Уравнения поверхности распространения тепла

Для определения обобщающей зависимости обычно рассматривали уравнения движения, распространения тепла и граничные условия [1—6], а также состояние поверхности и условия зарождения и роста парового пузыря и на основании теории подобия получали систему безразмерных критериев. Представление этой системы в виде одночлена и обработка в безразмерных критериях экспериментальных данных позволяли определить значения постоянного коэффициента и показателей степени при каждом из определяющих критериев. Полученные таким образом основные критериальные уравнения общеизвестны. [c.94]

Начнем с примера, приведенного в предыдущем параграфе, и рассмотрим задачу о распространении тепла в бесконечном тонком прямолинейном стержне при отсутствии подвода (отвода) тепла в точках боковой поверхности стержня. Указанная задача математически имеет вид (4.63). Функция ф (х), задающая начальное условие, определена и ограничена на всей числовой оси (—оо, +оо) будем считать ее кусочно-непрерывной. Искомое решение w х, i) должно удовлетворять уравнению (4.63) в открытой области А —оо <х< + оо, 0< <+с 1 и непрерывно примыкать к предельной функции ф (х), т. е. [c.140]

В замкнутом тормозе часть поверхности трения тормозного шкива соприкасается с фрикционной накладкой. В этом случае тепловой поток разделяется на две части, одна из которых расходуется на нагрев шкива, а другая — на нагрев накладки. Соотношение частей общего теплового потока определяется физическими свойствами трущихся тел. Совершенно очевидно, что если теплопроводность фрикционного материала будет высокой, то тепловой поток, проходящий через него, будет также велик, и нагрев тормозного шкива уменьшится. Анализ распределения теплового потока между двумя трущимися телами показывает, что при работе с фрикционным материалом на асбестовой основе (вальцованная лента, асбестовая тканая лента) только незначительная часть (3—4%) теплового потока расходуется на нагрев тормозной накладки, основная же часть его (96—97%) проходит через металлический тормозной шкив. При использовании фрикционных материалов металлокерамического типа (на медной или железной основе) через тормозную накладку проходит значительно большая часть теплового потока, а часть его, проходящая через тормозной шкив, снижается соответственно до 62% (при стальном шкиве) и до 79% (при чугунном шкиве). Таким образом, характер распространения тепла в фрикционной накладке определяет собой условие на границе исследуемого тела (шкива). Это условие также выражается уравнением Фурье [c.605]

Если сделать упрощающие предположения об одномерности распространения тепла, о слабой зависимости теплопроводности от температуры и о заполнении пустот расплавленным полимером, то уравнение распространения тепла при квазистационарном уносе термопластов (в системе координат, связанной с движущейся поверхностью) будет иметь следующий вид [c.147]

Граничные и временные краевые условия позволяют выделить конкретный изучаемый процесс из общего класса явлений, описываемых совокупностью уравнения распространения тепла в движущейся среде, уравнениями движения вязкой жидкости и сплошности. Основным пространственным краевым условием для движущейся жидкости является характеристика скорости течения вблизи твердой поверхности. Из условия прилипания граничного слоя жидкости к поверхности стенки касательная составляющая вектора относительности скорости на стенке равна нулю. Для непроницаемой стенки в случае отсутствия какого-либо физико-химического процесса, сопровождающегося поглощением или выделением жидкости, нормальная составляющая скорости относительного течения также отсутствуют. Для входа и выхода жидкости из зазора обычно задают распределения скоростей и давления. Условия теплообмена различаются следующими краевыми условиями условием первого рода — задается распределение температуры на поверхностях в функции координат и времени второго рода — характеризуют распределение теплового потока на границе в функции координат и времени третьего рода — выражают зависимость температуры твердой стенки от температуры окружающей среды через коэффициенты теплоотдачи = ср+<7/ i = ср-(аст/а)(аг/аи)ет или (Эг/Эи)сх = -(Х/Аст) X X ( ст - ср). где Гст - температура стенки t p - температура среды q — плотность теплового потока а — коэффициент теплоотдачи. Временные краевые условия выражаются заданным распределением температур в характерный момент времени. [c.164]

Расчет процесса по диффузионной теории сводится к решению уравнений распространения тепла и переноса вещества для каждой из двух зон — внутренней (между поверхностью капли и поверхностью горения) и наружной (до внешней поверхности приведенной пленки). [c.194]

Исходным положением для определения температуры поверхности зашлакованной стены является уравнение распространения тепла (72). Согласно этому уравнению все тепло, излученное факелом на стену, должно пройти через слой шлака к трубкам стены. Это условие можно выразить уравнением [c.307]

Уравнение (15) описывает распространение тепла теплопроводностью как в области, занятой паром, так и в области развитого кипения. Величина qlA)lt представляет собой тепловыделение (PIR), приходящееся на единицу объема материала стенки трубы. При решении этого уравнения считалось, что в нижней области тепло передается к поверхности раздела жидкость — пар, находящейся при температуре Гд, а в верхней области — к пару, находящемуся при температуре Т . В действительности температура пара несколько выше Т - Но вычисления показали, что принятое допущение для области изменения переменных в описываемых опытах приводило к погрешности определения температуры в нижней точке трубы порядка нескольких градусов. [c.293]

Граничные пространственные краевые условия к уравнению распространения тепла могут задаваться несколькими различными способами в зависимости от имеющихся сведений о тепловом состоянии на поверхности рассматриваемого тела [c.34]

Вследствие этого решающее значение имеют условия распространения тепла в жидкости, причем уже нельзя пренебрегать влиянием ламинарного (заторможенного) слоя жидкости, непосредственно прилегающего к поверхности нагрева, поскольку как бы ни был тонок этот слой, но его термическое сопротивление всегда достаточно значительно и обусловливает градиент температур вблизи поверхности нагрева. Поэтому уравнения движения и теплопроводности жидкой фазы следует записывать с учетом молекулярного переноса тепла и количества движения. [c.129]

Рассмотрим явление оплавления полуограниченного тела. Пусть оплавление тела происходит за счет равномерного сообщения торцовой его поверхности количества тепла, достаточного для оплавления. В таком случае распространение тепла по телу и движение фронта оплавления будут одномерными. Для того чтобы фронт оплавления рассматривать неподвижным, применим некоторый искусственный прием приведем систему отсчета в движение , противоположное. передвижению фронта оплавления со скоростью Уравнение теплопроводности в такой движущейся системе отсчета примет вид уравнения конвекции [c.187]

Здесь плоскость ребра перпендикулярна оси цилиндра. Толщина ребра D в направлении, параллельном оси цилиндра, мала. Пусть его внешний радиус равен Ь, а тепловой поток с внешней поверхности пренебрежимо мал. Поскольку распространение тепла происходит исключительно в радиальном направлении, мы можем использовать дифференциальное уравнение (2.10) данной главы, считая, что площадь участка радиусом г равна w = 2- zrD и его периметр равен р = 4пг. Тогда из (2.10) следует [c.143]

Уравнение (127) относится к параболическому типу и совпадает с уравнением теплопроводности. Поставленная задача эквивалентна задаче распространения тепла в бесконечном цилиндре, на поверхности которого температура пульсирует со временем по закону (128). [c.401]

В качестве примера мы рассмотрим моделирование процесса распространения тепла в твердом теле. Для простоты предположим, что на поверхности тела температура постоянна и равна 0° С. В этих условиях уравнению температурного поля отвечает только один критерий [c.306]

Плоская однослойная стенка. На рис. 12-1 показана однослойная стенка толщиной б из однородного материала (из кирпича, металла, дерева или из любого другого материала). Тепло подводится к поверхности стенки и под действием разности температур 2 распространяется теплопроводностью к противоположной поверхности. Общее количество тепла Q, которое пройдет через поверхность стенки, равную F, за промежуток времени т, определяется уравнением основного закона распространения тепла путем теплопроводности [c.99]

Возможность или невозможность возникновения волн в среде полночью определяется типом присущих ей функционалов состояния и От ( 11), которые в уравнениях движения и распространения тепла дифференцируются по координатам и времени. Но именно на поверхностях разрывов они могут терпеть разрывы, и потому дифференциальные уравнения должны пониматься в обобщенном смысле или заменяться интегральными. Это означает либо решение задачи МСС, т. е. дс(х, /), у(л , t), Т, р..., надо искать во всей области G в виде обобщенных функций, либо поверхности разрывов выделить из С/ и включить в состав поверхности 2, на которой записываются граничные условия , и тогда искать в получившейся области классические решения. [c.172]

Основным параметром, определяющим схему кристаллизации металла шва, является форма поверхности сварочной ванны, т. е. очертания фронта кристаллизации. Решение задачи о плоском процессе распространения тепла вблизи источника тепла возможно путем введения корректирующих коэффициентов т и п к координатам в уравнениях, описывающих распределение температур [7]. Аналогично, вводя корректирующие коэффициенты т, п и / в соответствующие уравнения, предложенные И. Н. Рыкалиным [8], можно описать поле температур уточненным уравнением при объемном процессе распространения тепла. Полученные таким образом уравнения однозначно определяют размеры сварочной ванны и фронта кристаллизации. [c.233]

Процессу распространения тепла в бесконечно тонкой пластине с поверхностями, отдающими тепло по закону Фурье, толщиной б от движущегося источника постоянной интенсивности, отнесенной к подвижной системе координат ХОУ с центром в О, отвечает уравнение [c.110]

Напишите уравнение предельного состояния процесса распространения тепла от точечного источника тепла постоянной мощности, движущегося с постоянной скоростью по поверхности полубесконечного тела, отнесенное к подвижной системе координат. Проанализируйте, как меняется характер передней и задней ветвей температурной кривой при изменении скорости движения источника. [c.159]

Так как потери тепла с боковой поверхности стержня отсутствуют, то его можно считать за полуограниченное тело, распространение тепла в котором происходит только водном направлении. Таким образом, нахождение температурного поля связано с решением дифференциального уравнения [c.182]

Граничные условия выражают тепловое взаимодействие тела с окружающей средой. Неограниченное теплопроводящее тело характерно тем, что во всем объеме процесс распространения тепла подчиняется уравнению теплопроводности. Никакие граничные поверхности не искажают тепловых потоков. Поэтому хотя таких тел в действительности не существует для ряда тепловых расчетов оказывается удобным считать тело неограниченным бесконечное тело (трех измерений), неограниченная пластина, неограниченный стержень. [c.143]

Уравнение (5.25) вместе с граничными условиями описывает распространение тепла в трехмерной области [4]. В этом случае Кхх, Куу и Кгх соответствуют коэффициентам теплопроводности, Q — внутренний источник тепла или сток, д — тепловой поток на части поверхности и к — коэффициент теплообмена. Полевая функция ф определяет темпе(ратуру тела. Уравнение для одномерного и двумерного случаев распространения тепла может быть получено из формулы (5.25) с учетом того, что д( ду О и (или) дц>1дг = 0. Если на той части границы, где ф не определено (на 5г), обе величины д а к равны нулю, равенство (5.27) сводится к следующему условию [c.74]

В. в. Томсоном (Кельвином) было найдено главное решение, описывающее процесс распространения тепла в неограниченном теле, в котором вспыхнул и мгновенно погас (1 = 0) точечный источник, выделивший д калорий тепла. Предполагается, что до начала процесса все точки тела имели одинаковую температуру, а влиянием теплообмена наружных поверхностей тела с окружающей средой можно пренебречь. Для этих условий уравнение, описывающее температурное поле, возникшее под действием мгновенного точечного источника, имеет вид [c.156]

Движение тел в газах с большими сверхзвуковыми скоростями сопровождается интенсивным аэродинамическим нагреванием обтекаемой поверхности и ее термохимическим и/или термомеханическим разрушением. В общем случае возникает сложная задача совместного решения уравнений газовой динамики с учетом физикохимических процессов в потоке газа и толще материала стенки тела и уравнений движения тела по траектории с переменными коэффициентами аэродинамических сил и моментов, а также с переменными геометрическими размерами и массой. В случае умеренной интенсивности разрушения оказывается возможным существенно упростить проблему, считая обтекание квазистационарным при этом аэродинамические коэффициенты и процесс разрушения поверхности определяются мгновенными значениями параметров движения и состояния тела. Однако и в этом случае задача об изменении формы тела за счет уноса материала в точной постановке содержит в качестве составных элементов несколько самостоятельных задач математической физики (обтекания тела, определения тепловых потоков через пограничный слой, распространения тепла в теле и т.д.) для замкнутых групп уравнений, связанных между собой через граничные условия. Математические свойства таких комплексных задач еще мало исследованы, и обозримые результаты получены лишь при использовании ряда существенно упрощенных математических моделей. [c.188]

Уравнения (6-13) могут быть получены путем применения расширенного закона соответственных состояний к превращению энергии при различных процессах изменения состояния тела (при изменении поверхности тела, диссипации механической энергии, распространении или передаче тепла и т. п.). [c.207]

Отвод тепла теплопроводностью от поверхности раздела фаз. В этой наиболее распространенной и чаще всего возникающей задаче тепловой поток L-поверхности связан с температурой поверхности раздела Tl = Ts) через уравнение теплопроводности типа [c.262]

Явление диффузии, например, тепла или концентрации примесей в жидкостях, также описывается параболическим уравнением, в котором есть вторые производные от координат и первая производная от времени. Поэтому изменение А вдоль волновых фронтов можно трактовать как диффузию амплитуды вдоль волновых фронтов. Происходит эта диффузия не во времени, а с изменением координаты 2. С этой точки зрения расплывание градиентной зоны близ границы свет — тень, как уже упоминалось выше, является диффузионным процессом. Поведение поля в пограничной зоне соответствует требованиям к амплитуде в (22.7) — поперек границы (ее и можно принять за координату г) амплитуда изменяется значительно быстрее, чем вдоль 2, Поэтому, так же как и поле при распространении над поглощающей поверхностью (рис. 22.6), а также поля в процессе расплывания [c.243]

Ниже приводится разработанная Г. П. Иванцовым [Л. 5] простая методика определения времени охлаждения загрузки, дающая достаточную для большинства практических расчетов точность. Эта методика разработана с учетом наиболее распространенного в практике условия, когда температура тепловоспринимающей поверхности или среды не изменяется во времени, а остывающая загрузка выделяет тепло излучением и конвекцией. Для температур выше 700°С, когда конвекционной теплопередачей, как правило, можно пренебречь, дифференциальное уравнение, аналогичное уравнению нагрева, имеет вид [c.200]

Максимальная температура точек тела, достигаемая в процессе нагрева и охлаждения при сварке, зависит от параметров режима, теплофизических свойств металла, а также удаленности рассматриваемой точки от шва. На рис. 75 приведены термические циклы точек поверхности пластины, находящихся на зазных расстояниях от шва. Ло мере удаления от шва рост и падение температур становятся более плавными и значения максимальных температур снижаются, причем эти температуры достигаются позднее. Максимальные значения температур определяют обычными математическими приемами, например, приравниванием первой производной нулю. Если уравнение процесса распространения тепла выражено в неподвижной системе координат через время I, то " [c.134]

Приведенный выше анализ упрощает реальную ситуацию в двух направлениях ( ) термоупругие решения описывают установившиеся процессы, в то время как неустойчивое изменение контактного давления и площадки контакта есть существ-енно нестационарный процесс и ( 1) обе поверхности являются в большей или меньщей степени проводящими и деформируемыми. Чтобы исследовать эти эффекты, Доу и Бертон [86] и Бертон и др. [46] изучили устойчивость малого синусоидального возмущения давления, отвечающего непрерывному контакту скользящих поверхностей. Использовалось уравнение нестационарного распространения тепла. Они показали, что пара идентичных материалов чрезвычайно устойчива однако для того, чтобы вызвать неустойчивость, при высокой скорости скольжения требуются нереальные значения коэффициента трения (больше двух). Когда два материала различны, термическое возмущение, включающее флуктуации давления и температуры, движется вдоль поверхности взаимодействия со скоростью, отличной от скоростей его распространения вдоль поверхностей каждого из материалов в отдельности. Заметная разница в теплопроводностях двух материалов ведет, однако, к возмущению, которое сконцентрировано в теле более высокой теплопроводности большая часть тепла направляется в эту поверхность. В пределе мы [c.447]

Мы рассматриваем простейшие граничные условия, отвечающие иде-яльио теплопроводящим стейкам. При конечной теплопроводности стенок к системе уравнений должно было бы быть добавлено еще н уравнение распространения тепла в стенке. Мы не рассматриваем также случаев, когда лсндкость имеет свободную поверхность. В таких случаях, строго говоря, должна была бы учитываться деформация поверхности в результате возмущения, и появляющиеся при этом силы поверхностного натяжения. [c.312]

Уравнение (4.3) называют уравнением Лапласа. Как видно, нестационарные процессы распространения тепла описываются уравнением теплопроводности, стационарные — уравнением Лапласа или Пуассона. Огметим, что уравнения (4.1). .. (4.3) описывают и многие другие физические процессы, а не только связанные с переносом тепла (например, диффузию). Любые функции класса т. е. непрерывные вместе с производными до второго порядка включительно, удовлетворяющие уравнению Лапласа, называются гармоническими функциями. Задачи, связанные с отысканием решений уравнения Лапласа, называют гармоническими задачами. При постановке и решении гармонических задач важное значение имеет следующее свойство гармонических функций интеграл по замкнутой поверхности от нормальной производной гармонической функции равен нулю. Пусть функция и (М) (D). Воспользуемся формулой Остроградского—Гаусса применительно к вектору grad и [c.120]

Анализ расчетной зависимости. Зависимость (2-39) является решением уравнения теплопроводности для случая прямоугольной системы координат с применением прямоугольной пространственной сетки в общем виде. Из выражения (2-39) следует, что коэффициент при первом члене правой части учитывает суммарное влияние температур соседних точек на температуру в точке о, т. е. первый член правой части дает значение температуры в точке о в момент времени т с учетом влияния температуры в близлежащих точках, второй, третий и четвертый члены правой части учитывают соответственно распространение тепла вдоль координатных осей х, у и 2, коэффициенты ДРож, AFoy, AFoz показывают степень влияния распространения тепла в соответствующем направлении на температуру в точке о. Чем меньше шаг интегрирования Ах, Аг/ или Аг, тем ближе выбраны определяющие точки к точке о, тем большее влияние они оказывают на температуру в точке о и тем точнее сам расчет. Зависимость (2-39) позволяет определить значение температуры в любой точке пластины в произвольный момент времени, за исключением точек, лежащих на ее поверхностях. Если шаг интегрирования по времени Ат выбрать произвольным, а шаги Ах, Ау, Аг так, чтобы Ах=Ау=Аг, то равенство (2-39) упрощается и принимает вид [c.58]

Заменив в дифференциальном уравнении распространения тепла в ограждении при инфильтрации (17.9) знак минус знаком плюс, а также приняв за начало координат наружную поверхность ограждения, получим дифференциальное уравнение распространения тепла в ограждении при эксфильтрации [c.197]

Этот метод, впервые разработанный Зоммерфельдом, позволяет непосредственно исследовать решение уравнения теплопроводности на соответствующей римано-вой поверхности (или в римановом пространстве). При угле раствора пк/т риманова поверхность (или пространство) оказывается /г-листной, и решение будет иметь период 2ятс. Этот метод интересен в историческом отношении, так как после его применения к задаче распространения тепла от источника в теле, ограниченном плоскостями 0 = О и й = 2%, Зоммерфельду удалось с его помощью дать первое точное решение задачи дифракции волн на полуограниченной плоскости (например, на плоскости 6 = 0). В настоящее время развит более простой метод решения этих задач, пригодный как для уравнений теплопроводности, так и для других дифференциальных уравнений математической физики в частных производных. Поэтому здесь достаточно только упомянуть о работах Зоммерфельда, а также о других работах, в которых используется идея римановой поверхности [33—36]. [c.274]

Составление уравнения характеристик для системы уравнений, состоягцей из трех уравнений движения, уравнения неразрывности, уравнения состояния и уравнения притока тепла, дает возможность в каждом из этих трех случаев определить уравнение поверхности разрыва и найти скорости перемегцения и распространения. Фридман и Тамаркин занимаются только последней задачей. Результаты, полученные ими, таковы в каждом из трех случаев возможен как стационарный, так и нестационарный разрыв, причем, как и следует ожидать, скорость перемегцения стационарных разрывов равна всегда проекции скорости движения среды на нормаль к поверхности разрыва. [c.222]

Сопоставляя полученное выражение с уравнением (X, 22),. убеждаемся в том, что для термического сопротивления получено то же самое значение, которое было ранее найдено при изучении процесса теплопередачи сквозь стенку. Это значит, что искусственно образованная трехслойная стенка передает теплопроводностью столько же тепла, сколько его проходит в сложном процессе теплопередачи сквозь стенку толщиной I, разделяющую греды I и 2. Следовательно, расстояние от поверхности тела до направляющей точки имеет следующий физический смысл это расстояние определяет собой толщину соответствующего переходного (фиктивного) слоя, создающего термическое сопротивление,, равное термическому сопротивлению теплоотдаче. Поэтому распространением тепла через такой фиктивный слой можно заменить процесс теплоотдачи на поверхности тела [32]. [c.265]

Метод электрического моделирования тепловых явлений [74]. Этот метод применяют для изучения температурного поля в режущем клине инструмента. Он основан на том, что процессы распространения в твердом теле тепла и электрического тока при неустано-вившемся режиме описываются одинаковыми уравнениями. Оба уравнения представляют в безразмерном виде, пользуясь безразмерными тепловыми критериями и их электрическими аналогами. Чтобы обеспечить аналогию и подобие между условиями на граничных поверхностях тела и модели, предусматривают соответствие законов распределения температур и потенциалов на граничных поверхностях инструмента и модели. Законы распределения записывают также в безразмерном виде. Изучая поле электрических потенциалов на модели, можно составить представление о температурном поле клина инструмента. При плоском процессе распространения тепла в инструменте и установившемся теплообмене моделирование ведут на электропроводной бумаге, используя интегра- [c.147]

Видоизменением метода модели является метод аналогий, основанный на формальной тождественности ур-ий, определяющих различные классы процессов (напр, уравнение Г-ного поля и поля электрич. потенциала, уравнения диффузии и распространения тепла). В этом случае явление-образец моделируется при помощи явления другого класса. Все основные соображения, изложенные применительно к простому моделированию, остаются в силе и здес1> с той только разницей, что переход от образца к модели связан не с изменением масштаба, а с изменением физич. природы величии (напр, изотермич. поверхности моделируются эквипотенциальными поверхностями, количеству теплоты в образце отвечает количество продиффупди-ровавшей жидкости в модели). Замещение величин, подлежащих измерению, величинами другой природы по многих случаях представляет большие преимущества, т. к. позволяет применить совершенно иную экспериментальную методику. [c.428]

Способ, предложенный С. С. Кутателадзе, основан на предположении, что весь сложный процесс пузырькового кипения описывается в конечном итоге теми же уравнениями, что и для системы с одной непрерывной поверхностью раздела. Поэтому критерии подобия могут выводиться из этих уравнений для всего процесса пузырькового кипения. Дополнительно необходимо лишь ввести уравнения или параметры, определяющие размеры паровых пузырей и вероятность их распределения в пространстве, исходя из того, что сначала все тепло от стенки передается жидкости, а зател (в процессе испарения) в паровые пузыри. Поэтому предполагается, что решающее значение имеют условия распространения тепла в жидкой фазе, [c.247]

Известно [10], что для уравнении теплопроводности скорость распространения сигнала бесконечна, однако из анализа решения задачи, описывающей распространенно тепла в шаре при постояппых начальной температуре и температуре на его поверхности [2], следует, что при Ь <, Ьп повышение температуры в центре шара настолько мало, что практически пе может быть зафиксировано. [c.218]

Уравнение (11) показывает, что плотность потока тепла прямо пропорциональна температурному смещению объемной теплоемкости тела j, квадрату скорости pa npo mf-анения wj тепла и обратно пропорциональна скорости распространения wt изотермической поверхности. [c.14]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...