Восьмивершинная модель

Я надеюсь, что достиг разумного компромисса, расставляя указательные знаки вдоль всего маршрута вычислений, но не останавливаясь на каждом отдельном шаге. При этом к каждому рассматриваемому вопросу я старался подходить индивидуально. Например, в разд. 8.13, я довольно детально обсуждаю функции к(а) и (а), поскольку это дает возможность особенно отчетливо показать, как именно используются эллиптические функции в вычислениях. В противоположность этому я просто привожу результат (8.10.9) для антисегнетоэлектрической поляризации в / -модели и отсылаю заинтересованного читателя к оригинальной работе, поскольку вычисления в этом случае длинные и довольно формальные и, по-видимому, рано или поздно будут заменены более простыми, когда предположение (10.10.24) в теории восьмивершинной модели будет проверено методами, подобными тем, которые были использованы при выводе формулы (13.7.21) для намагниченности. [c.7]

Следует заметить, что гипотезы скейлинга и универсальности представляют собой независимые предположения (хотя их часто объединяют). Одно из них может выполняться, а другое нет, например в указанном выше случае восьмивершинной модели, где универсальность нарушается, а принцип подобия продолжает выполняться. [c.16]

Чтобы получить точные коммутационные соотношения, необходимо использовать явное представление операторов для введения циклических граничных условий. Кроме того, чтобы привести трансфер-матрицу к форме, аналогичной (6.4.30а), необходимо вводить неудобный циклический сдвиг спиновых индексов при переходе от одного ряда к следующему. По этим причинам коммутационные соотношения для шести- и восьмивершинных моделей Изинга будут получены непосредственно без использования (6.4.30), (6.4.31). Но и в этом случае коммутационные соотношения всегда являются, как будет подчеркнуто ниже, прямым следствием соответствующего соотношения звезда — треугольник. [c.91]

Обсуждение всех этих подходов в деталях выходит далеко за пределы данной книги. В этой главе будет представлен метод, который может быть назван методом коммутирующих трансфер-матриц. Его преимуществом является возможность обобщения для решения восьмивершинной модели, как это показано в гл. 9. [c.93]

Эти эллиптические функции возникают также при решении шести- и восьмивершинных моделей в последующих главах. При некотором знакомстве с элементарной теорией функций комплексного переменного ими нетрудно пользоваться более того, решение оказывается удивительно легким. На этом этапе я предлагаю читателю просмотреть гл. 15, обратив особое внимание на три теоремы в разд. 15.3. После того как они будут поняты, все последующие соотношения не вызовут затруднений. [c.107]

Это кажущееся противоречие возникает из-за того, что трансфер-матрица VW не является, вообще говоря, симметричной матрицей поэтому не все ее собственные значения действительны. Собственное значение Л2 является просто наибольшим в целой полосе собственных значений, различающихся аргументами. В пределе больших п эта полоса становится непрерывной, и вклад от у = 2 в (7.10.33) может быть компенсирован вкладами от собственных значений, которые сколь угодно близки к Л2 по модулю, но различаются своими аргументами. Было показано [120, 122], что подобная ситуация имеет место в случае восьмивершинной модели, обсуждаемой в гл. 10. [c.122]

Учитывая всю трудность вычисления, это изумительно простой результат. Интересно, что какой-либо простой способ его получения так и не найден. Вывод, использующий угловые трансфер-матрицы и применимый к более общей восьмивершинной модели, дан в разд. 13.7. [c.123]

Как показано в гл. 10, модели типа льда представляют собой специальный случай восьмивершинной модели, которая также может быть решена. Модели типа льда в фазе III соответствуют восьмивершинной модели при критической температуре. В этом случае имеется бесконечное число собственных значений трансфер-матрицы, вырожденных с максимальным значением. Спонтанный порядок и поверхностное натяжение отсутствуют, но корреляционная длина бесконечно велика. [c.154]

Вывод этого результата дан в разд. ШЛО для более общей восьмивершинной модели.) [c.155]

Следующее по величине после Aq и собственное значение Aj является максимальным собственным значением в подпространстве п = N/2 — 1 (или п = N/2 + 1) для четного N. Точки Zj,. .., z снова распределены по окружности единичного радиуса, но в этом распределении имеется дырка при Z = —1. Такие неполные распределения поддаются исследованию [95, 119, 229, 264]. Конкретизируя более общий результат для восьмивершинной модели [120, 122], для бесконечного N получаем [c.157]

Если не считать ограничения, накладываемого условием (8.12.25), функция И (х) остается неизвестной. Можно лишь пожалеть об этом, поскольку из всей совокупности моделей, включающей двумерную модель Изинга, модели типа льда и восьмивершинные модели, только эта сегнетоэлектрическая модель решена в присутствии поля, нарушающего симметрию. Было бы исключительно интересно получить точную двумерную функцию скейлинга. [c.168]

Цель данной главы состоит в том, чтобы исследовать результаты гл. 8 и показать, что они содержат указание на возможность другого способа их вывода. Этот альтернативный способ может быть назван методом коммутирующих трансфер-матриц он будет использован в гл. 10 для решения восьмивершинной модели. [c.183]

Этим завершается вывод свойств II и III, и мы можем использовать далее эту параметризацию, рассматривая р, j j как константы, а t как переменную величину. Но чтобы восстановить связь с прежними результатами (и облегчить последующее обобщение на восьмивершинную модель), полезно произвести завершающее преобразование от р, дгр / к р, X, V, положив [c.194]

ВОСЬМИВЕРШИННАЯ МОДЕЛЬ НА квадратной решетке [c.205]

ВОСЬМИВЕРШИННАЯ МОДЕЛЬ НА КВАДРАТНОЙ РЕШЕТКЕ [c.206]

При условиях (10.1.5) состояния модели не изменяются при обращении всех стрелок. Если считать, что стрелки представляют собой электрические диполи, то последнее свойство означает, что внешнее электрическое поле равно нулю. Такая специализированная модель известна как восьмивершинная модель без внешнего поля. [c.206]

Предположим, что М н N четны. Тогда решетку можно разделить на две подрешетки А н В, такие, что ближайшие соседи каждого узла в А принадлежат В, а ближайшие соседи каждого узла в В принадлежат А. Обратим все стрелки на горизонтальных (вертикальных) ребрах, у которых на левом (верхнем) конце находится узел подрешетки Л. Новая модель также является восьмивершинной моделью без внешнего поля, в которой, однако, а, Ъу с, с/ заменены на с, (1, а, Ь, Отсюда следует равенство [c.209]

ФОРМУЛИРОВКА ВОСЬМИВЕРШИННОЙ МОДЕЛИ КАК МОДЕЛИ ИЗИНГА С ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ МЕЖДУ ДВУМЯ И ЧЕТЫРЬМЯ СПИНАМИ [c.210]

Но восьмивершинную модель можна также сформулировать на языке спинов и рассматривать ее как обобщение модели Изинга для магнетиков [135, 258]. [c.210]

Рис. 10.3. Восьмивершинная модель на квадратной решетке. Исходная решетка показана пунктирными линиями узлы дуальной решетки обозначены кружками.

Таким образом, общая модель Изинга и общая восьмивершинная модель эквивалентны друг другу. В частности, восьмивершинная модель при нулевом внешнем поле (со, = а 2, а з = сод) соответствует модели Изинга с JfJ = J J = О, в которой учитываются только диагональные взаимодействия и взаимодействия между четырьмя спинами. В последнем случае из (10.1.2) и (10.2.1) следует [c.212]

Следовательно, восьмивершинная модель при нулевом внешнем поле включает в себя как частные случаи и модель типа льда при нулевом внешнем поле, изложенную в гл. 8 и 9, и модель Изинга, описанную в гл. 7. Вообще ее можно рассматривать как две тождественные модели Изинга, расположенные по одной на каждой из подрешеток и связанные между собой с помощью взаимодействия четырех спинов, окружающих каждый узел исходной решетки. [c.213]

В этом разделе я покажу, как можно решить восьмивершинную модель с помощью обобщения метода, изло)кенного в разд. 9.6 — 9.8 данный способ был предложен в работах [22, 25]. [c.213]

Полученное уравнение представляет собой обобщение уравнения (9.8.24) на случай восьмивершинной модели. Существует много способов выбора у и), соответствующих различным значениям величин 5,, . . . , входящих в (10.5.8) и удовлетворяющих условию (10.5.9). Обозначим через QJ (v) матрицу 2 X 2 , столбцы которой являются линейными комбинациями с не зависящими от V коэффициентами таких векторов у (и). Тогда из выражения (10.5.25) следует [c.222]

Уравнения (9.8.26) — (9.8.29) непосредственно обобщаются на случай восьмивершинной модели единственная модификация состоит в том, что в выражении (9.8.29) величину г необходимо заменить на 5. Пусть 5, [c.222]

Таким образом, соотношение (9.8.33) также обобщается на восьмивершинную модель, т. е. справедливо соотношение [c.223]

Выделение данной области имеет некоторое неудобство, связанное с рассмотрением восьмивершинной модели как обобщения модели Изинга (разд. 10.3). В последнем случае при больших параметрах У и У естественно сосредоточиться на области с ферромагнитным упорядочением. В таком случае наибольшим больцмановским весом будет вес i7, а не [c.228]

Анизотропная jryZ-модель связана с другой классич. двумерной моделью на квадратной решётке, а именно с восьмивершинной моделью. Точное решение классич. двумерной восьмивершинной модели — крупнейшее достижение в области точно решаемых моделей — получено в 1972 Р. Бакстером [2]. Он обнаружил противоречие с гипотезой универсальности и независимости критич. показателей от деталей взаимодействия. Решение восьмивершинной модели позволило вычислить энергию осн. состояния и найти спектр элементарных возбуждений [c.151]

Аналитическое решение двумерных моделей, более сложных, чем модель Изинга, потребовало значительных усилий. Но эти усилия оправдываются полученными результатами. В частности, было выяснено на примере восьмивершинной модели, что гипотеза универсальности может нарушаться, а на примере модели жестких гексагонов было показано, что вошедшее в учебники утверждение об отсутствии линии фазовых переходов второго рода при наличии оси симметрии третьего порядка не всегда справедливо. Как восьмивершинная модель, так и модель жестких гексагонов подробно рассмотрены в книге. К сказанному можно добавить, что многие результаты, полученные для двумерных решеточных моделей, могут быть непосредственно применены при рассмотрении ряда реальных систем, например в теории адсорбции, и других двумерных и квазидвумерных систем. [c.5]

Аналогичным образом восьмивершинная модель помогла нам понять более сложные системы и все разнообразие поведения, которое может проявляться. Модель жестких гексагонов выглядит довольно экзотически, но и она не нуждается в оправдании, поскольку идеально представляет решеточный газ и может быть сопоставлена с мономолекулярным слоем гелия, адсорбированного на поверхности графита [199]. [c.8]

Разумеется, еще многое должно быть сделано. Б. Маккой и Ж. Перк совершенно справедливо указали мне, что, хотя корреляции в модели Изинга изучены довольно хорошо, почти ничего не известно о корреляциях в восьмивершинной модели и в модели твердых гексагонов. [c.8]

Еще одна проблема возникает в связи с рассматриваемой в данной книге двумерной восьмивершинной моделью. Критические показатели в этой модели изменяются непрерывно как функции параметров гамильтониана. Это противоречит гипотезе универсальности, однако в настоящее время предполагается, что подобные нарушения возможны лишй для некоторых весьма специальных классов гамильтонианов. [c.15]

Связи между атомами через водородные ионы образуют электрические диполи, так что их удобно представлять стрелками на линиях связи, направленными к тому концу связи, который занят ионом, как это показано на рис. 8.1,6. Тогда правило льда эквивалентно утверждению, что у каждого узла (вершины) решетки имеются две стрелки, направленные к нему, и две стрелки, направленные от него. Всего имеется шесть таких конфигураций стрелок (рис. 8.2). (Поэтому модели типа льда иногда называют шестивершинными моделями в противоположность восьмивершинной модели гл. 10.) [c.132]

Полная восьмивершинная модель не решена, и ниже приводится решение только для модели без внешнего поля. В отличие от восьмивершинной модели шестивершинная модель может быть решена даже при ненулевом электрическом поле (разд. 8.12). [c.206]

Метод, использованный для получения этого результата, является, по существу, методом слабого разложения графа [174, 177, 249]. Подобно соотношению дуальности в модели Изинга (разд. 6.2), выражение (10.2.11) связывает высокотемпературную модель а, Ь, с, с1 почти дэавны) с низкотемпературной а > Ь, с, /). Действительно, в следующем разделе показано, что модель Изинга представляет собой частный случай восьмивершинной модели соотношение дуальности (6.2.14) может быть выведено из соотношения (10.2.11). [c.209]

Рассматривая восьмивершинную модель как обобщение шестивершинной, естественно описывать ее с помощью стрелок, находящихся на ребрах радетки. Такая модель соответствует сегнетоэлектрику, если стрелки рассматривать как электрические диполи. [c.210]

Данное выражение является обобщением на случай восьмивершинной модели формулы (9.8.44). Мржно сразу написать обобщения уравнений (9.8.45) — (9.8.47) (просто заменить тг на 21). В частности, получаем [c.224]

Неравенства (10.7.5) определяют область в пространстве (а, Ь, с, d). В случае восьмивершинной модели конфигурации, отвечающие данной области, аналогичны конфигурациям шестивершинной модели, принадлежащим области с антисегнетоэлектрическим упорядочением (область [c.228]

IV на рис. 8.5). Наибольшим больцмановским весом является вес с, поэтому в основном состоянии стрелки на решетке могут располагаться в двух возможных конфигурациях. Первая конфигурация показана на рис. 8.3, вторая получается из первой обращением всех стрелок. Используя обозначения шестивершинной модели, мы автоматически приходим к пониманию области, определяемой неравенствами (10.7.5), как архитипической области для восьмивершинной модели. [c.228]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...