Форма квадратичная вторая

Форма квадратичная вторая 17 -- первая 13 [c.512]

Эта форма называется второй квадратичной формой поверхности её коэфициенты суть [c.218]

Коэффициенты первой и второй квадратичных форм поверхностей второго порядка, отнесенных к географической системе координат, выписаны в табл. 1 (коэффициент во всех случаях равен нулю). Из нее видно, что географическая система координат на поверхности второго порядка не ортогональна. Исключение представляют поверхности вращения второго порядка (случай а = Ь). [c.188]

Потенциал (2.11) дает общую форму квадратичной зависимости напряжений от деформаций. Если в (2.11) положить а = а2 — аз = О, приходим к стандартному материалу второго порядка, для которого справедлива линейная зависимость напряжений сг от деформаций ij. Для произвольного потенциала [c.335]

В эллиптической задаче возможно явление параметрического резонанса. При малых значениях е границы областей неустойчивости можно найти аналитически, использовав результаты 6 и 7 второй главы. Параметрический резонанс обнаруживается в окрестности тех значений параметра для которых величины и Яг в нормальной форме квадратичной части функции Гамильтона [c.149]

Отметим, что компоненты а,-/ могут зависеть от модуля М и температуры, но обменное взаимодействие не зависит от направления М. Оценку компонент а,-/ по порядку величины можно получить из уравнения (1.6.15). Пусть а —постоянная кристаллической решетки, тогда АУ а и а = а,./ Предполагая, что намагниченность соответствует основному состоянию (насыщению при 0°К), имеем Мз цв/а замечая, что в энергетических единицах (1 эВ = 1.1605-10 °К) I 0с, найдем а 0са /(хвМ,5. Отметим, что /, а следовательно и /, должно быть положительно, чтобы магнитные спины стремились выстроиться параллельно (ферромагнетизм). Следовательно, квадратичная форма, определенная вторым уравнением (1.6.14), должна быть положительно определенной. [c.46]

Условия интегрируемости (1.54) дают три векторных равенства. Разлагая векторы Г1, Гг и п и сравнивая коэффициенты при них, приходим к девяти скалярным уравнениям, которые связывают между собой а р и бар, их производные. Среди этих девяти уравнений существенными являются только три формула Гаусса и Петерсона— Кодацци. Формула Гаусса выражает один из важнейших результатов теории поверхностей, а именно полная кривизна поверхности выражается с помощью метрических коэффициентов первой квадратичной формы и их производных. Кривизны поверхности и к при изгибании меняются по отдельности, а величина К=к к2 остается неизменной. Если задана первая квадратичная форма, то вторая квадратичная форма выбирается не про-извольно, а связана с первой квадратичной формой соотношениями [c.30]

КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Квадратичной формой называет однородный многочлен второй степени [c.48]

Условимся обозначать символом ( ) совокупность членов, не содержащих вторых производных от координат <7. Заметим, далее, что производные от коэффициентов ajk как по t, так и по не содержат вторых производных от обобщенных координат. Если силы, действующие на точки системы, зависят лишь от времени, координат точек и их скоростей (см. гл. И), то обобщенные силы, стоящие в правых частях уравнений (22), могут зависеть лишь от времени, координат и их первых производных. Поэтому результат подстановки в уравнения (22) вместо Т квадратичной формы можно представить следующим образом [c.141]

Подставляя эти значения dx, dy, dz в равенство (81), найдем ds в виде квадратичной формы от дифференциалов координат q , q , q (т. е. в виде однородного многочлена второй степени относительно этих дифференциалов) [c.86]

Первый член выражения (19) есть квадратичная форма (т. е. однородная функция второй степени) от обобщенных скоростей, второй — линейная форма от тех же скоростей, с от скоростей совсем не зависит. При этом все коэффициенты Uij, bi и с суть функции координат i7i, 2- времени t. [c.456]

Знак квадратичной формы в правой части (12.11) показывает, является ли равновесие устойчивым или нет. Из элементарной алгебры известно, что если дискриминант D = B —АС< <0, то однородный многочлен второй степени, составляющий эту квадратичную форму, имеет мнимые корни, а следовательно, не меняет своего знака при любых вариациях л и 1 , т. е. функция F(n , 1 ) должна иметь экстремум. Полагая в (12.11) 6У = 0, видим, что при А>0, 8 Р>0, т. е. согласно [c.118]

В общем случае это соотношение выполняется только при положительности первого и отрицательности второго слагаемого. Но, в частности, одно из слагаемых может равняться нулю. Такую возможность необходимо учитывать особо, она касается и неравенства (12.29). Действительно, квадратичная форма (12.31) имеет определитель, совпадающий с определителем системы уравнений Гиббса—Дюгема (9.49), который, как было показано ранее, при независимых q, равен нулю. В общем случае знак неравенства (12.29) должен, следовательно, быть дополнен знаком равенства. [c.122]

Сложнее гарантировать единственность решения, хотя это так же важно, как и доказательство его существования. Наиболее надежные выводы получаются при известной форме поверхности минимизируемой функции в многомерном пространстве. Проблема эта тесно связана с анализом устойчивости равновесия и частично уже обсуждалась в 12, 13. Выше встречались различные формулировки условий устойчивости говорилось о существовании взаимно однозначного соответствия между термодинамическими силами и координатами, о постоянстве знака якобиана их преобразования (9.23), о положительной определенности квадратичных форм (12.32), (12.47), о знаке определителей матриц вторых производных характеристических функций (9.24), (12.20). Еще одно эквивалентное выражение условий устойчивости связано непосредственно с характеристикой формы поверхности рассматриваемой функции — это ее выпуклость. [c.185]

Область пространства называют выпуклой, если отрезок прямой, соединяющей две любые точки этой области, расположен целиком в ней. Так, область допустимых решений на рис. 8 образует выпуклый четырехугольник. Функция является выпуклой, если выпукло множество точек, расположенных над ее графиком. Например, U(в) на рис. 4 — выпуклая функция. В многомерных пространствах эти наглядные представления не удается применить, и понятие выпуклости без дополнительных критериев, позволяющих выразить те же особенности функции в аналитическом виде, становится не более как образным выражением. Необходимым и достаточным условием выпуклости непрерывной функции с непрерывными вторыми производными является неотрицательность определителя матрицы, составленной из этих производных (матрицы Гессе). Если же гессиан определен положительно, т. е. условие э-0 для соответствующей квадратичной формы может быть заменено условием >0, то функция называется строго выпуклой. [c.185]

Потенциальная энергия с принятой точностью является однородной квадратичной формой обобщенных координат д и д . В случае, когда потенциальная энергия в положении равновесия имеет минимум, т. е. положение равновесия является устойчивым, коэффициенты разложения Сц, i2, 2J как вторые производные от Я по переменным д и д при минимуме должны удовлетворять условиям [c.433]

Следовательно, кинетическая энергия Т представима суммой трех функций, однородных относительно обобщенных скоростей. Первое слагаемое То не зависит от обобщенных скоростей, второе— Т есть линейная форма обобщенных скоростей и То — квадратичная форма обобщенных скоростей. [c.130]

Линейные преобразования, выполняемые для приведения к каноническому виду кинетической и потенциальной энергий, не отражаются на главных частотах. Это утверждение, с одной стороны, основывается на общей теории квадратичных форм, а с другой — вытекает из теории линейных дифференциальных уравнений. Действительно, непосредственно видно, что, построив общее решение системы дифференциальных уравнений Лагранжа второго рода в координатах 0у, можно найти общее решение уравнений движения в исходных координатах ри применяя формулы линейного преобразования координат. При этом решения характеристического уравнения — главные частоты — не изменяются ). [c.252]

Следовательно, даже тогда, когда функция Ь Лагранжа является квадратичной формой обобщенных скоростей, функция Раута после исключения циклических обобщенных скоростей будет иметь в своем составе как члены второго измерения относительно нециклических обобщенных скоростей, так и члены первого и нулевого измерений. [c.350]

Вторая часть теоремы равносильна, очевидно, следующему утверждению если даны две квадратичные формы [c.141]

По второму началу термодинамики для необратимых процессов ст>0, и, следовательно, квадратичная форма (2.4) является положительно определенной, что накладывает некоторые ограничения на кинетические коэффициенты L .. [c.15]

Простейшими условиями положительности этой квадратичной формы являются 1) положительный знак всех диагональных элементов матрицы, составленной из коэффициентов квадратичной формы 2) положительный знак любого из определителей минора второго порядка. [c.117]

Будем называть главными осями тензора деформаций те оси, в которых реализуется главный вид квадратичной формы (2.13). Естественно, что тогда деформация сдвига обращается в нуль. Удлинение вдоль главных осей будем называть главным удлинением, а так как поверхность деформаций есть поверхность второго порядка, то главные удлинения являются экстремальными. [c.210]

Коэффициенты второй квадратичной формы равны [c.426]

Здесь ар — коэффициенты второй квадратичной формы, Н — средняя кривизна фронта волны. [c.28]

Таким образом, величина ki принимает экстремальные значения в тех случаях, когда нормальные сечения совпадают с направлениями осей 1 и аг, для которых вторая квадратичная форма имеет канонический вид, и эти направления ортогональны. Напра- [c.421]

Во всех устойчивых состояниях тела за исключением критической точки разности 65, 6V таковы, что члены второго порядка превышают сумму всех членов более высокого порядка. В этом случае состояние будет устойчивое, если квадратичная дифференциальная форма от 6S и бУ существенно положительна, т. е. [c.192]

Квадратичная форма положительна, если диагональные члены матрицы коэффициентов формы и все миноры второго порядка положительны. Первое условие приводит к неравенствам [c.473]

В соответствии с общим определением тензоров компоненты тензора инерции /,ь при повороте осей координат относительно начала преобразуются в Jui (г, k=x, у, г ). Причем компоненты Jш определяются через компоненты Jui и представляют квадратичные формы относительно направляющих косинусов. В последнем можно убедиться непосредственным вычислением Jиспользуя формулы преобразования координат при повороте координатной системы. Тензор инерции будет второго занга. [c.173]

Возвратимся вновь к кинетической и потенциальной энергиям, выраженным формулами (11.170) и (11.173). В некоторых простейщих задачах можно непосредственно, без упрощений, выразить кинетическую и потенциальную энергии в виде квадратичных форм с постоянными коэффициентами. В этих случаях, а также тогда, когда членами высщих порядков малости в выралсениях кинетической и потенциальной энергии можно обоснованно пренебречь, закон движения системы определяется из системы линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Если из некоторых соображений невозможно произвести упрощение выражений кинетической и потенциальной энергий, дифферехчциальные уравнения движения будут системами нелинейных уравнений второго порядка. [c.230]

В состоянии термодинамического равновесия свободная энергия, как известно, минимальна. Если на тело не действуют никакие внешние силы, то F как функция от 1 должно иметь минимум при Uih = 0. Это значит, что квадратичная форма (4,3) должна быть положительна. Если выбрать тензор таким, что иц = О, то в (4.3) останется только первый член если же выбрать тензор вида Uih = onst-6 , то останется только второй член. Отсюда следует, что необходимым (и, очевидно, достаточным) условием положительности формы (4,3) является положительность каждого из коэффициентов К и [c.22]

Однородный многочлен второй степени (квадратичная форма) будет знакоопределенным, если он сохраняет постоянный знук при веществспны.ч значениях аргументов, обращаясь в нуль только при обращении в нуль всех аргументов. Если же этот многочлен, сохраняя знак, может обращаться в нуль при значениях аргументов, не равных одновременно иулю, то он называется знакопостоянным. Так, квадратичная форма [c.340]

Ковариантная производная от проекции единичной нормали к поверхности выражается через коэффициенты второй квадратичной формы поверхности Ьае по формуле Вейнгартена [c.129]

Стоящая в числителе группа членов наз1лвается второй квадратичной формой поверхности So, а величины f j называются коэффициентами второй квадратичной формы [c.421]

Здесь Ьц, bi2, Ъц, й], 2 не зависят от выбора нормального сечения I, а зависят лишь от координат той точки, через которую проведено нормальное сечение. В то же время эти величины зависят от выбора направлений координатных линий, проходяш,их через данную точку. На поверхности суш,ествуют два взаимно ортогональных направления Tj, To, для которых k принимает соответственно минимальное min и максимальное йтах значения. Из курса математики известно, что любая квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду, который содержит лишь квадраты переменных. Это приведение эквивалентно преобразованию одних ортогональных координат в другие ортогональные координаты, в которых квадратичная форма обретает канонический вид. Пусть координатные оси aj и совмеш,ены с теми ортогональными осями, в которых упомянутая вторая квадратичная форма приводится к каноническому виду, т. е. в этих осях = О и [c.421]

Если / — гладкая функция с некритической точкой Р, равная нулю на Л и имеющая критическую точку Р на В, то второй дифференциал (гессиан) ограничения / на 5 в точке Р— квадратичная форма на ТрВ. Требуется, чтобы ограничение этой формы на TpApiTpB было невырождено. [c.91]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...