Колебания около устойчивого движения

IV. Колебания около устойчивого движения [c.306]

См. в 105 рассмотрение колебаний около устойчивого движения с помощью гамильтониана. [c.369]

Движение оказывается в этом случае более сложным напрнмер, в случае свободных колебаний около устойчивого положения равновесия движение каждой частицы (при произвольном нормальном колебании) представляет собой эллиптическое гармоническое колебание, причем оси эллипса убывают по закону [c.711]

Подчеркнем, что в этом условии фигурирует полная энергия системы — наряду с энергией деформации и включает в себя потенциальную энергию-нагрузки. Встречаются, однако, и такие случаи, когда внешние силы не имеют потенциала, т. е. понятие потенциальной энергии для нагрузки лишена смысла (подобным образом, например, будет обстоять дело для стержня,, изображенного на рис. 213, если действующая на него сила будет следящей , т. е. направленной вдоль оси стержня в любом его положении). В этих случаях оказывается непригодным и приведенное энергетическое условие достижения критического состояния, и вместо этого условия приходится использовать другое, вытекающее из рассмотрения колебаний системы около исследуемого состояния равновесия и применения к таким колебаниям критериев-устойчивости движения. [c.341]

Во всех случаях этого рода важно знать, является ли данное установившееся состояние движения устойчивым или неустойчивым. Основной вопрос можно формулировать так если вызваны малые колебания относительно установившегося состояния, то будут ли они иметь тенденцию к исчезновению, так что восстановится установившееся состояние, или они будут нарастать со временем, так что установившийся процесс совершенно нарушится Для решения этого вопроса применяется следующий общий способ 1) предполагается, что вызвано малое отклонение от установившейся формы движения 2) исследуются результирующие колебания системы около установившегося движения, вызванные малым отклонением 3) если эти колебания, как в случае колебаний с вязким сопротивлением в предыдущем параграфе, имеют тенденцию к затуханию, то мы заключаем, что установившееся движение устойчиво в противном случае это движение неустойчиво. Таким образом, вопрос об устойчивости движения требует исследования малых колебаний около установившегося движения системы, возникающих вследствие предположенных произвольных отклонений или смещений от установившейся формы движения. Математически такое исследование приводит к системе линейных дифференциальных уравнений, подобных уравнениям (й) предыдущего параграфа, и решение вопроса об устойчивости или неустойчивости движения зависит от корней алгебраического уравнения, подобного уравнению (g), стр. 207. Если все корни имеют отрицательные действительные части, как было в случае, рассмотренном в предыдущем параграфе, то колебания, вызванные произвольным возмущением, будут затухать и, следовательно, рассматриваемое установившееся движение устойчиво. В противном случае установившееся движение неустойчиво. [c.217]

При исследовании малых колебаний около устойчивого равновесного состояния во многих случаях можно (не совершая большой погрешности) сохранять в выражениях, зависящих от координат и скоростей, только члены низшего (относительно этих величин) порядка, отбрасывая все другие как бесконечно малые высших порядков. Такая операция приводит обычно решение задачи о малых колебаниях к интегрированию линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Она называется линеаризацией уравнений движения системы. Колебания, описываемые линеаризованными дифференциальными уравнениями, называются линейными колебаниями. Линеаризация уравнений малых колебаний может иногда оказаться результатом некоторых конструктивных изменений в рассматриваемой или проектируемой системе, что до известной степени служит основанием ее допустимости. [c.69]

Собственные колебания могут происходить не только около положения устойчивого равновесия, но и по отношению к устойчивому движению, например крутильные колебания равномерно вращающегося вала. [c.529]

Колебательные движения механических систем удобно описывать уравнениями Лагранжа в обобщенных координатах. При составлении уравнений мы будем отсчитывать обобщенные координаты всегда от положения устойчивого равновесия, относительно которого и происходят колебания механических систем. В большинстве случаев эти уравнения нелинейны и их интегрирование связано с большими трудностями. Однако при решении многих технических задач оказывается возможным в этих уравнениях отбрасывать квадраты и более высокие степени координат и скоростей. Такая операция называется линеаризацией уравнений. Линеаризованные уравнения не могут, конечно, в точности отобразить движения системы и дают несколько искаженную картину явления. Искажения тем менее существенны, чем меньше отброшенные члены уравнений в сравнении с оставшимися. Если значения координат и скоростей во все время движения остаются очень малыми, то их квадратами и высшими степенями вполне можно пренебречь, подобно тому, как в дифференциальном исчислении пренебрегают бесконечно малыми высших порядков. Таким образом, мы пришли к заключению, что колебания, описываемые линеаризованными уравнениями при сделанном выборе начала отсчета, должны быть только малыми колебаниями около положения равновесия. [c.435]

Колебательные движения систем происходят около положения устойчивого равновесия. Так, например, маятник, выведенный из состояния устойчивого равновесия, совершает колебания около этого положения корабль, спокойно стоявший в порту, находившийся в равновесном состоянии, но выведенный какой-либо внешней причиной из этого состояния, качается относительно своего устойчивого положения равновесия. [c.263]

Колебания системы возможны только около устойчивого положения равновесия. Действительно, если положение равновесия системы неустойчиво, т. е. при малых отклонениях от положения равновесия и малых начальных скоростях система удаляется от положения равновесия, то колебательные движения ее невозможны. [c.198]

В твердых кристаллических телах молекулы располагаются на расстояниях порядка Го и образуют кристаллическую решетку.f Молекулярные движения, которыми обусловлена тепловая энергия твердого тела, представляет собой неупорядоченные колебания молекул около устойчивых центров. Благодаря этой устойчивости твердые тела сохраняют объем и форму. [c.8]

Относительно других примеров мы отошлем к сочинению Рауса, содержащему большое число изящных упражнений, в частности примеров качения шара по сфере, по цилиндру, по конусу и малых колебаний около положения устойчивого равновесия или устойчивого движения. [c.233]

Общий метод. Уравнения Лагранжа позволяют изучить также малые колебания системы около состояния устойчивого движения. Следуя методу, подобному тому, который был применен при изучении малых колебаний около положения устойчивого равновесия, мы опять придем к интегрированию линейных уравнений, но эти уравнения уже не будут уравнениями с постоянными коэффициентами. [c.306]

Это уравнение тождественно с уравнением движения простого (математического) маятника длиной I и с переменным углом наклона к вертикали 1, если предположить силу тяжести направленной по О г (положение устойчивого равновесия оси Ог). Таким образом, ось Ог совершает периодические колебания около положения устойчивого равновесия. Если амплитуда колебаний мала, то период полного колебания на основании теории математического маятника равен [c.186]

Динамическая устойчивость. В 90 мы изложили принадлежащую Лагранжу теорию малых колебаний около положения абсолют иого равновесия, пренебрегая малыми количествами второго порядка Против нее было сделано возражение, что она не может дать вполне определенной меры устойчивости, так как пренебрегаемые члены в процессе движения могут стать существенными. С точки зрения строгой логики возражение правильно, но так как необходимость и достаточность условия устойчивости равновесия в форме требования, чтобы [c.251]

Малые колебания около положения устойчивого равновесия. Этим названием, как легко понять, обозначают такое движение точки Р, которое она совершает сколь угодно долго в непосредственной близости от своего устойчивого положения равновесия М (с живой силой, не превосходящей известного заданного предела). Здесь мы предполагаем изучить характер этого движения, имея в виду случай, когда действующая сила консервативна, а потенциал и имеет в точке М действительный максимум. [c.135]

Колебания около положения равновесия. Свой метод Лагран>1. с особо выдающимся успехом применил к теории малых колебаний механической системы около положения устойчивого равновесия. Правда, применяемые там уравнения описывают, движение приближенно, но, несмотря на это. представляют большой интерес, поскольку, как уже отмечалось ранее в 8.1. эти уравнения относятся к числу полностью разрешимых задаваясь значениями q и q при г = О, можно получить явные формулы, дающие решения уравнений для всех последующих значений t. [c.140]

Будем теперь исследовать траектории в пространстве (QP) вблизи сингулярной точки. Сравнивая (105.6) и (105.8), видим, что такое исследование есть в то же время исследование колебаний около состояния устойчивого движения для системы с игнорируемыми координатами. Такой подход имеет то преимущество, что мы входим сразу в существо дела. [c.380]

Малые колебания около положения устойчивого равновесия — один из разделов динамики, в котором эффективно используются аналитические методы. Для теории колебаний характерна большая общность. Независимо от степени сложности механической системы, ее движение вблизи положения равновесия при малых колебаниях описывается всегда одинаковыми по структуре уравнениями. Усложнения происходят с увеличением числа степеней свободы. [c.42]

Исследование устойчивости равновесия системы можно выполнить как исследование устойчивости движения (в частности, свободных колебаний) около этого положения равновесия, возникающего после некоторого достаточно малого начального возмущения. Если таким движением являются уста- [c.71]

Довольно подробно рассматривается обп ая теория малых колебаний около положения равновесия показывается, как вводятся нормальные координаты. Теория иллюстрируется на примерах малых колебаний двойного маятника, молекулярных колебаний в некоторых простых молекулах, нормальных колебаний одномерного кристалла. Рассмотрены двухатомные и линейные и нелинейные трехатомные молекулы типа А В. В заключение обсуждается простой случай колебаний около равновесного (устойчивого) движения. [c.67]

ТВЁРДОЕ ТЕЛО — агрегатное состояние вещества, характеризующееся стабильностью формы и характером теплового движения атомов, к-рые совершают малые колебания около положений равновесия. Различают кристаллич. и аморфные Т. п. Кристаллы характеризуются пространств. периодичностью в расположении равновесных положений атомов (см. Дальний и ближний порядок). В аморфных телах атомы колеблются вокруг хаотически расположенных точек. Согласно классич. представлениям, устойчивым состоянием (с мин. внутр. энергией) Т. т. является кристаллическое. Аморфное тело находится в мета-стабильном состоянии и с течением времени должно перейти в кристаллич. состояние, однако время кристаллизации часто столь велико, что метастабильность вовсе не проявляется (см. Аморфное состояние. Стеклообразное состояние). [c.44]

Влияние диссипативных сил на малые колебания системы около устойчивого положения равновесия. До сих пор рассматривались малые колебания механических систем. При этом предполагалось, что на систему наложены идеальные связи и всякое сопротивление движению системы отсутствует. На самом деле на всякую механическую систему действуют некоторые силы сопротивления. В общем случае характер этих сил очень сложный и каждый раз определяется экспериментально. В простейшем случае предполагается, что силы сопротивления, действующие на каждую точку системы, пропорциональны скорости движения соответствующей точки и направлены в сторону, противоположную скорости движений этой точки. [c.568]

Дифференциальное уравнение (14.70) совпадает по форме с дифференциальным уравнением движения математического маятника. Поэтому все выводы, относящиеся к математическому маятнику, справедливы и для ИСЗ, совершающего плоскопараллельное движение. В частности, отсюда следует, что равновесное положение ИСЗ, при котором большая ось эллипсоида инерции направлена к центру Земли, является устойчивым положением относительного равновесия. Точно так же, как и математический маятник, ИСЗ может при определенных условиях совершать круговые движения. Наконец, период малых колебаний ИСЗ около устойчивого положения относительного равновесия определяется формулой [c.342]

Следовательно, точка О отвечает устойчивому равновесию критической системы, и ее малые колебания около этого равновесия представляют собой малые колебания. Однако частота этих колебаний, вообще говоря, зависит от той траектории, по которой возбуждено движение. Иными словами, критическая система может обладать двумя формами и двумя частотами малых колебаний (но не их суперпозицией ). [c.325]

По форме оно совпадает с ур-нием колебаний фнз. маятника с моментом инерции I=SJ< >Ik, моментом силы тяжести qeVj2n) os ф и внспщнм моментом G— — qeV(J2n) os Ф (рис, 2). Дли маятника физически очевидно, что могут существовать два положения равновесия ф=Фо и ф=—ф . Нижнее положение равновесия (ф = фо) устойчиво, а верхнее (ф = —Фо) — неустойчиво. Маятник может совершать движения двух качественно разл. типов — либо колебания около устойчивой равновесной фазы Фо, либо (при очень больших нач. отклонениях от ptiBHOBe HH или при очень больших нач. скоростях) вращат. движение, при к-ром он проходит все углы ф. [c.21]

Собственные колебания представляют собой колебания около положения устойчивого равновесия. Амплитуда этих колебаний определяется величиной начального отклонения и начальной скорости, т. е. величиной той энергии, которая сообщена телу начальным толчком. Вследствие наличия трения эти колебания затухэют собственные колебания в системе никогда не могут быть незатухающими (стационарными). Для поддержания колебаний система должна обладать ка-ким-либо источником энергии, из которого она могла бы пополнять убыль энергии, обусловленную затуханием. Чтобы колебания были стационарными, система за период колебаний должна отбирать от источника как раз столько энергии, сколько расходуется в ней за это же время. Для этого система должна сама управлять поступлением энергии из источника. Такие системы называются автоколебательными, а незатухающие колебания, которые они совершают, — автоколебаниями. К классу автоколебаний относятся, например, рассмотренные в 52 колебания, которые совершает груз, положенный на движущуюся ленту и удерживаемый пружиной. Как было показано, состояние равновесия груза оказывается неустойчивым и он начинает совершать колебания около этого неустойчивого состояния равновесия в том случае, когда скорость движения ленты лежит на падающем участке кривой, выражающей зависимость силы трения F от скорости скольжения V. Но именно в этом случае часть работы двигателя, приводящего в движение ленту, идет на увеличение энергии колебаний груза. [c.602]

Здесь Ра — первая критическая сила. Формула (6.11.2) показывает, что при Р<Ра со действительна таким образом, балка может лишь совершать колебания около положения равновесия. При Р>Ра ( > становится мнимой и движение стержня апериодично, прогиб неограниченно растет со временем. Таким образом, парадокс, связанный со статической постановкой задачи устойчивости, оказывается разрешенным, хотя существование и величина критической силы предсказываются правил]эН0 и статическим решением. [c.206]

Простое гармоническое движение. Рассмотрим случай притяжения материальной точки к неподвижной точке, нахолящейся на линии движения, с силою, пропорциональною расстоянию от этой неподвижной точки этот случай важен как типичный для самого общего случая динамической системы с одною степенью свободы, совершающей колебания около положения устойчивого равновесия. [c.27]

Устойчивость ПРЯМОЛИНЕЙНЫХ ДВИЖЕНИЙ. Сравнительные замечания. Применим к системе (19) метод малых колебаний (гл. VI, 6), рассматривая колебания около меростатического решения а, соответствующего прямолинейному движению точки соприкосновения и определяемого (п. 11) постоянными значениями [c.203]

Его можно вывести из уравнения (5.2.1) или получить непосредственно. И обратно, из уравнения (5.2.10) легко вывести уравнение (5.2.1). Если рассматривать малые колебания около положения устойчивого рановесия 0 = 0, то приближенная форма уравнения совпадает с уравнением гармонического движения [c.63]

Имеются два важных частных случая, в которых элементы a s матрицы А постоянны. Первый из этих случаев относится к движению в окрестности особой точки он, в частности, включает в себя классическую теорию малых колебаний около пололчения устойчивого равновесия. Во втором из этих случаев невозмущенное движение является установившимся ( 9.6). При этом [c.458]

ОРБИТА электронная — траектория движения электрона вокруг ядра в атоме или молекуле ОРБИТАЛЬ —волновая функция одного электрона, входящего в состав электронной оболочки атома или молекулы и находящегося в электрическом иоле, создаваемом одним или несколькими атомными ядрами, и в усредненном электрическом поле, создаваемом остальными электронами ОСЦИЛЛЯТОР как физическая система, совершающая колебания ангармонический дает колебания, отличающиеся от гармонических гармонический осуществляет гармонические колебания квантовый имеет дискретный спектр энергии классический является механической системой, совершающей колебания около положения устойчивого равновесия) ОТРАЖЕНИЕ [волн происходит от поверхности раздела двух сред, и дальнейшее распространение их идет в той же среде, в которой она первоначально распросгра-нялась диффузное характеризуется наличием нерегулярно расположенных неровностей на поверхности раздела двух сред и возникновением огражен1 ых волн, идущих во всех возможных направлениях зеркальное происходит от поверхности раздела двух сред в том случае, когда эта поверхность имеет неровности, размеры которых малы по сравнению с длиной падающей волны, а направление отраженной волны определяется законом отражения наружное полное сопровождается частичным поглощением световой волны в отражающей среде вследствие проникновения волны в Э1у среду на глубину порядка длины волны полное внутреннее происходит от поверхности раздела двух прозрачных сред, при котором преломленная волна полностью отсутствует] [c.257]

При устойчивом движении всякое отклонение параметров движения частиц от равновесных значений должно сопровождаться возникновением эффектов, стремящихся вернуть эти параметры к равновесным, так что частицы совершарот колебания около равновесных значений. Принято различать устойчивость поперечных колебаний (колебаний по высоте и по радиусу) и устойчивость продольного движения (радиально-фазовые колебания). [c.429]

В работах XVIII в. использовалось понятие устойчивости равновесия или движения без уточнения его содержания и без введения для него количественной меры. Это в значительной мере верно и для работ дальнейшего периода, охватывающего почти весь XIX в. — от Лагранжа до Пуанкаре и Ляпунова. Теория малых колебаний около положения равновесия или движения оставалась основным аппаратом теории устойчивости. Она была усовершенствована за это время математически Дж. Сильвестр, К. Вейерштрасс, К. Жордан дали полный анализ всех случаев, которые могут представиться при решении однородной системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. К. Вейерштрасс и, независимо от него. [c.119]

В главах 2 и 3 рассмотрены либрационные движения спутников. Здесь показано, что гравитационные моменты обеспечивают устойчивое относительное равновесие спутника на круговой орбите при расположении наибольшей оси эллипсоида инерции спутника по радиусу-вектору орбиты, наименьшей оси — по нормали к плоскости орбиты и, следовательно, средней оси — по касательной к орбите. Исследованы плоские и простран ственные колебания около этого положения. На эллиптической орбите такого относительного равновесия не существует. Но анализ нелинейных колебаний на эллиптической орбите показывает наличие устойчивых периодических ( эксцентриситетных ) колебаний около направления радиуса-вектора. Исследованы условия появления резонанса в плоских и пространственных колебаниях. Возможность практического приложения исследованных в главе 2 эффектов иллюстрируется [c.11]

Устойчивость движения полюса. Скорость полюса появляется и исчезает вместе с появлением и исчезновением сил, и величина этой скорости пропорциональна этим силам (точнее, их моментам). Перемещения же определяются скоростями и временем. Поэтому удары и другие так называемые мгновенные силы, т. е. силы, действующие в течение очень короткого времени, могут только очень мало изменить движение полюса. Другими словами, это движентте обладает свойством устойчивости оно мало изменяется от действия мгновенных сил ударов, сотрясений. Но эта устойчивость отличается от всем известной устойчивости при равновесии. Когда тело, находящееся в устойчивом равновесии, получит удар или толчок, то оно начинает колебаться взад и вперед около равновесного положения колебания эти могут продолжаться довольно долго после прекращения толчка. На движение же полюса толчок оказывает влияние только в течение короткого времени своего действия, и колебаний не получается как [c.203]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...