Преобразование Эйлера

Преобразование Эйлера производится так же, как и в формуле (34.4) при этом вместо выражения (34.4а) получается следующее [c.252]

Преобразование было открыто и использовано Л. Эйлером в 1770 г. однако широко известным оно стало после того, как Лежандр использовал его в 1787 г., именно в связи с этим это преобразование получило имя Лежандра справедливее было бы называть его преобразованием Эйлера, либо, в крайнем случае, преобразованием Эйлера—Лежандра. Первый примитивный пример этого преобразования найден в исследованиях Лейбница. О преобразовании Лежандра см. например, Р. Курант и Д. Гильберт. Методы математической физики, т, И, изд. 2-е, Гостехиздат, 1951, М. — Л., гл, I, 6, [c.466]

Изменяя направление осей координат, мы всегда можем упростить уравнение эллипсоида и уничтожить в нем члены с произведениями координат. Делая это известное преобразование Эйлера, получим уравнение эллипсоида в форме [c.125]

Применяя преобразования Эйлера, аналогично тем, которые мы применили выше, (зная, что = а + /со и Я,2 = а — /ш), мы получаем [c.153]

Все возможные последовательности поворотов одной системы координат относительно другой можно совершить оператором преобразования Эйлера или операторами преобразования Эйлера-Крылова. [c.416]

Совершая один за другим три последовательных поворота вокруг каждого из ребер, трехгранник можно переместить из исходного положения в требуемой путем использования преобразования Эйлера-Крылова первого или второго рода. [c.417]

Преобразование Эйлера-Крылова первого рода сводится к повороту трехгранника вокруг ребра [c.418]

Преобразование Эйлера-Крылова второго рода предусматривает поворот трехгранника 1<) ]<)к вокруг [c.418]

Подставим эти значения в уравнение Эйлера и осуществим его преобразование [c.412]

Доказательство. С помощью углов Эйлера движение представляется в виде композиции преобразований вспомогательных базисов. Сначала происходит поворот исходного репера на угол прецессии ф вокруг третьей координатной оси. Этот поворот (см. определение 2.6.1) задается набором параметров Эйлера qo = соз( /2), = 0, [c.109]

Заметим, что коэффициенты кватерниона из Н, задающего преобразование X —> Z в соответствии с теоремой 2.8.2, называются параметрами Родрига-Гамильтона. Видим, что по смыслу параметры Эйлера и параметры Родрига-Гамильтона совпадают. [c.112]

Проекции вектора ускорения полюса иа осп подвижной системы координат можно найти, пользуясь формулами преобразования компонент вектора при ортогональных преобразованиях системы декартовых координат, а также выражениями коэффициентов этих преобразований через функции углов Эйлера (II.10.5b). [c.129]

Дальнейшие преобразования произведем, основываясь на формулах (111.34) и (111.35) и динамических уравнениях Эйлера. Эти преобразования не вносят принципиально новых фактов, и мы их не производим. Согласно равенствам (111.34) и (111.35) углы ф и 0 являются известными функциями времени. Таким образом, угол ф целиком определяется равенством (п), и закон движения твердого тела в задаче, поставленной Л. Эйлером, найден. [c.426]

Но пространство в деформируемой среде, отнесенное к координатам Лагранжа, связано с евклидовым пространством, отнесенным к координатам Эйлера, формулами точечного преобразования (IV. 79), которые, по предположению, взаимно однозначны. Следовательно, и в деформированной среде можно ввести евклидову метрику, т. е. пространство в деформированной среде является евклидовым. [c.504]

Заметим также, что уравнение Эйлера — Трикоми можно получить и непосредственно из уравнения (119,1), переходя к независимым переменным 0, "п с помощью преобразования Лежандра, причем будет Ф = — ф - - хт) + уд, или [c.620]

На структурном факторе (амплитуде) чрезвычайно сильно сказываются кристаллографические особенности кристаллической структуры ее элементы симметрии, тип решетки, пространственная группа симметрии. Рассмотрим примеры. Если решетка объемно-центрированная, то каждому атому в точке с координатами Xj, У], Zj соответствует атом с координатами V2, У3+Ч2, 2j+V2- В выражении для структурной амплитуды ( После преобразования (1.31) по формуле Эйлера) возникнут две пары членов [c.45]

Вставляя эти значения возможных перемещений в принцип Эйлера — Лагранжа, имеем после некоторых преобразований [c.148]

После элементарного преобразования и сокращения получим уравнение неразрывности в форме Эйлера [c.44]

Вводя в рассмотрение число Эйлера /(pU") Ей, местный коэффициент трения С/, = 2т/(руг) и выполняя несложные алгебраические преобразования, приведем последнее уравнение к виду [c.143]

Для того чтобы проинтегрировать уравнение Эйлера (IV.3) вдоль линии тока при вихревом движении, проделаем некоторые преобразования. [c.91]

Исключив с помощью уравнения Эйлера и проделав элементарные преобразования, имея в виду, что kRT = а , получим уравнение в виде [c.147]

Равновесие жидкости описывается диффе- о-ренциальными уравнениями Эйлера, в результате преобразования которых может быть получено основное уравнение равновесия в дифференциальной форме [c.9]

Углы Эйлера. Мы уже говорили, что так как элементы Uij не являются независимыми, то они не могут быть приняты за обобщенные координаты. Поэтому для исследования движения твердого тела с помощью лагранжиана необходимо предварительно выбрать три независимых параметра, определяющих ориентацию твердого тела. Только после того, как такие обобщенные координаты будут выбраны, можно будет вычислять лагранжиан и составлять уравнения Лагранжа. Известен целый ряд таких параметров. Наиболее распространенными и удобными из них являются углы Эйлера. Поэтому мы дадим сейчас определение этих углов и покажем, как можно через них выразить элементы матрицы ортогонального преобразования, [c.124]

Теорема Эйлера о движении твердого тела. Материал предыдущих параграфов дает нам необходимый математический аппарат для описания движения твердого тела. Мы знаем, что ориентация твердого тела в некоторый момент времени может быть задана посредством ортогонального преобразования, элементы которого можно выразить через подходящую систему параметров. С течением времени ориентация этого тела будет меняться и, следовательно, матрица преобразования будет функцией времени, что можно записать в виде равенства А = А(/). Если оси, связанные с телом, выбраны так, что при t — О они совпадают с неподвижными осями, то в этот момент преобразование будет тождественным, и мы будем иметь [c.136]

Ортогональные преобразования с детерминантом, равным —1, называют несобственными вращениями в отличие от преобразований с детерминантом + 1, которые согласно теореме Эйлера являются собственными вращениями. [c.140]

Доказав эти четыре леммы, мы можем перейти к доказательству теоремы Эйлера. Рассмотрим для этого возможные собственные значения вещественной ортогональной матрицы с детерминантом, равным +1- Прежде всего заметим, что все эти три числа не могут быть вещественными и различными, так как вещественные корни характеристического уравнения могут быть равными лишь +1 или —1. Далее, если все эти корни будут вещественными и два из них будут равными, то третий корень непременно будет равен +1. так как иначе детерминант матрицы не будет равен +1. Исключая, далее, тривиальный случай, когда все три корня равны -fl (что соответствует тождественному преобразованию), мы видим, что единственной остающейся еще возможностью является существование одного вещественного корня и двух комплексных. Но два комплексных корня всегда являются сопряженными и их произведение равно + 1. Следовательно, третий корень должен быть в этом случае равен +1, так как в противном случае мы не получим нужной величины детерминанта. Таким образом, при любом нетривиальном физическом преобразовании рассматриваемого типа имеется одно собственное значение -fl, что и утверждает теорема Эйлера. [c.141]

Из того факта, что бесконечно малое ортогональное преобразование можно записать в форме (4.94), вытекает также доказательство теоремы Эйлера, не зависящее от доказательства, изложенного ранее. Действительно, любое конечное перемещение твердого тела, имеющего неподвижную точку, можно осуществить с помощью последовательных бесконечно малых перемещений. Но так как бесконечно малое преобразование является вращением, то и конечное преобразование также будет вращением. [c.151]

Вектор кинетического момента часто удобно выражать через углы Эйлера и их производные по времени. Для этого бесконечно малый поворот, связанный с w, следует рассматривать как совокупность трех последовательных бесконечно малых поворотов с угловыми скоростями (Оф = ф, со0 = 0, = Тогда в соответствии с известным свойством векторов бесконечно малых поворотов мы можем считать ю суммой трех отдельных векторов угловых скоростей. К сожалению, векторы <0ф, <ое, расположены несимметрично вектор Шф направлен вдоль неподвижной оси 2, вектор (00—вдоль линии узлов, а — вдоль подвижной оси г, связанной с телом. Однако составляющие этих векторов относительно любой системы координат можно получить с помощью ортогональных преобразований В, С, D (см. 4.4). [c.153]

Согласно (5.41), функция 8 является преобразованием Эйлера от функции /г (я —0). Обращение этого преобразования эквивалентно решению интегрального уравнения абелевского типа [c.138]

Интегральное уравнение Абеля рассмотрено Дёчем [223], стр. 157. Интегралы типа того, который осуществляет преобразование Эйлера, называются также специальными интегралами Римана — Лиувилля таблицы для них имеются в книге Эрдейи [243], т. 2, стр. 185. [c.139]

В рассматриваемом случае приведение детали в наивыгоднейшеее ее положение на столе станка осуществляется при помощи оператора Ей (ф,0, 1/) преобразования Эйлера (Paul, R.P., 1981, с.45) [c.417]

Опр0Д0Л0ни0 2.6.1. Скалярные величины 90, 91, 92, 9з, определяющие преобразование вращения в соответствии с теоремой 2.6.1, называются параметрами Эйлера. [c.97]

Эта формула означает в точности такое же преобразование, какое получается с помощью параметров Эйлера в теореме 2.(3.1. Чтобы убедится в этом, достаточно воспользоваться изоморфизмом пространства косоэрмитовых матриц и пространства ДЗ.О [c.108]

При изменении положения в теле полюса О углы Эйлера не изменяются. Следовательно, не изменяются ни угловая скорость вращательной части движения твердого тела, ни угловое ускорение. Действительно, всякое изменение положения в теле полюса О можно связать с некоторым параллельным перенесением координатной системы О т] в новое начало. При таком преобразовании координат не изменяются углы между положительными направлениями осей неподвижной Oi xyz и подвижной 0 г систем координат. Следовательно, не изменяются и углы Эйлера (рис. 46). [c.126]

Проекции скорости По . оц. связаны с Оох, оу и Voz формулами преобразования компонент вектора при ортогональном преобразовании системы координат (ч. I). Коэс )фнциенты преобразования — косинусы углов между направлениями осей старой и новой систем координат. Их выражения через функции углов Эйлера — фор.мулы (П.105Ь). [c.128]

Равенства (IV. 79) можно рассматривать как формулы точечного преобразования, позволяющие поставить в соответствие точке N( / ) деформированного пространства, арифметизирован-ного координатами Лагранжа, точку М(х ) пространства, ариф-метизированного координатами Эйлера, Мы будем предполагать, что такое соответствие взаимно однозначно и функции гс непрерывны и дифференцируемы. [c.503]

Как уже сказано, уравнение Эйлера — Трикоми приходится обычно применять для исследования свойств решения в окрестности начала координат в плоскости т], 0. В физически иктерес-пых случаях эта точка представляет собой особую точку решения. В связи с этим особое значение приобретает семейство частных интегралов уравнения Эйлера — Трикоми, обладающих определенными свойствами однородности. Именно, речь идет о решениях, однородных по отношению к переменным 6 и т) такие решения должны существовать, поскольку преобразование 0 ->а02, г ->-ац оставляет инвариантным уравнение (118,2). Будем искать эти решения в виде [c.616]

Уравнение (134,9) может быть представлено в другом виде в случае изэнтропического движения (подобно преобразованию от (2,3) к (2,9) для нерелятивистского уравнения Эйлера). При а/п = onst имеем, согласно (134,6), [c.696]

Таким образом, вариационное уравнение 65 = О, в интегральной форме выражающее условия равновесия деформированного тела, эквивалентно и включает в себя соответствующие дифференциальные уравнения равновесия теории упругости вместе с условиями равновесия на поверхности тела (граничными условиями). Указанные дифференциальные уравнения служат уравнениями Эйлера функционала Э. При этом если последний будет выражен только через три фукнции перемещений Э = Э (и, v, w), то, следуя по пути, показанному в примере, мы придем к уравнениям Эйлера в форме уравнений Ляме (2.44), т. е. уравнений равновесия, записанных в перемещениях. Отметим, что в этом случае при исключении из уравнения 65 = О частных производных функций би, 8v, би потребуется операция, аналогичная интегрированию по частям — переход от интеграла по объему к интегралу по поверхности по формуле Грина. На этих преобразованиях останавливаться не будем. [c.57]

Для иллюстрации применения новых математических методов в книге широко применяется теория матриц, в частности, к исследованию вращения твердого тела. При таком изложении известная теорема Эйлера о повороте твердого тела превращается в теорему о собственных значениях ортогональной матрицы. При матричном изложении такие различные темы, как тензор инерции, преобразование Лоренца в пространстве Мин-ковского и собственные частоты малых колебаний оказываются в математическом отношении тождественными. Кроме того, матричные методы позволяют уже в начале курса познакомиться с такими сложными понятиями, как понятия отражения и псевдотензора, которые так важны в современной квантовой механике. Наконец, в связи с изучением параметров Кэйли — Клейна матричные методы позволяют ввести понятие спинора . [c.8]

Параметры Кэйли —Клейна можно выразить через углы Эйлера G помощью непосредственного сравнения элементов (4.63) с элементами, выраженными через ф, 0 и tp. Однако проще и более поучительно образовать сначала матрицы Qполную матрицу. Так, например, при повороте на угол ф вокруг оси Z мы для величин х+, л и 2 будем иметь следующие формулы преобразования [c.132]

Глава I этой книги содержит материал, связанный с вопросами, рассмотренными нами в настоящей главе. Раздел об углах Эйлера воспринимается с трудом из-за низкого качества всех рисунков. (Здесь следует сослаться на сделанное нами в 4.4 примечание относительно сравнения формул этого автора с нашими.) В 12 этой книги рассматривается связь между параметрами Кейли — Клейна и так называемым гомографическим преобразованием. [c.162]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...