Представление бигармонической функции

Комплексное представление бигармонической функции, компонентов вектора перемещения и тензора напряжений [c.118]

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ БИГАРМОНИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ [c.239]

Представление бигармонической функции. Конечно, гармоническая функция является также и бигармонической. Непосредственной проверкой легко установить, что функции [c.475]

При использований полярных координат, заменив комплексное переменное г его выражением через модуль и аргумент, приходим к представлениям бигармонических функций [c.476]

Комплексное представление бигармонической функции. Как [c.108]

Еще в 1898 г. Э. Гурса доказал, что любую бигармоническую функцию можно выразить через аналитические функции комплексного переменного. В частности, им было предложено следующее представление бигармонической функции через две аналитические функции ф, х комплексного переменного [c.6]

Бигармоническое уравнение (1.6) явилось отправным пунктом для проникновения в плоскую теорию упругости методов теории функций комплексного переменного, сыгравших огромную роль в развитии этой области теории упругости. Действительно, используя известное представление бигармонической функции через произвольные аналитические функции ф(г) и 4 (г) ), можно выразить напряжения и смещения в пластине в виде 2) [c.38]

Общее представление (9.68) бигармонической функции также приводится к этим двум видам [c.240]

Определив напряжения а,г. ве. Огв. а затем и перемещения и е, соответствующие представленным рядами в выражении (9.177) бигармоническим функциям, можно убедиться, что последние удовлетворяют условиям однозначности перемещений. [c.271]

Решения, содержащие бигармонические функции. Если вместо вычитания вышеупомянутых функций сложить их, умножить на (1 + v) и затем прибавить к ним решение <3.12б), (3.12в), в котором использовалось представление ф = (у/6) V ф=з O, где V ф = 0, то получим следующее точное симметричное (мембранное) решение, содержащее бигармоническую функцию фГ [c.347]

Известное решение О. Лява для случая аксиальной симметрии (вокруг оси 2) следует из (1.2), если принять % (г, г), Сх = О, Су = 0. Более общее представление решения в цилиндрических координатах (через гармоническую и бигармоническую функции) дано С. Г. Гутманом (1948). [c.8]

С другой стороны, можно показать, что для всякой вещественной бигармонической функции на плоскости справедливо общее представление (формула Гурса) с помощью двух аналитических функций ф(г) и [c.120]

Иной вывод формулы Гурса приведен у Н. И. Мусхелишвили (см. [АЗО]). При этом бигармоническая функция не предполагается с самого начала аналитической, напротив, это свойство следует само собой из комплексного представления. [c.208]

Комплексные функции при общем представлении одной бигармонической функции, согласно формуле Гурса, могут быть произвольными. [c.212]

Если воспользоваться представлением компонент напряжений и перемещений через функцию напряжений ф ( у), введенную в 1862 г. английским астрономом Эри, то получаем соотношения (0.1) (Приложение), а из (1.3) следует, что фо( с, у) —бигармоническая функция. [c.6]

Отсюда можно заключить, что в общее решение уравнений (7.7) должны входить только три независимые гармонические функции, что и позволяет положить в (8.8) Фо—0. Однако, как это было указано еще П. Ф. Папковичем (которому принадлежит приведенная выше форма общего решения уравнений Ляме), сохранение Ф в (8.8) в ряде случаев оказывается целесообразным, поскольку это придает методу большую гибкость и позволяет в отдельных конкретных случаях существенно упростить выкладки за счет возможности произвольного выбора Фд. Наряду с (8.8) было предложено много других форм представления общего решения уравнений классической теории упругости через функции, подчиняющиеся достаточно простым дифференциальным уравнениям. (Начало исследований в этом направлении было положено Б. Г. Галеркиным, который выразил это общее решение через три независимые бигармонические функции.) [c.194]

Общее представление вещественной бигармонической функции имеет вид (см. подстрочное применение к стр. 38) [c.33]

При решении многих плоских задач удобно принимать гармонические функции fi (Xi, х в выражениях (9.85) в форме однородных гармонических полиномов, определяемых вещественной Re и мнимой Гт частями функции ю = г" комплексного переменного z = Xi + ix . В этом случае представления (9.85) бигармонической функции Ф принимают вид [c.240]

Выражение вектора перемещения через вектор Галеркина (2.34), который удовлетворяет уравнению (2.36), называется представлением Галеркина. Заметим, что в случае отсутствия массовых сил, как следует из (2.32), (2.36) и (2.30), векторы перемещения и и Галеркина Г будут бигармоническими, а дилатация в — гармонической функцией. [c.87]

Воспользуемся общим представлением решения осесимметричных задач через функцию Лява Ф(г, г), которая является бигармонической, т. е. [c.81]

В разд. 3.3 отмечалась связь общего решения уравнений теории упругости с гармоническими функциями. Оказывается, что существуют аналогичные представления общего решения системы (1.7) через три бигармонических потенциала—представления Б.Г. Галеркина. Более того имеет место следующее свойство решения уравнений теории упругости в отсутствие массовых сил каждая из компонент смещения W/, являющаяся четырежды непрерывно дифференцируемой и удовлетворяющей [c.88]

Основой этого применения является возможность выразить интеграл бигармонического уравнения через функции комплексного аргумента, а также возможность комплексного представления граничных условий как при данных на границе напряжениях, так и при данных смещениях. Начнём с последнего вопроса. Для этого нужно выразить смещения через функцию напряжений. [c.223]

В представлении (4.3) явным образом выделяются не все особенности Ра, а лишь особенности, присущие бигармоническим задачам для пластин. Поэтому функции сами могут неограниченно возрастать в окрестности точки Р = тип -Ь /гшг. [c.196]

Решение Л. А. Галина [ ]. Легко убедиться в том, что выписанная выше пластическая функция напряжений Рр для осесимметричного поля удовлетворяет бигармоническому уравнению. Это свойство позволяет построить изящное замкнутое решение рассматриваемой задачи с помощью комплексного представления (48.4). [c.207]

Любопытные разультаты получаются в плоской задаче при расположении источников движения не на бесконечности, как в задаче обтекания, а на конечном расстоянии от тела. Рассмотрим, например, обтекание круга единичного радиуса потоком от вихря интенсивности Г, расположенного в точке 2о вне круга. На наш взгляд, решение этой задачи довольно поучительно. Здесь движение описывается также бигармоническим уравнением ААг 5 = 0 с условиями прилипания. Для решения задачи воспользуемся комплексным представлением бигармонической функции [83]. Вихрь создает движение с комплексным потенциалом Т о = (Г/2я1)Х Х1н(г —2о). Поскольку Го = для комплексной скорости [c.18]

Для частного случая движения кругового цилиндра в безграничной жидкости решение может быть найдено непосредственно из уравнения (1.3), записанного в полярных координатах [8. Полярные координаты с последующим применением метода разделения переменных можно использовать также для произвольного контура. Однако здесь мы применим более эффективный метод, основанный на представлении бигармонической функции через две аналитические фукнкции комплексного переменного [c.332]

При плоском стационарном температурном поле, удовлетворяющем уравнению (4.2.35), функция напряжений р становится бигармо-нической. Следуя Н. И. Мусхелишвили [45], рассмотрим комплексное представление бигармонической функции Р. Обозначая гармо- [c.110]

Таким образом, решение уравнения равновесия (9.3) может быть найдено в форме (9.11), если векторная функция и скалярная функция ф удовлетворяют соответственно уравнениям Пуассона (9.15) и (9.16). Решение Буссинеска — Папковича включает четыре скалярные функции — скалярную функцию ф и три проекции вектора i j. Представление, в котором ф является не гармонической, а бигармонической функцией, было дано Буссинеском и независимо от него Б. Г. Галеркиным. [c.226]

Здесь мы имеем частный случай более общей постановки задзчи о возможности представления любого пространственного напряженного состояния через минимальное число гармонических или бигармонических функций. Кроме указанных работ Нейбера С1едует еще указать [c.216]

Построим функции ф(2) и % г) таким образом, чтобы функция гю(х, у) обладала свойством двоякой периодичности. Легко видеть, что для этого системы функций Р н Q н всевозможных производных от них недостаточно, ибо представления вида (1.2.3) обеспечивают лишь квазипериьдичность бигармонической функции. Функция же (4.1) представляет частный случай полигармбнической функции более высокого порядка, чем бигар-моническая. [c.123]

Благодаря, главным образом, работам отечественных механиков методы теории функций комплексного переменного теперь служат мощным средством исследования двумерных бигармонн-ческих задач. При построении решения в рядах нет смысла строить ряд для бигармонической функции напряжений, особенно если отверстия имеют не круговую форму достаточно найти представления входящих в нее двух аналитических функций. Аппарат теории функций комплексного переменного даже в методе рядов дает возможность глубже учитывать и второстепенные члены в решении и строить таким образом некоторые эффективные процессы, приводящие и при весьма неблагоприятных условиях сходимости к положительным результатам. Но главным, решающим преимуществом метода Колосова является возможность сведения бигармонической задачи к краевым задачам теории аналитических функций и, следовательно, приме- [c.240]

В предыдущем параграфе решение уравнений плоской теории упругости свелось к граничной задаче для бигармонического уравнения, которому удовлетворяет функция Эри. К решению уравнений плоской теории упругости могут быть с успехом применены также методы теории функций комплексного переменного. Впервые применение этих методов было дано в фундаментальных исследовани- ях Г. В. Колосова и Н. И. Мусхелишвили. Комплексное представление общего решения уравнений плоской теории упругости оказалось весьма плодотворным для эффективного решения основных задач плоской теории упругости. [c.118]

Для изотропного тепа X = 0, x = v и формула (10.6.9) дает равные корни, следовательно, р = q = i и представление функции напряжений в виде (10.6.10) перестает быть.справедливым. Таким образом, случай изотропии — вырожденный, требующий особого исследования. Это исследование было выцолнено другим методом в 10.1, поэтому мы только наметим основную, идею вывода тех же формул, отправляясь от бигармонического уравнения [c.344]

Очень интересное представление поля перемещений через три функции (которые при отсутствии массовых сил являются бигармоническими) дал Галеркин. При выводе этих уравнений мы будем пользоваться способом, указанным Моисилом ), в котором применяется простой формализм, пригодный для решения систем дифференциальных уравнений. [c.188]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...