Уравнение дифференциальное движения математического маятника

Уравнение дифференциальное движения математического маятника 404 [c.456]

Составим дифференциальное уравнение движения математического маятника. Положение маятника М будет определено углом [c.403]

Мы получили дифференциальное уравнение движения математического маятника. [c.404]

Пример. Рассмотрим дифференциальное уравнение движения математического маятника ( 217 первого тома). Имеем [c.303]

В качестве примера такой задачи рассмотрим задачу о движении математического маятника, длина которого — периодическая функция времени. Изменение длины маятника можно представить как результат движения точки А нитки АОМ, к которой прикреплен маятник М (рис. 43). Составим дифференциальное уравнение движения маятника так, как это было показано в 217 первого тома ). Обозначая, как и раньше, длину маятника ОМ через а, найдем на основании теоремы об изменении момента количества движения [c.307]

Применяя принцип Гаусса, найдем дифференциальное уравнение движения математического маятника (пример 2 п. 57). Функция Z имеет вид [c.90]

Это есть дифференциальное уравнение движения математического маятника. При малых отклонениях маятника от положения равновесия с достаточной точностью можно положить sin ф = ф. Тогда предыдущее уравнение принимает вид [c.440]

Будем считать, что х >1г- Тогда зто уравнение приводится к дифференциальному уравнению движения математического маятника для угла 29. Действительно, положив [c.342]

Дифференциальное уравнение (14.70) совпадает по форме с дифференциальным уравнением движения математического маятника. Поэтому все выводы, относящиеся к математическому маятнику, справедливы и для ИСЗ, совершающего плоскопараллельное движение. В частности, отсюда следует, что равновесное положение ИСЗ, при котором большая ось эллипсоида инерции направлена к центру Земли, является устойчивым положением относительного равновесия. Точно так же, как и математический маятник, ИСЗ может при определенных условиях совершать круговые движения. Наконец, период малых колебаний ИСЗ около устойчивого положения относительного равновесия определяется формулой [c.342]

Движение математического маятника длины / в поле силы тяжести с ускорением g описывается дифференциальным уравнением X + 0)2 sin = О, = д/1 где х — угол отклонения маятника от вертикали. Если энергия маятника h = х /2 — os х отлична от 0)2, то sin( /2) и os( /2) — эллиптические функции времени. При /i = 0)2 имеем [c.43]

Р е щ е н и е. Колебание отдельной материальной точки под действием силы тяжести (математический маятник) было изучено выше (см. определение 3.9.1). В рассматриваемом примере имеются две материальные точки, описывающие дуги различных радиусов за одно и то же время. Следовательно, каждая точка должна влиять на движение другой. Применив принцип Даламбера, эту динамическую задачу можно свести к обычной задаче статики, которая, будучи решенной, дает дифференциальные уравнения движения. Пусть ОА — а, ОВ = 6 и угол, образованный стержнем с вертикалью Ог, равен (9. Точка А описывает дугу окружности. Компоненты ее ускорения имеют вид [c.377]

Задачу о математическом маятнике мы можем решить также и исходя из уравнений движения. Уравнение (10) было получено из закона сохранения энергии, записанного в виде соотношения (5). Отметим, что уравнение (10) представляет собой дифференциальное уравнение первого порядка, интегрируя которое один раз, мы получили соотношение (14). Уравнение же движения, как это будет ясно из дальнейшего, представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка. И для того, [c.210]

После подстановки найденных значений постоянных и Сг в уравнение (д) найдем частное решение дифференциального уравнения (г), или закон движения плоского математического маятника для случая малых его отклонений от положения равновесия в виде [c.487]

Для идеального математического маятника (рис. 1.1) с длиной подвеса / и массой т, находящегося в поле тяготения с ускорением g, дифференциальное уравнение движения для угловой координаты ср имеет вид [c.15]

Таким образом, мы считаем дифференциальное уравнение движения линейным относительно переменной ж, что вполне допустимо (ср. математический маятник) для случая малых колебаний. Это замечание относится и к дальнейшим примерам, приводимым в этом и следующих параграфах. [c.136]

Показать, в частности, что в случае однородного стержня дифференциальное уравнение относительно 9(г ), определяющее его движение, будет тождественно с дифференциальным уравнением качаний математического маятника [c.348]

Пример 2. Найдем дифференциальное уравнение движения плоского математического маятника. Маятник будем для простоты представлять в виде точечной массы т, прикрепленной при помощи невесомого стержня длиной I к точке А, вокруг которой стержень может вращаться без трения в вертикальной плоскости. Направляя оси Ах и Ау декартовой системы координат, как показано на рис. 55, получаем [c.105]

Ои вывел общие уравнения равновесия для пространственной изогнутой кривой стержня в предположении больших прогибов. Он доказал далее, что если силы приложены только по концам стержня, то эти уравнения оказываются тождественными с уравнениями движения твердого тела относительно неподвижной точки. Благодаря этому стало возможным уже известные решения динамики твердого тела применить непосредственно к определению деформации тонкого стержня. Этот прием получил известность под наименованием динамической аналогии Кирхгоффа. В качестве простого примера применения этой аналогии сопоставим поперечное выпучивание сжатого стержня АВ (рис. 131, а) с колебанием математического маятника (рис. 131,6). Оба эти явления описываются одним и тем же дифференциальным уравнением, существующая же между ними связь сводится к следующему если точка М движется но кривой АВ с постоянной скоростью, так что дугу АВ она проходит за время, равное полупериоду маятника, и если М начинает удаляться от в тот момент, когда маятник находится в крайнем положении п касательная к кривой в А образует с вертикалью угол, равный тому, которым определяется крайнее положение маятника, то и при всяком [c.307]

Задача 19.5. Составить дифференциальные уравнения движения двойного математического маятника. [c.442]

Ввиду большой общности этих уравнений выведем сначала дифференциальное уравнение, которому подчинена независимая координата какой-либо простейшей системы, например математического маятника. Так называется тело достаточно малых размеров, подвешенное на стержне (или нити) исчезающе малой массы и постоянной длины I и совершающее движение в вертикальной плоскости (в точке подвеса трением пренебрегается). [c.215]

Модели могут быть простыми и сложными. Простая модель описывает один вид движения материи (например, механическое) или является условным образом явления. Примером такой модели может служить описание математического маятника, подвешенного на невесомой и нерастяжимой нити, конец которой закреплен неподвижно. Движение только в одной плоскости описывается дифференциальным уравнением с четко определенными начальными условиями. Методами теории подобия, используя это дифференциальное уравнение, составляют уравнение подобия. Однако такая физическая модель является идеализированной. Она не учитывает дополнительные эффекты, связанные с трением, растяжением нити, сопротивлением воздуха при качании маятника и т.д. [c.452]

Применения гравитационного маятника.Дифференциальные уравнения движения плоского математического маятника идентичны уравнениям движения физического маятника. Для входящего в уравнение параметра, круговой частоты ш, мы имеем в случае математического маятника (2.29), а в случае [c.61]

Во всех этих случаях обобщенная восстанавливающая сила нелинейна и соответственно, нелинейно дифференциальное уравнение движения. Простейшим примером может служить задача о больших колебаниях математического маятника (рис. 3.1). [c.57]

Другой случай нелинейной восстанавливающей силы, допускающий получение строгого решения, представляет математический маятник его дифференциальное уравнение движения имеет вид [c.133]

Применим этот метод к случаю колебаний математического маятника. Дифференциальное уравнение движения (стр. 126) в этом случае имеет вид [c.153]

Рассматривая маятник с массой т (рис. 7-9) как математический, совершающий малые колебания, можно получить его дифференциальное уравнение движения [c.295]

Первая лекция. Важность изучения колебательных движений при рассмотрении многих вопросов современной техники. Причины возникновения колебаний. Свободные колебания систем с одной степенью свободы. Типичные примеры колебания груза на пружине, крутильные колебания диска, колебания груза на конце консоли, малые колебания математического и физического маятника. Условия, при которых упомянутые системы можно рассматривать как системы с одной степенью свободы. Общность рассмотренных задач. Интегрирование дифференциального уравнения свободных колебаний. Параметрическая структура коэффициента жесткости. Возникновение нелинейных задач теории колебаний. [c.22]

Составить функцию Гамильтона и канонические уравнеипя движения для математического маятника массы гп и длины /, положение которого определяется углом ф отклонения его от вертикали. Проверить, что полученные уравнения эквивалентны обычному дифференциальному уравнению движения математического маятника. [c.374]

Уравнение (24.1) нельзя проинтегрировать по времени при помощи элементарных функций. При малом угле ф можно принять 51пф5 ф. Тогда дифференциальное уравнение движения математического маятника примет вид [c.70]

В частности, дифференциальное уравнение движения математического маятника (II. 286Ь) можно привести к уравнению вида (II. 289а), где [c.308]

Уравнение (24.1) нельзя проинтегрировать по времени с помощью элементарных функций. При малом угле V можно принять sin Тогда дифференциальное уравнение движения математического маятника иримет вид [c.327]

Дифференциальная связь, уравнение которой не может быть проинтегрировано, назылается неголономной. Если влияние связи не может прекратиться или, иначе говоря, система не может освободиться от связи, то последняя ндзывается удерживающей. Если же система может покинуть связь, то связь является неудерживающей. Например, жесткий невесомый стержень является удерживающей связью для математического маятника, так как точка М всегда отстоит от точки подвеса О на расстоянии I. Если же математический маятник подвешен на гибкой нерастяжимой нити, то в процессе движения нить может смяться, и расстояние ОМ окажется меньше I, т. е. точка М покинет связь. Поэтому в данпом случае гибкая нить является неудерживающей связью, и ее уравнение можно записать в виде неравенства + В дальнейшем мы будем, как правило, рассматривать механические системы с голономными стационарными удерживающими связями. [c.104]

Интегрирование этих дифференциальных уравнений движения двойного математического маятника связано с большими трудностями, однако, если считать углы отклонения ф1 и ф малыми, то решение упрощается и может быть доведено до конца. Задачи такого рода мы 6yAevi рассматривать в главе XX. [c.443]

Блестящих результатов в самых различных отделах механики достиг гениальный ученый Николай Егорович Жуковский (1847—1921), основоположник авиационных наук экспериментальной аэродинамики, динамики самолета (устойчивость и управляемость), расчета самолета на прочность и т. д. Его работы обогатили теоретическую механику и очень многие разделы техники. Движение маятника теория волчка экспериментальное определение моментов инерции вычисление пла нетных орбит, теория кометных хвостов теория подпочвенных вод теория дифференциальных уравнений истечение жидкостей сколь жение ремня на шкивах качание морских судов на волнах океана движение полюсов Земли упругая ось турбины Лаваля ветряные мельницы механизм плоских рассевов, применяемых в мукомольном деле движение твердого тела, имеющего полости, наполненные жидкостью гидравлический таран трение между шипом и подшипником прочность велосипедного колеса колебания паровоза на рессорах строительная механика динамика автомобиля — все интересовало профессора Жуковского и находило блестящее разрешение в его работах. Колоссальная научная эрудиция, совершенство и виртуозность во владении математическими методами, умение пренебречь несущественным и выделить главное, исключительная быстрота в ре-щении конкретных задач и необычайная отзывчивость к людям, к их интересам — все это сделало Николая Егоровича тем центром, вокруг которого в течение 50 лет группировались русские инженеры. Разрешая различные теоретические вопросы механики, Жуковский являлся в то же время непревзойденным в деле применения теоретической механики к решению самых различных инженерных проблем. [c.16]

Лагранж в 60-е годы отправлялся от этих работ в своих исследованиях колебаний системы конечного числа материальных точек. Ему было нетрудно придать утверждению Д. Бернулли форму математической теоремы, так как в 40-е годы XVIII в. Эйлер показал, как проинтегрировать линейное дифференциальное уравнение произвольного порядка с достоянными коэффициентами, а Даламбер — как интегрируются системы таких уравнений. Это позволяло просто сослаться на то, что общий интеграл дифференциальных уравнений описывающих малые колебания, является суммой слагаемых, каждое из которых соответствует малым изохронным колебаниям простого маятника. При этом, однако, надо было допустить, что корни алгебраического уравнения (уравнения частот, или векового уравнения ), которое попутно приходится решать, вещественны, положительны и не равны между собой. Однако Лагранж этим не ограничился и провел все исследование в общем виде, используя открытую им форму уравнений движения — уравнения Лагранжа второго, рода. В первом издании Аналитической механики Лагранжа (1788 г.) эти результаты даны в улучшенной редакции, в окончательном виде они вошли во. второе издание Аналитической механики (т. I., 1813 г.). [c.265]

Первые серьезные для своего времени исследования колебаний восходят к XVII веку. Они были выполнены Г. Галилеем и затем X. Гюйгенсом и касались лишь маятника. В XVIII веке, с развитием математического анализа и теоретической механики, интерес к колебательным процессам уже подкрепляется основательной теоретической базой. Так, Л. Эйлер в России занимается изучением колебаний корабля в связи с вопросом о его устойчивости, а Ж. Даламбер во Франции работает над исследованием колебаний струны. В конце XVIII века Лагранж в своем замечательном труде Аналитическая механика создает мощный математический аппарат в виде хорошо известных теперь уравнений движения в обобщенных координатах. Рассмотрев с его помощью некоторые задачи теории колебаний, приводящиеся к интегрированию линейных дифференциальных уравнений, он тем самым заложил основы линейной теории колебаний. [c.7]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...