Производная функции комплексного переменного

Выясним смысл производной dw/dz. При этом учтем, что производная функция комплексного переменного считается существующей лишь тогда, когда [c.213]

Производная функции комплексного переменного w = w (г) в точке 2 формально определяется обычным образом [c.176]

Отметим, что поскольку определение производной функции комплексного переменного формально не отличается от определения производной действительной функции действительного переменного, то известные правила дифференцирования и выражения для производных элементарных функций остаются в силе для функций комплексного переменного, [c.178]

Перейдем теперь к выяснению геометрического смысла аргумента и модуля производной функции комплексного переменного. Пусть W =- W (z) — функция аналитическая на области D комплексной плоскости г. Предположим, что w (z) Ф О на D и обозначим w (г) = Ле . Так как w (г) О на D, то в каждой точке Z D числа А, а однозначно определены (ноль не имеет аргумента). Пусть С — некоторая гладкая кривая на области D, имеющая уравнение z = z (t), а с / < р, где z (t) — дифференцируемая функция, dz/dt =/= О на (а, Р). Функция комплексного переменного W W (z) осуществляет отображение области D ее определения (лежащей в плоскости z) на область Д ее значений (лежащей в плоскости w). При этом отображении кривой г = z (t) будет соответствовать ш = а [г (01 = (О и так как суперпозиция непрерывных функций есть снова непрерывная функция, то непрерывная кривая С с= D, уравнение которой z = z (t) при отображении W W (z) перейдет в некоторую непрерывную кривую Г с= Д, [c.183]

Рассмотрим два вспомогательных случая, которые помогут построить общее решение задачи об отражении. Пусть в (9.21) функция f = f является комплексной и представляет собой значения на вещественной оси некоторой функции комплексного переменного, регулярной в полуплоскости (/ > О и имеющей там ограниченную производную. Решение задачи ищем в виде [c.438]

Будем искать теперь такое решение, когда продольное и поперечное возмущения являются комплексными волнами и при этом на границе полупространства отсутствуют напряжения. Выбирая для потенциалов такие функции комплексного переменного, производная от которых обращается в нуль на бесконечности, получим решения, в которых смещения стремятся к нулю на бесконечности. По этой причине волны такого типа называются поверхностными волнами. [c.440]

Вспомним теперь, что производная от функции комплексной переменной z не зависит от того направления, по которому сообщается приращение независимой переменной. Поэтому [c.280]

Здесь и в дальнейшем целесообразно рассматривать функции дифференцируемые. При этом необходимо ввести требование, подобное вводимому в обычной теории функций комплексного переменного для аналитических функций, а именно, чтобы производная, т. е. предел отношения приращения AF (X) функции F (X) к приращению ЛХ комплексной переменной X при ЛХ— 0], если она существует, не зависел от отношения Ах° Ах. [c.20]

Функцию, у которой при некотором значении независимой переменной существует производная, не зависящая от направления дифференцирования (при этом исключается направление ыйх°), назовем регулярной при данном значении независимой переменной. Если указанное свойство выполняется для любых значений независимой переменной в некоторой области, то функцию будем называть аналитической в этой области. Соотношения (2.8), выполняемые для всех значений X в области, являются необходимыми и достаточными условиями аналитичности функции комплексной переменной X в этой области. Как следствие, необходимым и достаточным признаком аналитичности является возможность представить функцию формулой (2.11) или (2.13). Поэтому в случае справедливости формул (2.8) или (2.11) функция будет аналитической и наоборот для аналитической функции эти формулы будут справедливы [c.22]

Правила дифференциального исчисления о производной суммы, произведения, частного, сложной и обратной функции остаются верными и для функций комплексного переменного. Сумма, произведение, частное регулярных в О функций также регулярны в О (частное— за исключением точки, где знаменатель обращается в нуль). [c.196]

Мы подробно остановились на данной аналогии не потому, что считаем ее полезной для рещения практических задач теории решеток, а ввиду ее исключительной наглядности, распространяющейся и на вихревые течения. Уместно подчеркнуть, что мембранная аналогия вполне соответствует широко применяемому пространстве шому представлению аналитических функций комплексного переменного и успешно используется также при изложении численных методов решения соответствующих уравнений в частных производных (см. [57]). [c.268]

Функция % z) входит лишь в выражение момента т ее знание чаще всего излишне. Поэтому часто оказывается ненужным и разыскание функции напряжений напряженное состояние и перемещения в плоской задаче целиком определяются двумя функциями комплексного переменного ф(г), о] (г) и их производными. Систематическое применение этих функций к решению краевых задач плоской теории упругости принадлежит [c.480]

Математический аппарат, используемый в данной книге, весьма разнообразен. Он включает в себя методы решения различных граничных задач для обыкновенных дифференциальных уравнений и для уравнений в частных производных (как линейных, так и нелинейных, а в ряде случаев с неизвестной заранее границей), методы нелинейного дискретного программирования, асимптотические методы, методы теории функций комплексного переменного. [c.3]

Получающиеся при этом интегралы подсчитываются при помощи известной формулы для п-й производной аналитической функции комплексного переменного [c.236]

Рассмотрим производную d ldz комплексного потенциала по комплексному аргументу. По ранее отмеченному свойству функций комплексной переменной [c.171]

Отметим одно из главных свойств аналитических функций комплексного переменного производная аналитической функции по комплексному переменному не зависит от того, по какому пути происходит изменение не- [c.115]

Указание. Для произвольной функции F r],t) = F x ,t) производные по комплексным переменным жиж могут быть представлены как [c.157]

В общем случае локально безвихревые несжимаемые плоские течения характеризуются существованием комплексных потенциалов W = и + iV. Здесь и — потенциал скоростей, г V функция тока. Комплексный потенциал W есть аналитическая функция комплексной переменной z = х + iy, характеризующей положение точки, а ее производная [c.78]

Второй причиной служит значительное расширение арсенала математических средств, применяемых в гидродинамике. Наряду с усовершенствованием старых методов появились новые методы теории функций комплексного переменного и теории уравнений с частными производными, рассчитанные на гидродинамические приложения. Все более и более широкое применение находят методы функционального анализа и современной дифференциальной геометрии. [c.6]

С современной точки зрения, основное свойство аналитической функции комплексного переменного состоит в том, что она обладает определенной производной по этой переменной i). Если q>, у> суть две любые функции от х и у, то каждому значению X-f-гу должно соответствовать одно или несколько определенных значений отношение диференциала этой функции к диференциалу от x- -iy [c.89]

Из диференциальных уравнений Коши-Римана следует, что квадратная сеть плоскости (Ф, Ч ) — поскольку она берется достаточно частой —отображается в квадратную же сеть плоскости х, у). Поэтому такое отображение называется конформным. Таким образом под конформным отображением понимается такое отображение одной плоскости на другую, при котором углы одной плоскости переходят в равные углы (с тем же направлением) другой плоскости, а бесконечно малые отрезки, пересекающиеся в одной точке, отображаются так, что отношение их остается постоянным. Иначе говоря, при конформном отображении одна плоскость отображается на другую с сохранением подобия в бесконечно малых частях. Из вывода диференциальных уравнений Коши-Римана следует, что любая аналитическая функция комплексного переменного дает отображение, конформное во всех тех местах, где первая производная функции не равна нулю, т. е. где нет никаких особых точек. [c.150]

Производная от функции комплексного переменного имеет простой геометрический смысл. Величину Лг, как и всякое комплексное число, можно представить в виде [c.212]

Наличие производной у функции комплексного переменного накладывает определенные условия на вещественную и мнимую части функции. Пусть [c.213]

Теперь нетрудно заключить, что перемещения и и v, определяемые формулами (1.5) , (1.20), а также деформации и напряжения, определяемые формулами (1.9), являются при Ij/I е и Izl непрерывными вместе со всеми своими производными функциями, ибо соответствующие им интегралы сходятся равномерно. Более того, как функции комплексной переменной Z = z + I деформации и напряжения будут аналитическими функциями, регулярными [4] в полосе —оо<а <оо, <й— у. Заметим еще, что функции (I7 + ayU ) а, (Е -f аг/Е ) а, (Г + + а /Г ) а, (2j + aj/2j) а, (2 + ay Zy) а абсолютно интегрируемы на (—оо, оо) по а при li/l h — г. Поэтому [31 деформации и напряжения при у к — г стремятся к нулю, когда 1а 1оо. Относительно перемещений -и и v можно утверждать, что при I д 1 оо и фиксированном I /1 h — г [c.21]

О других применениях общих представлений решения. Некоторые обобщения. Изложенные в настоящей и предыдущей (а также следующей) главах методы решения граничных задач плоской теории упругости основаны на общем представлении решения соответствующих дифференциальных уравнений при помощи функций комплексного переменного. Таким общим представлениям решений дифференциальных уравнений в частных производных при помощи произвольных функций придавалось на заре развития математической физики преувеличенное значение, аналогичное тому, которое в свое время придавалось интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений при помощи квадратур. Но вскоре выяснилось, что нахождение общего решения далеко не исчерпывает вопроса и что для решения соответствующих граничных задач такие общие решения зачастую почти ничего не дают. [c.381]

Из элементов теории функций комплексного переменного известно, что, обратно, если две однозначные действительные функции ряд, имеюш ие непрерывные первые производные, связаны соотношениями (2), то р + 5 является голоморфной функцией переменной z в данной области ). [c.657]

Методы теории функций комплексного переменного, о которых выше шла речь в связи с плоской задачей теории упругости, были существенно развиты в исследованиях И. 1. Векуа применительно к более общим задачам теории дифференциальных уравнений в частных производных. В монографии И. Н. Векуа (1948) именно с этой точки зрения исследуется обширный класс эллиптических уравнений в случае двух независимых переменных и даются приложения развитого автором аппарата к различным вопросам теории упругости (стационарное колебание упругого цилиндра, изгиб тонких пластинок и др.). [c.55]

В работах Г. П. Черепанова (1963, 1964) также применяются методы теории функций комплексного переменного, но предположение о том, что на неизвестной границе раздела упругой и пластической зон напряжения являются соответствующими вторыми производными от бигармонической функции, уже снято. Считается, что указанные напряжения — известные функции координат. Развитый метод решения применен к анализу упругопластической задачи о двухосном растяжении тонкой пластинки с круговым вырезом (плоское напряженное состояние) при условии пластичности Треска — Сен-Венана в случае, когда [c.113]

Итак, установлены необходимые условия дифференцируемости функции комплексного переменного в точке если функция w (г) = = и х, у) + iv х, у) дифференцируема в точке 2 = х + iy, то в этой точке существуют частные производные duldx, ди/ду, dvidx, dvIdy от ее действительной и мнимой частей и выполняются условия Коши—Римана (5.6). [c.178]

Можно доказать, что существование производных duldx, ди/ду, dvIdx, dvidy в окрестности точки х, у) и их непрерывность в этой точке вместе с условиями Коши—Римана являются достаточными условиями дифференцируемости функции комплексного переменного W (г) и (х, у) + iv (х, у) в точке z х + iy [15]. [c.178]

Аг)—Ф(2)], равного производной функции Ф(2). Как известно (см., например, [33]), для функции комплексного переменного из существования первой производной следует существование всех остальных производных. Заметим, что понятие интеграла типа Кощи распространяется и на случай разомкнутых контуров, что приводит к функции, аналитической во всей плоскости, исключая разрез. [c.13]

Важнейшнм понятием теории функци комплексного переменного является понятие о производной фз нкции. [c.211]

Практическое значение нахождения комплексного потенциала ш = ф-(-гф, отвечающего некоторому течению, заключается прежде всего в том, что, зная данную функцию, можно, вычислив производную от нее по г, найти скорость в любой точке поля. Согласно определению производной от функции комплексного переменного, при вычислении ее в некоторой точке поля можно подходить к последней по любому направлению (см. раздел 1 54), в частности, двигаясь и в направлении оси х. Тогда dw/dz = d(pldx + i d p/dx). Так как d pldx = Vx, а д 1р1дх=—Vy находим [c.476]

Рассмотрим теперь переменную со = Пп как аналитическую функцию комплексного переменного 1 ). Производная й(х)1<И = 1сИ 11 сИ, очевидно, действительна на всей границе Кт (за исключением изолированных особенностей), поскольку функция 0) = Пп — Ф имеет кусочно постоянную действительную часть на полигональных границах. Отсюда следует, что, исключая существенно особые точки, функция йы1с1Т должна быть действительной рациональной функцией от Т, т. е. [c.130]

Если функция комплексной переменной f z) имеет в каждой точке области производную, то такая функция называется голоморфной (регулярной). Если f z)=fl- -lf2 голоморфна в области 5, то функции fl xi X2), 2 хих2) являются гармоническими функциями и удовлетворяют условиям Коши — Римана 1/1 = — —ОгЫ [c.359]

Для многослойной области с кусочно-постоянным показателем пре-лоКшения коэффициент отражения г(г) в любом сечении определяется различными постоянными распространения/3 = зависящими от конкретного слоя [см. выражение (3.7.1/)]. Каждая величина, если ее рассматривать как функцию комплексной переменной к , имеет две точки ветвления к = п к , где д /дк и все производные высших порядков сингулярны. [c.216]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...