Матрица массы согласованная

Следует отметить, что матрицу масс можно построить двояко масса элемента может быть сосредоточена в узлах, что приводит всегда к диагональной матрице, либо может быть распределена по элементу — в этом случае она имеет структуру,, аналогичную матрице жесткости элемента, и называется согласованной матрицей масс. В работе [55] отмечается, что использование сосредоточенной матрицы масс приводит к плохой аппроксимации и неточным результатам в работах [177, 178] показано, что отличие в результатах при использовании согласованной или сосредоточенной матрицы масс незначительно, а использование диагональной сосредоточенной матрицы масс приводит к резкому сокращению времени счета. Аналогично используют два вида матрицы демпфирования. [c.25]

Отметим, что для образования диагональной матрицы масс можно было бы массу каждого элемента просто сосредоточить в его узлах, поровну поделив ее между ними. При этом, однако, скорость сходимости решения к точному может сильно снижаться по сравнению с согласованной формулировкой, особенно для сложных конечных элементов. На реальных сетках этот способ приводит к ухудшению точности результатов, и поэтому он чаще всего неприемлем. Исключение составляют некоторые простейшие элементы типа стержневого с двумя узлами или треугольного в плоской задаче, где все три метода (поузлового интегрирования, выделения диагонали и распределения массы по узлам) приводят к одинаковым результатам. [c.341]

Для вычисления интегралов (9.19) можно применить метод Маркова, что дает = О (для г Ф s), = m rl, т. е. приводит к диагональной матрице т. Чтобы избежать появления отрицательных значений величин m r (имеющих смысл сосредоточенных узловых масс), воспользуемся вместо этого методом выделения диагонали, в соответствии с которым в согласованной матрице масс положим = О для г Ф s и оставим лишь подматрицы 41% = гп%, где [c.342]

При вычислении согласованной матрицы масс элемента с четырьмя сторонами положим dr = J di dz тогда [c.344]

Если пренебречь инерцией вращения, то отдельные подматрицы согласованной матрицы масс определятся выражением [c.346]

Определители матриц (9.34) отрицательны общая матрица М также может оказаться неположительно определенной. Можно получить и положительно определенную матрицу, если взять подматрицы из согласованной матрицы и ввести множитель, обеспечивающий точное воспроизведение массы конечного элемента. Тогда придем к следующей матрице масс [c.346]

Итак, определены согласованная и блочно-диагональная матрицы масс рассматриваемого элемента бруса в местной системе координат. Переход к общей системе выполняется точ- [c.354]

Рассмотрим, далее, конечные элементы лонжерона, описанные в 8.3 (см. рис. 8.3). Так же как и при выводе матрицы жесткости, вначале отнесем элемент к местной системе координат X, у VL введем в каждом узловом сечении по три степени свободы Up = и- и— р). Пользуясь независимой аппроксимацией перемещений и-, и- и угла поворота сечения и пренебрегая инерцией вращения, можно получить согласованную матрицу масс т, определяемую соотношениями [c.355]

Более того, если конечные элементы являются совместными и используется согласованная формулировка масс, то матрица жесткости и матрица масс будут неотрицательно определенными в этом случае среди корней уравнения (10.8) не будет ни одного отрицательного. Точнее, для закрепленного тела все корни будут положительными, а для свободной конструкции появятся нулевые корни число последних равно числу степеней свободы тела как жесткого целого. [c.359]

Представленные на рис. 10.10 результаты получены с использованием согласованной матрицы масс (9.43) они хорошо совпадают с данными других работ 127]. Отметим, что применение в этой задаче диагональной матрицы масс (9.44) дает i практически такие же результаты. [c.385]

Дискретные динамические уравнения движения для каждого узла i в проекциях на неподвижную систему координат следуют из (4.4.5) с помощью выделения независимых вариаций бу , путем использования конкретных формул для выражений (eas)e, через i . Запись дискретного вариационного принципа (4.4.5) автоматически обеспечивает диагональный вид матрицы масс в форме матричной записи системы уравнений движения. В МКЭ прп решении динамических задач также применяется упрощенная процедура счета с диагональной матрицей масс [37, 208]. Однако в общем случае необходима специальная подпрограмма обращения и хранения согласованной матрицы масс, которая в МКЭ диагональной не является. [c.97]

Приведенные выше построения служат прообразом принципа согласованности при построении конечных элементов. Очевидно, чтс каждая из матриц (основная матрица жесткости, матрицы массы и распределенных нагрузок) построена с применением функций формы предполагаемого поля перемещения, причем для каждой используется один и тот же набор функций формы. Поэтому матрица массы согласована с основной матрицей жесткости, и матрицы, построенные на этом принципе, называются согласованными матрицами массы. [c.159]

Постройте согласованную матрицу массы для простого изгибаемого балочного элемента [c.201]

Постройте согласованную матрицу массы [ш] для треугольного элемента из изотропного материала в случае плоского напряженного состояния (см рис 5 3), где р — масса, приходящаяся на единицу объема При этом геометрические [c.201]

Укажите член, связывающий и 1415 в согласованной матрице массы для элемента, описанного в задаче 6.9. Толщина элемента масса, приходящаяся на единицу объема, равна р. [c.203]

Важность использования согласованной матрицы масс вместо матрицы сосредоточенных масс подчеркивается в нескольких работах [15—19]. [c.351]

Если кроме того ui = 1, то сила в узле N просто равна т к- Таким образом, элемент т к согласованной матрицы масс можно интерпретировать как инерционную силу в узле N, обусловленную единичным ускорением узла К. А свойство симметрии тмк [c.205]

Обозначения Стг (4) и т. д. указывают на зависимость от тензора напряжений 1. Массив Ж"гд является глобальной согласованной матрицей масс всего ансамбля конечных элементов. Величины [c.213]

Наконец, выделение диагональных блоков в согласованной матрице (9.53) и последующая корректировка массы элемента приводит к положительно определенной матрице, для которой [c.353]

При согласованной формулировке масс в качестве следует взять матрицу, определяемую по (9.53) [c.366]

Если нагрузки быстро изменяются во времени, то возникающие при деформации тела инерционные силы могут играть существенную роль, и их необходимо учитывать. Обобщение основных соотношений метода конечных элементов на случай динамического нагружения приводит к понятию матрицы масс. Матрица масс имеет в принципе такую же структуру, что и матрица жесткости, но в отличие от последней она может быть представлена и в диагональной (или блочио-диагональ-ной) форме, что важно для снижения затрат машинного времени и объема памяти ЭВМ. При надлежащей формулировке диагональная матрица масс так же хорошо описывает распределение массы в конструкции, как и согласованная матрица. [c.329]

Можно, однако, поступить следующим образом. Для вычисления внедиагональных подматриц будем по-прежнему пользоваться поузловым интегрированием (иначе говоря, брать эти подматрицы нулевыми). Для вычисления же диагональных блоков применим точное интегрирование, другими словами, возьмем их из согласованной матрицы масс. Это не может ухудшить характеристик сходимости по сравнению с обычным методом поузлового интегрирования, но решение будет сходиться теперь к неправильному ответу, поскольку сумма полученных таким путем узловых масс не будет равна массе конечного элемента. Для устранения этого дефекта достаточно умножить полученную матрицу на соответствующим образом подобранный скалярный коэффициент. В итоге приходим к предложенному в работе [37] методу получения диагональной (или блочно-диагональной) матрицы масс из согласованной, который будем называть методом выделения диагонали. Как следует из изложенного, этот метод, так же как и метод поузлового интегрирования, сохраняет скорость сходимости решения. Кроме того, он гарантирует положительную определенность матрицы масс. [c.341]

Еслив (9.43) выполнить интегрирование того же типа, что и для соответствующей матрицы жесткости, то придем к согласованной матрице масс конечного элемента. [c.349]

Пример 3 [18]. Консольная пластинка (рис. 10.4) постоянной толщины h, имеющая стреловидную форму в плане с углом стреловидности х, совершает поперечные колебания. Для расчета использованы несовместные четырехугольные конечные элементы с 16 степенями свободы (см. 7.5) применялась согласованная матрица масс (9.36). В табл. 10.1 для первых пяти тонов даны в случае tg х = 0,5 значения частот oj, отне [c.368]

Интересно заметить, что в ранних попытках исследования динамических задач такого типа масса элементов обычно предполагалась произвольно сконцентрированной в узлах, что приводило всегда к диагональной матрице, даже если не существовало сосредоточенных масс. Тот факт, что подобная процедура в действительности не нужна и приводит к плохой аппроксимации, был установлен в 1963 г. Арчером [12] и независимо от него Лекки и Линдбергом [13]. Общее выражение (16.15) получено Зенкевичем и Ченгом [14]. Для матрицы распределенных масс элемента был введен термин согласованная матрица масс эта матрица является единственно допустимой матрицей, используемой при расчете, [c.348]

Фуджи дал также полезный анализ устойчивости разностных аппроксимаций (по временной переменной) уравнения (24) в методе конечных элементов. Предположим, например, что члены Q" заменяются центральными разностными отношениями второго порядка (А/)-2(д"+ — Q ). Из теории конечных разностей хорошо известно, что величина At должна быть ограничена, или же вычисляемые приближения будут экспоненциально расти вместе с п. Для одномерного волнового уравнения условия устойчивости процесса вычислений имеют вид At h/ 3 для согласованной матрицы массы М и Ai h — для диагональной матрицы, полученной при приближенном расчете матрицы М. (Тонг [Тб] заметил в последнем случае дополнительную устойчивость.) Фуджи исследовал и другие конечноразностные схемы, а также гиперболические уравнения более общего вида для краевых задач с начальными условиями, в том числе и уравнения упругости. [c.293]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...