Конечные элементы согласованная

Итак, мы несколько раз обращались к табл. 14.1. Естественно сделать вывод, что можно построить конечно-элементные модели, соответствующие приведенным в этой таблице вариационным принципам, способами, аналогичными принятым в линейной статической теории упругости. Среди этих моделей конечных элементов наиболее часто используется согласованная модель, основанная на принципе стационарности потенциальной энергии. Эта модель будет кратко обсуждаться с следующем параграфе. [c.366]

Расчеты, основанные на методах конечных элементов для зоны краевого эффекта, описывают конечный рост межслойных напряжений, который обнаружен в первоначальной формулировке с использованием плоской задачи теории упругости [24, 251, а также моделируют распределение пространственных компонент тензора напряжений в окрестности отверстия небольшого диаметра в толстой пластине при растяжении ). Однако эти элементы не являются полностью согласованными с моделью однородных слоев, лежащей в их основе, поскольку разрыв в величинах упругих постоянных в такой модели привел бы к неограниченному росту в точках пересечения свободной боковой границы с меж-слойной поверхностью. Такая сингулярность в принципе должна быть учтена в гипотезах о поведении напряжений, но это пока не сделано. [c.421]

Постоянные С, как уже говорилось, необходимо определить из условия минимума полной энергии элемента. Если при этом они окажутся равными нулю, то это будет означать, что конечные элементы данного типа согласованно воспроизводят линейное поле перемещений и, следовательно, групповой тест будет проходить. [c.216]

Отметим, что для образования диагональной матрицы масс можно было бы массу каждого элемента просто сосредоточить в его узлах, поровну поделив ее между ними. При этом, однако, скорость сходимости решения к точному может сильно снижаться по сравнению с согласованной формулировкой, особенно для сложных конечных элементов. На реальных сетках этот способ приводит к ухудшению точности результатов, и поэтому он чаще всего неприемлем. Исключение составляют некоторые простейшие элементы типа стержневого с двумя узлами или треугольного в плоской задаче, где все три метода (поузлового интегрирования, выделения диагонали и распределения массы по узлам) приводят к одинаковым результатам. [c.341]

Определители матриц (9.34) отрицательны общая матрица М также может оказаться неположительно определенной. Можно получить и положительно определенную матрицу, если взять подматрицы из согласованной матрицы и ввести множитель, обеспечивающий точное воспроизведение массы конечного элемента. Тогда придем к следующей матрице масс [c.346]

Рассмотрим, далее, конечные элементы лонжерона, описанные в 8.3 (см. рис. 8.3). Так же как и при выводе матрицы жесткости, вначале отнесем элемент к местной системе координат X, у VL введем в каждом узловом сечении по три степени свободы Up = и- и— р). Пользуясь независимой аппроксимацией перемещений и-, и- и угла поворота сечения и пренебрегая инерцией вращения, можно получить согласованную матрицу масс т, определяемую соотношениями [c.355]

Более того, если конечные элементы являются совместными и используется согласованная формулировка масс, то матрица жесткости и матрица масс будут неотрицательно определенными в этом случае среди корней уравнения (10.8) не будет ни одного отрицательного. Точнее, для закрепленного тела все корни будут положительными, а для свободной конструкции появятся нулевые корни число последних равно числу степеней свободы тела как жесткого целого. [c.359]

Пример 4. Оболочка вращения (рис. 10.5), представляющая собой жестко защемленный цилиндрический сосуд, закрытый полусферическим днищем такой же толщины, что и цилиндрическая часть, совершает осесимметричные колебания. Длина и радиус цилиндра равны 500 мм, отношение толщины к радиусу составляет 0,02 (х = 0,3 = 2 10 МПа р = 7,83 X X 10- кг/м . Результаты расчета получены с использованием конечных элементов- первого порядка (согласованная формулировка масс без учета инерции вращения). С использованием 40 конечных элементов для частоты основного тона получено значение = 1,041 10 с-, что хорошо согласуется с данными других работ [351. [c.369]

При построении конечных элементов с независимой аппроксимацией деформаций в элементе необходимо обеспечить геометрическую изотропию полей перемещений и деформаций, а также выполнение условия согласованности размерностей (1.86). Наиболее опасно нарушение условия (1.86) при па<.п,—п,. В этом случае матрица жесткости будет содержать лишние нулевые собственные значения и конечный элемент превратится в механизм. [c.25]

Число независимых смещений конечного элемента как твердого тела г равно шести, и ранг матрицы жесткости К должен равняться п, — 6, где Пд — размерность вектора обобщенных узловых перемещений элемента. Это условие будет выполняться при выборе аппроксимации S (4.44) такой, что —6, где Па — размерность вектор-столбца коэффициентов аппроксимации а (4.44). Для согласованной аппроксимации перемещений и деформаций (1.86) подходит треугольный конечный элемент с шестью узлами (рис. 4.4). Суммарное число обобщенных узловых перемещений Пд—ЗО при аппроксимации всех пяти компонент вектор-столбца u=[ i, Ыз, w, 0i, SJ полными полиномами второго порядка. Суммарное число независимых компонент вектор-столбца а (4.44) будет равно 24 при аппроксимации всех восьми компонент вектор-столбца S = [ei, ег, Yi2, [c.191]

Распределения контактных давлений для указанных моментов времени показаны штриховыми кривыми 2, 3 и на рис. 31. Видно, что для / = 10 ч имеется хорошее согласование результатов, полученных с использованием теории ползучести деформационного и инкрементального типов, так как перераспределение напряжений еще несущественно. Граница зоны контакта для остальных моментов времени определена удовлетворительно (с точностью до конечного элемента), однако контактные напряжения получились несколько завышенными, что можно объяснить неучетом истории нагружения. На рис. 47 показана кинетика интенсивности напряже ил в точке А внешнего цилиндра, полученная по теории старения (кривая /) и с помощью физических соотношений, учитывающих деформационную анизотропию и историю нагружения (кривая 2). Перераспределение напряжений с учетом истории нагружения проходит интенсивнее. [c.148]

Одной из наиболее сложных является задача выявления неоднородностей в упругом теле по известным векторам w и р на его границе. В [14, 22, 23] были получены условия согласования этих векторов, что позволило доказать ряд утверждений, касающихся выделения областей внутри тела, содержащих включения (трещину, жесткое включение или полость, включение с другими упругими постоянными), а также сформулировать условия для определения границ дефекта. Эти результаты были распространены на задачи томографии в произвольных статических потенциальных полях (например, электрических, тепловых и других), связанные с выявлением неоднородностей по аномалиям поля [24]. Сюда, в частности, относится задача томографии численных схем, используемых при решении задач механики деформируемого твердого тела (например, методами конечных элементов и граничных интегральных уравнений), на основе выходных данных программы здесь понимается выявление дефектов (ошибок) в сетке, оценка точности решения и т. п. [25]. [c.779]

Приведенные выше построения служат прообразом принципа согласованности при построении конечных элементов. Очевидно, чтс каждая из матриц (основная матрица жесткости, матрицы массы и распределенных нагрузок) построена с применением функций формы предполагаемого поля перемещения, причем для каждой используется один и тот же набор функций формы. Поэтому матрица массы согласована с основной матрицей жесткости, и матрицы, построенные на этом принципе, называются согласованными матрицами массы. [c.159]

Вариационная формулировка позволяет изучить вопросы, свя занные с понятием согласованности в случае конечно-элементно дискретизации физической задачи. Ранее уже отмечалось, что внут ри одной и той же области функция должна быть дифференцируем столько раз, каков порядок производных в соответствующем урав нении Эйлера (т. е. для стержневого элемента уравнение Эйлер, имеет второй порядок, поэтому функция должна быть не менее чe квадратична). В методе конечных элементов функционал полно системы состоит из суммы функционалов П- для р отдельных облас тей (элементов), т. е. [c.168]

Еще один вопрос относительно функциональных пространств Ж , очень важный для конечных элементов при каком условии элемент является согласованным Другими словами, если задано дифференциальное уравнение порядка 2т в пространстве п независимых переменных, то какие кусочно полиномиальные функции принадлежат допустимому пространству Очень [c.92]

Трудность заключается в том, что для достижения полной численной устойчивости при стремлении шага сетки к нулю требуемый алгоритм для решения возникающей системы уравнений может оказаться просто слишком сложным. Для-обычной пятиточечной разностной схемы можно систематически использовать все ограничения на матрицу коэффициентов, вытекающие из согласованности с оператором Лапласа суммы вдоль каждой строки матрицы, а также первые моменты равны нулю на всех стадиях метода исключения Г аусса. Однако соответствующие ограничения для нерегулярных конечных элементов будет чрезвычайно трудно использовать. Поэтому мы будем исследовать обычный алгоритм исключения, допуская увеличение ошибки округления при однако имея в виду, что численная устой- [c.239]

Л/с. 2.75. Стыковка ячеек конечных элементов а - согласованная, б - несогласованная [c.67]

Следует отметить одно важное обстоятельство. Как говорилось в гл. 2, аппроксимирующие функции в методе Ритца должны удовлетворять всем геометрическим связям. Это означает, в частности, что они должны быть непрерывными функциями координат. Следовательно, метод конечных элементов можно рассматривать как метод Ритца лишь в том случае, если на границах между конечными элементами обеспечивается непрерывность перемещений. Конечные элементы, которые дают непрерывное поле перемещений, называются совместными (или согласованными). Не всегда, однако, удается выполнить условие совместности, вследствие чего в практике нередко используются несовместные элементы. При переходе от одного элемента к другому перемещения будут тогда претерпевать разрывы, и поэтому нельзя утверждать, что найденные узловые перемещения соответствуют минимуму полной энергии системы.Тем не менее при выполнении определенных условий (о которых будет сказано в 6.4) решение в пределе снова будет стремиться к точному, а в некоторых случаях несовместные элементы позволяют получить даже более точные результаты, нежели совместные. [c.124]

Если нагрузки быстро изменяются во времени, то возникающие при деформации тела инерционные силы могут играть существенную роль, и их необходимо учитывать. Обобщение основных соотношений метода конечных элементов на случай динамического нагружения приводит к понятию матрицы масс. Матрица масс имеет в принципе такую же структуру, что и матрица жесткости, но в отличие от последней она может быть представлена и в диагональной (или блочио-диагональ-ной) форме, что важно для снижения затрат машинного времени и объема памяти ЭВМ. При надлежащей формулировке диагональная матрица масс так же хорошо описывает распределение массы в конструкции, как и согласованная матрица. [c.329]

Можно, однако, поступить следующим образом. Для вычисления внедиагональных подматриц будем по-прежнему пользоваться поузловым интегрированием (иначе говоря, брать эти подматрицы нулевыми). Для вычисления же диагональных блоков применим точное интегрирование, другими словами, возьмем их из согласованной матрицы масс. Это не может ухудшить характеристик сходимости по сравнению с обычным методом поузлового интегрирования, но решение будет сходиться теперь к неправильному ответу, поскольку сумма полученных таким путем узловых масс не будет равна массе конечного элемента. Для устранения этого дефекта достаточно умножить полученную матрицу на соответствующим образом подобранный скалярный коэффициент. В итоге приходим к предложенному в работе [37] методу получения диагональной (или блочно-диагональной) матрицы масс из согласованной, который будем называть методом выделения диагонали. Как следует из изложенного, этот метод, так же как и метод поузлового интегрирования, сохраняет скорость сходимости решения. Кроме того, он гарантирует положительную определенность матрицы масс. [c.341]

Еслив (9.43) выполнить интегрирование того же типа, что и для соответствующей матрицы жесткости, то придем к согласованной матрице масс конечного элемента. [c.349]

Пример 3 [18]. Консольная пластинка (рис. 10.4) постоянной толщины h, имеющая стреловидную форму в плане с углом стреловидности х, совершает поперечные колебания. Для расчета использованы несовместные четырехугольные конечные элементы с 16 степенями свободы (см. 7.5) применялась согласованная матрица масс (9.36). В табл. 10.1 для первых пяти тонов даны в случае tg х = 0,5 значения частот oj, отне [c.368]

Оба рассмотренных примера не обеспечивают непрерывность первых производных при переходе через границу конечного элемента, но часто применяются на практике. Согласованные формы (обеспечивающие непрерывность производных) требуют привлечения неполиномиальных функций формы. [c.284]

Число узлов в элементе и порядки аппроксимаций перемещений U и деформаций S выберем, исходя из удобства стыковки элементов подкреплений и оболочечных элементов, описанных в разделах 4.4, 5.5, а также из условия согласованности аппроксимаций (1.86). Нетрудно убедиться, что таким элементом будет трехузловой конечный элемент (рис. 3.14) с квадратичной аппроксимацией компонент вектор-столбца и (3.92) (рис. 3.15) [c.166]

Для согласованной аппроксимации пере.мещений и деформаций подходит треугольный элемент с шестью узлами (/—б) (рис. 4.6). Суммарное число обобщенных узловых перемещений Пд = 30. Матрица жесткости конечного элемента Ж (4.120) имеет размерность (30X30). [c.401]

Результаты для установившегося режима, полученные с помощью метода конечных элементов, сравнивались с результатами решения этой же задачи методом конечных разностей, в котором использовалось 440 вычислительных ячеек. Для расчета методом конечных элементов применялась грубая сетка из 39 элементов. Решение для функции тока и завихреиностн, соответствующих установившемуся режиму, получалось остановкой процесса итераций по времени при достижении статистически установившегося режима>. Это состояние определялось по моменту, когда производные по времени от завихренности в узлах становились ниже какой-то малой величины. Результаты сравнения (табл. 9.1) свидетельствуют об удовлетворительном согласовании решений методами конечных элементов и конечных разностей. Это согласование наилучшее в районе, удаленном от угла. [c.252]

До сих пор аппроксимация для всей области в методе конечных элементов строилась в предположении ее некоторой гладкости (или по крайней мере непрерывности) на стыках между соседними элементами. Для дифференциального уравнения порядка 2к требовалась сшивка в для методов Ритца и Галеркина или сшивка в для метода наименьших квадратов. Если для тетраэдральных элементов сшивка в О достигается применением полиномов девятой степени, то нетрудно себе представить, каким сложным делом будет при к > 1 построение элементов с требуемой степенью гладкости сшивки, т. е. построение согласованных элементов. Поэтому с вычислительной точки зрения желательно научиться использовать элементы с меньшей степенью гладкости на стыках, чем это формально требуется, т. е. несогласованные элементы. [c.180]

В механике твердого тела при формулировке определяющего уравнения в терминах деформаций, а искомого решения—в терминах перемещений стало обычным описывать поле перемещений как совместное, если перемещения меняются непрерывно по области в таком случае деформации кусочно-непрерывны. Это определение было перенесено в область конечных элементов для того, чтобы описать представление пробной функции, непрерывной в области. Более общий термин согласованность использовали, по-видимому, впервые в 1965 г. [II] Бэйзели, Ченг, Айронс и Зенкевич [12]. Пробная функция рассматривается как согласованная, если переменная н ее производные вплоть до порядка р — I непрерывны при переходе через границу между элементами, где р —порядок самой высокой производной, содержащейся в функционале. [c.172]

Паттерсон [17], используя технику гильбертовых пространств, показал, что критерий полноты и критерик слабой согласованности являются достаточными условиями сходимости вариационного метода конечных элементов. Эта согласованность, т. е. межэлементный критерий, требует того, чтобы разность или разрывность в й при переходе через границу между элементами стремилась к нулю быстрее, чем диаметр наибольшей подобласти, [c.174]

Практический подход к вопросу сходимости дает выборочный тест Айронса [19, 20], который описывается здесь в общих чертах для задач механики твердого тела. В простейшей форме теста группа элементов, или кусок как минимум с одним невнутренним узлом, полностью окруженным элементами, нагружается на границе силами, соответствующими постоянным деформациям на всем куске. Если метод сходится, то по выборочному тесту вычисленные методом конечных элементов перемещения, деформации и напряжения должны согласовываться с приложенной постоянной деформацией. Тестом может служить также использование приложенных перемещений, соответствующих состоянию постоянной деформации на всем куске. Применимы также выборочные тесты более высокого порядка, требующие на всем куске согласования решения с более -сложными нагрузками, предписанными на границе. Выборочный тест не ограничивается полными -или согласованными элементами, а может также применяться для определения того, дают ли сходящееся решение элементы, не удовлетворяющие этим крите риям. Тест, разработанный на основании инженерной интуиции был обоснован математически Стренгом [21] как необходимый достаточный признак сходимости в следующих случаях а) ког да используются несогласованные элементы б) когда в фор мулы входит численное интегрирование. Как недавно указа/ Оливейра [22], этот признак можно распространить иа задачи отличные от задач механики твердого тела. [c.177]

Стандартное условие согласованности хорошо известно пробная функция и ее первые т—1 производных должны непрерывно продолжаться за границы элемента. Это условие, очевидно, достаточно для допустимости, так как т-е производные могут в худшем случае иметь скачок между элементами, а их энергия конечна. С другой стороны, пример loglog(l/г) показывает, что вряд ли это необходимое условие согласованности существуют функции, не обладающие т— 1 непрерывными производными, но принадлежащие и являющиеся допустимыми. К счастью, такие нехорошие функции не могут быть кусочно полиномиальными. Если о — полином. (или отношение полиномов) на каждой стороне границы элемента, то о принадлежит Ж тогда и только тогда, когда производные порядка, меньшего т, непрерывно продолжены за границу элемента. Залог успеха метода конечных элементов состоит в построении таких элементов, чтобы обеспечить удобный базис и одновременно высокую степень- аппроксимации. [c.93]

Эти условия вынуждают полиномы в методе конечных эле-менто.в сочленяться в узлах. Для ог типичны модифицированные эрмитовы кубические полиномы непрерывность вращения остается неизменной, а функция может терпеть разрыв, связанный с разрывом VI. Очевидно, что для задачи о дуге такие пробные функции неприемлемы, а так как энергия деформации тоже изменяется при отбрасывании г, то вопрос о сходимости остается открытым. Для случая дуги окружности и правильного многоугольника отсутствие сходимости было доказано Вальцем, Фул-, тоном и Цирусом (Вторая Райт-Паттерсонская конференция). Уравнения-метода конечных элементов оказались просто разностными, но согласованными с неверным дифференциальным уравнением. Главные члены были правильными (радиус кривизны проявился через угол 0 в условии непрерывности рамки), но для отдельно избранного элемента появились также нежелательные члены нулевого порядка по Л ). Это наводит на мысль [c.154]

Напомним, что для разностных уравнений согласование проверяется исследованием нескольких первых членов ряда Тейлора, т. е. рассматриваются полиномы вплоть до одределенной степени. Кусочное тестирование делает Трчнр то же для конечных элементов. [c.207]

Фуджи дал также полезный анализ устойчивости разностных аппроксимаций (по временной переменной) уравнения (24) в методе конечных элементов. Предположим, например, что члены Q" заменяются центральными разностными отношениями второго порядка (А/)-2(д"+ — Q ). Из теории конечных разностей хорошо известно, что величина At должна быть ограничена, или же вычисляемые приближения будут экспоненциально расти вместе с п. Для одномерного волнового уравнения условия устойчивости процесса вычислений имеют вид At h/ 3 для согласованной матрицы массы М и Ai h — для диагональной матрицы, полученной при приближенном расчете матрицы М. (Тонг [Тб] заметил в последнем случае дополнительную устойчивость.) Фуджи исследовал и другие конечноразностные схемы, а также гиперболические уравнения более общего вида для краевых задач с начальными условиями, в том числе и уравнения упругости. [c.293]

В итоге во всех трех случаях из одного элемента получается 3" конечных злементов (сой , (1 = 1,..., ). Отметим, что такое дробление конечных элементов создает новое множество конечных элементов с числом элементов К в 5 раз больше, чем у . Предположим, что оба множества и 1 удовлетворяют условиям согласования и непрерьтности. Обозначим через Р и Ф, Р и Ф пространство пробных ф)шкций и набор функционалов для и соответственно. И пусть, кроме того, Р С Р . Тогда каждая базисная функция Р является линейной комбинацией небольшого числа базисных функций р В самом деле, р Р / и поэтому N>4 [c.93]

На ячейках треугольной формы допустима также следуюшая комбинация. Пусть треугольники допускают попарное объединение так, что получается согласованная триангуляция на четыретугольники. Тогда можно [129] взять на треугольниках квадратичные элементы для аппроксимации и и билинейные элементы на четырехугольниках для аппроксимации р (рис. 6.3). Для этой комбинации конечных элементов справедливы оценки (5.16) —(5.19), (5.34) и теоремы 5.1, 5.2 сбольшей на единицу степенью А. [c.273]

На рис. 6.15 и 6.16 представлено сравнение распределений напряжений вдоль оси г и вблизи поверхности в случае полного пластического течения при вдавливании сферического индентора, найденных методом конечных элементов [ПО], а также с помощью теории жесткопластичности (кривые 2) и модели с шаровым ядром (кривые 3). Согласованность результатов жесткопластического и конечно-элементного анализа в целом хорошая, особенно если учесть, что последние были получены для упрочняющегося материала. Сцепление материала с поверхностью штампа приводит к локализации максимальных значений напряжений Ог и Пг под поверхностью контакта. Этот эффект проявляется и в результатах расчетов методом конечных элементов. [c.203]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...