Лежандр

Широко используется также при решении задач теории - переноса излучения метод сферических гармоник, т. е. метод разложения интенсивности излучения по полиномам Лежандра. При этом уравнение переноса сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений относительно весовых функций разложения. [c.143]

Это уравнение — линейное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами и имеет форму уравнения Лежандра. [c.81]

Здесь (т ) = Р < 1, Рп Ч) —полином Лежандра степени п. [c.28]

Подставим (2. 4. 10), (2. 4. И) в уравнения (2. 4. 2), (2. 4. 4) и, используя свойство ортогональности полиномов II функций Лежандра, после несложных преобразований получим уравнения для коэффициентов разложения / ( ), g ii) для каждого п = 1, 2,. . . [c.32]

Если функцию формы F В, t) представить в виде ряда по полиномам Лежандра, из соотношения (2. 6. 8) будет следовать, что только член, пропорциональный P (6) os t, даст отличный от нуля вклад в амплитуду в. Соотношение (2. 6. 9) означает, что функция F (0, t) всегда ортогональна функции (0) sin i и, следовательно, зависимость фазы колебаний от времени имеет вид os t. [c.53]

Соотношения (2. 6. 26), (2. 6. 27) с учетом свойств ортогональности полиномов Лежандра и тригонометрических функций приводят к следующему виду функции в, i) [c.56]

Интегралы в (2. 6. 42), обозначенные угловыми скобками, представляют собой хорошо известные 3/- и 6/-символы для сферических гармонических функций [16]. Эти символы обозначают результат интегрирования трех, четырех полиномов Лежандра и их производных [c.58]

Символы I д обращаются в ноль всегда, когда не выполняется условие I I—т i n 1- -т. Свойства этих коэффициентов и пх связь со свойствами полиномов Лежандра подробно рассматриваются в [16]. [c.59]

Значения функции Лежандра Р ( os 9) можно определить пз таблиц (см., например, [29]), откуда находим значение угла, =49.3°. [c.149]

Подставим в (6. 8. 69) соотношение (6. 8. 16). В силу ортогональности полиномов Лежандра ненулевой вклад в интеграл дадут только члены с п=0. Кроме того, поскольку [c.287]

Значения функции рассеяния были затабулированы в работе [116] для значений а от 1 до 30 и п от 0,90 до 2,0 и оо. В работе [5041 функция рассеяния представлена рядами Лежандра в виде [c.245]

Лежандра [378], причем интегралы с полиномами Лежандра берутся с применением формулы Родрига. При г = ria уравнение (10.25) принимает вид [c.443]

Преобразование Лежандра для функции и> определяется равенствами [c.180]

Прежде чем рассмотреть канонические преобразования, познакомимся с преобразованием Лежандра, имеющим в теории канонических преобразований существенное значение. Пусть дана какая-либо функция от п = = 2s-)-l переменных Xi,. .., Хп. [c.138]

Таким образом, соотношения (5.34), (5.36) и (5.39) определяют прямое и обратное преобразования (преобразования Лежандра). [c.140]

Аг — термодинамический потенциал, получающийся при г-кратном преобразовании Лежандра функции U (9.19) % — число частей деления системы ( 2), любой неотрицательный параметр (3.7) [c.8]

Так, величины, являющиеся термодинамическими силами имеют одинаковое значение во всех частях равновесной системы и могут, следовательно, измеряться при наличии соответствующего контакта измерительного прибора с системой и фиксироваться с помощью аналогичных свойств внешней среды. Поэтому цель преобразования характеристических функций S, и состоит в замене некоторых переменных на Zi. Основное условие, которое необходимо выполнить при такой замене, это сохранение характеристичности функции. Иначе говоря, надо ввести в качестве переменных в функцию некоторые из ее производных (9.3), так чтобы из получающейся при этом новой функции A Z q ) можно было бы однозначно восстановить исходную функцию t/(q). Только в этом случае Л(2, q ) сохранит в себе всю физическую информацию, заложенную в t/(q), и будет также характеристической. Этим требованиям удовлетворяют преобразования Лежандра. [c.80]

Преобразованием Лежандра из (9.25) получают следующие наиболее часто используемые характеристические функции энтальпию (ср. (5.34)), г=1, [c.82]

Характеристические функции, получающиеся при преобразованиях Лежандра внутренней энергии, и саму функцию (7(5, V, п) называют в целом термодинамическими потенциалами, поскольку они выполняют в термодинамике роль, аналогичную роли потенциальной энергии в классической механике. Особенно ясно эта аналогия проЯ Вляется при формулировке условий равновесия (см. гл. 4). Преобразованием естественных переменных энтропии получаются другие характеристические функции, не применяющиеся, однако, столь широко, как термодинамические потенциалы. [c.82]

Этот результат не является выражением особенностей рассмотренной системы (идеального газа), он следует из законов термодинамики. Для расчета всех овойств системы, как было показано, достаточно знать одно (фундаментальное) соотношение между ними, поэтому уравнения состояния не могут быть независимыми. Связь между ними выводится наиболее естественно- при помощи уравнений Гиббса—Гельмгольца, так называют соотношения между двумя любыми термодинамическими потенциалами, которые различаются друг от друга только одной независимой переменной, т. е. получаются один из другого при однократном преобразовании Лежандра [c.93]

Такое разнообразие выражений для элементарных работ вызвано принятыми в физике способами описания электрических и магнитных явлений, а не термодинамическими особенностями этих систем. Действительно, соотношение (19.7) показывает, что функцию и можно рассматривать не как внутреннюю энергию, а как термодинамический потенциал Ль являющийся преобразованием Лежандра функции V. Формальный смысл введения этой функции—замена переменной на сопряженную ей интенсивную переменную 6. Соотношение между V" ц. и ъ поляризованной системе подобно соотношению между Я и (У в рассмотренных выше механических системах. Так, если давление в цилиндре создается весом поршня mg, то потенциальная энергия поршня mgh = Pa)h = PV, где h — высота цилиндра, со — площадь поверхности поршня. Можно ограничить рассматриваемую систему телом, находящимся, внутри цилиндра, внутренняя энергия такой системы равна U. Но можно включить в систему и поршень, тогда внутренняя энергия равняется U + PV=H. Физический смысл слагаемых типа VdP, входящих в фундаментальное уравнение функции, Н Т, Р, п) [c.161]

Переход от системы уравнений второго порядка к системе уравнений первого порядка можно осуществлять разными способами, и в результате будут получаться, вообще говоря, различные эквивалентные системы. Среди них особенно простую и симметричную структуру имеет система канонических уравнений Гамильтона. Свойства этих уравнений лежат в основе метода Гамильтона-Якоби исследования движений механических систем, а также современной теории возмущений. Канонические уравнения получаются с помощью преобразования Лежандра. [c.626]

Полиномы, полученные выше, известны как присоединенные полиномы Лежандра степени / и порядка m и обозначаются символом Pf x) или P ( os0). Приемлемая волновая функция для жесткого ротатора может быть записана в виде [c.83]

При выводе (2. 6. 19) были использованы рекурентные свойства и свойства ортогональности полиномов Лежандра. [c.55]

Здесь 2(003 6) — функция Гегенбауэра порядка п и степени — V2l которая связана с полиномами Лежандра следующим соотношением [29] [c.79]

Соотношение (3. 1. 9) представляет собой двойное сферическое разложение потенциала (р . Первый член в правой части 3. 1. 9) соответствует потенциальному течению жидкости в отсутствие одного из пузырьков газа ряд по полиномам Лежандра учитывает возмугцение течения жидкости, обусловленное наличием двух пузырьков газа в жидкости и их взаимодействием. [c.91]

В работе [205] исследовалось влияние анизотропого рассеяния на перенос излучения. Угловое распределение при однократном рассеянии представлено в виде бесконечного ряда полиномов Лежандра. [c.255]

Дальнейшие исследования посвящены необходимым условиям минимума сопротивления (максимума силы тяги). Фанселау [15] обратился к исследованию достаточных условий максимума. В статье [10] в связи с тем, что необходимое условие минимума Лежандра для изучаемых вырожденных фунгсционалов Лагранжа не информативно, выведены два иных необходимых условия минимума. Первое из них получено при допущении возрастания энтропии. Второе отвечает специальной вариа- [c.46]

В качестве примера г реобразования Лежандра рассмотрим переход от переменных Лагранжа t, q q,n к переменным Гамильтона t, Цт, рт- Напомним, что [c.140]

Геометрически преобразования Лежандра объясняются возможностью двойственного олисания. поверхности в многомерном пространстве с одной стороны, такая (rf-f-1)-мерная поверхность может быть задана в виде зависимости (d-f-l)-ft координаты от остальных d координат, U=U tji,. .., да), т, е. набором точек в пространстве (U, qu. .., Qd), с другой стороны, в виде набора координат касательных плоскостей к поверхности lJ(qu qa) в каждой ее точке (сама поверхность является тогда огибающей семейства плоскостей), Если функция Ь ци. .., Qd) всюду строго"выпуклая (см. с. 185), то никакие две ее точки не могут иметь касательных плоскостей с одинаковыми координатами и оба способа представления являются однозначными и взаимообратимыми. [c.80]

Если характеристическая функция U (или S) определена на некотором конечном интервале значений переменных, то и новая функция Аг, где г—кратность преобразования Лежандра функции f/(q), должна существовать в том же интервале естественных переменных, поэтому. необходимое и достаточное для (преобразования Лежандра условие ненулевых значений (9.24) должно соблюдаться в каждой точке этого интервала. В дальнейшем (см. 12, 13) будет показано, что это имеет место для любой фазы в области ее термодиламической устойчивости, но не для большинства гетерогенных систем. [c.81]

Независимые переменные в уравнении Гиббса—Дюгвма только интенсивные величины — термодинамические силы, поэтому его можно рассматривать как результат последовательной замены всех q на Z в функции U (q) либо а других термодинамических потенциалах. При полном d-кратном преобразовании Лежандра функции L (q) получается характеристическая функция [c.84]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...