Уравнения относительно возмущений

Подставляя соотношения (139) в уравнение (138), получим для малых колебаний уравнения относительно возмущений Ар, Ар и А5 [c.53]

В 3.06 приведены дифференциальные уравнения относительного возмущенного движения одного тела, записанные в канонических элементах Якоби. Аналогично можно написать канонические уравнения возмущенного движения тел Р, Р2,, Рп-1 относительно тела Ро, используя канонические элементы Якоби (см. 3.06) аш 2й, зй, Р1Й, Р2й, РзА тела Р к=1, 2,. ... п — 1). [c.351]

Если (5= 1, 2, 3) — координаты тела Р в невозмущенном движении относительно 5, то уравнения относительно возмущений (отклонений от кеплеровского движения) и = х — х° (5 = I, 2, 3) записываются в виде [c.677]

Далее необходимо привлечь к рассмотрению уравнение состояния. Если иметь в виду либо релаксационное уравнение первого порядка, подобное уравнению Максвелла, либо простое интегральное уравнение, то при соответствующей линеаризации относительно возмущения скорости Ve — v можно получить [c.275]

Это уравнение относительной траектории точки В в возмущенном движении. [c.648]

Третий случай (5111 7 й ). Интегрируя уравнение (5) и определяя произвольную постоянную интегрирования но начальным условиям (а = аа, ф = фо при =0), находим уравнение относительной траектории возмущенного движения [c.650]

I, а, е, i, б, ш и решение уравнений относительно производных от них) состоит в том, что во многих весьма важных для астрономии случаях возмущающие влияния незначительны, так что производные от оскулирующих элементов, только что названные специальными возмущениями, будут близки к значениям (одно постоянно и равно п, а остальные равны нулю), который имели бы производные по времени от I, а, е, I, б, ш в невозмущенном движении а при наличии таких обстоятельств указанные выше дифференциальные уравнения оказываются удобными для численного интегрирования путем последовательных приближений ). [c.209]

Возмущения, происходящие от притяжения третьим телом. Предположим, что точка Р, о которой идет речь, подвергается, помимо притяжения центра О, еще и притяжению третьего тела Р, и постараемся учесть, как это делается в классической задаче трех тел, тот факт, что точки О, Р, Р попарно взаимно притягивают друг друга. Для движения точки Р относительно точки О попрежнему будут иметь силу уравнения (142 ), но в этом случае возмущающая функция V будет зависеть не только от Р, но также и от Р задача будет определена, как на это уже указывалось в пп. 47, 48, если к шести уравнениям относительного движения точки Р присоединить аналогичные уравнения для относительного движения точки Р. [c.359]

Вебер пишет уравнения относительного движения вязкой жидкости и соответствующие граничные условия. При этом, вследствие малости возмущений поверхности и пульсаций давления, а также их производных, Вебер пренебрегает произведениями и высшими степенями указанных величин. Это дает возможность при написании уравнений относительного движения вязкой жидкости для малых колебаний пренебречь конвективными членами. В результате вместо полной производной от скорости по времени получаются частная производная и система линейных уравнений. Решение этих уравнений слагается из отдельных частных решений, например, с помощью рядов Фурье. [c.29]

Уравнение для изэнтропического процесса в общем случае относительно возмущенных параметров можно получить посредством разложения в ряд по малому параметру объемного сжатия [c.16]

Для определения возмущения энтропии необходимо рассмотреть одномерное уравнение энтропии (96). Рассмотрим случай, когда выделение тепла вследствие диссипации кинетической энергии много меньше по сравнению с теплом, передаваемым посредством теплообмена. В этом случае, пренебрегая эффектами диссипации, уравнение энтропии (96) относительно возмущенных параметров в линейном приближении запишем в виде [c.53]

Уравнения движения относительно возмущений в линейном приближении можно записать в следующем виде [c.176]

Как видим, соотношение теории возмущений (2.108) представляет собой в сущности неоднородное интегральное уравнение относительно функции (г). [c.61]

В том случае, когда основная задача динамики параметризована 1см. (6.5)1, можно записать формулу (6.18) относительно возмущений параметров. Действительно, пусть операторы и Я уравнения динамики являются функциями параметров a.-(i=l, 2, [c.177]

Для описания возмущенного течения стационарным параметрам придавались малые приращения (с, р ) и использовались линеаризированные уравнения Навье-Стокса, в которых членами, квадратичными и более высоких порядков относительно возмущений и их производных, пренебрегали. [c.288]

Для исследования устойчивости решения (18) положим в уравнениях (17) и = = Ыо + й, ш = Шо W и линеаризируем уравнения относительно малых возмущений а н w [c.247]

После линеаризации уравнения (15) и (16) относительно возмущений (19) с учетом характеристики возбуждения (18) запишутся так [c.255]

Одной из задач динамики старта летательных аппаратов является определение начальных возмущений ф (4) и ф которые получает тело при сходе с направляющей. В более общем случае точка приложения силы R не лежит в плоскости чертежа, она случайна (рис. 2.13), поэтому и возникающие случайные векторы fi и Ml имеют произвольные направления, т. е. имеют отличные от нуля проекции на все оси Xt, что приводит к колебаниям системы при старте как в плоскости чертежа, так и относительно этой плоскости. В упрощенном варианте система имеет две степени свободы. Рассматривая движение системы, можно получить два линейных уравнения относительно углов ф и v (угол v характеризует отклонение системы относительно плоскости чертежа) вида [c.63]

Для того чтобы численно решить уравнения (18,52) и (18.55), в расчетах пространственных полей используется МКЭ, а для определения временных зависимостей — МКР. Для начала вся граница С условно разбивается на отрезки конечной длины — конечные элементы (рис. 18.5). В каждом элементе функции ф, т , В и D приближаются комбинацией значений этих величин в узловых точках и интерполяцией. Базисная функция линейна по S, причем S измеряется вдоль элемента. Далее, для выбора значений в контрольных точках, которыми считаются узловые точки, к уравнению (18.52) применяется метод коллокации. Таким образом, при дискретизации уравнение (18.52) заменяется системой алгебраических уравнений относительно Ф , т] и Л , причем индекс i означает, что величина относится к узловой точке i, а точка означает дифференцирование по времени. С другой стороны, при дискретизации уравнения (18.55), принимая во внимание произвольность величин получаем другую систему уравнений относительно фг, ф , T)i, т и bi ). Поскольку эти системы уравнений нелинейны относительно неизвестных величин, для численного решения используется метод возмущений. Пусть [c.437]

Устойчивость несущего винта с учетом аэроупругости может быть оценена путем численного решения нелинейных уравнений движения для определения переходного процесса. Недостаток такого подхода заключается в том, что для определения Переходного процесса требуется существенно больший объем вычислений, чем для получения периодического решения (которое, кстати говоря, должно быть определено как исходное состояние для переходного процесса), и в том, что по переходному процессу не так просто получить количественную информацию о полной динамике системы. Альтернативным подходом является расчет устойчивости с учетом аэроупругости при помощи методов теории линейных систем (см. разд. 8.6). Линейные дифференциальные уравнения описывают возмущенное движение несущего винта и вертолета относительно балансировочного положения. Затем устойчивость оценивается непосредственно по собственным значениям. При этом подходе основная трудность заключается в получении уравнений движения, описывающих систему, что является условием применения эффективного аппарата теории линейных систем. В случае рассмотрения всего вертолета при расчете устойчивости с учетом аэроупругости одновременно определяются динамические характеристики вертолета как жесткого тела, что также важно для характеристик устойчивости и управляемости. [c.692]

Из этих уравнений следует, что величина и + а) не меняется во времени в точках, передвигающихся со скоростью ue = V + с относительно невозмущенной среды ) аналогичная величина (v — а) не меняется в точках, движущихся со скоростью = — (с — у). Таким образом, первое из этих уравнений описывает возмущение, распространяющееся в направлении ж > О, второе — в направлении ж < 0. [c.61]

Эти выражения следует подставить в исходные уравнения. Тогда, если провести линеаризацию полученных уравнений и оставить только члены первого порядка относительно р, р, Т, ср и г 1, то уравнения для возмущенных величин будут (прп этом считаем, что V20 = г зо = О, vio = Мс) [c.474]

Следует заметить, что для сферы, совершающей медленные колебания ujL/Voo -<-< 1) относительно смещенного центра, решение систем дифференциальных уравнений для возмущений в фазе с углом атаки а и угловой скоростью а можно выразить через газодинамические функции стационарного обтекания и их производные [9]. Для параметров с индексом а решение в этом случае можно представить в следующем виде для скалярных величин / получим (f Р, р) [c.74]

Таким образом, сложная нелинейная система трехмерных нестационарных уравнений пограничного слоя распалась на три системы (7.11), (7.12), (7.13), причем первая нелинейная система с индексом О решается независимо от остальных уравнений. Следующая линейная система относительно возмущений параметров с индексом а (7.12) решается после нахождения решения системы (7.11). Система (7.13) использует решения систем (7.11) и (7.12). [c.149]

Эти уравнения отвечают возмущениям, в которых скорость и температура — соответственно нечетные и четные функции относительно середины каждого канала. [c.206]

Дифференциальные уравнения возмущенного движения (2.4), получаемые методом вариации постоянных, вполне точны. Когда вспомогательная задача (для функции Гамильтона И ) отличается от исходной малыми слагаемыми, то новые переменные в этих дифференциальных уравнениях — они были постоянными во вспомогательной задаче — представляют медленно изменяющиеся функции времени, вследствие чего оказываются применимыми приемы приближенного интегрирования. В противоположность этому, излагаемый далее способ рассмотрения возмущенного движения основывается на составлении приближенных дифференци альных уравнений относительно предполагаемо м лых отклонений (вариаций) возмущенного движения от заданного невозмущенного движения. При учете лишь первых степеней этих отклонений задача сводится к рассмотрению системы линейных дифференциальных уравнений, называемой системой в вариациях. Интегрирование ее облегчается возможностью непосредственного написания некоторых частных решений в числе, равном числу произвольных постоянных в решении задачи о невозмущенном движении, отклонения от которого рассматриваются ). [c.605]

Линеаризация уравнений. Если тело, помещенное в поток, хорошо обтекаемо, то вносимые им возмущения будут достаточно малы. Тогда уравнения (1) и (2) можно линеаризировать относительно возмущений потенциала ф. Пусть невозмущенная скорость потока I/ имеет направление, параллельное оси Ох (рис. 2). Вместо движения газа можно рассматривать движение тела со скоростью I/ в отрицательном направлении оси Ох. Малые возмущения скоростей имеют потенциал ф [c.470]

Случай малых колебаний. Линеаризованное уравнение Рэлея, записанное относительно возмущения объема пузырька в предположении потенциального течения жидкости, имеет вид (1.63) [c.96]

Заметим, что выписанные в (5.48) линейные члены в первых двух уравнениях не содержат величин z, z, z", а в третье уравнение не входят члены с л , г/ и их производными. Это объясняется тем, что Z, z и z входят в первые два уравнения только через посредство р, Д и их производных, а правая часть третьего уравнения содержит z множителем, который будет входить и во все остальные производные от Z по л и г/. Но члены высших порядков относительно возмущений и их производных первого и второго порядков вообще входят в разложения величин X, Y, Z. [c.242]

Учитывая сказанное выше о возмущенном и певозмущенном решениях (движениях), а также о разностях между ними, называемых возмущениями х = у — у,- ( =1,2,. .., з), запишем уравнения относительно возмущений [c.72]

К происхождению неустойчивости ударных волн в области (90,17) можно подойти также и с несколько иной точки зрения, рассмотрев отражение от поверхности разрыва звука, падающего на нее со стороны сжатого газа. Поскольку ударная волна движется относительно газа впереди нее со сверхзвуковой скоростью, то в этот газ звук не проникает, В газе же позади волны будем иметь, наряду с падающей звуковой волной, еще и отраженную звуковую и энтропийно-вихревую волны (а на самой поверхности разрыва возникает рябь). Задача об определении коэффициента отражения по своей постановке близка к задаче об исследовании устойчивости. Разница состоит в том, что наряду с подлежащими определению амплитудами исходящих от разрыва (отраженных) волн в граничных условиях фигурирует еще и заданная амплитуда приходящей (падающей) звуковой волны. Вместо системы однородных алгебраических уравнений мы будем иметь теперь систему неоднородных уравнений, в которых роль неоднородности играют члены с амплитудой падающей волны. Peuienne этой системы дается выражениями, в знаменателях которых стоит определитель однородных уравнений,— как раз тот, приравнивание которого нулю дает дисперсионное уравнение спонтанных возмущений (90,10). Тот факт, что в области (90,17) это уравнение имеет веш,ественные корни для os 0, означает, что существуют определенные значения угла отражения (и тем самым угла падения), при которых коэффициент отражения становится бесконечным. Это — другая фор- [c.476]

Дифференциальное уравнение равновесия и граничные условия. Используя определение эйлеровой критической силы как наименьщей из сил, способных удержать стержень в искривленном состоянии, полагая в качестве такового положение нейтрального (безразличного) равновесия, составим такое дифференциальное уравнение равновесия стержня, находящегося в отмеченном выще состоянии, т. е. уравнение относительно бо-возмущения (прогиба) первоначально прямолинейного очертания оси, из которого можно найти нетривиальное для 8v рещение. Уравнением, удовлетворяющим этому условию, является уравнение равновесия, составленное с учетом поворота, но без учета деформации элемента стержня ). [c.329]

О 510 20 30 0 у/тельной составляющей скорости рассмотрим уравнение движения для стабилизированного неста-ционзрного режима течения несжимаемой жидкости (392), которое относительно возмущенных величин при вышепринятом допущении о независимости во времени турбулентной вязкости для плоского канала запишется в виде [c.198]

Рассмотрим систему -уравнений относительно вектора возмущений фазовых переменных хе91 [c.528]

Нестационарное поле малых скоростей, определяемое уравнениями (9), должно удовлетворять некоторым линеаризованным дифференциальным уравнениям в частных производных для возмущенного движения с обычными граничными условиями прилипания. Подставляя выражение (9) в эти уравнения, получим обыкновенные дифференциальные уравнения относительно неизвестных функций Uj, Ua, 3 с коэффициентами, зависящими от X и р. Далее находится фундаментальная система решений этих уравнений и при удовлетворении краевых условий составляется некоторое характеристическое уравнение, которое связывает А, и Р с числом Рейнольдса для данной задачи. При этом весь анализ сводится к определению знака Reel Р (действительной части параметра нарастания возмущений Р). Если Reel Р <0, то основное движение, определяемое формулой (8), устойчиво по отношению к возмущениям, определяемым формулами (9) если Reel р > О, то оно неустойчиво. [c.18]

Сохранив в выражении (148) относительной величины возмущения плотности р/роо квадратичный член (vlUсо) , имеющий, как мы только что убедились, тот же порядок, что и первый член 2ulUмы тем самым отказываемся от допустимости линеаризации уравнения малых возмущений. [c.333]

Все это побудило нас с Аникичевым [27] использовать известный в операторном анализе простой и эффективный прием, позволяющий обойти трудности, связанные с наличием вырождения собственных функций резонаторов из бесконечных зеркал. Этот прием в обсуждаемой ситуации сводится к тому, что искомые моды возмущенного резонатора ищутся в виде суммы не бесконечного, а конечного числа р образующих комплекс с единой частотой исходных мод. В это число включаются моды, в наибольшей степени связанные между собой светорассеянием за счет возмущения (соответствующие матричные элементы оператора возмущения относительно велики, а разности собственных значений малы). В результате такого приближенного представления решений система (3.1) из бесконечной переходит в систему из р уравнений относительно р неизвестных коэффициентов йуп, малость каких-либо из которых уже не предполагается. Далее следует стандартная процедура требование существования ненулевых решений приводит к характеристическому уравнению, из которого находится р значений /3. Каждому из них соответствует свой набора , определяющий одну из собственных функций возмущенного резонатора в данном приближении. [c.150]

Относительно простые уравнения, учитывающие геометрическую нелинейность задачи, получаются, если ввести допущение о том, что в процессе ползучести оболочки при возмущенном движении, обусловленном некоторыми отклонениями от идеальной формы, напряжения и деформации в ней мало отличаются от напряжений и деформаций основного безмо-ментйого состояния. Введение этого допущения позволяет привести задачу об определении прогибов и напряжений пологой оболочки в условиях ползучести к системе из двух нелинейных интегродифференциальных уравнений относительно прогиба и функции напряжений, зависящих от координат на срединной поверхности и времени [87], Эти уравнения отличаются от уравнений, которые были получены ранее [83, 77] при исследовании условных критериев устойчивости, только слагаемыми, учитывающими геометрическую нелинейность. Сведение задачи к системе из двух уравнений позволяет использовать для решения задач ползучести оболочек эффективный прием, аналогичный тому приему, который был предложен Карманом и Тзяном при решении нелинейных задач для упругих оболочек. Прием состоит в разыскании функции прогибов в виде ft (О Щ (х, у), где Wi x, у) — задаваемые функции координат. Вид функции напряжений устанавливается с помощью уравнения совместности. Второе уравнение интегрируется по координатам приближенно в смысле Бубнова — Галеркина. Задача сводится к системе нелиь ей-ных интегральных уравнений относительно функций интегрирование которых при заданных начальных условиях [c.273]

Вторую группу работ, относящихся к теории динамического программирования, составляют исследования конкретных классов задач. При этом речь идет прежде всего о выделении таких классов этих задач, для которых метод динамического программирования позволяет находить оптимальное управление [t, х в замкнутой форме или по крайней мере позволяет указать эффективно реализуемую вычислительную процедуру. Важный круг таких задач определился в результате исследований, начатых А. М. Летовым (1960), где была сформулирована задача об аналитическом конструировании оптимальных регуляторов. Первоначально эта задача была сформулирована как проблема стабилизации невозмущенного программного движения х (t) О за счет управляющего воздействия и [д ], которое обеспечивает асимптотическую устойчивость движения д (г) = О относительно возмущений х (i), описываемых в линейном приближении уравнениями [c.206]

Таким образом, исходная система (3) приведена к уравнению 2п-то порядка относительно координаты Условие инвариант-ности координаты Х относительно возмущения Д получим, под-[N1 ставляя в правую часть (24) значения [с учетом (23) и (17)] и приравнивая нулю коэффициенты при и всех ее производных [c.17]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...