Уравнения совместности Бельтрами — Мичелла

Шесть уравнений (6.31) называются уравнениями совместности Бельтрами—Мичелла. Решение задач этого типа (постановка задачи теории упругости в напряжениях) состоит в определении напряжений aij, которые удовлетворяют уравнениям равновесия [c.118]

Сущность полуобратного метода Сен-Венана состоит в том, что при решении конкретной задачи, например, в напряжениях задаются из соображений физического характера задачи некоторыми компонентами тензора напряжений и затем определяют остальные компоненты Oij (xti) из уравнений равновесия (4.3) при выполнении условий совместности Бельтрами—Мичелла (4.51) или (4.54) и граничных условий [c.81]

Может случаться, что сделанные предположения о значениях некоторых компонент тензора напряжений будут противоречить или уравнениям равновесия, или граничным условиям, или условиям совместности Бельтрами—Мичелла. В этих случаях следует сделать [c.81]

Очевидно, что дифференциальные уравнения равновесия (4.3) и условия совместности Бельтрами—Мичелла (4.51) будут удовлетворены, если в произвольной точке М (Xk) бруса принять [c.85]

Система (7.1) при условии Т = Тп получится замкнутой, если к ней добавить закон Гука и уравнения совместности деформаций или уравнения Бельтра-ми — Мичелла. [c.356]

Задача теории упругости может быть поставлена не только в перемеш ениях, но и в напряжениях. Это бывает удобно, когда на границе тела заданы нагрузки. Если за искомые неизвестные функции принять компоненты тензора напряжений, то из уравнений совместности деформаций и дифференциальных уравнений равновесия при Fi = О следуют уравнения Бельтрами-Мичелла [c.36]

Система уравнений (1.26) имеет 12-й порядок. При их выводе производилось дифференцирование (в уравнениях совместности деформаций), что искусственно повысило порядок исходной системы. В результате оказывается, что не все возможные решения уравнений Бельтрами-Мичелла будут решениями исходной задачи теории упругости. Подобные решения могут не удовлетворять уравнениям равновесия. [c.36]

Уравнения совместности, выраженные через компоненты напряжений (уравнения Бельтрами — Мичелла), дают [c.210]

Уравнения Бельтрами — Мичелла можно вывести и другим путем, принимая за исходную позицию уравнения в перемещениях. Такой способ обоснован тем, что в этих уравнениях уравнения совместности удовлетворяются тождественно ). Продифференцируем уравнения в перемещениях [c.120]

Функционал Жа принимает минимальное значение. Теорема, обратная к теореме Кастильяно и гласящая, что если Па есть абсолютный минимум, то тензор напряжения должен удовлетворять заданным граничным условиям и уравнениям совместности Сен-Венана, была доказана Саусвеллом (см. список литературы). Для линейно упругих тел эта обратная теорема приводит в результате к уравнениям в напряжениях Бельтрами — Мичелла. [c.130]

Во многих задачах стационарной термоупругости, в которых граничные условия заданы в напряжениях, удобнее использовать уравнения совместности в напряжениях Бельтрами—Мичелла, обобщенные на задачи температурных напряжений. [c.485]

Решение задачи теории упругости в напряжениях требует совместного решения двух систем дифференциальных уравнений уравнений равновесия (I) и уравнений совместности деформаций Бельтрами— Мичелла (VII). Ограничимся случаем отсутствия объемных сил тогда все эти уравнения будут однородными. В этом параграфе мы покажем, что система уравнений равновесия [c.243]

Это—аналог уравнения совместности напряжений линейной теории-уравнений Бельтрами —Мичелла. Известно, что принцип минимума дополнительной работы в этой теории выделяет из множества статически возможных напряженных состояний реализуемое состояние, допускающее определение вектора перемещения. Естественно ожидать, что принципу стационарности дополнительной работы в нелинейной теории отводится та же роль ). [c.143]

Уравнения совместности деформаций, выраженные через усилия и моменты, являются аналогом уравнений Бельтрами — Мичелла в теории упругости. Таким образом, разрешающая система уравнений содержит шесть уравнений [(127) и (144)] относительно шести неизвестных функций Ы-х, N2, [c.111]

Три уравнения типа (4.52) и три уравнения типа (4.53) были получены Дж. Мичеллом в 1900 г. Поэтому уравнения, определяемые равенством (4.51), называют уравнениями Бельтрам и— М и ч е л л а. Они представляют собой условия совместности, выраженные через компоненты тензора напряжений Oij. [c.80]

Другой подход заключается в том, что за основные неизвестные функции принимают напряжения. Для их отыскания следует в первую очередь использовать дифференциальные уравнения равновесия (1.1). К ним присоединяют условия совместности деформаций (1.10). Чтобы можно было ими воспользоваться, нужно выразить в них по закону Гука деформации через напряжения. Подобная замена после ряда преобразований с использованием уравнений равновесия (1.1) приводит к так называемым уравнениям Бельтрами-Мичелла 1281. [c.20]

Напряженные состояния (11.64) и (11.65), вообще говоря, не удовлетворяют условиям совместности деформаций, т. е. уравнениям Бельтрами (VII) или Мичелла (гл. V, 36), так как это требование [c.348]

Исключение деформаций и напряжений позволяет получить три дифференциальных уравнения лишь относительно перемещений (уравнения Навье). Преимущество этого подхода состоит в том, что условия совместности при этом не нужны. С другой стороны, исключение деформаций и перемещений при использовании условий совместности приводит к шести дифференциальным уравнениям лишь относительно напряжений (уравнениям Бельтрами—Мичелла). Полученные таким образом уравнения Навье и соответственно Бельтрами—Мичелла часто называют также основными уравнениями теории упругости. [c.66]

Будем считать, что узловые усилия заданы и по ним требуется определить узловые перемещения из второго матричного уравнения (4.46), которое представляет собой, вообще говоря, переопределенную систему линейных алгебраических уравнений относительно узловых перемещений. Так, для стержневых систем, которые носят название статически неопределимых, матрица является прямоугольной и число строк в ней меньше числа столбцов. Поэтому указанная система может допускать решение только при условии ее совместности. Уравнения (4.50) или (4.51) являются условиями совместности системы (4.46). Действительно, они получены заданием решения системы (4.46) в форме (4.49), подстановкой его в (4,46) и требованием, чтобы система (4.46) допускала решение (4.49),удовлетворяющее уравнениям равновесия узлов. Уравнения (4.50) и (4.51) являются аналогом известных уравнений Бельтрами — Мичелла в теории упругости. [c.81]

Величины бaiJ не обязаны удовлетворять уравнениям совместности Бельтрами — Мичелла. [c.128]

ВИЯМ (4.6). Далее по полученным функциям aij (Xk) находятся функции ги (Xh) из алгебраических уравнений (4.5) закона Гука. Так как при нахождении функций atjixii) удовлетворялись условия совместности Бельтрами—Мичелла, то функции etj (xj будут удовлетворять дифференциальным зависимостям Сен-Венана, т. е. необходимым и достаточным условиям интегрируемости уравнений (4.1). Тогда путем интегрирования уравнений (4.1) определяются перемещения щ (х ). [c.81]

В тех случаях, когда массовые силы /< можно считать равными нулю, условия совместности Бельтрами—Мичелла (4.54) при линейных функциях aij (хц) удовлеторяются тождественно. Следовательно, если эти функции не будут противоречить уравнениям равновесия (4.3), то они представляют точное решение рассматриваемой задачи при выполнении ее граничных условий (4.6). При этом в силу теоремы о единственности (см. гл. V) это решение будет однозначным. [c.83]

Уравнение получено подстановкой в уравнение Вс = 0 выражения для 8 = С 1<г и подстановкой в последнее в = В -Г ч.р- Строго говоря, название уравнения Бельтрами—Мичвлла применено условно, поскольку Бельтрами и Мичелл выражали условия совместности деформаций не через функции напряжений, а через ами напряжения и использовали, таким образом, ме решение уравнений равновесия, а сами уравнения равновесия. [c.454]

Теперь обратимся к уравнениям совместности деформаций в форме Бельтрами-Мичелла (3.13). Ири принятых ранее предположениях относительно компонент тензора напряжений azz — = стхх = сгуу = (Тху = О первые четыре уравнения системы (3.13) удовлетворяются при любых выражениях функции (р, а последние два уравнения получат следуюгций вид [c.64]

Это уравнение является условием совместности напряжений в плоской задаче для линейно-упругого тела и в этом случае MOHteT заменить собой уравнения Бельтрами—Мичелла. [c.484]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...