Минимум полной энергии системы

Гри( итс исходил из энергетических соображений, полагая, что равновесному состоянию соответствует минимум полной энергии системы. Вследствие этого вариация полной энергии в окрестности равновесного состояния системы должна быть равна нулю. [c.576]

Микрощель 274, 275 Минимум полной энергии системы 576 Множество огибающих Мора 568 Модель классическая тела реологии 516 [c.824]

Равенство 61/ = О есть необходимое условие минимума полной энергии системы. Покажем, что перемещения v, найденные из решения системы (4.21) или (4.32), действительно минимизируют V. Ограничившись случаем Vp = О, будем иметь для полной энергии выражение (4.31). Рассмотрим далее узловые перемещения = v + Av , которые отличаются от перемещений v на некоторую произвольную величину Ду . Таким перемещениям соответствует полная энергия системы [c.123]

Нетрудно показать, что действительное поле перемещений щ сообщает минимум полной энергии системы [c.117]

Параметры аир определяются из условия минимума полной энергии системы. [c.122]

Функцию г (2) находим из условия минимума полной энергии системы, определяемой интегралом (7). которое, как известно из вариационного исчисления, имеет вид [c.202]

Из условия минимума полной энергии системы в данном случае получаем дифференциальное уравнение [c.207]

Найдем основные компоненты НДС нового положения вмятины, которое оно получила при нагружении трубопровода внутренним давлением. Для этого воспользуемся условием, следующим из принципа минимума полной энергии системы [c.61]

Можно показать, что для устойчивой системы равенство (10.29) является условием минимума полной энергии. [c.307]

Согласно теореме Лагранжа состояние равновесия консервативной механической системы устойчиво тогда и только тогда, когда ее полная потенциальная энергия минимальна [40]. Необходимое условие минимума полной энергии записывается в виде вариационного уравнения Лагранжа [c.41]

Поскольку / и П вычисляются для равновесного состояния тела, уравнение (2.19) утверждает, что в состоянии равновесия полная энергия системы имеет стационарное значение. Исследуя знак второй вариации 6 1/, можно строго показать, что это стационарное значение является минимумом мы для пояснения данного утверждения ограничимся простыми рассуждениями. [c.38]

Графики зависимости потенциала нагрузки 2, потенциальной энергии деформации и и полной энергии системы П от величины прогиба f приведены на рис. 6.18. При некотором значении прогиба / = / полная энергия достигает минимума. [c.253]

Условие минимума функции математически может быть представлено как условие равенства нулю производной этой функции. Следовательно, принцип минимума энергии можно сформулировать иначе механическая система находится в состоянии равновесия, если производная от полной энергии системы по варьируемому параметру равна нулю, т. е. [c.253]

Энергетический критерий устойчивости. Если рассматриваемая упругая система консервативная, то достаточным условием ее устойчивости является условие минимума потенциальной энергии. Если П— упругий потенциал, А — потенциал внешних сил, 3 = П —Л —полная энергия системы, то при устойчивом равновесии вторая вариация энергии будет положительно определенной [c.348]

Основным критерием устойчивости, как известно из механики твердого тела, является условие минимума полной потенциальной энергии системы. Например, для шарика, лежащего на дне лунки и занимающего устойчивое положение равновесия, потенциальная энергия будет наименьшей по сравнению со всеми соседними положениями. Если шарик расположен на [c.510]

Заметим прежде всего, что при только что установленных предположениях полная энергия Н= Т-— U системы в точке М (представляющей состояние равновесия в конфигурации С ) имеет действительный минимум. В самом деле, если Р есть какая-нибудь точка пространства А2 , то разность Нр—Нм, так как в М. живая сила равна нулю, будет равна [c.356]

В положении равновесия полная потенциальная энергия консервативной механической системы имеет стационарное значение, причем, согласно теореме Лагранжа, положение равновесия устойчиво, если это значение соответствует минимуму полной потенциальной энергии. Не углубляясь в математические тонкости, поясним эти общие положения на простейших примерах. [c.11]

Продемонстрированный на простейших примерах путь исследования устойчивости положений статического равновесия упругих систем используют и в случае более сложных систем. С усложнением упругой системы растут технические трудности его реализации, но принципиальная основа — условие минимума полной потенциальной энергии — полностью сохраняется. [c.15]

Затем, если энергия различных микроскопических конфигураций атомов известна, следует определить число микросостояний для данных значений полной энергии и отсюда — термодинамически наиболее устойчивое состояние системы, отвечающее минимуму свободной энергии. Эта задача в принципе не требует дополнительных допущений. Однако для упрощения расчетов приближения все же необходимы. [c.80]

Из принципа возможных работ следует, что в состоянии равновесия полная потенциальная энергия системы минимальна. Соответственно, чтобы найти действительное поле перемещений w, выражение (1.1) нужно минимизировать на множестве всех функций v, удовлетворяющих граничным условиям, и та функция, которая доставляет минимум, является искомым полем перемещений w. [c.22]

Существует также теорема [3], которую часто называют принципом минимума полной потенциальной энергии или теоремой Лагранжа в состоянии равновесия консервативной системы ее полная потенциальная энергия принимает стационарное значение, причем в устойчивом состоянии равновесия это стационарное значение — минимум. Подчеркнем, что принцип минимума полной потенциальной энергии охватывает все консервативные системы — как линейные, так и нелинейные. Нелинейность консервативной системы может быть обусловлена двумя причинами геометрическими и физическими. Геометрические нелинейности обычно связаны с большими перемещениями гибких тонкостенных систем типа стержней, мембран или оболочек. Физическая нелинейность — это нелинейность зависимости между напряжениями и деформациями в упругом твердом теле. [c.77]

Как говорилось выше, в методе Ритца задаются приближенным характером распределения перемещений внутри тела. Входящие в аппроксимирующие функции постоянные подбираются из условия Минимума полной энергии системы. Подобная схема используется и в методе Канторовича—Власова, но здесь вместо постоянных а вводятся неизвестные функции, зависящие от одной из координат. Мнннмиза-ция полной энергии относительно этих функций приводит к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, последующее интегрирование которых позволяет получить приближенное поле перемещений. [c.46]

Следует отметить одно важное обстоятельство. Как говорилось в гл. 2, аппроксимирующие функции в методе Ритца должны удовлетворять всем геометрическим связям. Это означает, в частности, что они должны быть непрерывными функциями координат. Следовательно, метод конечных элементов можно рассматривать как метод Ритца лишь в том случае, если на границах между конечными элементами обеспечивается непрерывность перемещений. Конечные элементы, которые дают непрерывное поле перемещений, называются совместными (или согласованными). Не всегда, однако, удается выполнить условие совместности, вследствие чего в практике нередко используются несовместные элементы. При переходе от одного элемента к другому перемещения будут тогда претерпевать разрывы, и поэтому нельзя утверждать, что найденные узловые перемещения соответствуют минимуму полной энергии системы.Тем не менее при выполнении определенных условий (о которых будет сказано в 6.4) решение в пределе снова будет стремиться к точному, а в некоторых случаях несовместные элементы позволяют получить даже более точные результаты, нежели совместные. [c.124]

Здесь с — матрица-столбец некоторых постоянных, а матрица ао содержит выбранные заранее функции, определяющие дополнительное распределение перемещений внутри конечного элемента при отсутствии узловых перемещений. Каждая из этих функций, следовательно, должна обращаться в нуль во всех узлах конечного элемента. Дополнительные параметры (неузловые степени свободы) с не имеют здесь ясного физического смысла. Их значения можно определить из условия минимума полной энергии системы. [c.156]

Дается расчетная оценка напряжений в зоне локального смятия газопровода по максимальной относительной величине смятия. Учитываются давление газа р и продольное усилие N. Задача решается вариационным методом на основе принципа минимума полной энергии системы "газ-труба". Для описания напряженно-деформированно- [c.193]

Полная энергия системы слагается из отрицательной энергии связи электрона и положительной энергии взаимодействия отталкивающихся друг от друга протонов = e j ЦАпг К). При больших R значение 3,6 эВ, а р 0. При / - О протоны а а Ь сливаются друг с другом и система становится ионом гелия Не" , для которого Е = = — 54,4 эВ (Не -водородонодобный атом с Z = 2). Таким образом, при Л О имеем Е - — 54,4 эВ, -а. Ер- -+сс как 1/7 . Этих данных достаточно, чтобы начертить качественно зависимость полной энергии = = Ер + от R (рис. 92, г). Энергия имеет минимум, который обеспечивает возможность существования стабильного состояния иона молекулы водорода. Как показывает эксперимент, энергия связи иона равна 2,65 эВ, а расстояние между протонами составляет 0,106 нм. Под энергией связи понимается энергия, необходимая для разделения на Н и Н , Так как энергия, затрачиваемая на образование Н , равна — 13,6эВ, 10 полная энергия связи И2 имеет значение — 16,25 эВ. [c.306]

Наоборот, в динамическом случае (теорема Дирихле в собственном смысле) предположение о том, что уравнения движения допускают статическое решение, т. е. что для системы существует конфигурация равновесия С , влечет за собой количественные словия (обращение в нуль первых производных от потенциала), необходимые для существования минимума полной энергии, так что для обеспечения действительного минимума не нужны сверх только что указанных количественных условий какие-либо другие, кроме чисто качественных. Можно сказать, что, в конце концов, большая важность теоремы Дирихле зависит от этого обстоятельства, которое вообще не встречается в случае какой угодно обобщенной лагран-жевой системы. [c.380]

Сначала следует оценить энергию системы данного состава для различных микроскопических конфигураций атомов. В большинстве исследований принимается, 4to энергия бинарной системы А—В есть линейная функция чисел пар АА, АВ и ВВ, поскольку междуатомные силы очень быстро убывают с расстоянием и поэтому ближайшие соседи определяют большую часть полной энергии системы. Это допущение является несколько сомнительным по причинам, частично расмотренным в гл. II, п. 3 и 4. Кроме того известно, что параметр решетки зависит от степени порядка. Следовательно, если упорядочение сопровождается сжатием решетки, энергия взаимодействия между указанными парами должна возрасти. Борелиус [35] указал, что для лучшего приближения следует рассматривать не энергию пар, а энергию групп, состоящих более чем из двух атомов. Далее, желательно точно учесть энергию электронов, задаваясь атомными конфигурациями и вычисляя энергию распределения электронного газа, отвечающую минимуму свободной энергии для данной конфигурации атомов. [c.80]

Рассмотрим далее такое деформированное состояние тела, составленного из конечных элементов, при котором узловые перемещения совпадают с перемещениями соответствующих точек тела, взятыми из точного решения. Обозначим матрицу получающихся при этом перемещений в пределах каждого элемента через и. Полная энергия системы, деформирбванной подобным образом, будет удовлетворять неравенству V (и ) V (и), так как при конечноэлементной идеализации минимум полной энергии соответствует перемещениям и. Следовательно, имеем V (и ) V (ц) V (и ), и если в пределе V (и )-> [c.205]

В теории упругости она берет свое начало от Р. К.уранта и Д. Гильберта [140]. Ими была рассмотрена краевая задача теории упругости при заданных перемещениях. Используя эквивалентность этой задачи проблеме минимизации некоторого функционала, Р. Курант и Д. Гильберт установили при некоторых условиях существование так называемого обобщенного решения, т. е. поля перемещений, придающего минимум интегралу полной энергии системы упругое тело — внешние силы. После этого оказалось возможным установить и условия существования классического решения, т. е. поля перемещений, дважды непрерывно дифференцируемого в й, непрерывного вплоть до 5, где заданы перемещения. Краевые задачи теории упругости послужили основой для отработки столь важных понятий, как положительно определенный оператор. [c.88]

Теперь постараемся выразить е (или s) через полную энергию Е системы. (Энергия — это еще одна величина, остающаяся постоянной при движении.) Чтобы сделать это наиболее легким способом, заметим, что значение энергии можно определить особенно просто, когда расстояние материальной точки от начала координат достигает минимума или максимума, т. е. когда вектор скорости перпендикулярен к г. Пользуясь уравнениями (56) и (57), можно выразить кинетическую эмергию в этих [c.290]

На рис. 2.2 схематически изображены кривые этих потенциалов и суммарная кривая, соответствую-щя полной потенциальной энергии взаимодействия. При г—го, соответствующем минимуму энергии системы, силы притяжения уравновешиваются силами отталкивания (fnp—foT = 0), при этом образуется молекула АВ с наиболее стабильной конфигурацией, в которой ядра атомов совершают колебания с собственной частотой ofl. Заметим, что вблизи положения равновесия форма кривой U=U(r) близка к параболе, как это видно из разложения и г) в ряд Тейлора в, окрестности Г=Го. [c.61]

Зависимость энергии двухатомной молекулы от расстояния между ядрами схематически показана на рис. 33.4. Если в результате сближения атомов в системе преобладают силы отталкивания (рис. 33.4, а), то химической связи не образуется, т. е. такая система взаимодействующих атомов является неустойчивой. Наоборот, в том случае, когда результирующая кривая обладает минимумом (рис. 33.4, б), можно говорить об образовании между атомами химической или квазихимиче-ской связи, а следовательно, об устойчивости данной системы. Кривые, характеризующие зависимость полной энергии молекулы от расстояния между ядрами, называются потенциальными кривыми. Положение минимума Ге на кривой рис. 33.4, б определяет равновесное расстояние между атомами — длину связи. Расстояние от минимума кривой до оси абсцисс, к которой кривая асимптотически приближается в своей правой части, соответствует работе, необходимой для разрыва связи между атомами (переноса их на бесконечность). Так как для этого необходимо затратить работу, то потенциальная энергия молекулы отрицательна. Работа О представляет собой энергию диссоциации. [c.237]

Влияние гироскопических сил и диссипативных сил с полной диссипацией на устойчивое положение равновесия голономной системы. В п. 225 отмечалось, что при добавлении к консервативной голономной системе гироскопических и диссипативных сил теорема Лагранжа об устойчивости положения равновесия консервативной системы при наличии строгого локального минимума потенциальной энергии остается справедливой, т. е. устойчивое при одних потенциальных силах положение равновесия системы остается устойчивым и при наличии гироскопических и диссипатипных сил. Это утверждение содержит только часть результатов, полученных Томсоном, Тэтом и Четаевым в задаче о влиянии гироскопических и диссипативных сил на устойчивость положения равновесия голономной консервативной системы. В данном параграфе рассмотрим другие теоремы Томсона-Тэта-Четаева. [c.535]

В системах, изображенных на рис. 1.5, полная потенциальная энергия изменяется пропорционально вертикальному смещению шарика. Когда шарик опускается, его потенциальная энергия, естественно, уменьшается. Если шарик поднимается, то потенциальная энергия возрастает. Поэтому нижняя точка вогнутой поверхности соответствует минимуму полной потенциальной энергии и положение равновесия шарика в этой точке устойчиво. Вершина выпуклой поверхности соответствует стационарному, но не минимальному значению полной потенциальной энергии (в данном случае — максимальному значению). Поэтому положение равновесия шарика здесь неустойчиво. Стационарная точка на седлообразной поверхности тоже не соответствует минимуму полной потенциальной энергии (это так называемая точка мини-макса) и положение равновесия шарика здесь неустойчиво. Последний случай весьма характерен. В неустойчивом состоянии равновесия потенциальная энергия вовсе не должна достигать максимального значения. Положение равновесия не будет устойчи- [c.11]

Конденсированная фаза образуется в результате коллективного взаимодействия экситонов или неравновесных ЭДП при увеличении их плотности. При этом полная энергия состоит из 3 частей кинетической, обменной и корреляционной энергий. Кинетич. энергия системы представляет сумму кинетич. энергий электронов и дырок, каждая из к-рых пропорциональна соответствующим плотностям в степени 2/3. Обменная энергия является следствием прии-1шпа Паули, согласно к-рому расстояние между одинаковыми частицами должно увеличиваться. Это приводит к уменьшению кулоновского отталкивания и, следовательно, к отрицат. вкладу в энергию. Обменная энергия электронов и дырок пропорциональна соответствующим плотностям в степени 1/3. Корреляц. энергия, по определению, учитывает всё, что не входит в первые 2 части определяется корреляцией в движении и пространств, распределении частиц относительно друг друга, приводящей к уменьшению кулоновского отталкивания частиц с одинаковым зарядом. Корреляц. энергия отрицательна и зависит от концентрации частиц. При Г=0 К зависимость полной энергии от концентрации имеет минимум, к-рый определяет энергию осн. состояния и равновесную плотность частиц в конденсированной фазе. Э.-д. ж. стабильна по отношению к экситонам, если энергия осн. состояния ниже энергии связи этих квазичастиц. [c.556]

Первый факт объясняется тем, что отброшенные формы колебаний представляют o6ofi остаточную податливость системы. Второе обусловлено тем, что при учете большего числа фор.м лучше аппроксимируются перемещения конструкции (принцип Релея-Ритца) и, как следствие, мы получаем лучшее приближение для минимума полной потенциальной энергии системы. [c.446]

Можно доказать и более общую теорему [28J, которую часто называют принципом минимума полной потенциальной энергии в положении равновесия полная потёнцильная энергия консервативной системы имеет стационарное значение, причем положение равновесия устойчиво, когда это стационарное значение-минимум. [c.24]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...