Стационарное значение определенного интеграла

Стационарное значение определенного интеграла. [c.72]

Дифференциальные уравнения Эйлера — Лагранжа в случае п степеней свободы. В механике приходится иметь дело с вариационными задачами следующего вида. Требуется найти стационарное значение определенного интеграла [c.83]

Коль скоро параметр а вы бран, функции (40) зависят только от одного аргумента — времени, их можно продифференцировать по времени и подставить полученные выражения и в функционал (41). Тогда функция Ф, стоящая под знаком интеграла, будет функцией только от времени, так что можно вычислить интеграл (41) и после подстановки пределов определить число— значение ф. Таким образом, каждой кривой рассматриваемого пучка (40) функционал (41) ставит в соответствие некоторое определенное число, и в этом смысле на однопараметрическом пучке кривых значение функционала является просто функцией параметра а. Эта функция может при некоторых значениях сс принимать стационарные значения кривые, которые получаются при подстановке в (40) этих значений а, носят название экстремалей. [c.273]

Резюме. Задача о нахождении точки, в которой некоторая функция имеет относительный максимум или минимум, приводит к необходимости исследования бесконечно малой окрестности этой точки. Это исследование должно показать, что функция обладает стационарным значением в рассматриваемой точке. Хотя это утверждение само по себе без дополнительных условий и не может гарантировать наличия экстремума, для общих задач динамики его достаточно задачи движения требуют лишь нахождения стационарных значений, а не обязательно минимумов некоторого определенного интеграла. [c.60]

На первый взгляд эта задача совершенно отлична от предыдущих задач, где мы имели дело с экстремумом или со стационарным значением функции F ui,. .., u ) от нескольких переменных. Здесь должна быть минимизирована не функция, а определенный интеграл-, вместо системы переменных Ui,. .., и мы имеем неизвестную функцию у =f x). Более детальное изучение, однако, показывает, что по своей [c.73]

Вывод условий стационарности определенного интеграла методами вариационного исчисления. Рассмотрим еще раз задачу из п. 7, но на этот раз непосредственно методом вариационного исчисления. Пусть требуется найти стационарное значение некоторого определенного интеграла [c.80]

Вариационное исчисление и граничные условия. Задача об упругом стержне Во всех наших предыдущих рассуждениях мы интересовались в основном дифференциальными уравнениями, которые получались как решение задачи о стационарном значении заданного определенного интеграла. Вывод этих уравнений при помощи интегрирования по частям показывает, что вариация определенного интеграла состоит из двух частей из интеграла,распространенного на данный интервал, и граничного члена. Мы не рассматривали до сих пор этот член, так как задача решалась при граничных условиях, обращавших его в нуль. Однако имеются случаи, когда граничный член играет более активную роль. Ниже, при изучении работ Гамильтона по решению дифференциальных уравнений динамики при помощи уравнения в частных производных, мы увидим, что в математически более сложных вопросах механики этот ранее отброшенный член окажется существенным. Здесь, однако, мы хотим обсудить другой аспект вопроса о граничном члене, имеющий более непосредственный физический смысл. [c.92]

Это и есть принцип Гамильтона . Он утверждает, что движение произвольной механической системы происходит таким образом, что определенный интеграл А приобретает стационарное значение по отношению к любым возможным вариациям положения системы, при которых начальное и конечное положения остаются фиксированными. [c.139]

Гаусс (1777—1855). Несколько в стороне от главного направления лежит принцип наименьшего принуждения , установленный выдающимся математиком Гауссом. В этом принципе не используется в качестве минимизируемой функции интеграл по времени. Гаусс вводит для произвол-ьного момента времени определенную положительную величину, называемую принуждением , и минимизацией этой величины получает ускорения, считая скорости и координаты в этот момент заданными. Принцип Гаусса является истинным минимальным принципом, а не просто принципом стационарного значения. Однако он не обладает аналитическими преимуществами других принципов, поскольку принуждение включает в себя, помимо позиционных координат и скоростей, еще и ускорения. Герц дал геометрическую интерпретацию принуждения Гаусса, представив его как геодезическую кривизну в пространстве конфигураций [c.392]

Приведенные результаты можно применять к широкому кругу физических задач. В большинстве случаев стационарное значение интеграла оказывается минимумом, хотя иногда оно является и максимумом. Самое раннее применение принципа было дано Бернулли при определении траектории, для которой время движения под действием силы тяжести материальной точки между двумя точками, расположенными не на одной вертикали, является минимальным. [c.74]

Обобщение задачи нахождения стационарных значений и экстремумов функции при нахождении стационарных значений и экстремумов определенных интегралов рассматривается в вариационном исчислении. Рассмотрим, например, определенный интеграл [c.382]

Вариационное исчисление связано с отысканием стационарных значений функционалов. Функционал представляет собой определенный интеграл, который принимает некоторое числовое значение при подстановке каждой конкретной функции в подынтегральное выражение. Например, интегралу [c.376]

Для определения значения угла О в стационарном движении и ис следования устойчивости движения удобно использовать интеграл энергии или его обобщение. Кинетическая энергия тела имеет вид [c.66]

Будем искать такую программу ускорений, которая делает интеграл / стационарным в надежде, что это стационарное решение окажется также и решением задачи минимизации интеграла. Предположим, что время полета Т задано и что все допустимые траектории удовлетворяют определенным начальным и конечным условиям, т. е. координаты и скорости в начальной и конечной точках траектории равны заданным значениям. При рассмотрении частных случаев движения в поле центральных сил мы будем предполагать также и другие типы граничных условий. [c.292]

Резюме. Решение дифференциального уравнения или системы дифференциальных уравнений не единственно, если не добавлено нужное количество граничных условий. Задачи, связанные с нахождением стационарного значения определенного интеграла, всегда имеют нужное число граничных условий. Если условия задачи не дают достаточного количества граничных условий, то недостаюш,ие условия получаются из самой вариационной задачи, потому что граничный член в вариации б/ добавляет некоторые естественные условия к имеющимся условиям, наложенным извне . Задача об упругом стержне с различными способами закрепления концов прекрасно иллюстрирует это положение. [c.96]

Для того чтобы более ясно показать, что действие или накопленную живую силу системы или, другими словами, интеграл произведения живой силы на элемент времени можно рассматривать как функцию упомянутых выше бл -Ь 1 величин, а именно начальных и конечных координат и величины Я, следует отметить, что все, что зависит от способа и времени движения системы, может рассматриваться как такая функция. В самом деле, закон живой силы в первоначальном виде в сочетании с известными или неизвестными Зп зависимостями между временем, начальными данными и переменными координатами всегда дает известные или неизвестные Зп -р 1 зависимости, связывающие время и начальные компоненты скоростей с начальными и конечными координатами и с Я. Однако благодаря тому, что Лагранж не пришел к представлению о действии как функции такого рода, те следствия, которые были выведены здесь из формулы (А) для изменения этого определенного интеграла, не были замечены ни им, ни другими блестящими аналитиками, занимавшимися вопросами теоретической механики, несмотря на то, что в их распоряжении была формула для вариации этого интеграла, не очень отличающаяся от нашей. Дело в том, что Лагранж и другие, рассматривая движение системы, показали, что вариация этого определенного интеграла исчезает, когда даны крайние координаты и постоянная Я. Они, по-видимому, вывели из этого результата только хорошо известный закон наименьшего действия, а именно 1) если представить точки или тела системы движущимися от данной группы начальных к заданной группе конечных положений не так, как это в действительности происходит, и даже не так, как они могли бы двигаться в соответствии с общими законами динамики, или с дифференциальными уравнениями движения, но так, чтобы не нарушать какие-либо предполагаемые геометрические связи, а также ту единственную динамическую зависимость между скоростями и конфигурациями, которая составляет закон живой силы 2) если, кроме того, это геометрически мыслимое, но динамически невозможное движение заставить отличаться бесконечно мало от действительного способа движения системы между заданными крайними положениями, то варьированное значение определенного интеграла, называемого действием или накопленной живой силой системы, находящейся в представленном таким образом движении, будет отличаться бесконечно мало от действительного значения этого интеграла. Но когда этот закон наименьшего, или, как его лучше было бы назвать, стационарного действия, применяется к определению фактического движения системы, он служит только для того, чтобы по правилам вариацион- [c.180]

Введение. Мы подошли, наконец, к типичным вариационным принципам , в которых рассматривается минимум или, точнее, стационарное значение некоторого определенного интеграла. Полиген-ный характер силы инерции можно обойти при помощи интегрирования по времени. В результате такого подхода задача динамики сводится к исследованию некоторого скалярного интеграла. Из условия стационарности этого интеграла получаются все уравнения движения. [c.136]

Аналогично мы поступаем в геометрии — средством определения объекта может явиться задание его дифференциальных свойств, описываемых соответствующими дифференциальными уравнениями, а может служить и некоторое вариационное требование. Так, геодезическая линия определяется как кривая на поверхности, главная нормаль в точках которой сонаправлена с нормалью поверхности и это немедленно приводит к записи дифференциальных уравнений геодезических линий но последнюю можно полностью определить как кривую, дающую кратчайшее расстояние между двумя достаточно близкими точками на поверхности. Требование, чтобы интеграл, определяющий длину линии на поверхности, имел стационарное значение, является гариационной формулировкой задачи о геодезических. [c.642]

Согласно результатам предыдущего параграфа, критическим точкам интеграла энергии при фиксированных значениях постоянных других интегралов отвечают стационарные движения рассматриваемой системы. Учитывая структуру интегралов (3) и (4), задачу отыскания стационарных движений можно решать в два этапа. Сначала можно найти минимум квадратичной по v функции (3) на линейном по V многообразии (4), рассматривая г как параметры (других критических значений функция (3) как функция переменных v иметь не может). Очевидно, этот минимум зависит от г и с обозначим его Wdv). После определения функции Weir), которая называется эффективным потенциалом, задача поиска стационарных движений сводится к определению критических точек этой функции на конфигурационном многообразии М. [c.432]

Как мы видим, выражение (14.3) теряет смысл, если и- - 1, или L О (что равносильно в, - 6), или от - 0. Это обусловлено сближением критических точек под интегралом (14.1). В первом и третьем случаях к точке ветвления q = п приближается полюсг7р (12.20) коэффициента отражения, а во втором случае - стационарная точка q = sin во- В строгом смысле говорить о боковой волне можно лищь при условии, что точка ветвления, дающая в асимптотику поля вклад p , удалена от друтих критических точек. В противном случае компоненты поля, имеющие различную природу, как бы объединяются, и непосредственный физический смысл имеет только полное поле. Иногда боковой волной называют не вклад точки ветвления, а весь интеграл (14.1) по берегам разреза. Тогда боковую волну можно определить и в указанных выще особых случаях. Несмотря на известную долю содержащейся в нем условности, этим определением удобно пользоваться, когда основной вклад в интеграл по берегам разреза дает окрестность точки ветвления. Равномерная по L асимптотика pj, содержит функцию параболического цилиндра (см. (11.68)). При от->- О значение Рь можно выразить через интеграл вероятности. Случай слабой границы раздела ( -> 1) рассмотрен в п. 12.5. [c.299]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...