Температура статистической механике

С понятием температуры тесно переплетается (и часто путается) понятие теплоты. Из повседневного опыта известно, что для нагревания одних веществ требуется больше тепла, чем для других, однако непосредственно не очевидно, почему это так. Тем не менее при достаточной проницательности на основании повседневного опыта можно сделать ряд весьма фундаментальных выводов относительно теплового поведения вещества эти выводы включают законы термодинамики. Нулевой закон, названный так потому, что он был сформулирован после первого и второго законов, касается состояния тел, приведенных в тепловой контакт друг с другом. Чтобы ясно понять, что это значит, прежде всего необходимо уточнить ряд понятий. Приведенные ниже определения хотя и не являются строгими, позволяют нам сделать несколько общих замечаний о смысле температуры и теплового поведения веществ, которые полезны при введении в термометрию. Более подробное обсуждение основ теплофизики читатель может найти в монографиях по термодинамике и статистической механике, указанных в списке литературы к данной главе. [c.12]

Температура в статистической механике [c.20]

Таким образом, при интерпретации термодинамических величин в рамках статистической механики параметр 0, характеризующий распределение, прямо пропорционален термодинамической температуре Т. Применяя аппарат статистической механики к классической системе, получаем, что распределе-ление по скоростям оказывается максвелловским (1.11) с тем же параметром д = кТ. Таким образом, термодинамическая температура вновь отождествляется с температурой, используемой в максвелловском распределении и в законе идеального газа. [c.22]

Итак, мы коротко обсудили, каким образом основные параметры состояния в классической термодинамике Т п 5 связаны с соответствующими параметрами 0 и И в статистической механике. Важная роль постоянной Больцмана к очевидна она обеспечивает связь между численными значениями механических (в классической или квантовой механике) и термодинамических величин. Здесь следует отметить еще одно уточнение величины температуры, вытекающее из уравнения (1.16). Температура является параметром состояния, обратно пропорциональным скорости изменения логарифма числа состояний как функции энергии для системы, находящейся в тепловом равновесии. Поскольку число состояний возрастает пропорционально очень высокой степени энергии, то определенная таким образом температура всегда будет положительной величиной. [c.22]

Выше было показано, что температуры положительны при условии ( О( )/й )>0, т. е. число возможных состояний всегда возрастает с энергией. Это справедливо для свободных частиц или гармонического осциллятора таким образом, жидкости и кристаллические решетки, всегда имеют положительные температуры. Однако существуют некоторые весьма специфические системы, в которых имеется верхний предел спектра энергетических состояний. Если частицы в этих состояниях находятся в тепловом равновесии друг с другом и одновременно термически изолированы от состояний, не имеющих верхнего энергетического предела, то они могут вести себя так, как если бы они обладали отрицательными температурами. Поскольку выше предельного уровня нет других энергетических уровней, при возрастании внутренней энергии системы достигается такое состояние, когда все уровни одинаково заселены. Согласно статистической механике, это мо- [c.24]

Численное значение постоянной Больцмана k устанавливают, принимая произвольное значение температуры тройной точки воды и сравнивая уравнения состояния системы, записанные на языке классической и статистической механики. Простейшей системой является идеальный газ, для которого в классическом случае [c.25]

В начале этой главы отмечалось, что для понимания смысла величины температуры потребовалось очень длительное время. Теперь очевидно, что едва ли могло быть иначе. Понятие температуры настолько тесно связано с термодинамикой и статистической механикой, что до разработки этих областей науки невозможно было составить отчетливое представление о смысле величины температуры. Именно поэтому зачатки термометрии могли возникнуть только в Европе по мере развития естествознания в 17 в. Ничего подобного не могло иметь места, например, в Китае, где не происходило независимого развития естественных наук. [c.28]

В гл. 1 излагалась эволюция понятия о температуре в течение более чем двух тысяч лет от исходных примитивных представлений до обобщенных концепций современной термодинамики и статистической механики. В предлагаемой главе рассказывается, каким образом на основе этих теоретических представлений появились температурные эталоны и температурные шкалы. Прежде всего ознакомимся в общих чертах с событиями, позволившими установить области, в которых были заключены международные соглашения. [c.37]

Для вычисления Р необходимо знать о — скрытую теплоту испарения при абсолютном нуле, 8ж(Т) и Уж(Т)—энтропию и объем моля жидкости, член г(Т), описывающий отклонения свойств пара от свойств идеального газа посредством вириальных коэффициентов и величину химической константы 0, вычисляемой в статистической механике. В принципе возможно найти численные значения зависимости давления от температуры по уравнению (2.5) методом последовательных приближений, начиная с экспериментальных значений е(Т ), 8ж(Т), Уж(Т) и значения Ьо, полученных по одной экспериментально найденной паре чисел Р и 7. На практике, однако, такой метод ограничен областью малых давлений, поскольку последние три члена в уравнении (2.5) и связанные с ними погрешности быстро растут при увеличении Т. Таким образом, существует интервал средних давлений, где теоретически рассчитанная по уравнению (2.5) и эмпирическая шкалы имеют сравнимую точность. Численное значение о [c.70]

Изучаемая нестационарная открытая система первоначально не находится в равновесии со своим термостатом ее эволюция направлена в сторону достижения частичного равновесия системы с термостатом. С учетом того, что эволюцией системы управляют потенциалы (термодинамические силы), характеризующие состояние системы, Г.П. Гладышев [2] использовал для анализа открытых систем удельную величину функции Гиббса, отнесенную к единице объема или массы. Напомним, что в соответствии с функцией Гиббса движущей силой процесса для закрытых систем при постоянных температуре и давлении является стремление системы к минимуму свободной энергии (максимуму энтропии), если в системе не совершается никакая работа кроме работы расширения [17]. Гиббс предвидел широкие возможности термодинамики для решения различных задач, сделав следующие предсказания ...Несмотря на то, что статистическая механика исторически обязана возникновением исследованиям в области термодинамики, она, очевидно, в высокой мере заслуживает независимого развития как вследствие элегантности и простоты ее принципов, так и потому, что она приводит к новым результатам и проливает новый свет на старые истины в областях, совершенно чуждых термодинамике . [c.21]

Классическая термодинамика оперирует с макроскопическими свойствами вещества (температура, давление, концентрация, внутренняя энергия, энтропия и т. д.) и не использует, вообще говоря, молекулярных представлений о веществе. Задача нахождения взаимосвязи между макроскопическими термодинамическими параметрами систем и свойствами составляющих их частиц (молекул, атомов, ионов), характером межчастичных взаимодействий составляет предмет статистической механики. Рассмотрение основ статистической механики выходит за рамки этой книги, и мы ограничимся лишь перечислением ряда ее заключений, необходимых для последующего изложения. [c.144]

Работы [5, 6] посвящены расчетам ликвидуса и солидуса сплавов системы, причем в первой из них использовали представление об идеальном поведении компонентов в жидкой и твердых фазах, а во второй — представление об электронной структуре и статистическую механику при низких температурах и давлениях О и 3 ГПа. Совпадение экспериментальных и расчетных данных было удовлетворительным. [c.799]

По значимости для физики формулу для вероятности можно сравнить с законами Ньютона. Приведем ее оценку Р. Фейнманом Это фундаментальное соотношение является вершиной статистической механики остальное ее содержание есть либо спуск с вершины, когда основные принципы применяются к частным вопросам, либо восхождение на нее, когда выводятся основные соотношения и уточняются понятия теплового равновесия и температуры . [c.117]

Одна из наибольших трудностей, с которой мне пришлось столкнуться при работе над книгой, была связана с выбором материала. Конечно, невозможно в пределах разумного объема книги не только обсудить, но и даже просто перечислить все направления в этой отрасли науки, объем информации в которой быстро приближается к термодинамическому пределу . Поэтому я ограничился выбором нескольких определенных пр лем, которые и изложил довольно подробно. Разумеется, остались практически незатронутыми такие важные проблемы, как физика твердого тела, физика низких температур, сверхпроводимость, релятивистская статистическая физика, не говоря уже о статистических задачах экономики и социологии. Тем не менее я полагаю, что читатель, усвоивший изложенные здесь понятия, методы и идеи, не испытает особых трудностей в понимании публикуемых работ по любому иному частному вопросу статистической механики. [c.8]

Следует подчеркнуть, что в любых выражениях статистической механики температура всегда фигурирует в сочетании кдТ. Поэтому символ определенный соотношением (4.4.11), широко используется вместо Т или наряду с Т это одно из наиболее широко используемых обозначений. [c.147]

Классическая статистическая механика есть предельный случай квантовой статистики при достаточно высоких температурах или малой плотности частиц, когда квантовыми эффектами можно пренебречь. В обоих случаях можно использовать понятие статистического ансамбля, чтобы описать макроскопическое состояние интересующей нас системы. Более того, мы увидим, что многие соотношения неравновесной статистической механики удается представить в форме, одинаково пригодной для классических и квантовых систем. Наиболее важными понятиями, общими для классической и квантовой статистики, являются скобки Пуассона и оператор Лиувилля. В предыдущем параграфе мы ввели их для классических систем. Теперь мы определим их для квантового случая. В дальнейшем формальная аналогия между классической и квантовой статистической механикой будет часто использоваться, поскольку, с одной стороны, она позволяет глубже понять многие проблемы, не зависящие от законов движения [c.22]

Мы вводим энтропию S как безразмерную величину. В этом случае температура Т имеет размерность энергии, что наиболее удобно для статистической механики. С другой стороны, термодинамическая температура, как правило, измеряется в Кельвинах. Соответствующая термодинамическая энтропия равна S = kS, где к = 1,38-10 Дж/К — постоянная Больцмана. [c.45]

Мы уже подчеркивали разницу между динамическим и термодинамическим понятиями состояния систем. Для того, чтобы определить динамическое состояние, необходимо детально знать положение и двин<ение всех молекул, которые образуют систему. С другой стороны, термодинамическое состояние определяется заданием лишь небольшого числа параметров, таких как температура, давление и т. д. Отсюда следует, что одному термодинамическому состоянию соответствует большое число динамических состояний. В статистической механике принято характеризовать каждое термодинамическое состояние величиной тс — числом соответствующих динамических состояний, осуществляющих данное термодинамическое состояние (см. также раздел 30). Величина тс обычно называется вероятностью данного термодинамического состояния, хотя, строго говоря, она лишь пропорциональна вероятности в обычном смысле. Последняя может быть получена делением тс на число всех возможных динамических состояний. [c.55]

В результате возможно вычислить лишь средние величины, но только они и нужны (если они связаны с такими макроскопическими величинами как давление, температура, напряжения, тепловой поток и т. д.). В этом состоит основная идея статистической механики. [c.11]

Вид функции и (Т) определяется эмпирически или теоретически методами статистической механики. При нормальных температурах соотношение [c.25]

Пусть осциллятор находится в замкнутой полости, заполненной равновесным излучением с температурой Т. Под действием поля излучения со сплошным спектром U T) он совершает вынужденные колебания. Благодаря резонансным свой твам осциллятора эти колебания будут иметь заметно отличную от нуля амплитуду лишь в узкой области частот вблизи собственной частоты осциллятора Шо. При этом поглощаемая осциллятором мощность Р огл может быть выражена через значение спектральной плотности излучения на частоте шо. В динамическом равновесии с излучением поглощаемая мощность Р огл в среднем равна испускаемой осциллятором мощности Р сп, которая, в свою очередь, может быть выражена через среднюю энергию <е) осциллятора при температуре Т. Таким путем можно связать U, XT) со средней энергией <е> теплового возбуждения осциллятора. Последняя вычисляется методами статистической механики. Так как все это справедливо для осциллятора с произвольным значением шо, то такой путь позволяет рассчитать спектральную плотность равновесного излучения на всех частотах. [c.426]

Классическая статистическая механика дает для средней энергии линейного осциллятора при температуре Т значение г =кт, где к = = 1,38-10 Дж/К — постоянная Больцмана. Это частный случай закона классической статистики о равнораспределении, согласно которому в тепловом равновесии на каждую степень свободы в среднем приходится /2кТ кинетической энергии. Для осциллятора, совершающего колебания на собственной частоте, средние значения кинетической и потенциальной энергии одинаковы, так что средняя энергия теплового возбуждения каждой колебательной степени свободы составляет кТ [c.428]

Приведенное качественное описание может быть дополнено количественными методами аналитической механики системы материальных точек, но очень велико число материальных точек (скажем, порядка в 1 см ), и потому информация об их индивидуальных движениях практически ничего не говорит о макроскопических свойствах движения тела. Специальный подход к этой проблеме дают методы статистической механики, позволяющие ввести необходимые в МСС основные понятия — плотности, скорости, внутренних напряжений, энергии, температуры, энтропии и количества тепла. [c.7]

Уравнение (13.20) представляет собой соотношение между напряжениями, деформациями и температурой для рассматриваемого тела. Выражение внутренней энергии и (13 21) через два единственных для этой среды независимых параметра состояния р и Т ( от р не зависит) получено в статистической механике и из опыта. [c.187]

Задача нахождения параметров корреляции как функции температуры для данных значений V у является нерешенной задачей статистической механики, эквивалентной в своей наиболее простой форме задаче трехмерной модели Изинга. Однако для температур выше критической температуры упорядочения можно полу- [c.382]

Динамика сверхтекучей жидкости. Согласно классической статистической механике при абсолютном нуле температур всякое движение в системе молекул прекращается. Поэтому в классической статистике все тела при абсолютном нуле должны были бы быть твердыми кристаллами. Не так обстоит дело в квантовой статистике. В силу принципа неопределенности даже при нуле температур молекулы жидкости должны обладать кинетической энергией, по порядку величины равной (на одну молекулу) [c.652]

Классический результат статистической механики не дает правильного представления о распределении энергии по колебательным степеням свободы, а при очень низких температурах—и по вращательным степеням свободы молекул. [c.23]

Термодинамика газа является одной из основ при изучении сверхзвуковой газодинамики. В отличие от случая дозвукового течения в сверхзвуковом течении наблюдаются значительные изменения плотности и температуры. При достаточно высоких скоростях характерным является появление колебательного возбуждения и диссоциации молекул, а также ионизации. В этой главе будет дан краткий обзор основных положений термодинамики ). Большинство из них будут снова приведены в последующих главах при изложении кинетической теории и статистической механики. [c.9]

В этом параграфе в первую очередь будет рассмотрена статистическая механика газа, состоящего из частиц, удовлетворяющих статистике Ферми — Дирака (такие частицы называются фермионами). Эти результаты будут далее использованы при выводе уравнения состояния в приближении Ферми — Томаса 112—14], которое полезно при описании термодинамических свойств вещества, находящегося при высоких температурах и плотностях (где приближение идеального газа обычно уже несправедливо). [c.247]

Говорят, что элемент объема вещества ёУ находится в локальном термодинамическом равновесии при температуре Т, если заселенность энергетических уровней всех состояний частиц отвечает равновесной заселенности в соответствии с распределением статистической механики, описанным в гл. 5. В 6.7 рассмотрен пример учета только поступательных степеней свободы. По мере изменения плотностей вещества и энергии в объеме заселенность энергетических уровней стремится к равновесному состоянию для температуры, соответствующей мгновенным значениям плотностей энергии и вещества. О том, насколько быстро определенное состояние заселенности приходит к равновесию, можно судить, лишь сопоставляя скорости протекания процессов с участием рассматриваемых частиц и скорости изменения плотностей энергии и вещества. [c.357]

Статистическая механика и термодинамика — родственные науки. Почти все перечисленные выше разделы являются объектами изучения как термодинамики, так и статистической механики. Основные термодинамические понятия тепло, энтропия, температура — имеют, как известно, вполне определенный статистический смысл. [c.26]

Теоретическая термометрическая шкала. Несомненно, что единственной шкалой температур, удовлетворительной с теоретической точки зрения, является термодинамическая шкала, предложенная Кельвином. Выраженная по этой шкале температура используется в формулировках законов термодинамики и статистической механики она не зависит от свойств применяемых для измерения температуры приборов и веш,еств. Пользуясь такой температурой, можно ожидать, что законы, выражающие зависимость различных свойств веществ от температуры, будут наиболее простыми или, по крайней мере, такими, что каждая наблюдаемая особенность будет характеристикой исследуемого явления, а не термометра, служившего для установления шкалы. При использовании такой температуры уравнения термодинамики принимают свою хорошо известную простую форму. [c.87]

Со времени зарождения квантовой теории излучения черного тела вопрос о том, насколько хорощо уравнения Планка и Стефана — Больцмана описывают плотность энергии внутри реальных, конечных полостей, имеющих полуотражающие стенки, был предметом неоднократных обсуждений. Больщин-ство из них имели место в первые два десятилетия нащего века, однако вопрос закрыт полностью не был, и в последние годы интерес к этой и некоторым другим родственным проблемам возродился. Среди причин возрождения интереса к этому старейшему предмету современной физики можно назвать развитие квантовой оптики, теории частичной когерентности и ее применение к изучению статистических свойств излучения недостаточное понимание процессов теплообмена излучением между близкорасположенными телами при низких температурах и проблему эталонов далекого инфракрасного излучения, для которого длина волны не может считаться малой, а также ряд теоретических проблем, относящихся к статистической механике конечных систем. Хорошим введением к современному обзору в этой области являются работы [2, 3, 5]. Еще в 1911 г. Вейль показал, что требованием о том, чтобы полость являлась прямоугольным параллелепипедом, можно пренебречь при условии, что (У /с)- оо. Он показал также, что в пределе больших объемов или высоких температур число Джинса справедливо для полости любой формы. Позднее на основании результатов работы Вейля были получены асимптотические приближения, где Do(v) являлся просто первым членом ряда, полная сумма которого 0 ) представляла собой среднюю плотность мод. Современные вычисления величины 0 ) [2, 4] с использованием численных методов суммирования первых 10 стоячих волн в полостях простой формы показали, что прежние асим- [c.315]

Здесь следует обратить внимание на аналогию между такой интерпретацией статистической механики и интерпретацией обьга г ной квантовомеханической теории. Квантовая механика также утверждает, что теоретически предсказуемы только средние значения наблюдаемых. Однако статистический характер квантовой теории определяется совершенно иными физическими причинами. Этот немаловажный факт можно понять, если опять о15ратиться к уже рассматривавшемуся простому эксперименту с потоком тепла, но дать ему на сей раз квантовомеханическую интерпретацию. Пусть теперь металл характеризуется микроскопически некоторой определенной волновой функцией, удовлетворяющей уравнению Шредингера. Для данного состояния можно вычислить квантовомеханическое среднее значение энергии и проследить эволюцию во времени этого значения. Однако волновая функция системы многих тел чрезвычайно сложна. Если в нулевой момент времени заданы лишь макроскопические условия (например, градиент температуры), то в нашем распоряжении имеется огромное число возможных волновых функций данной системы, совместимых с заданными макроскопическими условиями. Каждой из этих разрешенных функций, т.-е. состояний, соответствует вполне определенное квантовомеханическое среднее значение энергии эти значения обычно отличаются одно от другого. Следовательно, мы оказываемся в том же положении, как и в классическом случае. Рассуждая далее по аналогии, припишем соответствующ ша образом подобранные веса каждому возможному состоянию системы. Определим теперь наблюдаемое значение энергии как усредненное по ансамблю значение квантовомеханических средних величин микроскопической энергии. Таким образом, ясно, что описание квантовостатистической системы подразумевает два последовательных процесса усреднения первое усреднение связано с принципом неопределенности Гейзенберга, а второе — с неопределенностью начального состояния системы многих тел. [c.51]

В данной главе мы неоднократно подчеркивали тот факт, что правомерность использования в термодинамике моделей равновесных ансамблей не обеспечивается автоматически, ибо она критическим образом зависит от природы гамильтониана. Рассмотрим теперь эту связь более подробно, ограничиваясь слзггаем классической механики, а в этих рамках — каноническим ансамблем. Для этого ансамбля ключевой является формула (4.4.12). В разд. 4.4 уже было показано, что функция А (Т, N) обладает формальными свойствами, позволяющими отождествлять ее с термодинамической свободной энергией, при условии, что таковая существует] Сам факт возникновения проблемы существования связан с тем, что мы неоднократно использовали переход к термодинамическому пределу для эмпирического подтверждения многих этапов наших рассуждений. Окончательное строгое обоснование равновесной статистической механики, таким образом, покоится на апостериорном доказательстве того, что фушщия А Т, N) существует в термодинамическом пределе. Более точно, мы должны доказать, что А (Т, N) представляет собой экстенсивную функцию, или, эквивалентно, что плотность свободной энергии а = А конечна в термодинамическом пределе (3.3.1) и поэтому зависит только от плотности п = Nl i (а также от температуры) [c.158]

Последний шаг в процессе сокращения охгасания систем совершается, когда достигается равновесие. Тогда система всецело охгасывается одним-единственным термодинамическим потенциалом, зависящим от весьма малого числа макроскопических переменных, таких, как плотность и температура. На этом этапе динамическая задача становится тривиальной, вернее, уже не существует на сцену выступает равновесная статистическая механика. [c.351]

Сравнение температуры и энтропии с их аналогами в статистической механике будет неполным, если мы не рассмотрим их различий в отношении единиц измерения и нулевых точек, а также чисел, применяющихся для их численного представления. Если мы применим понятия статистической механики к телам, подобным тем, которые мы обычно рассматриваем в термодина-Л1ике и для которых кинетическая энергия порядка величины единицы энергии, тогда как число степеней свободы огромно, [c.182]

Основная идея статистической механики состоит в усреднении , вытекаюш ем из нашего невежества (имеется в виду неспособность макроскопических тел восцринимать некоторые микроскопические детали другого макроскопического тела), и исследовании данной системы в статистическом смысле. Различия процессов усреднения несуш ественны, если последние связаны с такими макроскопическими величинами, как давление, температура, тепловой поток, напряжения и т. д. [c.12]

В механике сплошной среды тело представляют в виде некоторой субстанции, называемой материальным континуумом, непрерывно заполняющей объем геометрического пространства. Бесконечно малый объем тела также называется частицей. Феноменологически вводятся пoняtия плотности, перемещения и скорости, внутренней энергии, температуры, энтропии и потока тепла как непрерывно дифференцируемых функций координат и времени. Вводятся фундаментальные понятия внутренних напряжений и деформаций и постулируется существование связи между ними и температурой, отражающей в конечном счете статистику движения и взаимодействия атомов. Б МСС используются основные уравнения динамики системы и статистической механики, в первую очередь законы сохранения массы, импульса, энергии и баланса энтропии. Обоснование этого и установление соответствия [c.7]

Перечисленные и другие простые следствия непрерывной диф-ференцируемости закона движения х=<р(х, t) при внимательном их анализе оказываются очень полными и содержательными для исследования физических свойств, термодинамики и уравнений состояния тела. Выбранная в начальный момент в лагранжевых координатах частица, скажем, в виде кубика фиксированных малых размеров, движется и деформируется так стенки кубика остаются плоскими непроницаемыми для внутренних частиц, относительное движение которых однородно (аффинно) и полностью определяется удлинениями ребер и изменениями относительных углов наклона граней косоугольного параллелепипеда, в форме которого кубик пребывает в любой момент 1>и. Следовательно, содержимое частицы представляет как бы замкнутую равновесную систему в смысле статистической механики (гл. I). Состояние такой системы зависит от внешних параметров и температуры, т. е. от положения и движения границ частицы, т. е. от эво-люции во времени векторов лагранжева репера Эг(1) ( =1, 2, 3) или эволюции аффинора A(t). Но ясно, что Эг(0 и Л(t), кроме собственно деформации частицы (параллелепипеда), включают и переносное движение, что собственно деформация определяется метрическим тензором лагранжева репера Э1(1) ( ==1, 2, 3) с симметричной квадратной матрицей [c.71]

Наиболее полная попытка феноменологического вывода определяющих соотношений (включая соотношения Стефана-Максвелла для многокомпонентной диффузии) для неидеальных многокомпонентных сплошных сред была предпринята в работе Колесниченко, Тирский, 1976). Определяющие соотношения, полученные в этой работе, по структуре тождественны аналогичным соотношениям, выведенным методами газовой кинетики в широко цитируемой до настоящего времени книге Гиршфельдера, Кертисса и Берда Гиршфельдер и др., 1961). Однако в этой книге приняты весьма неудачные определения коэффициентов многокомпонентной диффузии (как несимметричных по индексам величин) и коэффициентов термодиффузии, не согласующиеся с соотношениями взаимности Онзагера-Казимира в неравновесной термодинамике Де Гроот, Мазур, 1964 Дьярмати, 1974). Этот эмпирически установленный принцип взаимности (который может быть выведен также на основе методов статистической механики), носит фундаментальный характер и может быть назван четвертым законом термодинамики (третий закон о недостижимости абсолютного нуля температуры не обсуждается в этой книге). По этой причине соответствие коэффициентов молекулярного обмена принципу взаимности Онзагера- [c.85]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...