Уравнения дифференциальные семейств линий

Уравнения дифференциальные семейств линий скольжения 411 [c.464]

Согласно (37.19), дифференциальное уравнение первого семейства линий скольжения должно пметь вид [c.602]

Метод характеристик, основы которого применительно к потенциальным течениям изложены в п 1.12.5, имеет широкую область применения. Так, с соответствующими изменениями он применим для осесимметричных потенциальных течений [43]. Для плоских и осесимметричных вихревых течений уравнения сверхзвукового потока газа обладают тремя семействами характеристик, одно из которых есть семейство линий тока. Дифференциальные соотношения на характеристиках в конечном виде для этих случаев не интегрируются, и тогда эффективным методом расчета является конеч-но-разностный метод, ориентированный на применение ЭВМ. Изложение основ такого метода использования характеристик можно найти в [6, 17]. [c.77]

В декартовой системе координат векторное равенство (6) эквивалентно системе дифференциальных уравнений, определяющих семейство векторных линий [c.43]

В заключение разберем один из методов построения сетки линий скольжения и определения напряжений при плоской деформации идеально пластического тела. Решая задачу плоской деформации идеально пластического тела, многие исследователи строят в целях детального изучения напряженного состояния два взаимно ортогональных семейства линий скольжения. С этой целью применяются различные приемы численного или аналитического интегрирования системы дифференциальных уравнений (6-4). Приведем еще один, до некоторой степени оригинальный метод решения 172 [c.172]

Внося это значение в (14.229) и (14.230), мы получим дифференциальные уравнения обоих ортогональных семейств линий скольжения [c.414]

Линии скольжения в слое 0 - е легко построить, используя дифференциальное уравнение первого семейства [c.585]

Численный расчет сверхзвукового течения методом характеристик сводится к последовательному решению отдельных элементарных задач, связанных с определением координат внутренних и граничных узлов характеристической сетки и параметров течения в этих узлах. При решении этих задач узлы характеристической сетки определяются как точки пересечения отрезков прямых линий, уравнения которых являются конечно-разностными аналогами соответствующих дифференциальных уравнений направления. Этими линиями могут быть отрезки характеристик первого или второго семейства, линий тока или ударных волн. Параметры в искомом внутреннем узле характеристической сетки определяются с помощью условий совместности вдоль характеристик, а в граничном узле — с помощью условий совместности и соответствующего граничного условия. [c.129]

Описанный выше способ построения поверхностей тока указывает способ интегрирования уравнений с частными производными, имеющих вид( 3.5). Это интегрирование сводится к нахождению семейства линий тока, проходящих через контур С, т. е. к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений (решения этих обыкновенных уравнений называются в общем случае характеристиками). Видно, что построить таким образом единственное решение можно лишь в случае, когда сам контур С не является линией тока (т. е. характеристикой). [c.44]

Дифференциальные уравнения семейств линий скольжения а [c.175]

При фиксированных а, Ь это есть уравнение однопараметрического семейства прямых линий скольжения. Теперь необходимо построить ортогональные траектории этого семейства. Дифференциальное уравнение искомых траекторий таково [c.126]

Если теперь параметр принять за некоторую новуЮ лагранжеву координату, то при различных начальных условиях эта система обыкновенных дифференциальных уравнений определит в фазовом пространстве системы семейство координатных линий, соответствующих изменению координаты при фиксированном времени 1. Условие, при котором координате соответствует циклический интеграл, сформулируем в виде теоремы. [c.561]

Решение дифференциальных уравнений неустановившегося движения определяется таким образом двумя семействами пересекающихся линий — сеткой характеристик, представляющих собой законы распространения фронтов всех мыслимых волн, могущих нарушить волну, определяемую уравнениями (22-5). [c.208]

Рис. 19. Бифуркационная диаграмма семейства диффеоморфизмов (7) и соответствующего семейства дифференциальных уравнений. Жирной линией выделены база однопараметрического семейства и вещественная ось

Рассмотрим шарнирное опирание края пластинки.. Для этого случая, так же как и для предыдущего, предположим, что линии равного перемещения образуют семейство подобных концентрических эллипсов, начинающихся от внешней границы как от одной из этих линий. Здесь необходимо отметить, что для случая круговой пластинки необходимости в таком предположении нет. Дифференциальное уравнение (20) и его решение (33) для смещенной поверхности пластинки, как и в предыдущем случае, остается без изменений, и только геометрические граничные условия (31) необходимо представить несколько иначе. Для этого случая имеем следующие граничные условия [c.189]

Задача об определении семейства вихревых линий по заданному полю векторов угловой скорости приводится к интегрированию дифференциальных уравнений, аналогичных уравнениям (6). Если через г/, <1% обозначить компоненты элемента г вихревой линии, то из условия подобия треугольника, построенного на элементе йв и его компонентах, и треугольника, построенного на векторе <о и его компонентах, получаем следующие дифференциальные уравнения вихревых линий [c.233]

Следовательно, условия (37) приводятся для обоих семейств искомых координатных линий к одному и тому же, обыкновенному дифференциальному уравнению [c.404]

Предположим обратное. Пусть из некоторой внутренней точки С отрезка АВ может быть проведена характеристика СВ имеющая с АВ лишь одну общую точку С. Пусть СВ — характеристика второго семейства. Рассмотрим теперь отрезок АС и проведем из некоторой его внутренней точки Е характеристику ЕЕ. Если ЕЕ — характеристика первого семейства, то проведем характеристику из внутренней точки отрезка АЕ. Так мы построим две характеристики одного семейства пусть это будут характеристики второго семейства СВ ж ЕЕ. Область между ЕЕ ж СВ покрыта характеристиками второго семейства, не имеющими общих точек друг с другом. Они получены продолжением характеристик второго семейства из сверхзвуковой области до границы области определения дифференциального уравнения характеристик — отрезка СЕ звуковой линии (рис. 1.17). [c.43]

Решение. Поскольку одна из декартовых составляющих векторного поля отсутствует, силовые линии должны представлять собой семейство плоских кривых, лежащих в плоскостях, параллельных плоскости ху. Вектор поля в каждой точке касателен к силовой линии, откуда вытекает дифференциальное уравнение силовых линий [c.7]

Линии скольжения — Дифференциальные уравнения семейства 175 [c.390]

Дифференциальный подход к определению огибающей семейства поверхностей применим для случаев, когда уравнение огибаемой поверхности в точке касания с огибающей дифференцируемо. Вследствие того, что используемые в приложениях поверхности не безграничны, могут быть представлены кусочно и др., поверхность детали могут формировать в том числе и точки, которые принадлежат линиям излома и которые являются особыми точками на огибаемой поверхности. [c.294]

Если однопараметрическое семейство винтовых линий постоянного шага на винтовой поверхности И задать уравнением вида Я(и Х)= О, где к -параметр семейства винтовых линий, то искомая линия принадлежит семейству кривых, пересекающих все кривые однопараметрического семейства (и . У д)=о под заданным углом а, а ее уравнение является решением дифференциального уравнения изогональных траекторий (Корн Г., Корн Т., 1974) [c.460]

При X 4,71 на однопараметрическом семействе равновесий в системе обыкновенных дифференциальных уравнений возникают четыре точки, имеющие двукратное нулевое собственное значение. При увеличении параметра эти равновесия монотонно теряют устойчивость и на кривой равновесий возникают четыре неустойчивые дуги. На фиг. 5 изображены линии тока одного из четырех потерявших устойчивость стационарных режимов, который имеет 10 конвективных валов (а), и одного из устойчивых режимов (б) с 9 конвективными ячейками. [c.60]

Два уравнения (15 ) относительно координат х, у, г для фикснро-вашюго. момента времени I являются дифференциальными уравнениями семейства линий тока. После интегрирования этих уравнений появятся произвольные постоянные, различным значениям которых соответствуют разные линии тока. На фиксированной линии тока в рассматриваемый момент времени находятся разные точки сплошной среды в отличие от траекторий. Для стационарного движения, при котором вектор скорости не зависит от времени, семейство линий тока совпадает с семейством траекторий. Для нестационарного движения это разные семейства линий. [c.218]

Для одномерного нестационарного двимсения можно ввести характеристики как линии в плоскости х, t, угловой коэффициент которых dx/dt равен скорости распространения малых возмущений относительно неподвижной системы координат. Возмущения, распространяющиеся относительно газа со скоростью звука в полол ительном или отрицательном направлении оси х, перемещаются относительно неподвижной системы со скоростью v -f- с или V — с. Соответственно дифференциальные уравнения двух семейств характеристик, которые мы будем условно называть характеристиками С+ и С , гласят [c.542]

Так как движение установившееся, линии тока и траектории совпадают. Их дифференциальные уравнения согласно (1.ПЗ) имеют вид dxldt = ( >f), dyldt — = Vy (x, y). Решение этой системы уравнений уже найдено — формулы (П1.24), которые являются параметрическими уравнениями линий тока и траекторий. Исключая параметр (, получим уравнение семейства линий тока и траекторий [c.101]

Соотношение (16.17), очевидно, представляет собой дифференциальное уравнение семейства линий годографа (рис. 16.4) для серии путей деформирования при условии а= onst. Из это-то следует, что задача экстраполирования кривых е" = /(/) при длительных испытаниях на ползучесть тесно связана с выбором [c.629]

Второе семейство линий скольжения строится по обычным летодам как семейство ортогональных кривых (рис. 73, б) дифференциальное уравнение этого семейства интегрируется в замкнутой форме [ ]. [c.146]

Линии первого семейства (а-линии) соответствуют фиксированным значениям параметра р р = сопз1). Вдоль р-линии постоянен параметр а. Линия а отклоняется вправо от направления главных напряжений (рис, 62), линия р отклоняется влево. Условимся фиксировать направления линий а, р так, чтобы они образовывали правую систему координат (при этом касательное напряжение положительно). Дифференциальные уравнения семейства а, р соответственно будут [c.113]

Если в качестве фиксированного семейства координатных линий можно взять пучок прямых, и в частности параллельных прямых, решение уравнений в полуфиксированной сетке в целом оказывается практически проще, чем в естественной, особенно для относительно широких каналов. При решении уравнений непосредственно применяется так называемый метод прямых [17], который позволяет строго перейти от уравнений в частных производных к системе обыкновенных дифференциальных уравнений и построить некоторые оценки точности метода. [c.319]

Сопоставление линий скольжения и характеристических линий. Так как tg 28 + 1 = D >0, то уравнение (XIII.15) принадлежит к гиперболическому типу и имеет два семейства действительных характеристик. Сравнивая дифференциальные уравнения (XIII.4) для линий скольжения с уравнениями (XIII.16) для характеристических линий, обнаруживаем их полное совпадение. Так как tg 0 tg 0=1, то соблюдается и условие ортогональности характеристических линий. [c.282]

Характеристики дифференциального уравнения (3.2.6) представляют собой семейство прямых =xtg0 + /(0), в = onst (где /(в) - произвольная функция), совпадающих с линиями скольжения. Параметрическое представление эллипса имеет вид [c.150]

Заметим, что общий случай, когда краевые условия заданы на некоторой некруговой достаточно гладкой поверхности Г, рассматривается совершенно аналогично. Следует лишь предварительно перейти в уравнении (1) к новым криволинейным координатам, так чтобы линии одного из семейств координатньк линий (аналоги линий (р = onst) были ортогональны к поверхности Г. Тогда дифференцирование вдоль этих линий (по нормали к Г) будет аналогично дифференцированию по г в (18) и главная часть дифференциального оператора правой части в (18), соответствующая двум первым слагаемым, сохранит свой вид. [c.286]

Для исследования оптимальных движений механических систем со свободными (или управляющими, регулируемыми) функциями имеются мощные математические методы, составляющие в наши дни основу вариационного исчисления или, более широко, функционального анализа. Создание реальной конструкции (ракеты, самолета, автопилота) тесно связано с изучением экстремальных свойств функций многих переменных и функционалов. Мудрый Леонард Эйлер писал в одной из своих работ ...так как все явления природы следуют какому-нибудь закону максимума или минимума, то нет никакого сомнения, что и для кривых линий, которые описывают брошенные тела, если на них действуют какие-нибудь силы, имеет место какое-то свойство максимума или минимума . Анализ содержания научных статей по динамике полета, опубликованных за последние 20—25 лет, убеждает нас в том, что методы вариационного исчисления не только позволяют выделять из бесконечного разнообразия возможных движений, определяемых дифференциальными уравнениями механики, более узкие классы движений, для которых некоторые (обычно интегральные) характеристики будут оптимальными в ряде случаев они дают возможность детального аналитического исследования, так как для некоторых экстремальных режимов уравнения движения интегрируются в конечном виде. Опорные аналитические решения для оптимальных движений можно находить во многих трудных задачах, когда системы исходных уравнений являются нелинейными. Как эмпирический факт можно отметить, что для классов оптимальных движений нелинейные дифференциальные уравнения становятся более податливыми и в большом числе задач Зо-пускают интеграцию в квадратурах. Мы уверены в том, что семейства аналитических решений нелинейных уравнений механики в конечном виде внутренне тесно связаны с условиями оптимальности и в задачах динамики ракет и самолетов играют роль невозмущенных движений, аналогичных кеплеровым движениям в задачах небесной механики . [c.35]

В [28] при получении в рамках ОММЛ в вариационных задачах неравновесной и равновесной сверхзвуковой газовой динамики впервые были введены разрывы множителей Лагранжа (МЛ), вводящих в задачу уравнения течения. Было показано, что при непрерывных параметрах течения линиями разрыва МЛ могут быть и С -характеристики и линии тока, т.е. характеристики всех трех семейств уравнений течения. Кроме того, были получены конечные и дифференциальные условия для скачков МЛ на линиях их разрыва и выявлена одна из возможных причин их появления - изломы исследуемых на оптимальность контуров. Как и почему так получается, читатель узнает из Главы 4.15. Отметим, что в [28] разрывы МЛ были введены раньше, чем для вариационных задач, описываемых уравнениями гиперболического типа, это сделали математики - специалисты по [c.365]

Линии скольжения не были определены, поскольку их дифференциальные уравнения нелегко проинтегрировать. Однако на рис. 15.54 приводится их вероятный вид (построенный с ограниченной точностью по полю их изоклин) вблизи поверхности откоса. Линии первого семейства, имеющие наклон влево, поворачиваются, приближаясь к вертикальным линиям, а линии второго семейства — к линиям т] = onst, которые на очень больших глубинах ц наклонены под углом 6 = р = 30°. Это подтверждает законы, установленные для нижнего, равновесного состояния Рэнкина весомого грунта в области под плоскостью, наклоненной под естественным углом покоя р (см. рис. 15.11). [c.596]

Преобразуем первое уравнение (3). Из дифференциальной геометрии известно, что (11уП1 = + Х2, где Х1, Х2 — кривизна взаимно ортогональных кривых на поверхности, ортогональной полю П1, причем выбор этих кривых произволен. (В плоском и осесимметричном течении эта поверхность существует, так как существует семейство ортогональных траекторий к линиям тока.) Итак, [c.16]

Если г = onst, то qd = tg а q уравнения (26) сводятся к одному А, —ptga-А = 0 или, в обозначениях (13), к уравнению ) А = 0. Это означает, что параметр простой волны А постоянен вдоль характеристик семейства С . Но на каждой характеристике С сохраняет постоянное значение также инвариант Римана I. Из постоянства инвариантов г и I вдоль С следует также постоянство величин g и 0, а значит, риа. Поэтому в дифференциальном уравнении характеристик С- на плоскости потенциала правая часть постоянна вдоль С . Следовательно, эти характеристики суть прямые линии на плоскости потенциала с уравнением вида [c.267]

Для рассмотренных выше гиперболических дифференциальных уравнений равномерно пригодное разложение было получено растяжением одной из характеристик линеаризованного уравнения. Результирующая растянутая координата была лучшим приближением к точной характеристике. Линь [1954] и Фокс [1955] обобщили метод Лайтхилла для задач с гиперболическими дифференциальными уравнениями с двумя независимыми переменными, выбрав характеристические параметры в качестве независимых переменных. Эта процедура сводится к растяжению двух семейств характеристик. Таким образом они смогли рассмотреть общие волны в потоке жидкости, в котором исходящие и приходящие волны взаимодействуют. [c.103]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...