Решение краевых задач методом разделения переменных

РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ МЕТОДОМ РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ [c.170]

Установив на примере алгоритм решения краевой задачи методом разделения переменных, наметим, в заключении, ход решения более общей краевой задачи, рассматриваемой на области D с i " для уравнения второго порядка [c.174]

РЕШЕНИЕ НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАДАЧ МЕТОДОМ РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ (МЕТОДОМ ФУРЬЕ) [c.153]

Исходным пунктом метода эталонных задач является изучение поля лучей — экстремалей функционала геометрической оПтики. Следующий шаг состоит в подборе простейшей, допускающей точное решение (например, по методу разделения переменных) эталонной задачи, поле лучей в которой обладает теми же особенностями, что и у исходной задачи. Анализ решения эталонной задачи позволяет выбрать определенную форму искомого разложения решения исходной задачи. Подставляя это разложение в уравнения и краевые условия первоначальной задачи и требуя их (формального) выполнения, можно получить ряд соотношений между коэффициентами этих разложений. Полученные соотношения позволяют найти неизвестные функции, входящие в эти коэффициенты. [c.158]

Метод разделения переменных, используемый для решения начально-краевых задач, является более мощным методом, чем метод продолжения, он не требует предварительного решения соответствующей начальной задачи и с его помощью могут быть решены многие задачи, решение которых не удается получить методом продолжения. Существо метода разделения переменных поясним на той же задаче (4.27), что и метод продолжения, т. е. [c.153]

Метод разделения переменных, сводящий решение уравнения в частных производных к решению нескольких обыкновенных дифференциальных уравнений, при определенных условиях может быть применен и для решения краевых задач. Попытаемся решить задачу о стационарном распределении температуры в круглой пластинке радиуса а с различными краевыми условиями на границе 5 пластинки. [c.170]

Во всех рассмотренных случаях решение (как это обычно и бывает при использовании метода разделения переменных) представляется в виде ряда, коэффициенты которого являются интегралами от краевых условий. Если в этих рядах осуществить перестановку порядка суммирования и интегрирования, то может представиться (как и в гармоническом случай) возможность просуммировать внутренние ряды, что приведет к компактному представлению решения. Следуя [7], осуществим эту процедуру в случае второй внутренней задачи (здесь полагается, что касательные напряжения обращаются в нуль). При этом оказывается полезным воспользоваться равенством [c.338]

Для решения задачи, включающей уравнение (18.5) и краевые условия (18.6), (18.7), используем метод разделения переменных. Будем искать решение в виде [c.442]

Математически краевая задача (20.1), (20.6) полностью совпадает с задачей кручения стержня, неоднородного по высоте, рассмотренной в 17. Следовательно, для ее решения можно также воспользоваться методом разделения переменных, представив функцию ср в виде [c.95]

Одномерные и квазиодномерные задачи механики описываются системами обыкновенных диф ренциальных уравнений. К одномерным можно отнести задачи о деформировании стержней, балок, а также круглых пластин и оболочек вращения при осесимметричном нагружении. В ряде случаев для трехмерных и двумерных задач теории упругости можно применить метод разделения переменных и решать задачу в рядах Фурье или методом Канторовича. Задачи, для которых тем или иным способом возможно приближенно перейти от уравнений в частных производных к обыкновенным уравнениям, называются квазиодномерными. Для расчетов на ЭВМ наиболее удобной формой представления разрешающих дифференциальных уравнений является система дифференциальных уравнений первого порядка, или каноническая система. Для таких систем разработаны стандартные программы интегрирования, а также различные вычислительные приемы, обеспечивающие достаточную точность решения краевых задач [20, 33]. [c.85]

Решения краевых задач (54) — (57) могут быть получены методом разделения переменных и имеют вид [c.76]

Основные трудности при решении краевых задач с условиями на движущихся границах связаны с тем, что они не допускают непосредственного применения метода разделенных переменных -одного из наиболее мощных методов математической физики. Особенно остро это касается неодномерных задач, которые рассматриваются в пятой главе. В настоящее время отсутствуют регулярные методы точного решения двух- и трехмерных задач. В них, как правило, ограничивались отысканием приближенных решений при медленных движениях границ путем разложения искомого решения по мгновенным модам квазистатического приближения 5.10, 5.11,5.13]. Такой подход, как отмечалось выше, не адекватен физической сущности задачи и в двумерных системах не позволяет описать явление аберрации при наклонном падении волны на движущуюся границу, двойной эффект Доплера, наличие крити- [c.16]

Таким образом, задача (3.65) свелась к отысканию решений уравнения Клейна-Гордона (3.71) с переменным коэффициентом, удовлетворяющих краевым условиям на неподвижных границах. В отличие от исходной задачи, последняя может быть точно решена методом разделения переменных для некоторых частных законов движения границ, при которых потенциал имеет вид [3.30, 3.45 [c.122]

В задачах установившейся дифракции упругих волн точные решения получают только в круговой цилиндрической и сферической системах координат (см. 1 настоящей главы). Этим исчерпываются возможности метода разделения переменных в его классической формулировке применительно к задачам дифракции для тел, ограниченных цилиндрическими поверхностями. Для тел, ограниченных достаточно гладкими цилиндрическими поверхностями, в предыдущем параграфе решение задачи дифракции сведено к решению бесконечных алгебраических уравнений. Большинство числовых результатов [59—62] получено с помощью приближенного метода возмущения формы границы , предложенного в работе [31]. Заметим, что метод применяется для приближенного вычисления компонентов тензоров, векторов и скаляров различной физической природы в криволинейной цилиндрической системе координат. Сущность метода состоит в получении последовательности краевых задач в цилиндрической системе координат, причем в каждом приближении решаются в круговых координатах одинаковые однородные уравнения, а поправки входят в краевые части граничных условий. Тем самым исключается необходимость построения частных решений, что далеко не всегда удается реализовать. [c.58]

Решение сопряженной краевой задачи теории теплопроводности ищется методом разделения переменных. [c.199]

Для решения краевых задач об обтекании твердых тел потенциальным потоком идеальной несжимаемой жидкости используются различные математические методы метод наложения потенциальных течений, метод конформных преобразований, методы электрогидродинамической и магнитогидродинамической аналогии, метод решения краевых задач с помощью функции Грина, численные методы, метод разделения переменных, методы интегральных преобразований, метод интегральных уравнений и т. д. [c.24]

Пользуясь известным методом решения краевых задач (разделение переменных), можем представить решение (1,х), удовлетворяющее граничным условиям (20.2), в виде следующего ряда Фурье [c.226]

В работах [268, 269] матричным методом разделения переменных решено уравнение нестационарной одномерной многокомпонентной диффузии с линейным ИСТОЧНИКОВЫМ членом при симметричных краевых условиях. Поскольку уравнение (11.4.4) по своей структуре сходно с уравнением нестационарной одномерной диффузии, можно воспользоваться этим методом для аналитического решения, учитывая при этом, что граничные условия (11.4.5)-(11.4.) приводят к несколько иной формулировке краевой задачи. [c.241]

Слагаемые в сумме (1.4) получены методом разделения переменных при отыскании решения в виде / = г> Ф(й). Для Ф(д) возникает спектральная задача определения Ф ) Ф О, являющегося решением краевой задачи [c.77]

В седьмой главе рассмотрены вопросы численного интегрирования линейных и нелинейных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, возникающих при исследовании прочности, устойчивости, свободных колебаний анизотропных слоистых композитных оболочек вращения после разделения угловой и меридиональной переменных. Разработан и апробирован алгоритм численного решения таких задач, основанный на идее инвариантного погружения, в котором проблема интегрирования первоначальной краевой задачи редуцируется к решению задачи Коши для жестких матричных дифференциальных уравнений. Приведенные тестовые примеры позволяют сделать вывод об эффективности метода. Показано, что сочетание метода Бубнова — Галеркина с обобщенной формой метода инвариантного погружения дает эффективный инструмент численного исследования устойчивости и свободных колебаний слоистых композитных оболочек вращения. Разработан метод численного определения матрицы Грина краевой задачи и на примере проблемы выпучивания длинной панели по цилиндрической поверхности показана его эффективность в задачах устойчивости оболочек вращения. Метод решения нелинейных краевых задач, объединяющий в себе итерационный процесс Ньютона с методом инвариантного погружения, рассмотрен в параграфах 7.4, 7.5. [c.14]

Рассмотрим один пример, вызывавший довольно долго противоречивые мнения [76]. Ставилась задача о расчете напряжений в треугольнике (плоская задача), когда на одной грани приложено нормальное давление, пропорциональное расстоянию до угловой точки, на другой грани —равные нулю напряжения, а третья грань была закреплена ). Вместо нее решалась задача для клина, когда одна грань свободна от нагрузки, а на другой грани нормальная нагрузка пропорциональна расстоянию до вершины (т. е. условия истинной задачи переносились на клин, а граница, где были заданы смещения, отодвигалась в беско-I нечность). Такая задача элементарно решается методом разделения переменных. Однако полученное решение даже вблизи от вершины является ошибочным. Было дано разъяснение [96] и показано, что для такой области, как клин (при угле, большем некоторого), вследствие неединственности решения малые вариации краевых условий могут вызвать сколь угодно большие изменения в напряжениях. Более того, оказалось, что решение задачи для клина, когда на одной его грани приложена указанная нагрузка вплоть до некоторой точки, а дальше равна нулю при стремлении этой точки к бесконечности, не приводит к тому решению, которое получается методом разделения переменных. [c.304]

Методы решения. Для исследования и приближённого решения смешанных задач используют разделения переменных метод (метод Фурье) при условии, что коэф. в ур-нии и в граничном условии не зависят от времени ь. Идея метода, напр. применительно к задачам (3), (10), (13), состоит в следующем искомое решение ы(х, I) и правую часть /(х, I) разлагают в ряд Фурье по собств. ф-циям 1 краевой задачи (12), (13) [c.65]

Исторически одним из первых методов, нашедших ншрокое применение при решении краевых задач для уравнений с частными производными, явился метод разделения переменных или, как его еще называют, метод Фурье, заключающийся в построении набора частных решений, каждое из которых разыскивается в виде произведения функций меньшего числа переменных (как правило, функций одного переменного). В ряде случаев оказывается, что такое представление не вступает в противоречие с исходным дифференциальным уравнением (тогда говорят, что уравнение допускает разделение переменных) и приводит, в зависимости от размерности задачи, к нескольким обыкновенным дифференциальным уравнениям, содержащим один и тот же числовой параметр. В зависимости от характера области, в которой решается краевая задача, граничных и начальных [c.117]

Воспользуемся этими представлениями для получения удобных (в плане решения краевых задач) представлений частных решений задач теории упругости для шара и пространства с шаровой полостью. Применим для построения указанных гармонических функций метод разделения переменных. Зададим некоторое целое положительное число п. Тогда согласно изложенному в 10 гл. I следует, что ввиду осевой симметрии проекции вектора ф на оси координат х а у можног выбрать в виде [c.333]

К недостаткам метода разделения переменных следует отнести 1) невозможность его применения для пoлyo paничeнныx и неограниченных тел 2) невозможность его непосредственного применения в случае неоднородных граничных условий, которые вначале должны быть приведены к однородным (что не всегда легко сделать) 3) значительные трудности, связанные с решением краевых задач при граничных условиях четвертого рода. [c.102]

Метод разделения переменных находит применение также и для решения краевых задач для ур-ния эл-пиптич. типа (5), При исследовании и приближённом решении краевых задач для ур-ния (5) используют вариац. методы. Так, напр., для задачи на собств. значения (12), (13) (при р = 1) собств. значения X удовлетворяют вариац. принципу [c.65]

Свободные колебания жидкости в неподвижном сосуде. Рассмотрим подробнее вспомогательную краевую задачу для определения колебании жидкости в неподвижном сосуде и методы ее решения. Для некоторых простых полостей эта задача решается методом разделения переменных Фурье. В общем случае ее можно решить на ЭВМ интегральным методом Ритца или другими методами с использованием аналитических решений для простейших полостей [I]. [c.287]

Основная трудность в решении краевой задачи при изучении волноводных мод в оптическом волокне связана с интегрированием уравнения в частных производных методом разделения переменных. Хотя для волокон со ступенчатым профилем показателя преломления эта задача оказывается не столь уж сложной, удобно все-таки ввести некоторые приближения, для того чтобы получить простые выражения для интересующих нас величин. Таким образом, предположим, например, что оболочка простирается на бесконечно большое расстояние такое предположение правомерно благодаря экранирующей роли оболочки и экспоненщ1альному затуханию волноводных мод с расстоянием р от оси волокна. Кроме того, особое внимание уделим случаю, когда показатели преломления сердцевины и оболочки отличаются всего на несколько процентов (А -4 1, случай слабонаправляющих во-локон), что часто имеет место на практике, так как малость А ограничивает искажения, вносимые волокном в распространяющийся импульсный сигнал, при сохранении волноводных свойств волокна. [c.586]

Ui = onst, то для решения дифференциальных уравнений в частных производных можпо использовать классический способ разделения переменных. Таким ь1етодом фактически и воспользовался Мн для решения упоминавшейся выше задачи о сфере, обладающей конечной проводимостью. В этом случае решение краевой задачи имеет вид бесконечного ряда и его ценность зависит от легкости вычисления необходимых функций, а также от скорости, с которой ряд сходится. Этот метод применялся в различных случаях (помимо задачи со сферой) особенно надо отметить его использование в случае дифракции на круглом диске или отверстии [5]. Следует, однако, замерить, что ли1иь некоторые из этих работ относятся к чисто скалярным задачам типа задач, встречающихся в теории звуковых волн малой амплитуды дальше будет показано, что двумерные задачи в электромагнитной теории принадлежат в основно.м к этому типу, но в других случаях векторная природа электромагнитного поля приводит к дополнительным осложнениям. [c.514]

При заданных краевых условиях I, II или III рода соответствующая задача для этого уравнения без труда решается методом разделения переменных (см., например, [93 ). Реализация получающегося точного решения по общей программе также не вызывает затруднений. Достаточно взять уравнения состоягая в виде [c.241]

Моделирования композита эквивалентной однородной средой бывает недостаточно для исследования локальных пластических деформаций или разрушения, дисперсии волн и решения других задач, определяемых как раз неоднородностью свойств материала по координатам 29). Из асимптотических методов, используемых для решения задач такого типа, наибольшее распространение и обоснование получили метод гомогенизации 30) и метод Бахвалова —Победри [31, 32]. Главная идея метода гомогенизации состоит в использовании в качестве малого параметра характерного размера ячейки, при этом предполагается, что решение статической краевой задачи теории упругости представляет собой медленно меняющуюся функцию координат, на которую накладываются локальные периодические пульсации. Метод Бахвалова —Победри основан на разделении медленных и быстрых переменных в аналогичных задачах. [c.19]

В этой главе рассмотрены вопросы численного интегрирования линейных и нелинейных краевых задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, возникающих при исследовании прочности, устойчивости, свободных колебаний анизотропных слоистых композитных оболочек вращения после разделения угловой и меридиональной переменных. В предыдущих главах было показано, что корректный расчет таких оболочек и пластин в большинстве случаев требует привлечения неклассических дифференциальных уравнений повышенного порядка. Там же (см. параграфы 4.1, 4.4, 5.2, 6.2) отмечалась важная особенность таких уравнений — существование быстропеременных решений экспоненциального типа, имеющих ярко выраженный характер погранслоев и существенных лишь в малых окрестностях краевых закреплений, точек приложения сосредоточенных сил, мест резкого изменения геометрии конструкции и т.д. Стандартные схемы численного интегрирования краевых задач на таком классе дифференциальных уравнений малоэффективны — попытки их применения встречают принципиальные трудности, характер и формы проявления которых подробно обсуждались в параграфе 4.1 (см. также [136]). Добавим к этому замечание о закономерном характере данного явления — существование решений экспоненциального типа с чрезвычайно большим (по сравнению с длиной промежутка интегрирования) показателем изменяемости в неклассических математических моделях деформирования тонкостенных слоистых систем, дифференциальными уравнениями которых учитываются поперечные сдвиговые деформации, обжатие нормали и другие второстепенные" факторы, естественно и необходимо. Такие решения описывают краевые эффекты напряженного состояния, связанные с учетом этих факторов, и существуют не только у неклассических уравнений, установленных в настоящей монографии, но и в других вариантах неклассических уравнений повышенного порядка, что уже было показано (см. параграф 4.1) на конкретном примере. Болес того, подобные явления наблюдаются не только в теории оболочек, но и в других математических моделях механики и физики. Известным классическим примером такого рода может служить течение Навье—Стокса — при малой вязкости жидкости, как впервые было показано Л. Прандтлем (см., например, [330]), вблизи обтекаемого тела возникает зона пограничного слоя. Такие задачи согласно известной [56, 70 и др.] классификации относятся к классу сингулярно возмущенных, т.е. содержащих малый параметр и претерпевающих понижение порядка, если положить параметр равным нулю. Проблема сингулярных возмущений привлекала внимание многих авторов [56, 70, 173, 190 и др.]. Последние десятилетия отмечены значительными достижениями в ее разработке — в создании и обосновании методов асимптотического интегрирования для различных [c.195]

Краевая задача (41) называется задачей Трикоми (для уравнения Чаплыгина (22.47)). В послевоенных работах Ф. И. Франкля и его последователей эта задача получила исчерпывающее решение, причем оказалось, что для нее, как и для задач об истечении дозвуковых струй, эффективен метод Фурье (разделение переменных с последующи.м представлением решения в виде рядов по частным решениям). Напротив, задача (39) при < ц, принадлежащая к классу так называемых обобщенных задач Трикоми, оказывается очень трудной, хотя и решалась приближе1п10 численными методами рядом авторов. Здесь необходимы дальнейшие аналитические исследования, В частности, представляет большой интерес асимптотическое поведение трансзвукового течения, когда щ г со стороны > с. [c.306]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...