Элементарные функции комплексного переменного

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО [c.195]

Отметим, что поскольку определение производной функции комплексного переменного формально не отличается от определения производной действительной функции действительного переменного, то известные правила дифференцирования и выражения для производных элементарных функций остаются в силе для функций комплексного переменного, [c.178]

Ознакомление с функциями комплексного переменного будет проведено в двух направлениях во-первых, общая теория будет дана в приложении к двухмерному безвихревому течению и, во-вторых, будут представлены аналитические и геометрические свойства пяти элементарных функций, на которых базируется техника непосредственного подхода к решению проблем потенциального течения. [c.136]

Для этого воспользуемся некоторыми элементарными сведениями из теории функций комплексного переменного. Тригонометрические функции os Z и sin Z и показательную функцию е рассматривают в математике не только при вещественных, но и при произвольных комплексных значениях Z ), определяя их как суммы бесконечных степенных рядов [c.70]

В заключение предлагается некоторая простая методика интегрирования некоторых классов неконсервативных систем в элементарных трансцендентных (в смысле теории функций комплексного переменного) функциях. [c.69]

Изложение теории волн здесь носит количественный характер и преследует цель описать в общих чертах всюду, где это возможно, методы количественного анализа. Подчиняясь этой цели, математический аппарат, однако, сведен к минимуму. Никакая математика не излагается ради математики более того, каждый раз проводимому здесь математическому анализу дается в максимально возможной степени ясная физическая интерпретация. Тем не менее предмет теории волн, по-видимому, требует использования комплексных переменных соответственно элементарная теория функций комплексного переменного и (по тем же соображениям) элементарные свойства интегралов Фурье относятся к тем математическим вопросам, которые предполагаются известными читателю этой книги в противном случае ему, возможно, следует ознакомиться с ними по соответствующим учебникам. [c.11]

В ней содержатся необходимые сведения как по теории рядов Фурье, так и по теории функций комплексного переменного. Краткое, но ясное элементарное изложение теории интегралов и рядов Фурье содержится в монографии [c.566]

Эти эллиптические функции возникают также при решении шести- и восьмивершинных моделей в последующих главах. При некотором знакомстве с элементарной теорией функций комплексного переменного ими нетрудно пользоваться более того, решение оказывается удивительно легким. На этом этапе я предлагаю читателю просмотреть гл. 15, обратив особое внимание на три теоремы в разд. 15.3. После того как они будут поняты, все последующие соотношения не вызовут затруднений. [c.107]

В приложениях 1-8 затрагиваются некоторые качественные вопросы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, от решения которых зависит исследование динамических систем. Обсуждению подлежат такие проблемы как бифуркация рождения предельного цикла из слабого фокуса (ср. с [196-198]) вопросы существования так называемых монотонных предельных циклов, наличия замкнутых траекторий, стягиваемых в точку по двумерным поверхностям, наличия замкнутых траекторий, не стягиваемых в точку по фазовому цилиндру качественные вопросы теории топографических систем Пуанкаре и более общих систем сравнения для динамических систем на плоскости проблемы существования и единственности траекторий, имеющих в качестве предельных множеств бесконечно удаленные точки для систем на плоскости элементы качественной теории монотонных векторных полей, а также вопросы существования длиннопериодических и устойчивых по Пуассону траекторий. В заключение предлагается некоторая простая методика интегрирования некоторых классов неконсервативных систем через элементарные трансцендентные (в смысле теории функций комплексного переменного) функции. [c.174]

Мы имеем, таким образом, задачу смешанного типа (граничные условия выражены как через потенциал, так и через его нормальную производную), осложненную наличием разреза. Конечно, и в таком виде задача может решаться обычными методами теории функций комплексной переменной. Однако мы предпримем упрощение постановки задачи, после чего будем решать ее элементарными средствами. [c.368]

Приведенный выше пример показывает, что решение простых задач теории упругости методом одной гармонической функции связано с более громоздкими вычислениями по сравнению с методом комплексного переменного. Этот недостаток может быть в значительной мере компенсирован при решении сложных задач, решение которых не выражается через элементарные функции, для областей, где легко определяется регулярная часть функции Грина уравнения Лапласа. Как видно из примера, итерационный ряд (6) достаточно быстро сходится. [c.11]

Введение. В предыдущей главе мы получили функции Грина для многих случаев, интегрируя подходящим образом выбранные частные решения по контуру, лежащему в плоскости комплексного переменного. Такой же метод можно применить и к другим случаям. В самом деле, он является наиболее простым и наиболее прямым путем при решении многих задач теплопроводности. В этой главе мы применим этот метод к решению тех задач, которые уже были решены элементарными методами, и к другим задачам, которые или до сих пор еще не решены совсем, или же разобраны только с помощью операционного метода Хевисайда ). [c.221]

Динамические характеристики в функции от переменной р называют операторными, например операторный импеданс 2 (р), а в функции от переменной /со — комплексными. Так, комплексная (динамическая) жесткость демпфера R (/со) = ja>b. Наиболее употребительны импеданс, подвижность, жесткость и восприимчивость двухполюсников. В табл. 1 представлены операторные передаточные функции элементарных двухполюсников — упругости, демпфера и массы в соответствии с уравнениями (26) — (28). [c.50]

Кроме этих элементарных решений, соответствующих положительным степеням комплексного переменного г, можно написать еще решения, правильные в бесконечности, которые соответствуют отрицательным степеням. Простейшим таким решением уравнения (2) будет функция ф =- , где / = + г/ + -Ь, а сопряженная к ней функция. Остальные отрицательные [c.202]

Установлено [5—9], что тангенциальная составляющая напряженности поля дефекта проходит через максимум над дефектом, а нормальная составляющая напряженности поля над дефектом равна нулю и максимальна в точках с координатами, пропорциональными глубине залегания дефекта. При этом А. Б. Сапожни-ковым получено аналитическое выражение, описывающее ширину поля дефекта в непосредственной близости от поверхности изделия. Из выражения следует важный для магнитной дефектоскопии вывод, что абсциссы максимумов нормальной составляющей поля дефекта раздвигаются с ростом глубины залегания дефекта, т. е. элементарная область, на которую действует поле дефекта, пропорциональна глубине залегания дефекта. Однако найденный А. Б. Сапожниковым коэффициент пропорциональности, имеющий большое значение для решения проблемы измерения глубины залегания и точных размеров дефектов, не совпал с расчетными данными, полученными при использовании других методов, в частности методов теории функций комплексного переменного. [c.11]

А. К.). В наши дни установлено, что М ногие закономерности микромира (например, взаимодействия элементарных частиц) существенно отличаются от закономерностей макромира и для познания закономерностей микромира понадобились такие разделы математики, которые наверное не были изобретены с целью приложения к экспериментальным наукам и, конечно, не обусловлены достижениями экспериментальной физики XX в. Думаю со мной согласятся многие, если я выскажу утверждение, что геометрию Лобачевского, теорию функций комплексного переменного, вариационные принципы механики, интегральные инварианты для канонических уравнений Гамильтона, открытие планеты Нептун и многое другое нельзя доказательно обусловить развитием техники или научного эксперимента. Исследовательская работа в высших сферах абстракций не менее важна для развития науки и становления новых научных методов. Ф. Энгельс указыва ет в своей знаменитой работе Людвиг Фейербах и конец классической немецкой философии , что во многих случаях научные теории развиваются из самих себя и (подчиняются своим со бственным законам . [c.6]

Ввиду того, что затронутые в книге вопросы могут, как я надеюсь, представить некоторый интерес для более широкого круга лиц, в частности для лиц, работающих в области технических приложений теории упругости, я старался сделать изложение по возможности доступным и для читателей, знакомых только с основами дифференциального и интегрального исчисления и с элементами теории функций комплексного переменного. Так, например, вопросы, где применяются интегральные уравнения, выделены в отдельные параграфы, которые можно пропустить при чтении без ущерба для понимания остального глава I, в которой изложены основы математической теории упругости в объеме, достаточном для понимания дальнейшего (и даже несколько большем), предназначена для читателей, не специалистов по теории упругости. С целью сделать изложение более доступным, я отказался от применения тензорного исчисления, которым пользовался в своих лекциях в Сейсмологическом институте элементарные сведения о тензорах даны в Добавлении I. Добавления II и III поойящены некоторым элементарным вопросам математики, необходимым для понимания изложенного в книге и обычно недостаточно освещенным в элементарных курсах анализа. [c.6]

Отмечены классы существенно нелинейных систем второго и третьего порядков, интегрируемых в трансцендентных (в смысле теории функций комплексного переменного) элементарных функциях [56, 91, 117, 216, 241, 244, 284, 285, 287, 292, 301]. Для примера такими являются пятипараметрические динамические системы, включающие в себя большинство систем, исследуемых в книге [c.33]

В главе 4 качественно исследованы и проинтегрированы два модельных в зианта плоскопараллельного движения тела в сопротивляющейся среде, которые описываются динамическими системами с переменной диссипацией с нулевым средним. Такие случаи движения предполагают наличие некоторой связи в системе (а именно, в одном случае величина у = V постоянна со временем, в другом — скорость центра масс как вектор постоянна) [186, 187]. Такие системы являются относительно структурно устойчивыми (относительно фубыми) и топологически эквивалентными системе, описывающей закрепленный маятник, помещенный в поток набегающей среды. Указан дополнительный первый интеграл в системе, являющийся трансцендентной (в смысле теории функций комплексного переменного, имеющей существенно особые точки после ее продолжения в комплексную область) функцией фазовых переменных и выражающейся через элементарные функции. Более того, фазовый цилиндр 7 а,О (или К а,оз ) квазискоростей имеет интересную топологическую структуру разбиения на траектории. На цилиндре имеются две области (замыкание которых и есть фазовый цилиндр) с совершенно различным характером траекторий (см. ил. 2). [c.34]

Следствие. Следующая система третьего порядка на S amoa2v a=Kk,keZ)xR z ,z , зависящая от 8 параметров, обладает, вообще говоря, трансцендентным (в смысле теории функций комплексного переменного) первым интегралом, выражающимся через элементарные функции [c.128]

Для того чтобы по-настоящему понять материал данной книги, желательно предварительное знакомство с четырьмя резделами механики и математики основами общей механики, включая теорию колебаний основами гидродинамики элементами теории интегралов и рядов Фурье элементарной теорией функций комплексного переменного. [c.565]

Решение плоской задачи теории упругости зависит от двух координат и может быть выражено через две произвольные (с точки зрения выполнения уравнений равновесия и условий неразрывности) двухмерные гармонические функции, определяющиеся путем подчинения решения двум краевым условиям на плоском граничном контуре. То обстоятельство, что ортогональные преобразования координат на плоскости и теория двухмерных гармонических функций тесно связаны с теорией функций комплексного переменного, позволило разработать общий метод решения плоской задачи, основанный на аппарате теории аналитических функций (Г. В. Колосов [10], Н. И. Мусхелишвили [20] и его школа). Этот путь в принципе позволяет подойти к решению любой плоской задачи, но наиболее эффективен для односвязных и (в меньшей мере) для двухсвязных областей. Основная идея, которой при этом руководствуются, состоит в отображении рассматриваемой области на одну из канонических областей (на полуплоскость, круг единичного радиуса или круговое кольцо) с последующим использованием аппарата интегралов типа Коши для нахождения двух неизвестных функций по заданному краевому условию. Если ограничиться только односвязными областями (каковые по существу главным образом и рассматриваются [20], [27]), то можно обойтись и без аппарата интегралов типа Коши, оперируя лишь самыми элементарными представлениями теории аналитических фунщий. В нашей книге, носящей общий характер, мы даем только этот наиболее простой и в то же время достаточно эффективный способ, отсылая читателя за более полным и общим изло- [c.292]

В этой связи Кэйз (1960а, б) и Дикий (1960а, б) указали независимо друг от друга, что при исследовании устойчивости течений идеальной Жидкости целесообразно вообще отказаться от рассмотрения элементарных волновых решений вида (2.27). Вместо этого следует с самого начала решать задачу с начальным условием ф(д , г, 0) = фо(л , г) для дифференциального уравнения в частных производных (2.26) с нулевой правой частью (т. е. с V = 0 это и есть тот второй подход к задаче об устойчивости течений идеальной жидкости, о котором говорилось на стр. 120). Оказывается, что общее решение этой задачи с начальным условием может быть представлено в виде некоторого интеграла Лапласа, асимптотическое поведение которого при ->оо может быть изучено с помощью обычных методов теории функций комплексного переменного. При этом подынтегральное выражение в соответствующем интеграле Лапласа [c.121]

В работе Хэмпла (Hample [1]) указано элементарное решение задачи в случае двух одинаковых круговых или же бесконечного ряда круговых периодических включений в неограниченной пластинке. Решение находится этим автором непосредственно через функцию напряжения, без привлечения аппарата комплексного переменного. [c.590]

Различные специальные вопросы. Недавно С. М. Белоносову И—3] удалось получить интегральные уравнения плоской задачи, пригодные, вообще говоря, и в случае угловых точек ). Рассматриваемая область (конечная или бесконечная), ограниченная кусочно-гладким контуром L, отображается на правую полуплоскость Re С >0 плоскости вспомогательного переменного + iii]. Затем для искомых комплексных потенциалов ф и -ф, регулярных в правой полуплоскости, получаются функциональные уравнения, аналогичные уравнениям, данным в 78. Эти функциональные уравнения после применения к ним одностороннего преобразования Лапласа приводят к интегральному уравнению с действительным симметричным ядром относительно неизвестной плотности интегрального представления. Если контур L не содержит угловых точек и вообще достаточно гладок, то ядро уравнения, определенное для обеих переменных на всей бесконечной прямой, является фредголь-мовым. В общем случае при наличии угловых точек оно уже не будет фредгольмовым, но будет принадлежать к типу ядер Карлемана. Для частных случаев клина и бесконечной полосы интегральное уравнение допускает обращение по формуле Римана — Меллина и решение задачи находится в замкнутом виде (в квадратурах). Ядра интегральных операторов, входящих в решение задачи, не выражаются, правда, в элементарных функциях, но их всегда можно аппроксимировать с достаточной точностью простыми кусочно-аналитическими функциями. В названной выше работе [c.598]

Предположим, что нам известна функция, реализующая конформное отображение занятой упругой средой односвязной области или области, дополняющей эту последнюю до полной плоскости комплексного переменного, на единичный круг. Если с помощью этой функции произвести замену переменной в упомянутом интегральном уравнении плоской задачи, то оно преобразуется в уравнение на окружности единичного радиуса, причем ядро вновь полученного уравнения будет выражено в явном виде через граничные значения отображающей функции. При элементарных полиномиальных отображениях вида (1) 153 ядро это будет сохранять простую структуру, и к решению интегрального уравнения можно применить обычный метод рядов Фурье. Этот прием решения, впервые примененный Д. И. Шерманом к задаче о сплошном эллипсе, использовался впоследствии в ряде конкретных случаев. Мы ограничимся ссылкой на работы Л. Д. Корбуковой [1, 2] и Н. Д. Тарабасова [4]. [c.599]

Мы предполагаем у читателя предварительное знакомство с материалом на нескольких уровнях. Прежде всего, мы без оговорок используем, предполагая хорошую осведомленность, результаты линейной алгебры (включая жордановы нормальные формы), дифференциальное и интегральное исчисление для функций многих переменных, основы теории обыкновенных дифференциальных уравнений (включая системы), элементарный комплексный анализ, основы теории множеств, элементарную теорию интеграла Лебега, основы теории групп и рядов Фурье. Необходимые сведения следующего, более высокого уровня рассматриваются в приложении. Большая часть материала приложения включает материал такого типа, а именно, в приложении содержатся сведения из стандартной теории топологических, метрических и банаховых пространств, элементарная теория гомотопий, основы теории дифференцируемых многообразий, включая векторные поля, расслоения и дифференциальные формы, и определение и основные свойства римановых многообразий. Некоторые темы используются лишь в отдельных случаях. Последний уровень необходимых знаний включает основания топологии и геометрии поверхностей, общую теорию меры, ст-алгебры и пространства Лебега, теорию гомологий, теорию групп Ли и симметрических пространств, кривизну и связности на многообразиях, трансверсальность и нормальные семейства комплексных функций. Большая часть этого материала, хотя и не весь он, также рассматривается в приложении, обычно в менее подробном виде. Такой материал может быть принят на веру без ущерба для понимания содержания книги, или же соответствующая часть текста может быть без большого ущерба пропущена. [c.15]

Введение. В гл. II мы получали различные обтекания пластин и клиньев, интуитивно определяя форму годографа и области изменения комплексного потенциала W и находя затем элементарное конформное отображение одной области на другую. Заменим теперь этот интуитивный способ более строгими рассуждениями, основанными на принципе отражения Шварца и связанными с ним результатами теории функций комплекс ного переменного. [c.57]

Можно считать, что при импульсах передачи hk<.hka корреляционная энергия электронного газа состоит из двух частей, одна из которых связана с наличием плазмонов, а другая — с экранированным взаимодействием между отдельными частицами. Такое разделение соответствует уже указанному выше разделению функции S(k u) на две части — плазмонную и связанную с возбуждением пар. Оно возможно, только если плазмоны представляют собой отчетливо выраженную ветвь элементарных возбуждений электронного газа. В приложении В показано также, как надо выбрать контур интегрирования в комплексной плоскости (о, чтобы придти к подобному разделению [12]. После того как это сделано, легко показать, что выражение для дальней части корреляционной энергии при вычислении в рамках RPA по формуле (3.130) в точности совпадает с результатом работы [26], полученным методом коллективных переменных. [c.201]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...