Метод Лежандра

Широко используется также при решении задач теории - переноса излучения метод сферических гармоник, т. е. метод разложения интенсивности излучения по полиномам Лежандра. При этом уравнение переноса сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений относительно весовых функций разложения. [c.143]

Переход от системы уравнений второго порядка к системе уравнений первого порядка можно осуществлять разными способами, и в результате будут получаться, вообще говоря, различные эквивалентные системы. Среди них особенно простую и симметричную структуру имеет система канонических уравнений Гамильтона. Свойства этих уравнений лежат в основе метода Гамильтона-Якоби исследования движений механических систем, а также современной теории возмущений. Канонические уравнения получаются с помощью преобразования Лежандра. [c.626]

Гаусс высоко ценил сформулированный им принцип, потому что этот принцип представляет собой полную физическую аналогию методу наименьших квадратов теории ошибок (открытому самим Гауссом и независимо Лежандром). Пусть задано некоторое функциональное соотношение, содержащее ряд параметров, которые должны быть определены экспериментально. Если число наблюдений равно числу неизвестных параметров, то вычисления производятся непосредственно. Однако при числе наблюдений, превышающем число параметров, уравнения становятся противоречивыми вследствие наличия ошибок наблюдений. [c.132]

Важный переход от лагранжевой к гамильтоновой форме динамики можно совершить более непосредственным образом, без использования преобразования Лежандра, основываясь исключительно на методе неопределенных множителей Лагранжа. Рассмотрим заданную функцию Лагранжа L = q , qn, t). Будем рассматривать qi как некоторую вторую группу независимых переменных Wi, т. е, напишем [c.396]

Здесь можно также привести подробности открытия, о котором я раньше известил Академию полное интегрирование дифференциальных уравнений, составленных Лежандром, от которых зависит существование максимума или минимума в изопериметрической задаче. Метод, которым я пользуюсь, есть новое и замечательное приложение известного метода вариации произвольных постоянных он основывается в принципе на важных свойствах [c.289]

Преобразование было открыто и использовано Л. Эйлером в 1770 г. однако широко известным оно стало после того, как Лежандр использовал его в 1787 г., именно в связи с этим это преобразование получило имя Лежандра справедливее было бы называть его преобразованием Эйлера, либо, в крайнем случае, преобразованием Эйлера—Лежандра. Первый примитивный пример этого преобразования найден в исследованиях Лейбница. О преобразовании Лежандра см. например, Р. Курант и Д. Гильберт. Методы математической физики, т, И, изд. 2-е, Гостехиздат, 1951, М. — Л., гл, I, 6, [c.466]

При таком методе требуется большой объем памяти для хранения и решения системы уравнений. Эти недостатки в основном устраняются при использовании в описании функции Pi ортогональных полиномов Чебышева, Лежандра, Форсайта и др. В таком случае коэффициенты аппроксимирующего уравнения вычисляются по рекуррентным формулам. Для вычисления коэффициентов на ЭВМ при произвольных выражениях Pi используются [c.20]

Решение линейных равноточных условных уравнений производится по способу наименьших квадратов, опирающемуся на принцип Лежандра определяются такие значения неизвестных, при которых сумма квадратов невязок е,- наименьшая. Практические указания о вычислениях по способу наименьших квадратов имеются в курсах математической статистики и специальных работах, посвященных этому методу. [c.228]

СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ (сферические гармоники)— спец. функции, возникающие, напр., при отыскании ограниченных решений ур-ния Лапласа Ди = 0 в сферич. координатах (г, 0, <р) методом разделения переменных. Введены в кон. 18 в. А. Лежандром и П. Лапласом. Полагая = (г, 9, (p) = JJ(r) У(0, ф), после разделения переменных для К(0, Ф) получаем ур-ние [c.37]

Индикатрису рассеяния разложим в ряд по полиномам Лежандра в соответствии с общими методами теории переноса [5,6,11 [c.14]

Описанный метод построения решетки по заданному годографу скорости в потоке газа Чаплыгина был разработан автором в 1949 г. Этот метод был положен в основу решения основной обратной задачи теории решеток (построения решетки с гидродинамически целесообразным распределением скорости в действительном потоке вязкой жидкости), описанного в 56. Позже аналогичный метод был предложен Лежандром [116] и развит (тоже с применением электрического моделирования) Ревю [129]. [c.207]

В 1829 г. Пуассон отметил, что результаты Лежандра и Лапласа также оставляют желать много лучшего, поскольку не был исследован вопрос, будут ли сходящимися ряды, к которым приводят их методы. Создавшаяся ситуация и побудила Ляпунова продолжить исследования. Ляпунов в отличие от Лежандра, Лапласа и Пуассона не пользовался разложением в ряд, а рассмотрел уравнения задачи (из которых первое является уравнением Клеро) при весьма общих предположениях о законе распределения плотности вращающейся жидкой массы. [c.265]

Преобразования Р = и — Т8 и = и + РУ называются касатель-ньши преобразованиями или преобразованиями Лежандра (по переменным Т, 8 v Р, У соответственно) и дают общий метод получения новых термодинамических функций. [c.96]

Для упомянутых выше систем обыкновенных дифференциальных уравнений не удалось найти достаточно простых общих точных методов решения (в качестве исключения можно привести сферическую оболочку [40, 90, 110, 114, 149, 190], для которой общий интеграл однородных моментных уравнений, соответствующий п-му члену разложения, удалось выразить через элементарные функции и присоединенные функции Лежандра комплексного индекса). [c.209]

Существует много математических методов приведения трехмерных уравнений теории оболочек к некоторой последовательности систем двумерных уравнений, описывающих напряженное состояние тонких оболочек. С этой целью применялись разложения в степенные ряды по толщине (72, 159], разложения по функциям Лежандра (15, 105, 106, 140], а также энергетические подходы (88]. Метод, изложенный в этой главе, можно назвать асимптотическим. Он развивался в последние годы рядом авторов для изотропных однородных оболочек [3, 12, 20, 34, 54, 55, 75, 76, 144—147, 171, 172, 179], для анизотропных оболочек (1, 2] и, наконец, для слоистых пластин (65—68, 150]. Обзоры работ, посвященных проблеме сведения трехмерных уравнений теории упругости к двумерным уравнениям теории оболочек, можно найти в [34, 58, 157, 158]. [c.408]

Для вычисления интеграла (20.14) используется метод квадратуры Гаусса—Лежандра 131 с 11-точечной схемой вычисления [c.340]

Задачу обращения преобразования Лапласа для соотношения (V.50) можно решать методами, основанными на разложении оригинала в ряды по ортогональным функциям Лежандра. Таким образом, задача сводится к проблеме моментов на конечном промежутке [221]. [c.121]

Несмотря на универсальность, этот метод достаточно прост для понимания и реализации. Эти преимущества обусловлены в основном использованием метода контрольного объема, при котором решаемые алгебраические уравнения представляют собой законы сохранения физических величин, таких как энергия, масса или импульс, для каждого контрольного объема в отдельности. Поэтому эти алгебраические уравнения имеют ясный физический смысл, и, получая окончательное решение, мы знаем, что в точности выполняется закон сохранения энергии (массы и т.п.) для всех маленьких контрольных объемов, на которые была разбита расчетная область. Этот метод основан преимущественно на понимании физических особенностей рассматриваемых процессов. Кроме того, разве не замечательно, что мы можем решать очень сложные задачи, не обращаясь к рядам Фурье, функциям Бесселя, полиномам Лежандра и другому подобному математическому аппарату. [c.280]

Таким образом, потребности развивающейся новой техники поставили уже в 40-х годах нашего столетия задачу об эффективных способах нахождения решений систем нелинейных уравнений с частными производными с учетом реальных свойств веществ и геометрии проектируемых изделий. Известные ранее аналитические методы решения отдельных типов линейных уравнений (создание их связано с именами Фурье, Адама ра, Римана, Лежандра и других известных математиков) и некоторых нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений (Пуанкаре, Ляпунов и другие) не могли дать решения поставленных задач. Численные же методы, которые также успешно при менялись для решения отдельных задач еще в прошлом веке (Гаусс, Леверье и другие), не могли быть эффективно реализованы до появления хороших счетных машин. Конец 40 х годов и все последующие десятилетия проходили под знаменем бурного прогресса средств вычислительной техники. Первое время рост возможностей электронно-вычислительных машин, в первую очередь их быстродействия и памяти, выдвинул тезис о том, что с помощью достаточно мощных ЭВМ, с использованием сугубо численных методов (прежде всего разностных методов и методов прямого статистического моделирования) можно эффективно получить решение практически всех возникающих в приложениях задач без детального, аккуратного в математическом смысле исследования свойств применяемых математических моделей. [c.13]

Цель приложения заключается в том, чтобы кратко напомнить квадратурную формулу Гаусса, правило выбора узлов и соответствующих им весовых множителей. Эта формула оказывается полезной в МГЭ при вычислении различных интегралов по элементам и ячейкам. Главное преимущество метода численного интегрирования Гаусса — Лежандра по сравнению с обычными методами (правилом трапеций Симпсона и т.д.) заключается в том, что определенная точность результатов может быть достигнута методом Гаусса при использовании вдвое меньшего, чем в других методах, числа ординат. Это является следствием введения в формулу в виде параметра не только соответствующего каждой ординате весового множителя, но и местоположения узлов, соответствующих этим взятым из области интегрирования ординатам (рис. В. 1). [c.478]

К третьей группе относятся работы, сочетающие приведение трехмерных краевых задач теории упругости к двумерным задачам теории оболочек с оценкой области применимости приближенных теорий. В этом направлении выделяется метод, основанный на построении разложений искомых функций по возрастающим степеням координаты в тригонометрические ряды, в ряды по полиномам Лежандра и т. д. Подробный обзор работ, связанных с этим способом приведения, представлен в монографии Н. А. Кильчевского [54]. [c.4]

Применяя процедуру проекционного метода с нормированными полиномами Лежандра качестве координатных функций, получаем систему двумерных разрешающих уравнений связанной динамической термоупругости для пластин при четных п [c.124]

Предлагаемый нами подход к решению нестационарны.х задач термоупругости пластин приводит к рассмотрению системы двумерных уравнений теплопроводности (3.15), (3.16) и связанного с одним нз ннх уравнения движения (3.17). Следует отметить, что применение в процедуре проекционного метода любых координатных функций, кроме полиномов Лежандра, приводит к системе, в которой уравнение движения пластины связано со всеми N уравнениями теплопроводности. Действительно, в каждое из соответствующих уравнений теплопроводности входят все функции Ti (или Т) и w. Уравнение движения будет [c.133]

В практике инженерных расчетов температурного режима многослойных аэродромных покрытий могут быть использованы численные методы обращения преобразования Лапласа при помощи ортогональных многочленов Лежандра и рядов Фурье с использованием алгоритма, представленного на рис. 8.1. Это позволяет получить решения задач с достаточной для практики точностью, достижимой с помощью ПЭВМ, и относительно небольшим временем вычислительного процесса при простоте в программировании. [c.307]

Наряду с методом Чаплыгина развивались и другие подходы к расчету обтекания тел сжимаемым потоком. Отметим, в частности, исследование 293 А. И. Некрасова , применившего для расчета обтекания круга преобразование Лежандра. [c.293]

Кроме методов, основанных на теории Чаплыгина, применялись и другие методы изучения обтекания тел плоским потенциальным дозвуковым потоком газа. В работах А. И. Некрасова (1946), Ж. Переса (1944) для линеаризации уравнений газовой динамики использовано преобразование Лежандра. [c.322]

Функции Лежандра встречаются также при применении метода разделения переменных к ортогональным координатам, полученным внутренними сечениями семейства конфокальных растянутых эллипсоидов вращения и семейства конфокальных гиперболоидов (рис. 29). Если записать [c.106]

Мнемонические тер.модина.чические диаграммы. Уравнение Гиббса (3.1) является следствием применения первого и второго законов термодинамики к инфинитезимальному квазистатическому процессу, а уравнения (3.2) — (3.4) получаются далее путем повторного применения преобразования Лежандра (3.11). Если вы овладели двумя основными законами и запомнили определения термодинамических потенциалов, то для вас не представляет труда написать уравнения (3.1) — (3.4) с помощью приема, описанного выше. Однако еще лучше запомнить и следующий метод, так сказать, про черный день. [c.172]

В работе [34] рассматривается осесимметричная контактная задача для плоского гладкого штампа на (вязкоупругом) полупространстве, насыщенном сжимаемой жидкостью, условие по фильтрации (существует проницаемость или нет) одинаковое на всей границе. После применения интегральных преобразований Ханкеля по координате и Лапласа по времени задача сведена к парным интегральным уравнениям, которые методом Лебедева-Уфлянда сведены к уравнению Фредгольма II рода, решение строится в форме разложения по полиномам Лежандра. Предполагается, что нагрузка на штамп линейно возрастает до некоторого постоянного значения на заданном промежутке времени. Обращение интегральных преобразований выполняется численно методом Крылова. Приведены результаты расчетов, показывающие влияние скорости нагружения на осадку штампа и контактные напряжения. [c.567]

Эпштейн показал полную эквивалентность обоих методов. Во всех этих. методах использован математический прием, состоящий в применении преобразования Лежандра. В старой классической квантовой механике стремились ввести такие координаты, которые делают функцию Гамильтона зйвисимой только от канонически сопряженных импульсов, так как в этом случае механическая задача легко разрешима. [c.860]

Аппроксимация составляет центральную часть проблемы кинематического синтеза [1]. Даже когда ей присваиваются такие термины, как точный синтез или прецизионный синтез , конечным результатом явится шарнирный механизм, основанный на аппроксимации по отношению к желаемому движению, пути или функции. Эта, так называемая точная теория аппроксимации, развивается начиная с работ Бурместера (1876) [2, 3] и уже хорошо разработана. За последнее десятилетие она подверглась значительному развитию в работах Фреденштайна, Сандора, Роса и Боттема [4—6]. Дополнительно представляется возможным рассмотреть любой тип аппроксимации как неотъемлемую часть кинематической теории. В этом направлении интересны оригинальные труды Чебышева (1850—1860), предшествуюш ие работам Бурместера, упомянутым выше. Несколько примеров применения теории Чебышева можно найти в собрании его работ [7], а также в книге Блоха [8]. Революционный характер работ Чебышева определился идеей использования метода наименьших квадратов, искусно введенного Лежандром (1806) и Гауссом (1809) [9, 10]. Постановка вопроса в то время была следующей если Е это функция ошибки, то можно методом наименьших квадратов отыскать минимум или постоянную величину [ E da. Лежандр и Гаусс решали эту задачу в предположении, что Е линейно зависит от параметров. [c.166]

В XVIII—XIX вв. при решении этой проблемы исходили из гипотезы о том, что на некоторой стадии развития небесные тела были жидкими. А. Клеро показал, что если скорость вращения жидкой массы очень мала, то за поверхности уровня с достаточной степенью точности могут быть приняты поверхности эллипсоидов вращения. Но этот результат справедлив лишь в первом приближении, а теория Клеро не позволяла найти более высокие приближения. Затем А. Лежандр и П. Лаплас предложили методы, которые позволяли находить последовательные приближения. [c.265]

Рассмотренный нами пример приведен лигаь для иллюстрации применения метода нриближенных уравнений переноса, изложенного в предгаествуюгцих разделах статьи, и не претендует на на что больгаее. При необходимости более полного физического регаения задачи о распределении яркости неба этот метод должен быть взят в более точной форме за счет увеличения числа узлов интерполяции и числа членов в разложении индикатрисы по полиномам Лежандра. [c.623]

Для построения уточненных уравнений теории нетонких оболочек переменной толщины используем проекционный метод редукции уравнений теории упругости. Поскольку устойчивость приближенного решения и его сходимость к точному определяются видом базисных функций, то целесообразно в качестве координатных функций использовать полиномы Лежандра, примененные И. Н. Векуа для построения теории тонких пологих оболочек. [c.5]

Существенного успеха по сравнению с тем, что было достигнуто геометрическими методами, впервые добился Лежандр в мемуаре Исследования о прйтяжении однородных эллипсоидов , представленном Парижской академии в 1785 г. несомненно, работа была закончена на год или два года раньше. Лежандр справедливо указывает, что хотя Лагранж рассмотрел задачу о притяжении во всей общности, но фактически провести интегрирование ему удалось только в тех случа ях, которые были уже исследованы Маклоре-ном. Лежандр доказывает новую важную теорему если известна сила притяжения телом вращения любой внешней точки на продолжении оси тела, то она известна для любого положения внешней точки. Это позволяет ему обобщить теорему Маклорена о софокусных эллипсоидах вращения (обобщение теоремы на случаи трехосных софокусных эллипсоидов позже удалось Лапласу). Лежандр впервые вводит в этом мемуаре разложение в ряд по полиномам, названным его именем (по сферическим функциям), и здесь же впервые появляется силовая (или потенциальная) функция, но с указанием, что эта идея принадлежит Лапласу. По оценке Тодхантера, ни один мемуар в истории рассматриваемого вопроса не может соперничать с этим мемуаром Лежандра. В течение сорока лет средства анализа, даже в руках Даламбера, Лагранжа и Лапласа, не продвинули теорию притяжения эллипсоидов дальше того рубежа, на который вышла геометрия Маклорена.... Лежандр обобщил главный результат этой геометрии... Введение и применение круговых функций начинает новую эру в математической физике. [c.152]

Все описаппые выше методы могут быть применимы и уже применялись к линеаризованному уравнению Больцмана [13— Г9, 3—5]. Аналогичные методы хорошо показали себя в задачах переноса нейтронов и переноса излучения. Особенно много работ выполнено с помопдью разложения по сферическим гармоникам и полиномам Лежандра [20, 22] и так называемого двойного Ррметода, основанного на кусочно непрерывной аппроксимации [22—23]. [c.393]

С помощью специально выведенного им интегрального представления М. А. Мартыненко [25] в рамках метода парных уравнений получил несколько более удобное, чем известное ранее [37], не требующее введения вспомогательных констант решение парных сумматорных уравнений по присоединенным функциям Лежандра первого рода и целого порядка. [c.117]

В. Б. Поручиковым [26] для случая заданных вертикальных перемещений с помощью метода Каньяра получено интегральное уравнение, для которого используется метод Винера-Хопфа. Для аналогичной задачи в работах В. Л. Лобысева и Ю. С. Яковлева [24], В. Л. Лобысева, В. И. Сайги-ной и Ю. С. Яковлева [22] решение интегрального уравнения Фредгольма в пространстве преобразований Лапласа разыскивается в виде суммы статической части и ряда по полиномам Лежандра Р ( /1 ). Найдено приближенное выражение для реакции среды. Рассмотрен также вариант задания касательных перемещений. [c.372]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...