Локальная гиперболичность

Пример. Плоская аналитическая (особая) кривая f=0 локально гиперболична в точке, если и только все ее ветви этой точке гладкие (годится, скажем, —х у). В частности,, упомянутая в определении кратность может быть как угодно велика. [c.140]

Понятие гиперболичности служит матем. выражением и конкретизацией свойства локальной неустойчивости траекторий. Обычно предполагается, что фазовым пространством системы служит нек-рое риманово многообразие (см. Риманово пространство) X, а динамика задаётся гладким отображением Т = Т Х- Х (случай каскада) или гладким векторным полем на X (случай потока). Наличие римановой структуры позволяет измерять длины кривых и объёмы подмножеств, принадлежащих X, а также длины векторов в касательных пространствах к X. Гиперболичность — это свойство отд. траекторий 0(х) = Т х , формулируемое в терминах касательных отображений (решений ур-ний в вариациях — в случае потока), отвечающих ДС Г . Его смысл в том, что при каждом г имеется три типа поведения точек, бесконечно близких к точке Т х при своём дальнейшем движении под действием ДС точки первого типа с экспоненциальной скоростью сближаются с траекторией точки х, точки второго типа с экспоненциальной скоростью удаляются от неё, а точки третьего (нейтрального) типа ведут себя промежуточным образом. Этим трём типам поведения отвечает представление касательного пространства к А" в точке Т х в виде прямой суммы подпространств, переходящих друг в друга вдоль траектории под действием касательных отображений. В случае каскада точек нейтрального типа может не быть совсем, а в случае потока они всегда есть — из таких точек состоит сама траектория 0(х). При изменении направления времени точки первого и второго типа меняются ролями, а точки третьего типа сохраняются. [c.631]

Одной из важных проблем газодинамики является изучение течений с пересекающимися поверхностями разрыва — ударной волны с тангенциальным разрывом или, по-иному, с контактной поверхностью (и ее предельными случаями — твердой стенкой и свободной поверхностью) или с другой ударной волной. В случае одномерных неустановившихся течений относительно простая локальная задача о пересечении разрывов всегда разрешима и изучена исчерпывающим образом [1]. При этом в силу гиперболичности начально-краевых задач знания локальных решений достаточно для продолжения решения в область его определенности. [c.80]

Основная тема второй части книги — взаимосвязь между локальным анализом вблизи отдельной (например периодической) орбиты и сложностью структуры орбит в целом. Эта взаимосвязь изучается с помощью таких понятий, как гиперболичность, трансверсальность, глобальные топологические инварианты, а также с помощью вариационных методов. Набор методов включает анализ устойчивых и неустойчивых множеств, бифуркаций, исследование индекса и степени и построение орбит как минимумов и мини-максов функционалов действия. [c.12]

Таким образом, мы столкнулись с интересной ситуацией. Для обоих гладких примеров (т. е. растягивающих отображений окружности и гиперболического автоморфизма тора) со сложной, экспоненциально растущей структурой орбит все три естественные меры экспоненциального роста орбит — скорость роста числа периодических точек р, топологическая энтропия и энтропия действия на фундаментальной группе h, — совпадают. Совпадение первых двух величин является широко распространенным, хотя и далеко и не универсальным явлением. Этот факт, так же как и структурная устойчивость, связан с наличием локальной гиперболической структуры (см. 6.4, теорему 6.4.15, и 18.5, теорему 18.5.1). Совпадение же h, с другими двумя характеристиками в большой степени случайно и зависит как от наличия гиперболичности, так и от малой размерности. Можно показать, что уже для автоморфизмов торов больших размерностей это совпадение может не иметь места (см. упражнение 3.2.8). Однако теорема 8.1.1 показывает, что /г, Дня топологических цепей Маркова скорость роста числа периодических точек и топологическая энтропия также совпадают. Причиной этому вновь служит гиперболичность, поскольку, как мы знаем из конструкций п. 2.5 в, топологическая цепь Маркова топологически сопряжена с ограничением некоторых гладких систем, ограниченных на специальные инвариантные подмножества, которые обладают гиперболическим поведением. [c.134]

Действительно, хотя любое замкнутое инвариантное подмножество подковы гиперболично и может иметь чрезвычайно сложную структуру, его всегда можно заключить внутрь некоторого локально максимального множества, например множества Л(, для соответствующей произвольно малой открытой окрестности V, как в предложении 6.4.6 (см. упражнения 6.4.8 и 6.4.9). [c.278]

В случае рассеивающих биллиардов (биллиардов Синая [31]) (см. рис. 36) все величины i ь. .., Дп меньше нуля. Следовательно, периодические траектории таких систем имеют локально минимальную длину. Тем же свойством обладают их удвоения , значит, в силу следствия 3 получаем следующий хорошо известный факт периодические траектории рассеивающих биллиардов гиперболичны, следовательно, неустойчивы. [c.81]

А. Пуанкаре впервые обратил внимание на связь орбитальной устойчивости замкнутой геодезической на римановом многообразии со свойствами соответствующей критической точки функционала действия. Им доказано, что невырожденная замкнутая геодезическая локально минимальной длины на двумерном ориентируемом римановом многообразии гиперболична, следовательно, неустойчива [66]. В дальнейшем усилиями ряда авторов этот результат был обобщен. Оказывается, индекс Морса невырожденной эллиптической замкнутой геодезической на двумерном римановом многообразии нечетный, если геодезическая ориентируема, и четный — в противном случае (см., например, [60]). [c.157]

Локальные свойства области гиперболичности. [c.141]

По-видимому, аналогичными свойствами обладают области строгой гиперболичности и для многочленов от большего числа переменных, или их локальные компоненты связности (ибо здесь иногда реализуется ситуация серпика). Об этих областях мало что известно их связность доказал Нуй [196]. [c.141]

Локальные многообразия. Условия гиперболичности позволяют прежде всего исследовать асимптотическое поведение траекторий в окрестности гиперболической точки. Точное описание дается следующей теоремой, являющейся одной из ключевых в гиперболической теории. [c.126]

Л-диффеоморфизмы. Говорят, что диффеоморфизм 5 удовлетворяет аксиоме А (или является А-диффеоморфизмом (см. [13]), если его множество неблуждающих точек Q(5) гиперболично и периодические точки S плотны в Q(5). Можно показать, что если S удовлетворяет аксиоме А, то множество I2(5) локально максимально его компоненты топологической транзитивности (т. е. множества Qi в теореме 2.5) называются базисными. [c.135]

Вначале предположим, что 3 и II гиперболичны. Так как диаметр К конечен относительно метрики Пуанкаре в 3, то из 3.4 и теоремы Пика следует, что образ fj (К) целиком стремится к . Снова применив 3.4, легко заключаем, что последовательность отображений 3 СТ локально-равномерно сходится к постоянному отображению К е ди С Т, что и требовалось. [c.51]

В этой главе мы осуществляем часть программы, сформулированной в 4 введения. Главный принцип нашего анализа состоит в использовании своего рода гиперболичности линеаризованной динамической системы вдоль определенных орбит. Мы покажем, что она порождает аналогичное поведение нелинейной системы вблизи некоторой заданной орбиты (теорема Адамара — Перрона 6.2.8). Комбинация локальной гиперболичности, возникаю-ш,ей в линеаризованной системе, с нетривиальным возвращением, явлением по существу нелинейным, приводит к изобилию периодических орбит (теорема Аносова о замыканни 6.4.15) и порождает богатую и устойчивую во многих отношениях структуру орбит, которая будет далее исследоваться в части 4. [c.243]

Локальная гиперболичность. Связь между стабильной гиперболичностью и стабильной эллиптичностью, кажущаяся на первый взгляд удивительной, объясняется при анализе стабилизации локально гиперболических особенностей, введенных Ать-ей, Боттом и-ГординЕом [НО] (ср. [35]). -. - [c.140]

Определение. Бифуркации, осуществляющиеся в малой фиксированной окрестности положения равновесия (или цикла) и связанные с нарушением его гиперболичности, называются локальными. Бифуркации, осуществляющиеся в малой фиксированной окрестности конечного числа гомо- или (и) гетерокли-нических траекторий, называются полулокальными все остальные (не локальные и не полулокальные) —глобальными. [c.88]

О разрывных решениях. В плоском напряженном состоянии, так же как и в случае плоской деформации, значительный интерес представляют разрывные решения, которые могут иметь место для областей гиперболичности и параболичности. Помимо разрывов в напряжениях и скоростях, вполне аналогичных по свойствам разрывам, рассмотренным в гл. VI, в тонкой пластинке, как заметил Хилл [ ], важное значение приобретает новый тип разрыва. Именно— вдоль некоторых линий может возникнуть резкое утонение (или утолщение) пластинки (фиг. 142, а). Такая линия является математической идеализацией наблюдаемого в опытах локального образования шейки. Условимся поэтому называть такую линию разрыва шейкой ее следует рассматривать как предельное положение полоски интенсивной деформации, причем соответственно схеме плоского напряженного состояния скорость деформации в шейке считаем равномерной. Причиной утонения является скачок в нормальной составляющей скорости последний не может быть произвольным, так как связан определенными условиями с напряженным состоянием. Рассмотрим эти условия. [c.220]

Уравнения для скоростей и разрывные решения рассмотрел в 1952 г. Р. Хилл для случаев гиперболичности и параболичности. Он же установил особенности разрывов скорости, появляюш ихся в плоском напряженном состоянии разрывна также и нормальная составляюш ая скорости, что приводит к появлению локального утонения ( шейка ) или утолш ения ( валик ), проходящего по характеристике. [c.106]

Пусть / и — такой локальный -диффеоморфизм, oxpaняюш й площадь, что /(0) = О и отображение >/д гиперболично. Докажите, что / формально сопряжен с формальным диффеоморфизмом [c.292]

В следующем параграфе будет показано, что некоторое свойство, присущее гиперболическому поведению, а именно гиперболичность всех периодических точек, является общим свойством, т. е. свойством, истинным для плотного в С -топологии множества С-диффеоморфизмов типа Gj (теорема Купки — Смейла 7.2.6). Так как локальное топологическое поведение диффеоморфизма в окрестности гиперболической периодической точки хорошо изучено (благодаря теореме Хартмана — Гробмана 6.3.1), вышеопи- [c.295]

Замечание 1.5. Конечно, если траектория 5 (л ) удовлетворяет условиям равномерной гиперболичности (полной или частичной), то для нее справедлива теорема о локальном многообразии (поскольку эта гиперболичность является частным случаем неравномерной). Соответствующее утверждение известно, как теорема Адамара (J. Наёатагс )—Перрона (см. [4], [31]). Она -справедлива для 5< бС а если 5 бС , г 1, то У (а )6 еС . Кроме того, в этом случае можно показать, что г(8 х)) сопз1 и С(5 (лг), 8) сопз1 (см. 7.6)) равномерно по t. [c.127]

Глобальное различие в поведении общей и гамильтоновой динамической системы проявляет себя локально в особых точках. Аналогично, в теории гиперболических дифференциальных уравнений с частными производными поведение лучей и волновых фронтов в общих и в ва риационных системах существенно различны в окрестностях особых точек нестрогой гиперболичности, в то время как в остальных точках распространение волн в обоих случаях одинаково. [c.276]

Поэтому неустойчивость может возникать раньше, чем при исследовании по локальной теории. Расчеты по пегипер-боличпым уравнениям (не удовлетворяющим необходимым условиям гиперболичности) при высоких частотах в коротковолновой зоне дают всегда устойчивость (для Навье-Стокса) или всегда неустойчивость. [c.256]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...