Дифференцирование в силу системы

Дифференцирование в силу системы (1)98 [c.576]

Для всякой системы значений х, у, г, за исключением значений х , у . Si, остаются в силе обычные правила дифференцирования. Применяя их к функции Г/г , последовательно найдем [c.68]

Во всяком случае, как это всегда имеет место в случае линейной неоднородной дифференциальной системы, интегрирование уравнений (41) и (42) сводится только к квадратурам всякий раз, когда удается каким-либо способом определить общий интеграл соответствующей однородной системы. В настоящем случае член Ф уравнения (42), делающий уравнение неоднородным, объединяет в себе все, что относится к возмущающей силе. С другой стороны, однородная система, зависящая исключительно от уравнения (28") основной задачи, дает в силу этого последнего уравнения так называемые уравнения в вариациях, которыми мы будем заниматься в общем случае в 5 гл. VI. Мы увидим тогда, что если известен общий интеграл какой-нибудь дифференциальной системы, то из него можно получить посредством одного только дифференцирования общий интеграл соответствующих уравнений в вариациях. Применяя к нашему случаю это замечание и вспоминая сказан- [c.114]

В справедливости этих соотношений мы можем убедиться или чисто аналитическим путем, полагая, что в силу самого определения виртуального перемещения операция 3 и дифференцирование по времени суть операции, независимые между собой, и потому обладают свойством переместительности, или менее формальным и более прямым путем, замечая, что в любой момент t положения одной и той же материальной точки системы в движениях М и суть и Pj-j-SP , так что для варьированной скорости, дифференцируя Pf-j-SP по времени получим выражение [c.397]

В обычно применяемых методах определение движения свободной точки в пространстве под влиянием ускоряющих сил состоит в интегрировании трех обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, а определение движения системы свободных точек, взаимно притягивающихся или отталкивающихся, — в интегрировании системы подобных уравнений, число которых втрое больше числа притягивающихся или отталкивающихся точек, если только мы предварительно не уменьшим это последнее число на единицу, рассматривая только относительные движения. Таким образом, в солнечной системе, если мы рассматриваем только взаимные притяжения Солнца и десяти известных планет [ ], определение движений последних относительно первого при помощи обычных методов сводится к интегрированию системы тридцати обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, связывающих координаты и время, или же, при помощи преобразования Лагранжа, — к интегрированию системы шестидесяти обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, связывающих время и эллиптические элементы. При помощи этих интегрирований тридцать переменных координат или шестьдесят переменных элементов могут быть найдены, как функции времени. В методе, предложенном в данной работе, задача сводится к отысканию и дифференцированию единственной функции, которая удовлетворяет двум уравнениям в частных производных первого порядка и второй степени подобным же образом всякая другая динамическая задача, относящаяся к движениям (как бы многочисленны они не были) любой системы притягивающихся или отталкивающихся точек (даже если мы предполагаем, что эти точки ограничены какими-либо условиями связи, совместными с законом живой силы), сводится к изучению одной центральной функции, форма которой определяет и характеризует свойства движущейся системы и определяется двумя дифференциальными уравнениями в частных производных первого порядка в сочетании с некоторыми простыми соображениями. Таким образом, по крайней мере интегрирование многих уравнений одного класса заменяется интегрированием двух уравнений другого класса, и даже если считать, что этим не достигается никакого практического облегчения, тем не менее можно получить некое интеллектуальное наслаждение от сведения, пожалуй, самого сложного из всех исследований. [c.176]

В реальной системе в результате двойного дифференцирования могут возникнуть две паразитных постоянных времени и, кроме того, еще одна постоянная времени из-за влияния индуктивности моментного датчика. Поэтому левая часть уравнения корректирующей силы реально может содержать члены до третьей степени [c.66]

В силу теоремы единственности обращения оператора типа свертки подынтегральные выражения можно положить равными нулю, и таким образом, для напряжений (или смещений) вязко-упругого тела получаются типичные краевые задачи теории упругости. Заметим, что уравнения вязкоупругости, в отличие от уравнений упругости, существенно изменяют свой вид в зависимости от того, подвижна или неподвижна используемая система координат. Здесь предполагается, что применяется неподвижная система координат в подвижных координатах произведение операторов свертки и дифференцирования становится некоммутативным. [c.295]

Пусть а р, Ьар — тензоры первой и второй квадратичных форм срединной поверхности, Уа — символ ковариантного дифференцирования в метрике а р, О — модуль сдвига, V — коэффициент поперечного расширения, р — плотность материала, к — толщина оболочки, р — компоненты вектора внешних сил, тпа — компоненты вектора моментов, отнесенных к единице площади срединной поверхности, г + г/ + гг] — компоненты вектора смещения, z — расстояние точки от срединной поверхности. Тогда основные соотношения сводятся к следующей системе уравнения движения [c.232]

В данных таблицах в качестве нормативных величин приняты значения Асл и ее основных составляющих (среднего квадратического отклонения погрешностей размера) и (среднего квадратического отклонения погрешностей формы), дифференцированные в зависимости от нормального ряда размеров, принятого в общесоюзной системе допусков и посадок и сил резания, наиболее характерных для каждого вида обработки. [c.62]

При таком выборе системы координат, чтобы сохранить справедливыми полученные выше выражения для упругих сил и пере-меш ений, следует учесть изменение знака при дифференцировании в области /, расположенной слева от сечения. Двойной знак у приведенных ниже выражений соответственно относится верхний знак к области II, где х > Хо, а нижний знак — к области I, где X < а [c.141]

В силу определения 1 оператор В является оператором дифференцирования вдоль линий тока. Это позволяет получить два важнейших интеграла системы уравнений (4). [c.91]

Так как выполнено условие (17.9) теоремы 17.2, то существует решение X уравнения (17.10), которому соответствует положительно определенная форма V (см. (17.3)). Дифференцирование V в силу нелинейной системы (17.1) вследствие (17.10) (см. (17.4) - (17.6)) приводит к результату [c.68]

Дифференцирование функции х Ух в силу нелинейной системы (17.1) приводит с учетом (17.22) (см. (17.4) - (17.6)) К выражению [c.69]

Простым дифференцированием нетрудно убедиться, что производная по времени левой части этого равенства обращается в нуль в силу уравнения Лагранжа. Однако выражение (2.41) не всегда означает энергию системы в физическом смысле этого слова. Вводя наряду с [c.142]

Дифференцирование по времени в (3.7) производится в силу невозмущенной системы уравнений (3.5), т.е.. [c.292]

Здесь точка над буквой означает дифференцирование по времени в любой инерциальной (неподвижной) системе координат. Если при этом внешние массовые силы однородны в ячейке (например, силы тяжести) [c.117]

При аналитическом методе расчета условие равновесия составляют в виде (100). Для этого выбирают координатные оси, связанные с телом, которое при возможных перемещениях системы остается неподвижным. Затем вычисляют проекции всех активных сил на выбранные оси и координаты х , у , точек приложения этих сил, выражая все координаты через какой-нибудь параметр (например, угол). После этого величины бх ,, 6 /ь, находятся дифференцированием координат х . У),, г по этому параметру. [c.363]

Основная задача динамики в обобщенных координатах состоит в том, чтобы, зная обобщенные силы Qi, Qa, . и начальные условия, найти закон движения системы в виде (107), т. е. определить обобщенные координаты qu q ,. . как функции времени. Так как кинетическая энергия Т зависит от обобщенных скоростей qi, то при дифференцировании первых членов уравнений, (127) по t в левых частях этих уравнений появятся вторые производные по времени qi от искомых координат. Следовательно, уравнения Лагранжа представляют собой обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка относительно обобщенных координат q [c.378]

Ясно, что при известных выражениях для кинетической энергии (1.162), потенциальной энергии (1.163) и составляющих обобщенных сил Qj определение с помощью численного дифференцирования величин д(Т — - П)/ )эквивалентно определению правых частей уравнений (1.165) в форме, пригодной для численного интегрирования системы (1.165). [c.69]

Сг- — действительные числа. Это означает, что общее решение будет иметь слагаемое, содержащее в виде множителя функцию ехр(г]к )- Пусть т)к > О, тогда найдется сколь угодно близкое к стационарной точке в начальный момент времени решение, удаляющееся в бесконечность при I — оо. Предположим, что т к < 0. Сделаем замену независимой переменной I — —г. Обозначим у дифференцирование по т. Линейная система уравнений с гироскопическими силами примет вид [c.596]

Все задачи теории упругости основываются на решении приведенных систем уравнений. Если заданы все внешние сильи приложенные к телу, и требуется определить напряжения, деформации и перемещения, такую задачу называют прямой. Она. решается интегрированием системы уравнений (1.6), (1.9), (1.11),. (1.16). Если заданы перемещения, деформации или напряжения и требуется определить все остальные величины, входящие в систему основных зависимостей теории упругости, в том числе и силы, задачу называют обратной. Эта задача решается особенно просто, если заданы перемещения и требуется определить все остальное. В этом случае деформации находят из зависимостей (1.9) простым дифференцированием. Условия совместности деформаций (1.11), (1.12) будут при этом всегда удовлетворены. Для определения напряжений в теле используют зависимости (1.21) и (1.10), на поверхности тела — уравнения (1.3). [c.21]

Преимуш,ества такого объединенного изучения еще более существенны с точки зрения анализа сил. В векторной механике каждая частица рассматривается отдельно и действующие силы должны быть определены независимо для каждой частицы. При аналитическом же подходе достаточно знать одну-единственную функцию, зависящую от положения движущихся частиц. Эта силовая функция содержит в неявном виде все силы, действующие на частицы системы их можно получить из этой функции простым дифференцированием. [c.26]

Для получения уравнений Лагранжа надо выразить кинетическую энергию Т системы через обобщенные координаты и скорости, найти обобщенные силы и произвести указанные в (11) дифференцирования функции Т qj t) по обобщенным координатам, обобщенным скоростям и времени. Заметим, что форма уравнений Лагранжа не зависит от выбора обобщенных координат i, 25 5 Qn- При другом их выборе изменились бы только функции Т и Q, а сама форма уравнений (11) осталась бы той же. В связи с этим говорят, что уравнения Лагранжа второго рода обладают свойством ковариантности. [c.270]

Рассмотрим теперь столкновение системы п частиц, взаимодействующих друг с другом (именно этот случай имеет место в кинетической теории газов). Обобщенные силы можно получить дифференцированием потенциальной функции или из обобщенной потенциальной функции [c.265]

Третьи и четвертые члены уравнений (I. 1) в условиях равновесия представляют силы сопротивления (внутреннего трения) и упругости, характеризующиеся пропорциональностью их или скоростям или самим деформациям при дифференцировании выражений (I. 4). В общем случае, при = О в составе этих членов содержатся и силы внешнего трения и упругости, пропорциональные абсолютным скоростям и перемещениям. В расчетном смысле последние равноценны силам внутреннего трения и упругости в гибких элементах с заделкой (подвесках, амортизаторах) или демпферах с неподвижным корпусом. За нуль отсчета абсолютных координат обычно берется положение статического равновесия системы. [c.27]

В результате дифференцирования получим систему линейных однородных алгебраических уравнений относительно независимых параметров Дх, й2, Эта система уравнений имеет отличные от нуля решения при условии, что ее определитель равен нулю. Раскрывая определитель, получим алгебраическое уравнение -ой степени относительно продольной силы. Наименьший положительный корень этого уравнения равен критической силе. [c.292]

Дифференцирование функции в ( илу системы (I). К условиям (4 ), (30 ), (31 ), которыми определяются дуга без контакта, цикл без контакта, а также к ус.човиям, определяющим семейство циклов без контакта и семейство гладких циклов однократного пересечения, можно подойти с несколько другой по форме стороны, если ввести понятие дифференцирование в силу системы (I) . Пусть [c.98]

G6. Два примера. Лагранжевы уравнения (65.6) связывают наиболее часто встречающиеся динамические системы и излагаем абстрактную теорию. Эта теория приложима ко всем физическим системам, которые ведут себя согласно уравнениям (65.6), независимо от того, действительно ли эта система динамическая или нет. Ср1стема может состоять из электрических контуров с обобщенными скоростями, соответствующими токам. В чисто динамической области благодаря (46.18) настоящая теория приложима ко всем голономным системам, для которых обобщенные силы можно получить дифференцированием потенциальной функции или обобщенной потенциальной функцию. В таких системах кинетическая энергия всегда выражается через квадраты обобщенных скоростей и таким же является лагранжиан L = Т — F), когда [c.217]

Поскольку задачей динамики машин является изучение движения машин с учетом сил, приложенных к их звеньям, то одним из первых вопросов, здесь рассматриваемых, является вопрос о силах, действующих в машинах, и их классификации. В введении было упомянуто, что силы, действующие в машинах, можно, смотря по обстоятельствам, причислять или к разряду уравновешивающихся сил или к разряду неуравновешивающих с я. Однако такая классификация сил является чрезвычайно общей. Для возможности конкретного решения вопросов о движении машин в различных частных случаях она требует некоторой детализации. Такой более дифференцированной классификацией сил является их классификация, принятая в теоретической механике в разделе динамики системы материальных точек. Здесь при изучении вопросов динамики системы материальных точек пользуются двумя независимыми между собой приемами классификации сил или делят силы на внешние и внутренние, или на задаваемые и реакции связей. [c.13]

Уравнения чувствительности, получаемые дифференцированием уравнений системы по искомым параметрам, в общем случае являются линейными уравнениями с переменными коэффициентами, в силу чего создание модели чувствительности особых затруднений не вызывает. При оптимизации с помощью модели чувствительности аналаговое устройство работает в режиме периодизации. Каждый шаг оптимизации при этом подразделяется на перио/[ы подготовки, настройки параметров и работы. В конце каждого шага параметры получают приращения, так что следующий пшг пачипается при новых значениях параметров. [c.18]

Анализируя рассмотренные выше построения, следует указать, что метод весовой линии имеет несомненные преимущества по сравнению с другими графическими методами. В первую очередь это простота и точность, так как отпадает двойственность построения, присущая другим методам. Операции с параллельными и пересекающимися векторами (силами) следует простому закону сложения краевых и параллельных составляющих. Вычисление центров масс стержневых систем и механизмов, по методу весовой линии значительно проще, чем по существующим способам. Упрощается также исследование давлений в кинематических парах механизмов и определение реакций опор в стержневых системах. Методом весовой линии весьма просто производится бесполюсное интегрирование и дифференцирование, так как закон распределения сил соответствует закону изменения функции q = f (х). При этом первообразная функция (вес фигуры, заключенной между кривой q = f [х) и координатными осями) представляет собою интеграл. В дискретном анализе понятие бесконечно малая величина" заменяется понятием конечно малая величина со всеми вытекающими отсюда представлениями о производной в конечных разностях и численным интегрированием (вычислением квадратур). Полигоны равновесия узлов в стержневых системах, построенные по методу весовой линии, проще диаграмм Л. Кремоны, так как позволяют вычислять усилие в заданном стержне не прибегая к определению усилий в других стержнях, необходимых для построения диаграмм Кремоны. Графическое решение многочленных линейных уравнений (многоопорные валы и балки, звенья, имеющие форму пластин, и т. д.) производится по опорным весам или коэффициентам при неизвестных. Такой путь наиболее прост и надежен для проверки правильности решения. Впервые в технической литературе. дано графическое решение дифференциальных уравнений для балки переменного сечения на упругом основании и для круглых пластин с отверстиями, аналитическое решение которых требует сложного математического аппарата. В заключение отметим предельно простое решение дифференциальных уравнений теории упругости (в частных производных) указанным методом. [c.150]

Инварианты Римана. Наиболее ценную информацию о поведении решений системы (1) дает ее характеристическая форма, которая может быть получена из (15.2) и (15.4) при / = 0. В силу условия S — onst здесь исчезают контактные характеристики и остаются только звуковые. Это не значит, конечно, что исчезают траектории частиц — они есть в любом движении газа пропадает лишь свойство траекторий быть возможными линиями слабого разрыва. Кроме того, условия (15.4) на звуковых характеристиках здесь интегрируются. Действительно, при любом дифференцировании d для величины dp/рс можно написать представление [c.147]

ДОКАЗАП ЛЬСТВО. Результат получается трехкратным дифференцированием второго уравнения (5) по х, заменой производных v x, ху, производными от U в силу первого уравнения (5) и переходом на Z с учетом предыдущих равенств. Для экономии места здесь этот вывод выполняется для модельной системы (23). В этом случае определение скорости ускорения W надо заменить, согласно (22), таким 2w -- и х- Дифференцирование второго уравнения (23) по х приводит, в силу первого, к равенству [c.300]

Первое уравнение описывает матрицу цлотности при термодинамическом равновесии. Линейный отклик системы оцределяется вторым уравнением р( > зависит от тех же частот, что и Ж ког- Во втором приближении стационарный отклик р<2) содержит члены с суммарной, разностной и двойной частотами, а также не зависящие от времени члены. Последние описывают начальную стадию процесса насыщения и обусловлены биениями между компонентами Ж ког и с положительными и отрицательными частотами. Подстановка р<2) в уравнение для р(3) дает фурье-комноненты следующего приближения и т. д. Отметим, что в стационарном случае дифференцирование в левых частях уравнений сводится к умножению на — 2( ПгЫг), где г—целое число, ( + а г)-компонента зависит от времени как ехр(—Шг1), а (—Шг)-компонента— как ехр(4-1(0г ). Таким образом, каждый последующий шаг соответствует очень простой алгебраической операции, связывающей фурье-компоненты данного приближения с компонентами предыдущего приближения. Прайс [27] (см. также [28]) использовал временной подход и рассматривал общий нелинейный отклик как 1результат интегрирования функции отклика на единичное ступенчатое возмущение, однако стационарный отклик на периодические силы легче определить с помощью спектрального подхода. [c.388]

Поскольку (150, (ISz) представляют собой уравнения, соответствующие в силу (140, (1 2) системам с одной степенью свободы, то к ним применимы результаты ) 185—188, а также 191—192 (только к (15i)). Разумеется, точками обозначается дифференцирование по вспомогательной переменной Т. Заметим, однако, что если значения постоянных h, ho в (140 —(142), (150, (ISz) находятся в области, в которой g = i t), т] = liO — периодические фзгнкции с периодами Ti = Ti(a, ho), Tz = Xzlh, ho) соответственно, то ti и tz являются непрерывными, не вырождающимися в константы функциями h, ho и таким образом в общем случае несоизмеримыми. Следовательно, если только отношение Ti Т2 не окажется рациональным, кривая = (Г), 11 = 11(0, описывающая движение частицы М, не является периодической, но полностью заполняет (всюду плотно) прямоугольную область на плоскости (S, т]) (см. 125). [c.181]

Проверка того факта, что консервативная гамильтонова система (32) с 4 степенями свободы эквивалентна в силу (lOi) —(Юз) консервативной гамильтоновой системе (9i) — (9г) с Зп = 9 степенями свободы, требует лишь последовательного дифференцирования и алгебраических преобразований. Эти элементарные, но громоздкие выкладки мы опустим. В частности, оказывается, что гамильтоновы функции в (9i) и в (32) совпадают друг с другом после применения геометрических (или, скорее, кинематических) фюрмул преобразования, связывающих координаты i, р, и соответствующие импульсы I, Рг с трехмерными векторами gi, Tii, [c.391]

В процессах равновесного теплообмена энтропия выполняет, следовательно, роль обобш,енной координаты, а температура — обобщенной силы для элемента количества теплоты. Надо заметить, что расшифровка отдельных составляющих (6.3) основана на возможности использовать для работы то или иное конкретное выражение, которое получается из физических, но не одних термодинамических законов и представлений о системе. Усложнение системы, т. е. повышение ее вариантности, не меняет выражений для частных производных, полученных для более простых систем, поскольку эти частные производные находятся при условии постоянства всех переменных, кроме той, по которой ведется дифференцирование. Так, если выделить из суммы в (6.23) слагаемое, описывающее изменение энтропии [c.54]

ГолономныЕ СИСТЕМЫ. Вернемся к общему уравнению импульсивного движения в его первоначальной форме (48) для того, чтобы приложить его к любой голономной системе, число степеней свободы которой пусть будет п. Естественно, что голономность связей должна существовать и в течение промежутка времени t, когда действуют ударные силы, так что, если обратимся прямо к обозначениям п. 22, уравнения (49), число г которых надо принять связанным с числом степеней свободы п и числом N точек системы известным соотношением г- -п = 3N, должны получаться при помощи дифференцирования по времени такого же числа соотношений между координатами. Эти соотношения, как мы уже знаем, можно представить себе написанными в виде гтараметрических выражений [c.508]

Второй характерной особенностью метода является общность законов для плоских и пространственных сил. В последнем случае пространственная система сил (векторов) редуцируется к плоскости, облегчая изучение пространственных объектов в геометрии, статике и кинематике. Последнее следует из того, что законы сложения сил указывают на те соотношения, которые существуют между сторонами и углами образованных ими фигур равновесия, а следовательно, и на геометрические свойства плоскости и пространства. В первой части мы рассматриваем основные операции с параллельными и пересекающимися векторами указываем на приложение метода для определения центров тяжести различных конструкций и механизмов к бесполюсному интегрированию и дифференцированию и т. п. Метод весовой линии применим также к расчету стержневых конструкций, многоопорных осей и валов и т. д. [c.6]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...