Теория Уравнения совместности

Шесть уравнений (6.31) называются уравнениями совместности Бельтрами—Мичелла. Решение задач этого типа (постановка задачи теории упругости в напряжениях) состоит в определении напряжений aij, которые удовлетворяют уравнениям равновесия [c.118]

Таким образом, для упругого тела принцип наименьшей работы деформации и уравнения совместности деформаций тождественны (хотя в теории и расчетах они не могут полностью заменять друг друга). [c.22]

Ограничимся случаями плоской деформации и плоского напряженного состояния, для которых вместо одного уравнения совместности в обычной теории упругости здесь уже оказывается четыре одно прежнее, обычное, и три новых, связывающих три компонента деформации е , е , у у и кривизны и Ху граней, параллельных осям у и х [c.51]

Величины Иав теперь следует назвать параметрами изменения кривизны вопрос о том, как выразить в общем случае деформации ва И параметры изменения кривизны через перемещения точек срединной поверхности или каким уравнениям совместности они удовлетворяют, изучается в общей теории оболочек, которая здесь рассматриваться не будет. Следует заметить, что формула (12.13.1) не является точным следствием гипотезы прямых нормалей. Это ясно из рис. 12.13.1, абсолютное удлинение элемента тп есть отрезок пп = v.zds, но длина этого элемента есть не ds, а ds i + z/R), как видно из чертежа. Поэтому относительное удлинение будет [c.420]

Прямой метод. Этот метод заключается в непосредственном интегрировании уравнений теории упругости совместно с заданными условиями на поверхности. [c.49]

Уравнения (3.2) заменяют уравнения совместности деформаций Сен-Венана. Решение задачи теории упругости в напряжениях сводится, таким образом, к интегрированию системы девяти уравнений — шести уравнений Бельтрами — Митчелла и трех уравнений равновесия Навье (1.16). Найденные функции напряжений должны удовлетворять систе- [c.55]

При решении задач теории упругости можно использовать различные эквивалентные системы уравнений, которые рассматриваются подробно ниже. Отметим, однако, сразу, что эти различные системы представляют собой записанные в разных формах уравнения импульсов, закон Гука и уравнения совместности (к этим уравнениям, в случае необходимости, добавляются уравнение неразрывности и уравнение притока тепла). [c.342]

Если объемные силы и температура как функции координат известны и на границе заданы перемещения, то из уравнений (5.1) с известными начальными данными можно найти перемещения внутренних точек тела и таким образом решить задачу теории упругости в перемещениях. Напряжения после этого вычисляются с помощью закона Гука. Уравнения совместности деформаций при такой постановке задачи удовлетворяются автоматически, так как формулы, выражающие деформации через перемещения, представляют собой, как известно, общее решение уравнений совместности. [c.343]

Для развиваемой ниже теории трещин в хрупких телах, в соответствии с принципом Сен-Венана, для правильного определения решений упругой задачи (на основании уравнений импульсов и уравнений совместности для поля состояний упругого тела в целом) нет необходимости вводить действительные или искусственные подходящие внутренние силы сцепления на малых участках уже реализованных бортов разрыва перемещений (вне 2) как внешние макроскопические поверхностные силы, входящие в граничные условия. [c.538]

Теперь обсудим решение краевой задачи теории упругости неоднородных тел, которое приводит к определению эффективных модулей материала. Рассматриваемое тело представляет собой прямоугольную призму (см. рис. , а). Основные уравнения для компонент тензоров напряжений и деформаций — это уравнения (1), в которых коэффициенты жесткости удовлетворяют условиям (2), а также обычные уравнения равновесия в напряжениях и уравнения совместности деформаций теории упругости однородных изотропных тел. Последние соотношения здесь не приводятся, поскольку их можно найти в любом курсе теории упругости. Достаточно указать, что переменные поля (напряжений), имеющие вид [c.42]

Вывод уравнений совместности деформаций, выраженных через напряжения, используемых в первом пути решения задачи теории упругости, и уравнений равновесия, выраженных через перемещения, приводится ниже. [c.617]

Второй этап решения задачи. Проверяем, удовлетворяют ли функции (12.50) уравнениям однородной плоской задачи теории упругости уравнениям равновесия (9.87) и уравнению совместности деформаций (9.94). [c.149]

Второй этап решения задачи. Проверяем, удовлетворяют ли функции (12.65) уравнениям однородной плоской задачи теории упругости уравнениям равновесия (9.87) и уравнению совместности деформаций (9.94). При подстановке (12.65) в (9.87), получаем [c.158]

Указанным условиям удовлетворяют линейные уравнения теории упругости, а именно, общее решение уравнений равновесия (совместности деформаций) выражаются при помощи оператора, являющегося формально сопряженным оператору, входящему в уравнения совместности деформаций (равновесия). [c.451]

Отсюда ясно, что операторы В и В являются формально сопряженными, т. е. В = В, вместе с тем В —это оператор, входящий в дифференциальное уравнение совместности деформаций, а В — оператор, входящий в решение уравнений равновесия. Таким образом, полученные равенства свидетельствуют о том, что условия, поставленные в начале параграфа, выполнены и дифференциальные уравнения теории упругости являются уравнениями Эйлера, соответствующими вариационным проблемам для некоторых функционалов. [c.455]

В реальных конструкциях тонких оболочек, в частности оболочек летательных аппаратов, в местах передачи на оболочку внешних сосредоточенных нагрузок устанавливаются усиливающие кольца — шпангоуты. Это делается для того, чтобы раз грузить оболочку от изгиба и приблизить ее напряженное состояние к безмоментному. В этом случае и расчет оболочки можно часто выполнять по безмоментной теории, причем при составлении уравнений совместности деформации оболочки и шпангоута учитывают только тангенциальные (и, v) перемещения оболочки. [c.347]

Решение плоской задачи теории упругости сводится к определению трех составляющих напряжений — Ох, (jy и т у, которые должны удовлетворять двум дифференциальным уравнениям равновесия и уравнению совместности при заданных граничных условиях. Если считать, [c.10]

Для решения плоской задачи теории упругости, т. е. для определения компонентов напряжений а у и необходимо проинтегрировать систему дифференциальных уравнений (13) или (15) и уравнение совместности (14) с учетом условий на контуре [c.11]

Решение объемной задачи теории упругости сводится к определению шести компонентов напряжения, удовлетворяющих уравнениям равновесия, уравнениям совместности и граничным условиям. [c.12]

Решая все эти уравнения совместно и пользуясь теорией подобия, [c.149]

Применим теорему Кастильяно. В уравнении совместности деформаций [c.341]

Теперь мы кратко рассмотрим основные положения методов граничных элементов, применяемых в линейной теории упругости, которые основаны на интегральных уравнениях. Рассмотрим глобальную пробную функцию Uk (т. е. функцию, заданную для всего твердого тела) и глобальную весовую функцию о. Пусть уравнения совместности, а также зависимости между напряжениями и деформациями будут удовлетворяться априори, т. е. [c.203]

Поскольку шесть функций hj ( , ) выражаются no формулам (111.7) через три функции P) для компонент скорости перемещения, функции tu должны удовлетворять уравнениям совместности скоростей деформаций. Пользуясь подобием формул теории скоростей деформаций и теории бесконечно малых деформаций, заменим в (11.57) и,(П-58) ejj на Получим уравнения совместности скоростей деформаций в прямоугольной декартовой системе координат [c.96]

Итак, шесть уравнений состояния замыкают систему уравнений теории пластичности. В силу основного постулата решение этой системы существует при некоторых начальных и граничных условиях. Это решение должно удовлетворять уравнениям совместности деформаций (11.39), уравнениям совместности скоростей деформаций (III. 12), основному динамическому соотношению (V.28) и закону сохранения энергии (V.33). Вывод уравнений состояния — одна из главных задач теории пластичности. [c.154]

В 1.2 были выведены уравнения совместности для задачи с малыми перемещениями в декартовых координатах. Аналогичные условия можно вывести и в нелинейной теории упругости. В этой главе они, однако, не приводятся, но в 4.2 мы их сформулируем при рассмотрении теории упругости при конечных перемещениях в криволинейных координатах. [c.101]

Итак, выше записан принцип виртуальной работы в криволинейной системе координат. Приближенный метод решения, отмеченный в 1.5, и способ определения функций напряжений с учетом уравнений совместности, приведенный в 1.8, применяются и к решению изучаемой здесь задачи, поскольку принцип виртуальной работы уже установлен. Как будет показано в следующих главах, этот принцип играет исключительно важную роль при формулировке задач теории упругости, особенно в тех случаях, когда применяются криволинейные системы координат. [c.116]

Уравнения (3.1.15) являются уравнениями совместности В плоской моментной теории упругости. [c.97]

Статическая (квазистатическая) задача теории упругости в напряжениях (задача Б) заключается в рещении щести обобщенных уравнений совместности (2.28) или (2.26) (куда следует подставить выражение деформаций через напряжения по формуле (3.2)) относительно щести независимых компонент симметричного тензора напряжений а при удовлетворении граничным условиям (2.27). [c.21]

Для плоской задачи теории упругости в напряжениях более удобной является формулировка задачи В. Она заключается в решении уравнения совместности [c.22]

В случае моментной теории уравнения совместности легкс записать, исходя из (17) и учитывая (18), для перемещений [c.106]

Первые крупные исследования по общей теории упругих оболочек созревают к началу сороковых годов. Освоению и анализу теории оболочек способствовало применение ведущими учеными страны тензорной символики для записи основных соотношений теории. Уравнения совместности деформации впервые вывел А, Л. Гольденвейзер (1939) А, И. Лурье (1940) и А. Л. Гольденвейзер (1940) ввели в теорию оболочек функции напряжения, через которые определяются усилия и моменты, тождественно удовлетворяющие уравнениям равновесия. А, Н. Кильчевский (1940) указал способы построения теории оболочек и решения ее задач на основе теоремы о взаимности. Уравнения в перемещениях геометрически нелинейной теории были опубликованы X. М. Муштари (1939) — изложенный им вариант теории является обобщением упрощенной нелинейной теории пластинок Кармана на оболочки произвольного очертания. [c.229]

Строгое аналитическое решение дифференциальных уравнений (31-9) и (31-10) для коллоидных каниллярнопористых тел не всегда возможно. Однако наличие дифференциальных уравнений совместно с условиями однозначности позволяет воспользоваться теорией подобия для нолученпя критериев подобии. Из дифференциальных уравнений (31-9) и (31-10) и граничных условий, характеризующих баланс влаги и баланс тепла па (юверхиостн материала, [c.509]

Изучению напряжений, деформаций и перемещений в пластически деформируемых телах посвящен раздел механики деформируемого твердого тела, называемый теорией пластичности [10, 12, 13, 18, 36]. Теория пластичиости решает глав1гым обра юм те же задачи, что и линейная теория упругости, но для материалов с другими физическими свойствами. Поэтому между указанными теориями имеется много общего, в частности общими оказываьзтся уравнения равновесия, зависимости между перемещениями и деформациями, уравнения совместности деформаций. Только вместо закона Гука, используемого в линейной теории упругости, в теории пластичности применяются другие физические соотношения. [c.293]

Перейдем к детальному исследованию постановок статических задач теории упругости. В этом случае требуется выполнение уравнений равновесия и уравнений совместности деформаций в напряжениях или уравнений Ламе. Если в уравнениях равновесия присутствуют массовые силы (что приводит к появ- [c.245]

На базе уравнений задачи в напряжениях, сведенных к уравнению совместности в виде (19.11), развиты мощные аналитические методы решения плоских задач теории упругости с использованием функций комплексного переменного. Однако эти методы выходят за пределы данного круга и здесь не излагаются. Получение аналитических решений в замкнутом виде для более или менее сложных областей и видов нагрузок представляет большие трудности. Для сравнительно простых случаев решение может быть построено путем подбора функций Ф, заведомо удовлетворяющих уравнению совместности (19.11). Последующая р омбинация этих частных решений может дать с заданным уровнем приближения решение поставленной задачи. Такая задача рассмотрена в 19.4. Эффективные методы решения плоских задач теории упругости дают метод конечных разностей и метод конечных элементов, которые рассмотрены в последующих параграфах. [c.444]

При решении задач теории упругости в напря5кениях необходимо отыскивать такие функции напряжений, которые бы не только удовлетворяли уравнениям равновесия (уравнениям Навье), статическим граничным условиям, но также и условиям совместности деформаций. В связи с этим уравнения совместности деформаций Сеп-Венана необходимо представить в напряясениях. [c.55]

Гибкие пластины небольшого прогиба. Теория изгиба гибких пластин небольшого прогиба была предложена Сен-Веианом. Особенность этой теории состоит в том, что предполагается действие больших усилий N1, Ny, Т в срединной поверхности, настолько больших, что при составлении уравнения равновесия составляющими на иаправле-ипе оси 2 от этих усилий пренебрегать нельзя. В то же время, поскольку прогибы пластины и искривления срединной поверхности считаются малыми, то правой частью в уравнении совместности деформаций можно пренебречь, [c.129]

Обсуждение статической неопределимости закона распределения напряжений по поперечному сечению стержня показало, что при наличии в стержне отверстий, выточек и тому подобных нерегулярностей формы возникает резкая неравномерность распределения напряжений со значительными пиками вблизи указанных нерегулярностей. Это явление носит па. атптконцгнтрации напряжений. Оно обнаруживается не только при осевой, но и при всех других видах деформации стержня, а-также при деформации элементов любой формы (не только стержневых). С этим явлением приходится считаться как при конструировании элементов конструкций и деталей машин, так и при расчете их. Выявить распределение напряжений с учетом их концентрации можно двумя путями теоретическим и экспериментальным. Теоретический путь основан на применении теории сплошных сред (теории упругости, теории пластичности, теории ползучести — в зависимости от свойств материала), в которой вместо гипотез геометрического характера используются дифференциальные уравнения совместности деформаций, а равновесие соблюдается для любого бесконечного малого элемента тела, а не в интегральном (по поперечному сечению) смысле, как это делается в сопротивлении материалов. [c.99]

Решение задач теории упругости неоднородного тела, как и в классическом случае, можно искать либо в напряжениях, либо в перемещениях. Очевидно, что подстановкой (4.4) в уравнения совместности (4.3) можно получить обобщенные уравнения Бельтрами—Мичела [196, 202, 203], а подстановкой (4.2) в (4.1)—обобщенные уравнения Ламе. [c.34]

В первом случае имеющаяся информация о напряженном состоянии всей поверхности позволяет полностью решить вопрос о напряженности исследуемого тела во всех точках его объема. Важной особенностью этого случая является возможность получения переопределенной системы граничных условий (известны все компоненты тензора напряжений на поверхности). Это обстоятельство позволяет отказаться от решения полной системы уравнений теории упругости и свести задачу определения напряжений в объеме тела к решению краевых задач для независимых уравнений Пуассона, на которые распадается система уравнений совместности Бельтрами—Митчела [10]. [c.60]

Теория поперечного удара Тимошенко. Эта теория объединяет существенные положения теории Сен-Венана и Герца. Она учитывает местные деформации ударяющего по балке тела. Пусть тело в момент соприкосновения с балкой имеет скорость t o- Если прогиб балки в точке удара л = обозначить через у, смещение тела —через5, а местное сжатие через а, то s = а -f- у. Это соотношение служит уравнением совместности при использовании метода расчленения, состоящего в раздельном рассмотрении движения тела и балки под действием сил контактного давления Р (/) Исходными являются уравнения движения тела и балки [c.266]

Этих уравнений недостаточно для решения задач теори трещин, поскольку необходимо располагать смещениями точек, поверхности трещины. Следовательно, приведенные соотношения являются дополнительными к уравнениям теории упругости, т. е. для решения задачи необходимо решить систему уравнений теории упругости совместно с условием разрушения. Например, к соотношениям (29), (30) можно добавить вариационное уравнение Лагранжа для тела, свободного от заданных нагрузок, но с трещиной, на поверхность которой действуют ри [c.34]

Решение задач теории упругости в напряасениях. Выражения деформаций иа уравнений состояния (VIII.14) подставим в уравнения совместности деформаций (11.57У и (11.58). Получим шесть уравнений, содержащих только напряжения. Решая их совместно с уравнениями равновесия = О, [c.187]

В теории оболочек доказывается, что эти шесть деформаций являются завиоишми функциями и связь иевду ними формулируется в виде трех дифференциальных уравнений, называемых уравнениями совместности деформаций. Выполнение этих уравнений означает, что по заданным деформациям возможно построить перемещения, с точностью до смещений как жесткого целого. [c.22]

Замечание 2. Если в каждой точке края ставится одно тангенциальное статическое граничное условие, заключающееся в требовании, чтобы тангенциальная краевая сила Pi имела заданное значение, и одно геометрическое граничное условие, заключающееся в требовании, чтобы тангенциальное смещение Vn имело заданное значение, то полная безмоментная задача, в сущности, представляет собой соединение статической безмоментной задачи и геомй риче-ской безмоментной задачи. Действительно, в этом случае можно сначала найти Tj, S, Т , интегрируя статические безмоментные уравнения совместно со статическим граничным условием, а затем выразить (алгебраически) ш, Ej через Т , S, Т , при помощи уравнейий состояний. и, наконец, найти перемещения и , Uj, w, интегрируя геометрические безмоментные уравнения совместно с геометрическим граничным условием. Вместе с тем, легко указать на случаи, когда такое разделение станет невозможным. Это будет, например, в том случае, когда оба граничных условия — геометрические. Тогда целесообразно говорить о полной краевой Задаче безмоментной теории, не расчленяя ее на статическую и геометрическую задачи. [c.112]

Ллойд Гамильтон Доннелл — известный в США и у нас в стране специалист по теории оболочек. Он завершил в 1930 г. в Мичиганском университете докторскую диссертацию, посвященную распространению продольных, волн и удару, под руководством С. П. Тимошенко. В 1933 г. он решил задачу об устойчивости тонкой упругой круговой цилиндрической оболочки крнечной длины при кручении ее концевыми парами. Эта работа связала имя Л. Г. Доннелла с уравнениями линейной теории пологих оболочек. Л. Г. Доннелл записал для нелинейной теории пологих оболочек уравнение совместности деформации, являющееся обобщением известного уравнения Максвелла. Специальная форма дифференциальных уравнений устойчивости круговых цилиндрических оболочек в перемещениях носит название уравнений Доннелла, а уравнения устойчивости пологих оболочек общего вида именуются ныне как уравнения Доннелла — Муштари. Работы Л. Г. Доннелла по оценке влияния несовершенств формы срединной поверхности оболочек на критическую нагрузку в рамках нелинейной теории не прошли незамеченными для специалистов. [c.5]

Такой упрощенный (технический) вариант теории цилиндрических оболочек, удовлетворяющий обоим указанным требованиям, строится на базе следующих допущений (см. параграф I гл. VII) в выражении для компоненты деформации поперечного сдвига можно пренебречь тангенциальным смещением и . соотношения упругости можно брать в наиболее простом виде, удовлетворяя при этом шестому (недифференциальному) условию равновесия лишь приближенно во втором уравнении равновесия (VIII.I) допустимо пренебречь членом, содержащим перерезывающее усилие из уравнений совместности деформаций (VIII.2) достаточно принять во внимание лишь одно (третье). [c.175]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...