Задача двух тел первая

Вспомним, что в определении координат в задаче двух тел первый шаг — вычисление средней аномалии, включал среднее движение, определенное уравнением [c.329]

Остановимся сначала на нескольких формальных моментах задачи двух тел. Первое, пусть р, Р), — импульсы двух частиц до, а р, р — импульсы тех же частиц после столкновения. В соответствии с решением задачи механики конечные значения р, р, являются функциями начальных р, рь прицельного расстояния а и угла (р, фиксирующего плоскость, в которой происходит рассеяние, а также зависят от потенциала взаимодействия Ф(Л). Понятия до и после в этой задаче довольно условны можно обернуть процесс, считая р, р начальными значениями импульсов, тогда при тех же значениях а и <р в результате столкновения частицы приобретут импульсы Р и Р). [c.314]

Задача двух тел. Рассмотрим Солнце и определенную планету, как две материальные точки, совпадающие с их центрами тяжести. Так как массы остальных тел солнечной системы очень малы по сравнению с массой Солнца, то в первом приближении мы положим их равными нулю. Другими словами, допустим, что солнечная система состоит из Солнца и одной единственной планеты. Мы приходим таким образом к простой задаче двух тел, для которой можно найти все интегралы. В небесной механике исследуется, каким образом, после того как эти интегралы будут вычислены, надо их изменить, чтобы рассчитать действия остальных тел солнечной системы. [c.349]

Отсюда аналогично тому, как это делалось в случае задачи двух тел, получим относительные ускорения = — о отдельных тел РД/= 1, 2,...,и) по отношению к центральному телу Р . С этой целью заметим, что, фиксируя какой-нибудь индекс i, можно написать первое из уравнений (46 ) в виде [c.202]

И для первой, и для второй систем канонических элементов Пуанкаре функция Гамильтона задачи двух тел имеет вид [c.387]

Две массы mi=M— х и т2 = ц движутся в согласии с законом тяготения Ньютона (задача двух тел). Кроме того, в пространстве имеется еще третья масса тз = т, которая находится под действием сил притяжения к первым двум телам, но сама влияния на них не оказывает (например, случай системы Земля — Луна — спутник). Смысл слов ограниченная состоит именно в этом. Уравнения движения массы m имеют вид [c.124]

Движение точки т относительно притягивающей точки М описывается системой дифференциальных уравнений шестого порядка (П1.15). Общий интеграл этой системы представляет совокупность шести независимых между собой первых интегралов. Итак, найденное решение задачи двух тел зависит от шести произвольных постоянных, причем в качестве таковых можно взять постоянную t и остальные пять из семи постоянных Сх,Су,Сг, /х, /у, /г, 5 которые связаны двумя уравнениями связи между интегралами (П1.23) и (П1.25). [c.414]

Поле центральных сил. Первые интегралы уравнений движения. Формулы Бине. Задача двух тел и сведение ее к задаче о движении частицы в центрально-симметричном поле. Приведенная масса. Метод одномерного эффективного потенциала. [c.124]

Какие силы называются центральными 2. Когда выполняются и как записываются первые интегралы уравнения движения точки в центральном поле 3. Как формулируется задача двух тел [c.130]

Сравнительная простота решения задачи п тел при описании движения планет (это достаточно сложная задача, изучением которой занимается небесная механика) связана с тем, что 1) масса одной точки - Солнца - в 1000 раз превосходит самую большую из остальных масс - Юпитер, 2) в процессе движения планеты не сближаются друг с другом. Оказывается, что при приближенном описании можно в правых частях уравнений движения к-й планеты учитывать только ее взаимодействие с Солнцем и пренебрегать влиянием на нее остальных планет. Тем самым в первом приближении задача сводится к задаче двух тел Солнце - планета, которую, как было отмечено, умеют решать аналитически. Так и делают. Но такое упрощение может дать лишь грубое описание движения. Для более точного решения задачи используют методы теории возмущений. В теории возмущений разработаны методы, с помощью которых последовательно уточняют решение задачи на ограниченных интервалах времени (порядка сотни лет). Сейчас мы можем предсказывать положение планет относительно Солнца с точностью порядка [c.49]

Это уравнения задачи двух тел и, как мы показали в этом параграфе, из решения таких уравнений следуют закономерности движения, указанные в первом и втором законах Кеплера. [c.280]

Наиболее простая система состоит из двух частиц. Однако ее исследование важно по двум причинам. Во-первых, как правило, задача двух тел может быть решена в терминах известных функций. Это делает ее пробным камнем для утверждений новых теорий. Во-вторых, такое решение можно принять как нулевое приближение при изучении ТУ-частичных систем. [c.69]

Очевидно, такое движение с соударением в проблеме двух тел характеризуется следующими величинами во-первых, тремя координатами точки соударения в пространстве во-вторых, тремя составляющими скорости центра тяжести системы в-третьих, двумя угловыми координатами 9, ф, определяющими направление в пространстве касательной к кривой движения точки Рх в точке столкновения, которое совпадает с направлением линии движения Рх относительно центра тяжести системы тел Ро и Рх и, в-четвертых, постоянной энергии. Таким образом, всего для того, чтобы однозначно характеризовать состояние системы в момент соударения в задаче двух тел, нужны девять координат. Но для того, чтобы определить состояние движения системы до или после соударения, необходимо еще указать время т вблизи момента столкновения. [c.269]

Как развитие аналогии, указанной в предыдущем параграфе, рассмотрим движение материальных точек, взаимодействующих по закону ньютоновского притяжения (точнее, его аналогу) на пространствах постоянной кривизны, в качестве которых мы выберем компактные двумерную и трехмерную сферы и "З (кстати, А. Эйнштейн предлагал использовать как статическую модель реального мира). Хотя почти все изложенные результаты справедливы и для (некомпактного) пространства Лобачевского, мы не приводим их здесь подробно, ориентируясь лишь на приложения к динамике шарового волчка. В силу отсутствия группы преобразований Галилея такая небесная механика обладает некоторыми отличиями от плоской. Например, задача двух тел здесь не тождественна задаче о центральном поле. Более того, первая задача оказывается неинтегрируемой в отличие от второй. Тем не менее часть интегрируемых задач небесной механики плоского пространства (задача Кеплера, двух центров) обобщается и для искривленного пространства, а значит порождает интегрируемые шаровые волчки. [c.336]

Уравнения (9.4) являются точными уравнениями задачи двух тел-точек, но в некоторых случаях эти уравнения можно также рассматривать как уравнения первого приближения в общей задаче многих тел. (рассматриваемых как материальные точки). [c.414]

Очевидно, что эти уравнения первого приближения (9.4") имеют совершенно такой же вид, как и точные уравнения (9.4) задачи двух тел-точек. Поэтому и для решения точной задачи двух тел и для решения приближенной задачи многих тел нужно интегрировать одну и ту же систему дифференциальных уравнений типа (9.4). [c.415]

Мы видим, что уравнения (9.6) имеют такую же форму, кач и все рассмотренные выше уравнения, либо в задаче двух тел-точек, либо в первом приближении к задаче многих тел в барицентрических или относительных координатах. [c.417]

В этой главе приводятся основные сведения о задаче двух тел, в частности, различные формы дифференциальных уравнений и их первых интегралов. Выводы и дополнительные подробности можно найти в [1] — [5]. [c.211]

Первые найденные в небесной механике периодические решения— это эллиптическое движение в задаче двух тел (см. ч. И, 2.01) и лагранжевы решения в задаче трех тел (см. ч. V, 1.02, 2.03). После того как Хилл доказал, что уравнения задачи, названной его именем (уравнения (5.3.16)), допускают периодическое (почти-круговое) решение, Пуанкаре разработал достаточно общий метод — метод малого параметра (см. 1.01) и на его основе установил [2] существование трех сортов периодических решений в планетном варианте неограниченной задачи трех тел (тело имеет массу то, значительно большую масс т = а1 А, Ш2 — 0,211 планет Р, и Рг, также отличных от нуля, а > О, К2 > О, — малый положительный параметр). Частными случаями этих решений являются периодические решения первого, второго и третьего сорта в ограниченной задаче трех тел (см. ч. V, 2.05). [c.792]

С эпохи Лагранжа и Лапласа задача считается интегрируемой, если она решается в квадратурах , т. е. можно найти общий интеграл дифференциальных уравнений задачи, содержащий независимые произвольные постоянные, число которых в точности равно порядку системы. С этой точки зрения наиболее интересными интегрируемыми задачами являются задача двух тел (ч. II) и задача двух неподвижных центров (см. ч. V, гл. 3). В задаче п > 2 тел известны 10 первых интегралов (см. ч. IV), [c.811]

Вот почему в космонавтике оказывается весьма удобным при примерных расчетах ( в первом приближении ) почти всегда рассматривать движение космического аппарата под действием одного притягивающего небесного тела, т. е. исследовать движение в рамках ограниченной задачи двух тел. При этом удается получить важные закономерности, которые совершенно ускользнули бы от нашего внимания, если бы мы решились изучать движение космического аппарата под влиянием всех действующих на него сил. [c.60]

Самые ранние приложения обсуждаемых в настоящей монографии методов, как и вообще применение самой гамильтоновой механики, связано с попытками предсказать движение планет на достаточно большом интервале времени. Именно к этой области относится знаменитая задача трех тел и ее упрощенный вариант, так называемая ограниченная задача трех тел. Первая касается движения трех произвольных гравитационно взаимодействующих масс. В более простой ограниченной задаче масса одного из тел полагается равной нулю и исследуется его движение в изменяющемся со временем гравитационном поле двух других тел. В 1904 г. Уиттекер, [c.486]

В выражении для / л отброшен член с г, так как он не зависит от т, у, г в выражении для отброшен член с г, так как он соответственно не зависит от х, у, г. Если и 0 ограничить их основными членами, то уравнения сведутся к уравнениям относительного движения в задаче двух тел. Легко видеть, что в для системы Земля — Луна — Солнце отношение второго члена к первому приблизительно равно [c.237]

Правые части уравнений (И) помножены на от, и от , которые очень малы по сравнению с 5 следовательно, они очень малы по сравнению с членами слева, происходящими от притяжения Солнца, по крайней мере в течение значительного промежутка времени. Если от, и от положить в правых частях равными нулю, то первые три уравнения и вторые три образуют две группы, не зависящие друг от друга, и задача для каждой группы из трех уравнений приводится к задаче двух тел и может быть полностью решена. Шесть уравнений (И) второго порядка удобно привести к двенадцати уравнениям первого порядка. Положим [c.325]

Например, задача определения орбиты Луны, движущейся вокруг Земли, так же как орбиты планеты, движущейся вокруг Солнца, является (в первом приближении) задачей двух тел. Однако в обоих случаях влияние притяжения других тел (в первом случае — Солнца, во втором случае — других планет) усложняет простую картину, получающуюся из решения задачи двух тел. Еще пример полет межпланетного космического аппарата (КА) от Земли к Марсу представляет собой задачу четырех тел Солнце—Земля—Марс—КА. Тем не менее, если разбить эту задачу на три задачи двух тел [c.86]

Из решения задачи двух тел следует, в частности, и первый закон Кеплера. Орбиты одного тела относительно другого классифицируются в соответствии с величиной эксцентриситета при [c.92]

Предпринимались различные попытки получить набор универсальных либо унифицированных формул, которые могли бы применяться ко всем типам конических сечений — орбит задачи двух тел. Различие между универсальными и унифицированными формулами состоит в том, что первые могут применяться, даже если е стремится к нулю, а последние в таком случае неприменимы. Описание этих попыток выходит за пределы данной книги. Подробное обсуждение универсальных и унифицированных переменных и параметров можно найти в работе [5]. [c.126]

ИЗ двух конечных тел к массе всей системы). Поиск семейств периодических орбит выполняется при данном значении ц,. Теоретически, для того чтобы доказать существование периодических орбит в ограниченной задаче, можно провести исследование при ,1 = О, а затем аналитически продолжить полученные результаты в область положительных ц. Такой подход, примененный впервые Пуанкаре, использовался и многими другими исследователями. Пуанкаре в своей работе, основанной на методе аналитического продолжения, разделил периодические орбиты ограниченной задачи на три класса. Орбиты первого класса рождаются из круговых орбит задачи двух тел (е = О, t = 0), орбиты второго класса рождаются из эллиптических орбит задачи двух тел (е О, t = = 0). Периодические орбиты третьего класса также рождаются из орбит задачи двух тел, но при отличном от нуля наклонении орбиты бесконечно малой частицы к плоскости движения основных тел е = 0, i фО). Другими словами, первые два класса орбит относятся к плоской ограниченной круговой задаче, а третий класс относится к пространственной ограниченной круговой задаче. [c.161]

Совокупность таких уравнений при I = 2, 3,. .., п является искомой системой уравнений относительного движения п тел. Ясно, что 1) если в системе нет других тел т, (/ ф I) или они пренебрежимо малы, то правая часть уравнения становится равной нулю и в результате получается уравнение задачи двух тел (уравнение движения т, относительно т), 2) первый член в скобках в правой части представляет собой ускорение тела т,, вызванное влиянием тела т/ (/ Ф 1), 3) второй член в скобках в правой части равен взятому со знаком минус ускорению тела т, обусловленному влиянием тела т/ (/ О- [c.182]

Если в первом приближении правые части уравнений (6.20) и (6.22) положить равными нулю, то мы придем к двум задачам двух тел, которые могут быть решены методами главы 4. В результате будут найдены невозмущенные кеплеровские эллиптические гелиоцентрические орбиты планет, каждая из которых определяется шестью элементами. [c.196]

Для задачи двух тел можно получить точное решение. Поэтому на первом этапе решаются уравнения [c.218]

Отсюда видно, что в первом приближении орбита спутника определяется формулами задачи двух тел, причем оба тела представляют собой материальные точки. Члены второго и более высоких порядков возмущают эту орбиту. [c.316]

Однако при рассмотрении перехода аппарата из близкой окрестности одного тела в близкую окрестность другого тела использование силового поля одного притягивающего центра даст нам уже неадекватную картину. Находясь вначале в силовом поле первого тела, аппарат входит в область, где поля обоих тел сравнимы по напряженности, а затем переходит в область, где преобладает поле второго тела. Если поведение аппарата при движении по орбите перехода надо исследовать с высокой степенью точности, то должны применяться специальные методы теории возмущений (по крайней мере во время движения в области, где силовые поля двух тел сравнимы). Тем не менее основные свойства таких переходов можно получить и при помощи формул задачи двух тел. В данном разделе будет описан способ применения этих рмул. [c.367]

Функциональный синтез и анализ траекторий в присутствии большого числа притягивающих центров следует начинать с годографического решения ограниченной задачи трех тел. Первый этап такого исследования должен быть связан с задачей двух неподвижных центров в двумерном пространстве с последующим распространением полученных результатов на трехмерное пространство и на ограниченную задачу трех тел путем последовательного годографического решения предыдущей задачи. Годографическое преобразование для двух неподвижных центров будет включать в себя отражение (помимо основных элементов преобразования подеры, геометрической инверсии и увеличения) для векторных пространств всех порядков. Можно ожидать, что такая последовательность работы приведет не только к аналитическим решениям и способам исследования задач, представляющих непосредственный интерес (полеты на Луну и к планетам), но также позволит по-новому осветить аналитическую связь между ньютоновой и релятивистской механиками. [c.86]

Задача двух тел. В первом приближении движение каждой илапеты мож1[о рассматривать в поле тяготения одного Солнца, т. к. массы других планет малы ио сравнению с солнечной массой. В этом случае дифференциальные ур-ния движения планеты допускают решенпе в конечном виде, постоянные интегрирования определяются из наблюдении. По известной орбите можно вычислить эфемериду пебесного тела, т. е. определить его положение на небесной сфере для ряда равностоящих моментов времепи. Движение небесного тела в задаче двух тел определяется Кеплера законами. [c.364]

При этом ньютоновский центр расположен в точке 71 = 72 = О, 73 = 1. Все траектории шарового волчка, соответствующего задаче Кеплера, являются периодическими (как для 6 , так и для "З), при этом изображающая материальная точка движется в зависимости констант первых интегралов по коническому сечению [229, 240]. Можно рассмотреть различные возмущения задачи Кеплера — в частности, ограниченную задачу двух тел на 6 . В [200] показано, что последняя задача является хаотической, траектории не являются эллипсами, и имеется некоторое смещение перигелия, позволяющее нетрадиционным образом (не связанным с эффектами ОТО) интерпретировать результаты астрономических наблюдений. Доказательство отсутствия аналитических интегралов, по предположению авторов, было недавно получено С. Л. Зиглиным. [c.338]

Примечание. Мы получили уравнения невозмущенного движения, рассматривая задачу двух тел (т. е. задачу о движении системы двух взаимно притягивающихся материальных точек) либо первое приближение общей задачи многих тел (т. е. за дачи о движении системы любого числа материальных точек взаимно притягивающихся по закону Ньютона и не подвержен ных никаким другим силам). Однако те же уравнения невоз мущенного движения можно получить, рассматривая первое приближение и в более общей задаче. [c.421]

При ц = О планетный вариант неограниченной задачи трех тел вырождается в две задачи двух тел (одна задача двух тел с массами то п ту = О, вторая задача двух тел с массами то и тг = 0). Очевидно, что среди возможных движений в вырожденной задаче имеются кеплеровские эллипсы, описываемые нулевыми массами т, = тг = 0. Пусть, в частности, кеплеровские орбиты суть компланарные окружности. Пуанкаре доказал [2], что при 11фО в плоской неограниченной задаче трех тел существуют периодические решения, близкие к круговым. Точнее, взаимные расстояния между тремя телами будут периодическими функциями времени, а чтобы координаты каждого тела были периодическими функциями времени, необходимо рассматривать равномерно вращающуюся (с конечной угловой скоростью) систему координат. В неподвижной системе координат координаты трех тел не будут, вообще говоря, периодическими функциями времени. Если ввести для таких периодических решений оскулирующий кинематический параметр — эксцентриситет, то он имеет порядок величины ц. Эти плоские перподиче-ские решения задачи трех тел были названы Пуанкаре решениями первого сорта, и они образуют четырехпараметрическое семейство решений. Пуанкаре показывает, что все множество периодических решений не богаче, чем однократное бесконечное множество периодических решений, так как одни семейства решений переходят в другие с помощью элементарных преобразований. Заметим также, что решение Хилла является частным случаем периодических решений первого сорта Пуанкаре. [c.792]

Одной из наиболее простых и одновременно достаточно полно отражающих истинную природу движения небесных тел является задача двух тел. При постановке этой модельцой задачи предполагается, что существуют только два взаимно притягивающихся небесных тела М ж т, причем первое из них часто имеет большую массу и является шаром со сферическим распределением плотности. Малое тело т можно рассматривать в качестве материальной точки. Как показано в п. 1.2.1, сила притяжения шара со сферическим распределением плотности, действующая на внешнюю материальную точку, не изменится, если всю массу шара сосредоточить в его центре. Таким образом, задача о движении двух тел по существу сводится к задаче о движении двух материальных точек М ж т. Материальную точку с большей массой [М) обычно называют притягивающим центром. Если же речь идет о теле М, то его называют центральным телом. Выбор центрального тела зависит от исследуемой задачи. Например, при изучении движения искусственного спутника в околоземном пространстве за центральное тело прини- [c.30]

Задача двух тел. Рассмотрим два тела, А п С, первое — движущееся с массой т, а второе — неподвижное, с массой М, и изучим движение первого под действием ныотонианского притяжения, вызываемого неподвижным телом. [c.60]

Задача двух тел важна по двум причинам. Во-первых, это единственная задача динамики гравитирующих тел, не считая некоторых специальных случаев задачи трех тел, для которой мы имеем полное и общее решение. Во-вторых, многие практические задачи орбитального движения могут быть отнесены в первом приближении к задаче двух тел. Решение задачи двух тел может быть использовано для получения приближенных параметров орбиты и при предварительных вычислениях. Оно может служить начальным приближением при получении аналитических решений, обладающих более высокой степенью точности. Такие решения, относящиеся к общей теории возмущений, будут обсуждаться в последующих разделах. [c.86]

Из-за наличия элементы орбиты в некоторый последующий момент будут равны а , е , <1, йх, о>1 и Ху. Величины (ау — а ) и Т-. д. являются возмущениями элементов на интервале (/1 — Q. Очевидно, этим возмущениям элементов соответствуют возмущения координат и компонент скорости. Если для получения положения х, у, г) и скорости (х,у,г)в момент использовать формулы задачи двух тел (гл. 4), а в качестве элементов взять оскулиру-ющие элементы при to, то полученные величины будут отличаться от соответствующих величин (х, у, г ) и х, у, г ), вычисленных по оскулирующим элементам при /1. Отклонения х — х ) и т. д. являются возмущениями координат и т. д. Использование решения задачи двух тел (конического сечения) в качестве средней орбиты дает хорошее приближение действительной орбиты тела на значительном интервале времени. Делались попытки использовать в качестве средней орбиты более точные приближения действительной орбиты. Примером может служить приближение, использованное Хиллом в построенной им теории движения Луны. В дальнейшем будет показано, что при рассмотрении движения искусственного спутника можно в первом приближении выбрать такую орбиту, которая будет описывать движение значительно точнее, чем простой кеплеровский эллипс. [c.180]

Однако следует заметить, что степень близости представления подобными модельными орбитами тех, которые требуются в действительности, зависит от продолжительности времени, затрачиваемого космическим кораблем на движение вблизи границ переходной области. Например, корабль, движущийся по геоцентрическому эллипсу с такими значениями большой оси и эксцентриситета, которые обеспечивают его удаление в апогее более чем на 42 земных радиуса, находился бы в силу И закона Кеплера гораздо более длительное время в пределах сферы действия Луны, чем корабль движущийся по орбите с другими значениями большой оси и эксцентриситета. Поэтому в первом случае можно ожидать гораздо более значительных изменений орбиты, чем во втором. Расчет орбиты прохождения через границу сферы действия можно выполнить по способу Энке или Коуэлла методом, описанным в разд. 11.4.4. При входе во внутреннюю сферу действия Луны возможно использование невозмущенной селеноцентрической орбиты до тех пор, пока корабль не выйдет из этой сферы действия. Итак, сказано достаточно для того, чтобы подчеркнуть, что в исследованиях выполнимости можно нередко пользоваться решением задачи двух тел в виде конических сечений для получения данных [c.386]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...