Принцип отражения Шварца

Самым полезным применением инверсии в круге является принцип отражения Шварца, допускающий в определенных случаях распространение отображения на простое отражение части границы. Принцип формулируется следующим образом если функция С = /(2) регулярна в плоскости 2 на дуге к, которая отображается в дугу К плоскости то инверсные по отношению [c.156]

Многие важные свойства простых течений можно доказать путем применения принципа отражения Шварца [6, т, I, стр. 225], который мы сформулируем здесь без доказательства. [c.58]

Доказательство. Сначала рассмотрим случай, когда Т = оо отображается на точку, в которой W конечно. Тогда на основании теоремы 1, если просуммировать все локальные особенности, можно установить, что разность /1(7 ) между правой и левой частями соотношения (3.4) (при с = с1 = 0) должна быть аналитической и однозначной функцией, действительной на действительной оси и не имеющей особенностей в (замкнутой) верхней полуплоскости. Согласно принципу отражения Шварца, функция /1(7 ) может быть аналитически продолжена до функции, регулярной на всей конечной плоскости Т. Кроме того, поскольку № (оо) конечно, то функция /1(7 ) ограничена. Следовательно, по теореме Лиувилля [6, т. 1, стр. 153], ЦТ) постоянна. Поскольку комплексный потенциал W определяется с точностью до аддитивной постоянной, утверждение (3.4) теоремы для случая с = й = О доказано. Если же W имеет особенность при Т = оо, мы можем отобразить верхнюю полуплоскость Т саму на себя путем инверсии, использовать только что полученный результат для конечного значения № (оо) и затем вернуться к первоначальной плоскости Т. Это и дает дополнительные члены сТ - йТ в результате инверсии конечной особенности (3.2). Наконец, дифференцируя (3.4), получим действительную рациональную функцию с общим знаменателем Д (Г—Т ) (некоторые множители могут повторяться). Разлагая действительный многочлен в числителе на линейные множители, приходим к (3.5). [c.61]

Эти функции аналитичны повсюду в окрестности Е, лежащей вне К, причем на основании равенства (7.61) действительная часть p t) и мнимая часть q t) стремятся по мере приближения к 2 к постоянным величинам. Так, например, согласно принципу отражения Шварца, если внешность К отображается а единичный круг, то р ) и q i) становятся аналитическими функциями, непрерывно продолжаемыми через дугу круга, соответствующего 2. В частности, они аналитичны на такой дуге [c.237]

MOM деле принцип отражения Шварца предвосхитил теорему 2-13 и вдохновил ее открытие. [c.109]

Введение. В гл. II мы получали различные обтекания пластин и клиньев, интуитивно определяя форму годографа и области изменения комплексного потенциала W и находя затем элементарное конформное отображение одной области на другую. Заменим теперь этот интуитивный способ более строгими рассуждениями, основанными на принципе отражения Шварца и связанными с ним результатами теории функций комплекс ного переменного. [c.57]

Следствием этой теоремы является общеизвестный принцип отражения Шварца, который гласит если Р голоморфна в В, как в теореме, и равномерно сходится к граничным значениям на любом подинтервале из а <, х <. Ъ, чем определяется непрерывная вещественная функция, то Р голоморфна в Д, причем в В ее продолжает Р г). Здесь А — область, комплексно сопряженная Ву. На са- [c.108]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...