Движение точек сплошной среды

ДВИЖЕНИЕ ТОЧЕК СПЛОШНОЙ СРЕДЫ [c.223]

Тогда уравнения движения точек сплошной среды запишем в виде [c.9]

Эти уравнения носят название уравнений движения сплошных сред в напряжениях. В уравнениях (3.3.5 ) время 1 и координаты х, у, г являются независимыми переменными. Это значит, что время и место наблюдения движения точек сплошной среды произвольны. Выбор в качестве независимых переменных координат х., у, % пространства, заполненного сплошной средой, указывает, что эти уравнения написаны в переменных Эйлера. [c.41]

Траектории отдельных точек сплошной среды, в которых соответствующий вектор скорости будет касательной, определяются уравнением (141.21), где t служит параметром. Способ описания движения (141.21) сплошной среды при помощи параметров а, Ь, с называется методом Лагранжа, а параметры а, Ь, с или Го — переменными. Лагранжа. [c.220]

Сплошной средой считают деформируемые тела, различные жидкости, не очень разреженные га ж1. Понятия скорости и ускорения точки сплошной среды такие же, как и в кинематике одной точки. В кинематике сплошной среды роль точки отводится малой частице этой среды. Рассмотрим задания движения сплошной среды и получим формулы, по которым вычисляются скорости и ускорения точек сплошной среды. [c.208]

Для задания движения сплошной среды в переменных Лагранжа, как и в случае одной точки, достаточно задать декартовы координаты X, у, г всех точек сплошной среды или их радиус-векторы г, но уже как функции четырех переменных. Лагранжа [c.208]

Пример 2. Сплошная среда совершает плоское движение, параллельное оси Ох, со скоростью, распределенной по линейному закону (рис. 105). Траектории точек сплошной среды являются прямыми линиями, параллельными оси Ох< В этом случае [c.212]

Если выбрать в пространстве, в котором движется сплошная среда, какой-либо замкнутый контур L (рис. 111) и через каждую его точку провести свою линию тока, то получим трубку тока. Сплошная среда не может выходить из трубки тока через боковую ее поверхность, гак как в ее точках, состоящих из линий тока, скорости точек сплошной среды направлены по касательным к поверхности трубки тока. Сплошная среда может входить и выходить из трубки тока только через ее торцовые сечения. Трубки тока используются для формулировки некоторых интегральных форм теорем о движении сплошной среды. [c.219]

Для этой цели можно воспользоваться обычным для кинематики точки приемом задания в функции от времени I координат (. 1, Х2, Xz) отдельных точек сплошной среды, но, чтобы индивидуализировать такие уравнения для различных точек среды, необходимо как-то выделить данную точку среды из остальных. Следуя Лагранжу, в качестве определяющих выбор точки параметров можно принять ее декартовы или, вообще говоря, любые криволинейные координаты а, Дг, а в некоторый начальный момент i = 0. Тогда уравнениями движения любой точки среды будут служить выражения [c.329]

Механика сплошной среды — часть механики, посвященная изучению движения газообразных, жидких и твердых деформируемых тел, т. е. таких тел, расстояния между точками которых изменяются. В обработке металлов давлением как раз и имеют дело с твердыми деформируемыми телами. В любом существенном для нас объеме очень много атомов, а расстояния между ними малы. Например, 1 см железа плотностью 7,87 г/см содержит при 20 С 8,46 10 атомов, а расстояние между соседними атомами равно 2,86-10 см. Поэтому твердое деформируемое тело можно моделировать сплошной средой, занимающей часть реального пространства. Расстояние между ближайшими точками сплошной среды как угодно мало. Эта идеализация позволяет использовать математический аппарат непрерывных функций, дифференциальное и интегральное исчисления при исследовании движения твердых деформируемых тел. [c.13]

Если М —точка сплошной среды (деформируемого тела), заданная лагранжевыми координатами то ф = ф V, V, t). Лагранжевы координаты и время i называются переменными Лагранжа. Если величина ф является функцией переменных Лагранжа, говорят, что поле этой величины задано по Лагранжу. Точка зрения Лагранжа на изучение движения сплошной среды состоит в том, что наблюдатель следит с течением времени за величиной ф (скоростью, ускорением, температурой, плотностью и др.) в индивидуальных точках среды, фиксированных лагранжевыми (сопутствующими) координатами. [c.51]

Уравнение (5.2) выполняется в каждой точке сплошной среды, не лежащей на L. Заметим, что если предположить справедливость локального закона сохранения энергии (5.2), то из уравнения (5.1) будут вытекать уравнения движения (5.3). [c.221]

Движение материальных точек сплошной среды или деформируемого тела описывается уравнениями [c.10]

Возможны два способа описания движения частиц сплошной среды. Первый способ, широко распространенный в гидро- и аэродинамике, связан со следующим выбором метода описания движения среды все величины, характеризующие движение сплошной среды, задаются в координатах неподвижного пространства. Такой выбор независимых переменных был применен впервые Эйлером, и поэтому координаты называют эйлеровыми. Возможен и другой метод выбора независимых переменных в качестве независимых переменных выбирают начальные координаты какой-либо частицы жидкости в некоторый фиксированный момент времени в последующее время эта частица перемещается в пространстве, координаты неподвижного пространства являются функциями начальных координат частицы. Этот метод описания движения сплошной среды несколько напоминает метод, используемый в динамике материальной точки, и его связывают с именем Лагранжа, а соответствующие координаты называют лагранжевыми. Лагранжевы координаты широко используются в теории упругости, а также во многих воп])осах нелинейной акустики в газах, жидкостях и твердых телах. [c.15]

Здесь р — вектор количества движения системы К — главный вектор внешних сил, приложенных к системе. В рассматриваемом случае количество движения Р точек сплошной среды, заключенной в объеме V, и главный вектор внешних сил К , приложенных к этому же объему, равны соответственно [c.21]

Эйлеров и лагранжев способы описания движения сплошной среды. При изучении движения сплошной среды используют термин точка , который может относиться как к точке пространства, так и к точке сплошной среды. В дальнейшем слово точка будет применяться только для обозначения места в неподвижном пространстве. Для обозначения малого элемента сплошной среды будем использовать слово частица (или слова материальная точка ). Таким образом, точка — место в пространстве, а частица материальная точка) — малая часть материального континуума, т. е. непрерывно заполненного материей пространства. [c.39]

Для классической механики сплошных сред физические поля — это закон движения (или деформирования) тела, представленный как зависимости координат Эйлера (т.е. координат в пространстве, которые выбираются наблюдателем для представления положений точек сплошной среды в процессе ее деформации) от координат Лагранжа (координаты Лагранжа, согласно традиционным представлениям механики сплошных сред, индивидуализируют точки континуума, являясь для каждой из них уникальной меткой) [c.665]

Будем предполагать, что момент количества движения для сплошной среды равен моменту вектора количества движения относительно какой-либо точки. Так, для части континуума, изображенной на рис. 5.1, полный момент количества движения относительно начала координат по определению равен интегралу [c.183]

Цля задания движения сплошной среды необходим закон движения (2.1) для всех ее точек и индивидуализация отдельных точек сплошной среды, которые с геометрической точки зрения совершенно одинаковы. Это можно достигнуть заданием их начальных координат в некоторый момент времени Тогда текуш ая координата х будет функцией не только времени, но и начального положения [c.21]

Как уже упоминалось вначале, все точки сплошной среды получают при деформации перемещения, которые описываются вектором перемещений и с компонентами и,. Если при движении тела перемещения всех его точек равны, то различные частицы сплошной среды движутся как одно твердое тело. Такие движения, которые не связаны с изменением расстояния между соседними частицами материала, не вызывают деформаций, так как они не приводят к появлению внутренних сил (напряжений). [c.35]

Использование в качестве независимых переменных материальных, или лагранжевых, координат Х% t позволяет проследить за историей движения каждой точки сплошной среды. [c.10]

Указанное непрерывное поле скоростей можно представить как движение гипотетической сплошной среды, которая увлекает материальные точки, находящиеся в нестройном движении. [c.56]

Если, например, тензор Цгк не зависит от движения элементов сплошной среды, то уравнения (2.22) можно рассматри- ать как уравнения связей без увеличения числа переменных гел. Приведем разъясняющий пример из аналитической механики. Уравнение [c.22]

Если мы подставим (2) —(5) в закон Эйлера (1), то получим основные законы движения механики сплошной среды — с той общностью, с которой проводится рассмотрение в этой книге ) [c.123]

Наиболее просто описывается движение частиц сплошной среды по компактным интегральным поверхностям. Пусть М — компактная поверхность без края. Так как поля v и w касаются М, линейно независимы во всех точках и коммутируют, то поверхность М — двумерный тор (точнее, М диффеоморфна тору) и в некоторых угловых координатах 1, 2 mod 2тг на этом торе дифференциальные уравнения для линий тока и вихревых линий [c.22]

Два уравнения (15 ) относительно координат х, у, г для фикснро-вашюго. момента времени I являются дифференциальными уравнениями семейства линий тока. После интегрирования этих уравнений появятся произвольные постоянные, различным значениям которых соответствуют разные линии тока. На фиксированной линии тока в рассматриваемый момент времени находятся разные точки сплошной среды в отличие от траекторий. Для стационарного движения, при котором вектор скорости не зависит от времени, семейство линий тока совпадает с семейством траекторий. Для нестационарного движения это разные семейства линий. [c.218]

Выберем в пространстве, в котором движется сплошная среда, неподвижную относительно инерциальной системы отсчета, замкнутую поверхность площадью 5, ограничивающую объем V. Эта воображаемая поверхность не препятствует движению сплошной среды. Применим к сплошной среде, которая находится в выделенном объеме в момент времени 1, первое следствие из принципа Даламбера для системы. Согласно этому следствию, векторная сумма всех действующих на точки сплошной среды объемных и поверхностных сил вместе с lлaм l инерции точек относительно инерциальной системы отсчета равна нулю. [c.547]

Согласно закону Стокса, состоящему в том, что вязкие напряжения, возникающие в любой точке сплошной среды, зависят только от относительного движения жидкости вблизи этой точки, связь между тензором вязких напря-. жений и тензором скорости сдвига в простейшем случае имеет вид [c.79]

Если М — точка простюанства наблюдателя, заданная эйлеровыми координатами x , х , х , то ф = ф (х , х, х , t). Эйлеровы координаты и время t называются переменными Эйлера. Если величина ф является функцией переменных Эйлера, говорят, что поле этой величины задано по Эйлеру. Точка зрения Эйлера на изучение движения сплошной среды состоит в том, что наблюдатель следит с течением времени за величиной ф в точках пространства, фиксированных эйлеровыми координатами. В рассматриваемую точку пространства в разные моменты времени приходят разные точки сплошной среды с различной скоростью, ускорением, температурой и др. [c.51]

Если в некоторой точке сплошной среды изменить хотя бы одну из величйн, характеризующих состояние и движение вещества то это возмущение с течением времени будет распространяться во все стороны. Рассмотрим дифференциальные уравнения, описывающие малые возмущения в идеальной жидкости. Исходными уравнениями для них являются уравнения неразрывности (1.97) и движения (1.105), которые в случае одномерного движения среды принимают вид [c.81]

Сравнивая первые строки правых частей этих равенств с (10), заключим, что их можно интерпретировать как проекции скоростей того квазитвердого движения элементарного объема среды, которое в данный момент было бы единственным, если бы среда мгновенно затвердела. Поступательная скорость в таком квазитвердом движении элементарного объема совпадала бы со скоростью F полюса М, а угловая скорость (ft равнялась бы половине вихря rot F, вычисленного в данной точке М. Мы видим, что наряду с этой ква-зитвердой составляющей движения имеется еще дополнительная составляющая, представленная вторыми строками в правых частях системы равенств (14). Эта составляющая представляет отличие движения деформируемой сплошной среды от недеформируемой, абсолютно твердой, и поэтому носит наименование деформационной составляющей движения сплошной среды. [c.38]

Однако в Отделе третьем Динамики содержится не только обоснование этого общего закона площадей, но и вывод общей зависимости между суммой моментов количеств движения материальных точек ( тел ), составляющих систему, и суммой моментов внешних сил — закон моментов . Этот результат (притом для более общего случая) содержится в исследованиях Далам-бера и Эйлера по динамике твердого тела, о чем см. пункты 11, 12 данной главы. Эйлеру принадлежит также заслуга в формулировании закона моментов количеств движения для сплошной среды (жидкости) — в качестве независимого принципа действительно, все приводимые и до сих пор доказательства закона моментов для сплошной среды, основанные на тех же предпосылках, что и в случае системы материальных точек и абсолютно твердого тела, иллюзорны. [c.127]

В 1948 г. Л. Г. Лойцянский и А. И. Лурье включили в свой Курс теоретической механики главу Динамика точки и тела переменной массы . Тем же по существу методом, что и Космодемьянский, они выводят основные уравнения динамики системы и твердого тела переменной массы. Однако в качестве интересной иллюстрации применения теоремы количества движения к сплошным средам авторы курса возрождают также подход Л. Эйлера к вычислению реактивной силы водометного судна (и реактивного момента гидравлической турбины), примененный им в середине XVHI в. Изложение теоремы Эйлера в современной векторной форме привело авторов к формулировке главные векторы объемных и поверхностных сил и векторы количества движения масс жидкости, входящих и выходящих сквозь два каких-нибудь сечения трубы в единицу времени, направленные внутрь выделенного объема, образуют замкнутый многоугольник. Совершенно таким же методом, как в свое время Эйлер определял реактивную силу водомета, авторы получили для реактивной силы свободного снаряда выражение [c.242]

Скорость точки сплошной Среды, принадлежаи ей бесконечно малому объему, складывается из трех слагаемых скорости полюса, скорости точки во враш,ательном движении затвердевшей жидкой частицы вокруг мгновенной оси, проходяш ей через полюс А, с угловой скоростью =- Q ==rot v, и скорости деформации Уд = grad F. [c.28]

Курс содержит четыре части, В первой из них, общей для всех частей, излагаются основные понятия кинематики и основные уравнения движения произвольной сплошной среды. Вторая часть посвящена из-ложению элементов некоторых разделов гидродинамики, уравнения движения идеальной и вязкой жидкости, аэродинамика, волновые движения у пограничный слой. Особое внимание в этом разделе уделено плоскопараллельным движениям и двумерным движениям вдоль криволинейных поверхностей. Теория фильтрации, которой посвящена третья часть у рассматривается с точки зрения применения методов гидродинамики к решению технических краевых задач. Последняя, четвертая, часть посвящена уравнениям теории упругости и применению их к некотх)рым конкретным задачам. Втюрая и третья части а также частично третья часть, независимы друг от друга и могут изучаться отдельно. [c.2]

Произведя несложные преобразования, можно показать, что соотношения (1.2.2) представляют собой теоремы о количестве и моменте количества движения систем. Уравнения (1.2.2) необходимы для описания движения механических систем, состояш,их из дискретных материальных точек. Если механическая система представляет собой сплошную среду, заполняюш,ую часть пространства V, то левые части уравнений (1.2.2) превратятся в определенные объемные интегралы, и массы отдельных точек преобразуются в бесконечно малые элементы д,т сплошной среды. При этом если на среду будут действовать п сосредоточенных сил и силы, распределенные по всем точкам сплошной среды, то необходимые уравнения движения сплошной среды будут иметь вид [c.8]

Если ввести вектор относительной скорости С = v — D, где v — вектор скорости движения частиц сплошной среды относительно выбранной неподвижной системы координат 0Ж1Ж2Ж3, то условие на поверхности разрыва примет вид [c.88]

Вообще, при движении сплошной среды удобно ввести сопутствующую систему координат неразрывно связаннзто со средой. Наряду с координатами х- Лагранжевы координаты можно рассматривать как другие координаты тех же точек пространства, которые называют подвижной сопутствующими координатами. Все точки сплошной среды всегда покоятся относительно [c.119]

Метод Лагранжа. Координаты x х (вектор х) называются лагранжевыми координатами точек тела. Это, вообще говоря, криволинейные координаты, хотя при t—to они выбраны нами как декартовы. Действительно, семейство физических плоскостей х =соп51 при /= 0, как видно из (3.23) и ясно из физических соображений, преобразуется в некоторое семейство поверхностей. Метод Лагранжа основывается на использовании лагранжевых координат и состоит в изучении движения частиц сплошной среды и всех необходимых параметров в виде функций х и Вместо радиуса вектора х=ф при этом часто используется вектор перемещения частицы и(х, ). Скорость и ускорение частицы выражаются формулами (3.24 ). [c.64]

Движение любой сплошной среды, рассматриваемое в эйлеровом пространстве, обладает некоторыми свойствами, вытекающими из определений линий токов, вихрей и закона сохранения массы. Как уже отмечалось в 3, линией тока в момент t называется траектория вектора скорости О проходящая через какую-нибудь точку хоу т. е. линия, определяемая дифференциальным уравнением [c.92]

Зафиксируем текущую координату х, тогда (2.3) определит те точки (с координатами в начальном состоянии ), которые в различные моменты времени приходят в фиксированную точку х. Координаты х и t называются переменными Эйлера. Таким образом, при эйлеровом описании следят за тем, какие точки сплошной среды приходят в данную точку пространства, а в лагранжевом — за движением каждой точки. [c.22]

Если г]гкфО, то уравнения (2.22) в упомянутом шестимерном пространстве, вообще говоря, не являются уравнениями связей, так как компоненты х]1и могут зависеть от закона движения элемента сплошной среды. Чтобы иметь право рассматривать уравнения (2.22) как уравнения связей, следует увеличить число переменных поля, введя компоненты Щгп. Если тензор Цгк симметричен, то в четырехмерном пространстве он имеет десять независимых компонент. Кроме того, тензор деформаций имеет шесть компонент. Таким образом, уравнения [c.22]

В трехмерном пространстве число функциональных степеней свободы уменьшается. Если, следуя Кренеру, рассматривать несимметричный тензор т]гй, то система будет иметь 15 функциональных степеней свободы, но при этом надо ввести обобщенный тензор R h, известный из неголономной геометрии, и потребовать, чтобы коэффициенты вращения Риччи не зависели от закона движения элемента сплошной среды. При симметричном тензоре т] система будет иметь 12 функциональных степеней свободы в трехмерном пространстве. Аналогичные заключения можно сделать об уравнениях (2.23). [c.22]

Эта аксиома позволяет индавидуализировать (материализовать) точки сплошной сред Индивидуальной (материальной) точкой называется точка получаекая в результате движения фиксированной точки Для краткости индивидуальная точка [c.43]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...