Момент вектора относительно точки центральный

Здесь постоянными величинами являются главный вектор R заданной системы сил и его проекции на оси X, У, Z, проекции М -, Му, Мг главного момента Mq относительно начала координат, а также наименьший главный момент М.. Переменными величинами являются текущие координаты точек центральной оси х, у, г. Два уравнения центральной оси можно получить, приравняв друг другу любые два отношения из четырех. [c.113]

Решение. Прямоугольный параллелепипед имеет три плоскости симметрии, взаимно перпендикулярные и проходящие через середины ребер. Центр масс С совпадает с точкой пересечения этих плоскостей. Главные центральные оси инерции начинаются в точке С и направлены параллельно соответствующим ребрам параллелепипеда. Пронумеруем оси так, чтобы направляющие векторы в1 — первой оси, ег — второй оси, ез — третьей оси были параллельны ребрам с длинами а, Ь, с соответственно. Найдем моменты инерции Пь Пз, Пз относительно координатных плоскостей, перпендикулярных векторам еь ез, ез. Для того чтобы найти Пь рассечем параллелепипед на п одинаковых слоев плоскостями, перпендикулярными вектору ех. Момент инерции каждого такого слоя будет совпадать с моментом инерции пересечения этого слоя с первой главной осью, когда этому пересечению сопоставлена масса всего слоя. Переходя к пределу при п -+ оо. видим, что момент Пх будет совпадать с моментом инерции относительно С отрезка, равного пересечению параллелепипеда с первой главной осью, имеющего длину а и массу, равную массе всего параллелепипеда. Аналогичные рассуждения можно провести с целью расчета моментов Пз и Пз. Воспользовавшись затем решением задачи 1.14.2, получим [c.67]

Решение. Центр масс совпадает с центром С сферы. Любая ось, проходящая через точку С, есть главная центральная. Назначим произвольно три взаимно перпендикулярные координатные оси с направляющими единичными векторами еь ез, ез, проходящие через точку С. Момент инерции сферы относительно точки С, очевидно, будет Рс = МЯ . В силу симметрии сферы моменты инерции Пь Пз, Пз относительно координатных плоскостей будут одинаковыми. Но так как //с = П1 -Ь Пз -Ь Пз, то [c.70]

Из поверхностей второго порядка этому условию удовлетворяет только одна, а именно эллипсоид. Найденный эллипсоид называют эллипсоидом инерции для данного тела в точке О. Очевидно, эллипсоид инерции для данного тела можно построить в любой точке пространства. Поэтому эллипсоидом инерции для данного тела в какой-либо точке называют эллипсоид с центром в этой точке, центральные радиусы-векторы точек которого равны обратным значениям квадратных корней из моментов инерции тела относительно осей, направленных по этим радиусам-векторам. [c.249]

Г. Если же окажется R -Alo т. е. если Н фд и Mq Ои, кроме того. Alo не перпендикулярен к R, то данная система сил приводится к динаме. В этом случае нужно, найти точку А, через которую проходит центральная ось данной системы сил, а также модуль вектора-момента М относительно этой точки. Модуль Л4 вектора-момента Л4 динамы определяется по формуле (1, 46). [c.192]

Можно показать, что главный момент системы сил относительно любой точки, лежащей на центральной оси, имеет наименьшее значение. Для этого возьмем некоторую точку А, не ле-жап(ую на центральной оси, п перенесем в эту точку силу R и пару с вектором-моментом Мо, получим ту же силу R, но другой вектор-момент Мд (рис. 5.11). Последний будет равен геометрической сумме Мо и вектора-момента присоединенной пары, равного векто-ру-моменту силы R относительно точки А (см. формулу (5.22)) [c.111]

Поместим начало координат в произвольной точке О, не лежащей на центральной оси (рис. 5.12). Далее, на центральной оси возьмем точку В с координатами х, у, z, куда поместим начало вектора силы R и вектора-момента пары М образующие динамический винт. Составим выражение главного момента системы сил относительно точки О, используя для этого зависимость (5.22) между моментами при перемене центра приведения [c.112]

Центр. Точка центральной плоскости, относительно которой главный момент параллелен вектору Я, есть центр. [c.55]

И, обратно, если оказывается, что векторное произведение [ОРа] =0, то движение является центральным. Мы знаем, в самом деле, из теории векторов, что момент вектора а, приложенного в точке Р, относительно точки О, равен нулю, либо когда сам вектор а равен нулю, либо когда он проходит через точку О. Таким образом, векторная характеристика центрального движения заключается в том, что во все время движения [c.143]

Но тогда достаточно вспомнить, что относительно главных центральных осей инерции составляющие вектора К равны Ар, Bq, Сг (предыдущая глава, п. 16), где (если исключим тривиальный случай, когда материальные точки системы 5 все принадлежат одной и той же прямой) величины А, В, С (в силу их определения как моментов инерции) все отличны от нуля, чтобы заключить, что вместе с К постоянно будут равны нулю составляющие р, q, г вектора й), а значит, и сама угловая скорость (О. [c.262]

В этом случае оправдывается известное положение, что новая ось вращения будет параллельна первоначальной, т. е. вектору Для того чтобы убедиться в этом, достаточно заметить, что если k есть единичный вектор, направленный по вектору то уравнение (2), если положить += г, сведется к скалярному уравнению, пригодному для определения неизвестной проекции г вектора + на направление единичного вектора к (т. е. на направление в ). Действительно, если С есть главный центральный момент инерции относительно первоначальной перманентной оси вращения, то имеем о (Д ) = С (г — ш-) к, [c.521]

Упражнение 1. Показать, что первоначально покоящееся тело в его импульсивном движении относительно центра масс начнет вращаться вокруг радиуса-вектора той точки центрального эллипсоида инерции, в которой плоскость, касательная к поверхности эллипсоида, перпендикулярна главному моменту ударных импульсов относительно центра масс. [c.414]

Найдём на прямой, служащей основанием этого вектора (т. е. на центральной оси системы), точку, независимую от общего направления векторов иначе говоря, найдём на основании вектора а такую точку С (фиг. 32), которая не изменит своего положения, если, оставив все векторы параллельными между собой, повернуть их на один и тот же угол около их точек приложения искомая точка носит название центра системы параллельных векторов. Согласно формуле (3.2) главный момент относительно точки С, заданной радиусом-вектором выражается через главный момент Lq относительно начала координат следующим образом [c.30]

Теорема 6.12. Центральный момент вектора ВМ относительно подпятника А равен вектору Ад динамического дисбаланса или, что одно и то же, вектору центробежного момента инерции ротора относительно оси вращения Az и плоскости Аху [c.225]

Из всего сказанного следует, что система скользящих векторов в общем случае эквивалентна винту. Ось винта — центральная ось системы вектор винта — главный вектор момент винта — главный момент системы относительно произвольной точки центральной оси. [c.17]

Временную картину синхронизации мод на рис. 5.38 нетрудно понять, если различные моды представить в виде векторов на комплексной плоскости. При этом /-й моде соответствует комплексный вектор с амплитудой Eq, вращающийся с угловой скоростью (оо + /Дсо. Если мы теперь перейдем к системе координат, вращающейся с угловой скоростью ио, то центральная мода будет представлять собой вектор, неподвижный относительно этих осей, а /-Я мода — вектор, вращающийся с угловой скоростью /Д(о. В момент времени / = 0 в соответствии с (5.109) все векторы будут иметь нулевые фазы и, следовательно, одинаковое направление, которое будем считать расположенным в горизонтальной плоскости на рис. 5.39. В этом случае полное поле равно 2п- - 1) о- При / > О векторы мод с частотой и > (Оо будут [c.307]

С другой стороны, главный момент Ъ представляет собой сумму моментов относительно О заданных сил, и, следовательно, его величина и направление зависят от положения центра приведения О главный момент Ь является свободным вектором. Пара векторов (Р, Ь) называется динамой сил. Для того чтобы две динамы сил были равны, должны равняться как их главные векторы, так и их главные моменты, которые относятся при этом к одному и тому же центру приведения. Соответствующим выбором центра приведения О можно добиться того, чтобы ось главного момента Ь стала параллельной главному вектору Р. Линия, по которой будет тогда направлен скользящий вектор Р, называется центральной осью. Такое приведение единственно, и если при этом соответствующий главный момент обозначить через Г, то Р X Г = 0. [c.491]

По закону площадей ( 117) при движении под действием центральной силы момент вектора скорости v относительно центра О (или удвоенная секторная скорость точки) будет величиной постоянной. Следовательно, mo(v)= . Но из чертежа видно, что если разложить вектор V на радиальную , и поперечную v, составляющие ( 71). то [c.318]

Пусть г — радиус-вектор, имеющий начало в точке О и конец в центре масс множества Q точечных масс. А, В, С — главные центральные моменты инерции множества Q. Найти момент инерции множества Q относительно оси с направляющим вектором е, проходящей через точку О. [c.74]

Рассмотрим некоторые случаи, когда эти условия не выполняются. Предположим сначала, что ось вращения главная, но не центральная. Тогда = Jyz — O и главный момент динамических реакций относительно начала координат равен нулю, как это следует из уравнений (111.8а) и (III. 8Ь). Система динамических реакций приводится к равнодействуюш,ей. Если ось вращения — центральная, но не главная, то Хс = Ус = 0- Пз уравнений (111. 6)-видно, что главный вектор динамических реакций равен нулю. Система динамических реакций приводится к паре сил. Именно с этим случаем мы встретились в примере, рассмотренном в предыдущем параграфе. [c.406]

Входящие в определение динамы величины V главного вектора и проекции главного момента относительно произвольной точки О, принятой за центр приведения, на направление главного вектора не зависят от выбора этой точки, так как эти величины являются статическими инвариантами совокупности сил ( 17). В следующем параграфе будет доказано, что от выбора центра приведения О не зависит также и положение центральной оси в пространстве. [c.67]

Так как для всех центров приведения, лежащих на центральной винтовой оси, главный вектор-момент направлен по главному вектору, то, очевидно, модуль главного вектора-момента является наименьшим по сравнению с модулем главного вектора-момента данной системы относительно всякого другого центра приведения О, не лежащего на центральной оси. Поэтому главный вектор-момент М динамы называют наименьшим главным вектором-моментом. [c.181]

Теперь найдем модуль М вектора-момента М данной системы сил относительно любой точки, лежащей на центральной оси (наименьший главный вектор-момент). Разложим по правилу парал- [c.194]

В начале докажем, что в центральном поле по отношению к центру выполняется закон сохранения момента импульса (см. 19). Из определения центрального поля следует, что сила, действующая на движущуюся в нем материальную точку, всегда проходит через центр поля. Поэтому плечо силы, а следовательно, и момент этой силы относительно центра поля равны нулю. При М = 0 из уравнения (19.6) М = - следует, что вектор момента импульса оста- [c.116]

Посмотрим теперь, являются ли ядерные силы центральными. Центральными называются силы, действующие вдоль линии, соединяющей частицы. Центральные силы могут зависеть от относительной ориентации спинов частиц, но не могут зависеть от ориентации этих спинов относительно радиуса-вектора между частицами. Для центральных сил орбитальный и спиновый моменты количества движения сохраняются в отдельности. Поэтому в низшем энергетическом состоянии орбитальный момент / стремится принять наименьшее возможное значение / = О, при котором равна нулю центробежная энергия. Тем самым при центральных силах основным состоянием дейтрона было бы чистое S-состояние, в котором I = 0. Поскольку спин дейтрона равен единице, то спины протона и нейтрона параллельны. Следовательно, магнитный момент дейтрона при центральных силах должен равняться алгебраической сумме магнитных моментов протона и нейтрона. Отмеченное в 1 отклонение р,р -1- jXn от jid свидетельствует о том, что ядерные силы в какой-то мере нецентральны. Действительно, если предположить, что силы нецентральны, то орбитальный момент не будет точным интегралом движения. Им будет только полный момент. Согласно квантовому принципу суперпозиции состояний состояние дейтрона будет суммой состояний с различными значениями орбитального момента. Число возможных смешиваемых состояний сильно ограничивается законами сохранения полного момента и четности. Из закона сохранения полного момента следует, что если спин дейтрона равен еди [c.175]

Определение эквивалентности. Две системы скользящих векторов называются эквивалентными, если их главные векторы и главные моменты относительно некоторой точки пространства равны. Тогда будут одинаковыми главные моменты относительно какой угодно другой точки пространства. В частности, обе системы будут иметь одну и ту же центральную ось и один и тот же минимальный момент. Например, система сходящихся векторов эквивалентна главному вектору. [c.32]

Дальнейшие геометрические замечания о нулевой системе. Прежде чем воспользоваться свойствами нулевой системы для целей, которые мы здесь себе поставили, остановимся несколько на иллюстрации этих свойств, основываясь на указанном ранее построении полярной плоскости -ГС любой точки Р как плоскости, проходящей через Р и перпендикулярной к соответствующему результирующему моменту М заданной системы S приложенных векторов. Продолжая обозначать через -В результирующий вектор системы, обозначим через Mq результирующий момент относительно нового начала, т. е. (так как за ось з была принята центральная ось) наимень-тий момент, направленный вместе с J2 по этой центральной оси. [c.184]

Приложение общих теорем. Определение центральной оси. — Если все векторы системы параллельны, то их главный вектор R параллелен общему направлению векторов или равен нулю. С другой стороны, моменты различных векторов относительно точки О перпендикулярны к ьтому общему напраглению, и потому главный момент О системы тоже перпендикулярен к этому направлению. Итак, если R не равен нулю, то (J и Л перпендикулярны между собой система допускает, таким образом, одну результирующую, или просго результирующую, приложенную в какой-нибудь точке центральной оси (п 26). Если бы главный вектор R был равен нулю, то система приводилась бы к одной паре или нулю, но не могла бы быть приведена к одному вектору. [c.33]

Доказательство. По определению, диаметры эллипсоида инерции обратно пропорциональны квадратным корням из соответствующих осевых моментов инерции. Согласно теореме 1.10.2 момент инерции относительно оси, проходящей через точку О парал.чельно вектору ег, остается равным соответствующему центральному моменту инерции при любом значении г. Следовательно, диаметр, параллельный вг при любом г, будет таким же, каким он был в центр<гльном эллипсоиде. Моменты инерции относительно осей, не коллинеарных ег, растут, а соответствующие диаметры уменьшаются, стремясь к нулю при увеличении г. Весь эллипсоид стремится к отрезку, равному диаметру центрального эллипсоида инерции в направ.чении ег. Середина отрезка совпадает с точкой О, а сам отрезок расположен на оси, проходящей через точки О и С. Если х перпендикулярен вг, то вектор нормали к эллипсоиду в точке О можно представить (см. теорему 1.10.3) в виде [c.55]

Наконец, для вычисления проекций вектора К удобно применить формулы п. 15 гл. IV. Для этой цели возьмем, как и в п. 8, произвольный момент времени и примем за вспомогательную ту систему осей, неподвижных в теле, которая в этот момент имеет начало в точке О тела, представляющей собой точку соприкосновения тела с плоскостью, и оси которой параллельны осям системы Охуг и одинаково направлены с ними. В соответствии с этим необходимо ввести главные моменты инерции Ах, В , и центробежные моменты В , j относительно точки О так как точка О относительно системы Gxyz имеет координаты х, у, то на основании теоремы Гюйгенса, обозначая через С главные центральные моменты инерции и пренебрегая членами второго порядка, найдем прежде всего [c.235]

Движение отнесем к системе Gxyz, образованной главными центральными осями инерции. Пусть а — радиус, А, В, С — моменты инерции относительно осей Сж, Gy, Gz, am — масса шара. Если v = vx Vy, Vz) — скорость центра шара, а о = (р, q, г) — угловая скорость, п = (71, 72, 73) — единичный вектор, направленный вертикально вверх, то условие отсутствия скольжения равенство нулю абсолютной скорости точки D шара, которой он касается плоскости) запишется в виде [c.321]

Вектор (функция состояния) Л=т[гхг] называется кинетическим моментом, или моментом количества движения точки (относительно начала координат О), величина [тхТ] — моментом силы. Кинетический момент сохраняется, т. е. /n[rxri = m = onst, если [rxF] = 0 или, эквивалентно, РЦг. Сила в этом случае называется центральной. Тогда движение происходит в плоскости, ортогональной вектору с (и было рассмотрено в 2) [c.159]

Таким образом, при движении под действием центральной силы точка будет двигаться по плоской кривой, а ее скорость будет изменяться так, что момент вектора v относительно центра О будет оставаться постоянным vh = onst). [c.285]

Привести систему сил к центру О — означает найти главный вектор R и главный момент Mq системы относительно этого центра. При перемене центра изменяется главный момент. Можно найти точки, относительно которых получается главный момент, параллельный главному вектору. Эти точки образуют центральную винтовую ось (или ось динамы), а совокупность главного вектора и параллельного ему главного момента называют динамой или динамическим винтом. Пе меняя воздействия на тело, вектор момента можно переносить параллельно самому себе, поэтому динаму часто изображают в виде главного вектора и главного момента, лежапдими на одной прямой (на винтовой оси). Если система не уравновешена, то ее можно привести к трем простейшим вариантам — к динаме, силе (равно-действуюБдей), к паре сил. [c.111]

Замечательным является то, что полученное общее решение справедливо для любой центральной силы, зависящей только от расстояния до центра силы. Движение точки в поле таких сил обладает общими свойствами, а именно движение происходит в неподвижной плоскости, проходящей через центр силы радиус-вектор точки описывает равные площади за равные промежутки времени угол ф изменяется со временем всегда монотонно траектория точки симметрична относительно апсид (так называются прямые, проходящие через центр силы, и точки поворота, находящаяся в начальный момент времени в точке поворота и обладающая в одном случае начальной скоростью Уо, а в другом случае — Уо, будет двигаться по симметричным кривым. Действи- [c.79]

Полученную совокупность силы Д в точке С и пары сил с моментам Л можно рассматривать как результат приведения заданной системы сил к центру С, лежащему на центральной оси. Следовательно, момент пары сил М равен главному Мс заданной системы сил относительно точки С, лежащей на центральной осн. Совокупкость силы R U момента пары М можно перенестг в любую точку центральной оси, т. к. эта ось является линией действия силы R, а момент пары М является свободным вектором. [c.90]

Эти линейные относительно х, у, г уравнения указывают, что геометрическое место точек О есть пряц)ая D D, параллельная направлению главного вектора. Эта прямая называется центральной осью (рис. 13). Для какой-нибудь точки О этой оси главный вектор и главный момент будут лежать на этой оси и будут иметь одинаковые или противоположные направления в зависимости от того, будет ли величина LX- -MY -NZ положительной или отрицательной. При этом главный момент g будет минимальным, так как он совпадает со своей проекцией на главный вектор. [c.30]

Из Езлоясенного следует, что вектор ш можно в каждый момент рассматривать, как угловую скорость соответствующего тангенциального двия1е]Ч я поэтому вектор ш просто называют угловой екоростъю твердого движения в данный момент. Прямая, проходящая через точку О параллельно вектору m (т. е. ось слагающего вращения при несобственном разложении тангенциального винтового движения, отнесенного к точке О), назы вается мгновенною осью вращения относительно полюса О. Ось тангенциального винтового движения, которая в каждый момент параллельна вектору <о, называется просто осью или центральной осью движения в рассматриваемый момент 2). Центральная ось движения, естественно, вообще меняет свое положение с течением времени как по отношению к подвижным, так и по отношению к неподвижным осям координат. По самому своему определению, она в каждый момент представляет геометрическое место точек, в которых скорость в этот момент параллельна мгновенной угловой скорости поэтому на основе соотношений (27) ее уравнения по отношению к подвижным осям суть [c.181]

Таким образом результаты, полученные в гл. I относительно приведения систем приложенных векторов, непосредственно дают соответствуюптие предложения относительно состояния движения твердых систем. Центральная ось системы векторов, как геометрическое место точек, в которых главный момент системы параллелен главному вектору, дает в этом случае ось тангенциального винтового движения, т. е. ось твердого движения, к которой мы, таким образом, пришли новым путем. [c.183]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...