У Лагранжа вариационное

Принципом наименьшего действия Лагранж много занимался в первые годы своей научной деятельности, в связи с работами по вариационному исчислению. При систематическом изложении механики этот принцип отходит у Лагранжа на второй план. Все же существенно было то, что Лагранж формулировал этот принцип с полной определенностью как чисто механическую теорему, справедливую при соблюдении определенных условий. Эта формулировка такова при движении любой системы тел, находящихся под действием взаимных сил притяжения, или сил, направленных к неподвижным центрам и пропорциональных каким-либо функциям расстояний, кривые, описываемые различными телами, а равно их скорости необходимо таковы, что сумма произведений отдельных масс иа интеграл скорости, умноженной на элемент кривой, является максимумом или минимумом — при условии, что первые и последние точки каждой кривой рассматриваются как заданные. [c.205]

Величины Аз и А4 являются постоянными, а Аг(у) и Х у) — переменными множителями Лагранжа. При постановке частных вариационных задач некоторые из условий задачи 1 могут не использоваться. Например, в задаче о плоском профиле может не задаваться подъемная сила (. В этом случае в сумме (2.20) достаточно положить равным нулю соответствующий множитель Лагранжа. [c.71]

Особое преимущество принципа Гамильтона обнаруживается в механике сплошных сред, поскольку этот принцип приводит не только к дифференциальным уравнениям задачи, но также и к краевым условиям, которым должны удовлетворять решения этих дифференциальных уравнений в частных производных. Во многих случаях необходимо вначале искать функцию Лагранжа L (входящую в выражение вариационного принципа) в зависимости от характера задачи. Это имеет место, например, при движении электрона в магнитном поле, когда действующая сила не имеет потенциала У далее — в теории относительности, когда L нельзя выразить с помощью выведенного нами выражения (4.10) для кинетической энергии. Здесь роль кинетической части принципа наименьшего действия играет выражение [c.277]

Идея о нахождении фундаментальной функции, из которой при помощи дифференцирования и конечных преобразований без всякого интегрирования могли бы быть получены все решения уравнений движения, принадлежит Гамильтону. Он первый доказал существование такой функции в геометрической оптике, назвав ее там характеристической функцией эта функция оказалась необычайно полезной в целом ряде задач. Позднее, в своих исследованиях по динамике, Гамильтон снова столкнулся с той же самой функцией, назвав ее на этот раз главной функцией . Ввиду общей вариационной основы у оптики и механики, эти две концепции эквивалентны и открытие Гамильтона относится по существу к вариационному исчислению, а специальная форма вариационного интеграла несущественна. (Этот интеграл определяет время в оптическом принципе Ферма и действие в механическом принципе Лагранжа.) [c.257]

Якоби дал также новую формулировку принципа наименьшего действия для случая независимости от времени, который рассматривали Эйлер и Лагранж. Он критиковал их формулировку на том основании, что область интегрирования у них не удовлетворяет условию варьирования при фиксированных граничных значениях. Хотя в действительности Эйлер и Лагранж применяли свой принцип вполне корректно, исключение времени из вариационного интеграла, произведенное Якоби, привело к новому принципу, определяющему траекторию движущейся точки без всякого указания на то, как движение происходит во времени. Сходство этого принципа с принципом Ферма о наименьшем времени распространения света, из которого может быть определена траектория светового луча, непосредственно устанавливало аналогию между оптическими и механическими явлениями. [c.392]

Экстремали, на которых достигается экстремум функциона.яа /, являются решением и исходной вариационной проблемы. Величины %1 называются неопределенными (функциональными) множителями Лагранжа. Уравнения Эйлера вариационной проблемы для функционала / и условия для /г позволяют найти у1 Я,у ( = 1, 2,. .., п у = 1,. .., т). Аналогичная ситуация имеет место и при отыскании экстремума функции, но множители Лагранжа при этом не являются функциональными. [c.449]

В соответствии с вариационным принципом Лагранжа эта величина должна равняться нулю при т О и при произвольной, удовлетворяющей геометрическим граничным условиям функции Wi %, у). Отсюда следует [c.67]

Напомним также, что условие (П.16) эквивалентно известному дифференциальному уравнению Эйлера—Лагранжа, используемому при решении классических вариационных задач [40]. Если подынтегральная функция в (П.15) , явно зависит от х, у к производных (/<"), например, так [c.219]

М. у. могут быть получены из наименьшего действия принципа, т. е. их можно совместить с Эйлера — Лагранжа уравнениями, обеспечивающими вариационную экстремальность ф-ции действия. [c.38]

Система уравнений (9.14.1) - (9.14.3) яв- ляется полной (она содержит 21 уравнение и включает столько же неизвестных функций Т, М, Q, , аг, , у, и, v, tv) и имеет десятый порядок по переменным а и ji. Соответствующий вариационный функционал Лагранжа, лежащий в основе многих прикладных методов расчета, имеет следующий вид [c.226]

Располагая вариационными уравнениями Лагранжа и Кастильяно, можем теперь дать вариационную постановку задачи теории упругости если задача решается в п е р е м е -щ е н и я X, то требуется найти такие перемещения и, которые непрерывны внутри тела, удовлетворяют геометрическим граничным условиям и минимизируют полную потенциальную энергию системы V если задача решается в напряже-н и я X, то требуется найти такие напряжения а, которые удовлетворяют уравнениям равновесия и статическим граничным условиям и минимизируют полную дополнительную энергию системы У, [c.43]

С точки зрения приведенной теоремы сформулированная выше экстремальная задача (У.б) соответствует наиболее общему вариационному принципу теории трансверсально-изотропных оболочек. Поэтому из последнего как частные случаи должны следовать все другие вариационные уравнения. В частности, на базе (У.5) и (У.б) могут быть сформулированы классические вариационные принципы Лагранжа и Кастилиано. [c.82]

Естественно, что каждый из полученных таким образом вариационных принципов позволяет удовлетворить вариационным методом тем уравнениям теории оболочек, которые не были присоединены к (У.5) и (У.б) в качестве предварительных. Для принципа Лагранжа такими уравнениями являются условия равновесия и статические граничные условия, а для принципа Кастилиано — соотношения неразрывности деформаций (1.35). При использовании этих принципов перечисленные уравнения выполняются как бы автоматически и нет надобности удовлетворять им заранее. [c.91]

Подставляя (У.42) в вариационное уравнение Лагранжа (У. 10) и вычисляя соответствующие интегралы от известных функций Ьu f . .., бу >. находим [c.92]

Можно доказать (см. [17, 34]), что, если пара (й,р ) является седловой точкой лагранжиана Ь(у,р ), то элемент й — решение исходной вариационной задачи, элемент р — решение задачи (83), которую называют сопряженной (или двойственной) к исходной задаче минимизации функционала J(v) на множестве К кроме того, операции нахождения нижней и верхней грани в задаче (88) можно поменять местами. [c.110]

В рамках принятых предположений мощность У есть функция текущего фазового состояния МТМ. Это позволяет для регпения задачи 4.2 применить вариационную процедуру Эйлера Лагранжа. Согласно этой процедуре надо составить гамильтониан [c.179]

Согласно известным результатам вариационного исчисления (см., например, [19]) для каждой кривой х т), у т) найдется такая постоянная х, что эта кривая является экстремалью безусловной вариационной задачи с лагранжианом L + х/х. Принимая во внимание выражение (1.3), запишем соответствующие уравнения Лагранжа [c.373]

Допустим, что число жестких слоев п достаточно велико, чтобы перемещения Ма, Уа и Шд точек срединной плоскости этих слоев можно было считать медленно меняющимися функциями индекса а (а= 1, 2,. .., га). Предположим, что характеристики жестких слоев и мягких слоев тоже являются медленно меняющимися функциями а. Возникает идея об упрощении задачи, достигаемом путем размазывания — замены слоистой плиты некоторой однослойной анизотропной плитой с характеристиками напряженно-деформированного состояния, непрерывно меняющимися по толщине. Чтобы вывести соответствующие уравнения и естественные граничные условия, воспользуемся, как и ранее, вариационным принципом Лагранжа. Однако для функции Лагранжа возьмем приближенное выражение, вытекающее из формулы (30), если конечные суммы по а заменить интегралами по [c.53]

Н. Г. Четаева, а развитие этих вопросов — у В. В. Румянцева [94]. Из (5.71), замечаем, что такая равносильность и совместность вариационных принципов Даламбера — Лагранжа и Гаусса характерна и для обобщенной термоупругой среды без наличия источников тепла, если выполняются условия [c.138]

Из вариационного исчисления известно, что, если кривая у (ж) при соблюдении условия 1о = I доставляет функционалу I стационарное значение, т. е. выполняется условие равновесия (3.1), то кривая у (ж) есть решение уравнения Эйлера (ср. с уравнениями Лагранжа (0.2)) [c.16]

Еще одно, полностью отличное от рассмотренных применение вариационных функционалов основано на том факте, что функционал У можно рассматривать как функцию Лагранжа для системы в том смысле, что, если требуется, чтобы функционал был стационарным для малых, но произвольных изменений функций Ф и Ф+, то можно найти уравнения, которые удовлетворяются обеими функциями Ф и.,Ф+. Покажем, что этот метод приводит к систематическому способу получения приближений к уравнению переноса [32]. [c.239]

К этому же периоду относится и создание знаменитой Мёсап1дие Analytique , перевод первого тома которой здесь дается. Исходя из основного принципа возможных скоростей, которому Лагранж дал новое доказательство, и пользуясь разработанными им же вариационными методами, Лагранж строит здесь впервые полную систему аналитической механики. В этом классическом труде сосредоточено такое количество фундаментальных идей и блестящих методов, до такой предельной ясности доведено изложение основных законов механики, что и до сих пор эта книга не потеряла своей свежести и может быть использована как классический трактат по аналитической механике. Здесь впервые появляется идея обобщенных координат лагранжев метод рассмотрения жидкости, как материальной системы, характеризуемой большой Подвижностью частиц, уничтожил различие между механикой жидкости и механикой твердого тела, так что общие принципы механики могли быть распространены на гидростатику и гидродинамику. Механика у Лагранжа стала общей наукой [c.584]

Такой же подход к механике характерен и для Остроградского, который рассматривал ее проблемы, как правило, в самом общем виде. Общая постановка вопроса вела, в свою очередь, к изучению вариационного исчисления, в которое как частный случай входит динамика. Поэтому мемуар Остроградского О дифференциальных уравнениях, относящихся к задаче изопериметров (1850) принадлежит в равной мере как механике, так и вариационному исчислению. В силу такого сугубо математического подхода (как у Лагранжа) исследования Остроградского значительно обогатили, развили и углубили понимание вариационных принципов прежде всего с математической точки зрения. [c.216]

В мемуаре О дифференциальных уравнениях, относящихся к задаче изопериметров , а затем в письме к Лиосковскому профессору Н. Д. Брашману, напечатанном ь 1866 г., Остроградский высказал сомнение в справедливости принципа наименьшего действия Лагранжа. Основные возражения Остроградского сводятся к следующему. Для Эйлера и Лагранжа принцип наименьшего действия и простейшая задача вариационного исчисления представляли собой одну и ту же математическую проблему. Остроградский же замечает, что в принципе наименьшего действия переменные связаны законом живых сил и не являются поэтому независимыми, в отличие от переменных обыкновенной вариационной задачи. Отсюда следует также, что вариации переменных подчинены некоторому условию и не могут быть совершенно произвольными. Поэтому Остроградский считает формулировку принципа у Лагранжа и его выводы ошибочными и дает собственную формулировку в случае консервативной системы действительная траектория движения между двумя точками обладает тем свойством, что преобразование уравнений движения приводит к условию [c.218]

Это не что иное, как канонические уравнения (6.3.5), пред-ставляюш,ие собой единую систему из 2п дифференциальных уравнений, полученных из интеграла действия (6.4.3). Мы больше не нуждаемся ни в первоначальной функции Лагранжа, ни в преобразовании Лежандра, при помощи которого была получена функция Н. У нас есть теперь новый вариационный принцип, эквивалентный первоначальному, но имеющий перед ним некоторое преимущество вследствие более простой структуры получающихся дифференциальных уравнений — они уже не второго, а первого порядка. В уравнениях все производные выделены, а не скрыты какими-либо алгебраическими операциями. [c.198]

В этой статье мы в дальнейшем не будем придерживаться данного способа вычислений. Он должен служить лишь для предварительной ориентировки при установлении внешней связи волнового уравнения с у. Г. Функция у> в действительности не находится в таком соотношении с функцией действия рассматривасмо10 движения, как это следует из фор щлы (2) первого сообщения. Напротив, связь между волновым уравнением и вариационной задачей очень проста-, подынтегральное выражение стационарного интеграла представляет собой функцию Лагранжа волнового процесса. [c.679]

Помимо разнообразных физ. интерпретаций Т. з., такого рода топологич. классификация ф-ций состояния позволяет из чисто формальных соображений существенно сузить круг поиска решений ур-ний модели. С др. стороны, при наличии оценки энергии модели tf снизу через Т. з. Q типа < >/(б), где /—монотонно растущая ф-ция, решения с нетривиальным значением Q (топологические соли-тоны), реализующие Inf (У, оказываются устойчивыми по Ляпунову (см. Устойчивость o.iumonoe). Более того, ес.пи ниж. грань функционала достигается (случай выполнения равенства в оценке, приведённой выше), то удаётся понизить порядок вариационных ур-ний (см. Эйлера—Лагранжа уравнение) на единицу, т. е. свести поиск экстремалей функционала к решению ур-ний 1-го порядка, т. н. ур-ний Богомольного. [c.132]

В силу независимости вариаций и основной леммы вариационного исчисления [144] из последнего уравнения вытекают дифференциальные уравнения Эйлера—Остроградского и сответствующие граничные условия, которые после исключения множителей Лагранжа (Ях = а, Я,2 = их, К = у> Ь запишутся так [c.92]

Ценность результатов Ф.А. Слободкиной еще более возросла, в связи с особенностями вариационных задач, обнаруженными для разных переходов через М = 1. Дело в том, что ключевым элементом непрямых методов их решения является сопряженная задача для множителей Лагранжа или для вектор-функции принципа максимума Понтрягина . Дифференциальные уравнения сопряженной задачи, отвечающие режимам с подобными переходами, при М = 1 также имеют особенность. При этом, если переход через М = 1 у уравнений [c.17]

Выполненное исследование подтвердило соображения [1] о возможных иреимугцествах внезапного сужения, несмотря на то, что построенные конфигурации получены отнюдь не в результате строгого решения соответствуюгцей вариационной задачи. Более того, внезапное сужение является лишь весьма правдоподобным элементом оптимальной образуюгцей ири принципиальной допустимости углублений (пунктир на рис. 1). Доказать их наличие или отсутствие можно с помогцью обгцего метода множителей Лагранжа [2], однако авторы не видят острой необходимости в этом. Дело в том, что в отсутствие дополнительных соображении об исиользовании объема углублений любые выемки в торцевой стенке ири течении реального вязкого газа будут если не вредны, то практически бесполезны. В таких условиях в постановке задачи для идеального газа естественно ограничение 2 > — 7Г, заирегцаюгцее подобные углубления. О влиянии вязкости следует помнить и в связи с ростом р за звуковым изломом, а также ири ириближении (со стороны цилиндрического канала) к а°. В обгцем случае это может вызвать отрыв и обусловленное им увеличение потерь, не учитываемых в ириближении идеального газа. Поэтому на построенные конфигурации следует смотреть не как на рекомендацию к немедленному использованию, а как на теоретический предел совершенства соила ири заданных X, У, и Расчеты, выполненные в [c.521]

Лагранж (Lagrange) Жозеф Лг/ (1736-1813) — выдающийся французский математик и механик, В1754 г. стал профессором артиллерийской школы. Основатель знаменитой Туринской академии. В 1766-1787 гг. преподавал в Берлинской академии наук. В 1787 г. переехал в Париж, где до конца жизни был профессором Нормальной школы и Политехнической школы. В 1788 г, издал знаменитую книгу Аналитическая механика , которую У. Р. Гамильтон назвал научной поэмой . Развил основные понятия вариационного исчисления и предложил общий аналитический метод для решения вариационных задач. Придал уравнениям движения форму, названную его именем, В Аналитической механике значительное место занимают вопросы механики сплошной среды (гидростатика, гидродинамика, теория упругости). Автор ряда фундаментальных работ по математическому анализу, теории чисел, алгебре, астрономии, картографии и др. [c.38]

Такая формулировка справедлива в любой системе координат, но мы ограничимся для простоты декартовыми координатами х, у, г. Здесь х, у, г — компоненты скорости, L — лагранжиан. Положение начальной и конечной точек рассмагривает си в четырех мерном пространстве — времени и считается неизменным в вариационном процессе. В приложении 1 (см. (77) и (78)) было показано, как из (11) получить уравнепия движения в форме Лагранжа и в форме Гамильтона. [c.681]

Уизем развил также вариационный метод для волн на мелкой воде. В нем потенциал скорости может содержать медленно меняюш уюся апериодическую часть Ф, соответствуюш ую среднему значению, градиент которой дФ дх = s представляет собой среднее значение скорости горизонтального течения, создаваемого волнами. Усредненная плотность лагранжиана принимает вид [c.556]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...