера уравнения в перемепгениях для различных задач. Однако значение этих соотношений заключается в том, что они ЯШ1ЯЮТСЯ основой для вывода разрешающих уравнений при различных способах дискретизации задачи, например МКЭ, а также для получения теоретических оценок сходимости методов. [c.233]

Для дискретизации задачи применим метод конечного элемента. Разрешающую систему уравнений можно получить из прингщпа возможных перемещений [c.487]

Одной из основных целей при исследовании задач дифракции упругих волн на неоднородностях является получение не только формального математического рещения, а такого, с помощью которого можно было бы эффективно определить дифракционные поля деформаций и напряжений вблизи неоднородностей. В указанных трех традиционных направлениях отмеченная цель ие была достигнута. В последние годы в связи с созданием н применением ЭВМ наметились два направления, по которым проводятся исследования задач дифракции упругих волн на неоднородностях с целью определения динамической напряженности вблизи неоднородностей. Первое направление связано с развитием численных методов при соответствующей дискретизации задач и с применением ЭВМ на всех этапах рещения задач. Развитие этого направления в силу универсальности его алгоритмов, по-видимому, в будущем обеспечит возможность исследования весьма щироких классов задач. Все же основные результаты, полученные за последние годы в СССР и США, относятся ко второму направлению, которое связано на первом этапе рещения задач с применением аналитических методов (метода разделения переменных и его обобщений, методов теории возмущений, метода сведения к интегральным уравнениям после неполного разделения переменных и т. д.) и на заключительных этапах рещения — с применением ЭВМ. В этом направлении в настоящее время уже исследованы достаточно щирокие классы задач и опубликованы две обобщающие монографии по отдельным аспектам рассматриваемой проблемы [44] —по дифракции упругих волн в многосвязных телах (на нескольких полостях) н [125] — по дифракции упругих волн в односвязных телах (на одной полости). Создание же обобщающей монографии, относящейся ко всем основным аспектам рассматриваемой проблемы (в рамках второго направления), представляется в настоящее время целесообразным, так как уже исследованы достаточно щирокие классы задач. Предлагаемая вниманию читателей монография является попыткой реализации такого замысла, хотя при ее написании в значительной мере были использованы результаты авторов и их коллег, полученные в Институте механики АН УССР за последние 10—15 лет. [c.6]

Для дискретизации задачи по пространственным координатам можно восиользоваться конечноразностной сеткой объем тела разбивается на частичные объемы А1 , а поверхность тела — на соответствующие частичные области А5. Непрерывное по.те скоростей й и заменяется конечным чис.лом параметров скоростей в узловых точках сетки. Интегрирование в (8.4) и (8.5) заменяется суммированием. Для каждой частичной области состав.ляются неравенства типа (8.7), причед скорости деформации выражаются через скорости передющеиий в узлах сетки при подющи конечных разностей. [c.243]

В зтом параграфе рассматривается двумерная задача Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка. Для дискретизации задачи применяется метод Бубнова - Гаиёркина с кусочно-линейными базисными фушсциям на треугольниках, как и в 3.5. Для приближенного, решения получающейся системь линейных алгебраических уравнений используются алгоритмы, построенные в 4.2,4.3. Они дают приближенное решение исходной дифференциальной задачи с точностью 0(А ) в норме 2 (О) и О (А) в энергетической норме 3 0(N) арифметических операций, где А -характерный линейный размер сетки, nN— число ее узлов. [c.197]

В этом параграфе рассматривается трехмерная задача Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка. Для дискретизации задачи применяется метод Бубнова — Галёркина с кусочно-линейными базисными функциями на тетраэдрах. Для приближенного решения получающейся системы линейных алгебраических уравнений использованы алгоритмы, построенные в 4.2. Они дают приближенное решение исходной дифференциальной задачи с точностью 0(/г ) в норме L2 (12) с затратой 0(N) арифметических операций, где h - характерный линейный размер пространственной триангуляции, гМ - число ее узлов. [c.222]

В этом параграфе рассматривается спектральная задача для эллиптического дифференциального уравнения второго порядка. Для дискретизации задачи применяется метод Бубнова — Галёркина с кусочно-линей-ными базисными функциями на треугольниках, как ив 5.1. Для приближенного решения получающейся алгебраической спектральной задачи используются алгоритмы, построенные в 4.5, 4.6. Они дают простые и кратные собстветые числа с точностью 0(Н ) и соответствующие собственные функции исходной дифференциальной задачи с такой же точностью в норме 2 (12) Число арифметических операций для достижения этой точности является величиной порядка 0(]с М), где к — кратность собственного числа дифференциальной задачи, N - число узлов разностной сетки. [c.226]

Для численного решения задача (1.7) сводилась к системе дифференциальных уравнений с правыми частями и однородными граничными условиями. Для дискретизации последней применялся метод коллокаций, аналогичный описанному в [10]. В качестве узлов коллокации использовались нули полинома Якоби Pq z). Число узлов Q выбиралось равным 51, количество "гармоник" в представлении для возмущений (1.6) N выбиралось равным 11. Такое количество степеней свободы, как показали последующие методические расчеты, достаточно для нахождения мнимой части собственного значения А,, с точностью до =2-3% от ее максимального значения. После дискретизации задача сводилась к системе (2Q - 1) х (2/V + I) линейных уравнений для значений искомых функций в узлах коллокации. Ввиду линейности системы уравнений (1.7) вычеты всех входящих в нее функций пропорциональны фурье-образу вдува-отсоса в точке к / (Ао, Р). Поэтому вычеты вычислялись при/,(А(), 3) = 1, а затем домножались на фурье-образ вдува-отсоса. Для этого вычислялась функция g k) = н )(А) и методом Ньютона находилась точка к , в которой эта функция обращается в ноль. Одновременно вычислялась производная s k), которая использовалась для нахождения вычета [c.19]

Используют два основных подхода к дискретизации и алгебраизации краевых задач, составляющие сущность методов конечных разностей (МКР) и конечных элементов (МКЭ). С помощью любого из этих методов формируется окончательная модель, исследуемая при выполнении различных процедур анализа проектируемого объекта. [c.155]

Следовательно, дискретизация и алгебраизация уравнений в МКР сводит задачу анализа моделей на микроуровне к численному решению систем конечных (4.23) или обыкновенных дифференциальных (4.24) уравнений. Следует отметить, что точность аппроксимации растет с уменьшением величин шагов, однако при этом увеличивается порядок систем уравнений (4.23) или (4.24). Так, если окажется, что для достижения приемлемой точности рассматриваемую область R нужно делить вдоль каждой из координатных осей на 10 участков, то порядки систем уравнений (4.23) или (4.24) в одно-, дву- и трехмерных задачах составляют соответственно около 10 , 10 и 10 . Очевидно, что решение двумерных и особенно трехмерных задач требует значительных вычислительных ресурсов и тщательного отбора соответствующего математического обеспечения. Методы решения таких уравнений, применяемые в САПР, рассматриваются в следующей главе. [c.162]

Обсуждаются типичные задачи оптимального проектироваиия конструкций, освещаются математические методы, используемые в этой области. Вводный пример (разд. 2) посвящен проектированию балок с заданным максимальным прогибом показано, как долл ная дискретизация мол ет привести к задаче нелинейного программирования, в данном случае — выпуклого программирования. Довольно подробно обсулсдается задача об оптимальном очертании ферм (разд. 3). [c.87]

Стокса для гидравлики уравнения теилопроводностн для термодинамики и т. д.), но точное решение ее удается получить лишь для частных случаев, поэтому первая задача, возникающая при моделировании, состоит в построении приближенной дискретной модели. Для этого используются методы конечных разностей и интегральных граничных уравнений, одним из вариантов последнего является метод граничных элементов. Так как получаемая при дискретизации пространства аипрокси-мирующая система алгебраических уравнений имеет высокий порядок, то при моделировании достаточно сложных технических объектов приходится принимать ряд допущений и упрощений и переходить к моделированию на макроуровне. [c.6]

Настоящая глава посвящена изложению одного из наиболее перспективных способов дискретизации непрерывных задач — методу конечных элементов. Метод будет сформулирован как обобщение матричных методов сил н перемещений строительной механики на случай континуальных систем. Преимущества такой формулировки — в очевидных возможностях обобщения на случай нелинейных и неконсервативных систем, недостаток —в завуали-рованности связи с традиционными вариационными методами — Ритца и Бубнова — Галеркина, а также в трудностях перенесения на краевые задачи немеханического происхождения. [c.130]

При решении данного типа задач возможны два подхода. Первый подход состоит в приложении использованных выше рассуждений в каждый момент времени t, т. е. производится дискретизация только по пространственным переменным искомые параметры здесь являются функциями времени и для их определения получаются алгебраические, обыкновенные или интегро-дифферен-циальные уравнения —в зависимости от исходной задачи, которые решаются известными методами с помощью разработанных программ (Рунге — Кутта, Адамса и т, д.). При втором подходе независимая переменная — время / —считается формально равноправной с пространственными переменными х,- и производится разбиение на конечные элементы цилиндра, любое сечение которого плоскостью = onst — область изменения независимых переменных Xi, переменная t отсчитывается вдоль образующей цилиндра. Недостаток данного подхода — резкое увеличение размерности задачи, если только для движения вдоль временной переменной не применять специальные методы. Приведем описание первого подхода (представляющего собой, впрочем, частный случай второго). [c.212]

Для решения задачи минимизации функционала (5.249) могут быть использованы хорошо разработанные методы математического (нелинейного) программирования. Естественно, что для реализации этих методов на ЭВМ задачу необходимо дискретизировать— привести ее к конечно-мерной эту процедуру можно производить с помощью метода конечных элементов. Приведем для справки результат дискретизации функционала (5.249) и уравнения (5.244) по методу конечных элементов в варианте, описанном в главе 3. Итак, пусть а, — узлы сетки метода конечных элементов, w i (х) — соответствующие векторные базисные функции. Тогда приближенное решение по методу конечных элементов отыскиваегся в виде [c.275]

При данной методике первоначально для каждого блока (тела) системы рассматриваются лишь те узлы (полюсы) его сетки, которые присоединяются непосредственно к узлам соседних блоков. Составив в итоге граф полюсов всей системы, удается найти искомые величины (например, температуры) вначале для этих узлов. Далее, рассматривая их уже как входные данные, определяют показатели поля в узлах сетки внутри каждого тела. Алгоритм решения задачи предусматрива-e r формализованные операции формирования матриц эквивалентных проводимостей и коэффициентов, унифицированно выполняемые для каждого блока, многократное обращение к одним и тем же расчетным алгоритмам и реализуется с помощью типовых стандартных подпрограмм на, базе матричных методов. Особенности конкретной задачи исследования ЭМУ проявляются здесь лишь в различной размерности, содержании и структуре исходных матриц коэффициентов при сохранении общей структуры этапов и алгоритма расчета в целом независимо от сложности объекта и степени его дискретизации. [c.124]

Универсальность этой части программной системы определяется возможностью проводить анализ тепловых и деформационных процессов при различных конструктивных схемах и конфигурациях соответствующих схем замещения, при различных способах разгона ротора, его торможенйя и других режимах работы. Степень дискретизации анализируемой конструкции можно изменять в зависимости от характера решаемой задачи. Максимальное число элементов схем замещения составляет 50. [c.243]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...