Система координат криволинейна пространстве

В случае декартовой системы координат все пространство можно себе представить состоящим из множества бесконечно малых параллелепипедов, ребра которых параллельны осям координат. При преобразовании координат. точек этого пространства к криволинейным координатам эти параллелепипеды, исказившись, обратятся в бесконечно малые ячейки с кривыми гранями и ребрами, образуемыми координатными поверхностями и линиями. Преобразование координат точек, конечно, не изменяет метрики пространства, и последнее остается прежним евклидовым пространством. [c.83]

В случае криволинейного движения по плоскости имеется два дифференциальных уравнения движения точки в декартовой системе координат, а в общем случае движения в пространстве имеется система трех дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения криволинейного движения точки интегрируются сравнительно просто, если каждое из этих уравнений интегрируется независимо от других уравнений и при этом возможен один из трех рассмотренных случаев зависимости проекции равнодействующей силы от времени, координаты и скорости. [c.220]

Несмотря на то, что в криволинейных системах координат коэффициенты преобразования являются функциями точки пространства, при интегрировании мы считаем их постоянными, поскольку положение начала радиуса-вектора в теле при преобразовании системы координат не изменяется. Поэтому имеем [c.78]

Если положение некоторой точки Л/пространства определено радиусом-вектором г или тройкой чисел ( j, Х2,х ) в декартовой и 2, з) в криволинейной системе координат (рис. П. 1) должна существовать связь x = x iq , q , q ), где = 1, 2, 3, или г = r(g[, з)-В декартовых координатах дифференциалы можно рассматривать как расстояния, измеряемые вдоль каждой из координатных кривых. Что касается криволинейных координат, то в общем случае дифференциалу d j соответствует расстояние d/,, измеряемое вдоль координатной кривой от точки М с координатами q , q2, q ) до точки М с координатами (< j + d< ,, < 2, з ) Такая же связь существует между дифференциалами d 2 nd 3 и расстояниями d/2 и d/3, отсчитанными вдоль соответствующих координатных кривых 2 и 3. Отношения [c.366]

В дальнейшем под базисом е, подразумевается ортогональный базис (рис. 1.1). Ортогональная система координат может бить прямолинейной (такая система координат называется декартовой) и криволинейной (цилиндрическая, сферическая, эллиптическая). В прямолинейной системе координат базисные единичные векторы во всех точках пространства неизменны по направлению, в криволинейных системах координат базисные векторы при переходе в другую точку пространства меняют направление. [c.8]

Криволинейные интегралы в (1а), (2й) берутся по произвольному замкнутому контуру (их наз. циркуляциями векторных полей), а стоящие в правых частях поверхностные интегралы — по поверхностям, ограниченным этими контурами (опирающимся на них), причём направление циркуляции (направление элемента контура (11) связано с направлением нормали к 3 (вектор й5) правовинтовым соотношением (если в качестве исходного выбрано пространство с правыми системами координат). В интегралах по замкнутым поверхностям (5) в (За), (4а) направление вектора элемента площади 5 совпадает с наружной нормалью к поверхности V — объём, ограниченный замкнутой поверхностью 5. [c.34]

Расположение точки в трехмерном пространстве (по отношению к некоторой точке, выбранной за начало) обычно определяется ее тремя декартовыми координатами х, у, z или, что то же, заданием радиуса-вектора R этой точки. Часто более удобно описы вать положение точки в другой системе координат, более подходящей для рассматриваемой задачи примерами таких систем могут служить сферические и цилиндрические системы координат. Но этими координатами не ограничивается круг криволинейных координат, общие свойства которых подробно изучаются в этой главе. [c.547]

Сферические координаты криволинейные. Координатными линиями сферической системы координат являются меридианы, параллели и прямые, проходящие через начало координат. На рис. 3.7 показаны орты сферической системы координат. Каждой точке пространства соответствует тройка единичных векторов ер, е , е , касательных к координатным линиям в данной точке. Эти орты меняются от точки к точке. [c.299]

Решение. 1. Общий случай. Пусть положение точки М в пространстве определяется в прямоугольной декартовой системе координатами X, у, криволинейной системе координатами, < 2> 7з Радиус-вектор точки М, проведенный из начала декартовой системы, равен г = -xi+yj + zk. Координатная линия криволинейной системы координат является годографом радиуса-вектора r = r( h, <72, < з) при изменении только одной криволинейной координаты q . Тогда, задавая направление координатных осей [t7i ], [ 72 ]. з] ортами Atj, 2 Дз и замечая, что координатная ось направлена по касательной к координатной линии (в сторону [c.403]

Если мы рассмотрим точки, заданные их координатами Х в глобальном декартовом пространстве (X) и координатами С в локальной криволинейной системе координат, связанной с пространством (Z) той же самой размерности, то х, будут функциями Xt = = f ii i, 2, Сз) и, наоборот, Q =gi xi, х , Хз). Подобные уравнения преобразований записываются обычно в сокращенной форме Xi = Xi(Q и j EES i(x) при этом дифференциальные компоненты линейных элементов в X и Z будут связаны соотношениями [c.207]

В любой системе координат. Эта система может быть криволинейной, неподвижной в пространстве наблюдателя или движущейся и деформирующейся лагранжевой, может быть вообще как угодно движущейся и деформирующейся во времени, если силы рР,— [c.117]

Деформации можно также рассматривать как отображение тела В (недеформированного) на тело В (деформированное) (рис. 1.16). Для описания недеформированного, а также деформированного тел применяются в общем случае различные криволинейные системы координат и Однако обе они описывают евклидово (т. е. не искривленное) пространство. Отображение должно быть непрерывным и взаимно однозначным, т. е. справедливы соотношения [c.33]

При исследовании пространственных течений приходится пользоваться различными криволинейными системами координат цилиндрической, сферической, эллиптической и др. Такой подход не только упрощает описание картины движения, но иногда просто неизбежен от удачного выбора системы координат зависит возможность разделения переменных в дифференциальных уравнениях, простота приемов удовлетворения граничных условий. В плоском безвихревом движении переход от физической плоскости г = х +1у к вспомогательной плоскости = I + гг] был эквивалентен пользованию в физической плоскости криволинейными координатами I, г вместо прямолинейных х, у. В пространстве трех измерений столь удобного аналитического аппарата, как комплексное переменное, нет, и приходится непосредственно применять формулы перехода от прямолинейных координат к криволинейным, выражая в этих координатах сами дифференциальные уравнения и соответствующие граничные условия. [c.347]

Таким образом, общий принцип относительности, в соответствии с которым при описании природы ускоренные системы координат и инерциальные системы эквивалентны, заставляет нас в некоторых случаях отказаться от евклидовой геометрии, которая даже в специальной теории относительности считалась единственным средством описания пространства, что, в частности, еще отстаивал и Кант. Кроме того, в ускоренных системах отсчета в общем случае невозможно использовать декартовы координаты (см. 8.6), и мы вынуждены при определении точек физического пространства пользоваться общими криволинейными координатами. [c.183]

В случае устранимых гравитационных полей такое обобщение представляет собой довольно тривиальное распространение понятий вектора и тензора на общие криволинейные системы координат, сама же геометрия пространства — времени остается такой же, как и в СТО. Однако в общем случае неустранимых полей сама структура пространства — времени уже другая, и необходимо развитие тензорного исчисления уже в римановом пространстве. Формально различие между этими двумя случаями не очень велико, и, как мы увидим, большая часть тензорных соотношений, справедливых для криволинейных координат в плоском пространстве, может быть использована и в произвольном кривом пространстве. [c.214]

При изложении теории деформаций мы все время пользовались для определения положения точек тела до деформации декартовой системой координат. Это равносильно утверждению, что рассматриваемое нами трехмерное пространство является эвклидовым. Но если это так, то компоненты тензора кривизны данного пространства — компоненты тензора Римана-Кристоффеля ([И], стр. 442) — должны были быть равны нулю, какой бы системой координат в этом пространстве мы ни пользовались, в частности, они должны быть равны нулю и в системе криволинейных координат х, у, г, используемой выше при определении положения точек тела после деформации. [c.52]

Как известно (см., например, [18]), геометрические свойства пространства, связанного с криволинейной системой координат, характеризуются ковариантным метрическим тензором [c.193]

Скобки Пуассона для контравариантных компонент векторного поля 7 и плотности р, эволюционирующих в криволинейном пространстве С, могут быть получены из скобок (3.28) - (3.30) как результат преобразования системы координат (3.31), и имеют следующий вид [c.193]

Типичный пример неплоской послойной модели — осесимметричное течение, состоящее из вложенных цилиндрических слоев с постоянной завихренностью и плотностью в каждом слое. В зависимости от типа симметрии течения, послойные модели удобно изучать в соответствующей системе ортогональных криволинейных координат i, С2, Сз, предполагая, что координатные линии Сз совпадают с вихревыми, а координатные линии i и С2 лежат на жидких поверхностях, причем i совпадает с линиями тока невозмущенной стационарной задачи. Для широкого класса послойных моделей геометрические свойства пространства, связанного с такими системами координат, характеризуются только тремя диагональными компонентами, отличными от нуля (/11, (/22, дзз метрического тензора и его детерминантом д, которые так же как и профиль скорости невозмущенного течения считаются независимыми от i. [c.208]

В декартовой системе координат компоненты вектора привязаны к г, й/, а в произвольной криволинейной системе координат — к меняющимся от точки к точке пространства векторам базиса Э-. Таким образом, компоненты вектора в криволинейной системе координат, в противоположность компонентам вектора в декартовой системе, существенно связаны с точкой, в которой он рассматривается. [c.31]

Если на исходной поверхности установлены ортогональные криволинейные координаты, то система координат (1.8.3), вообще говоря, будет ортогональна лишь в точках самой исходной поверхности. Рассмотрим в связи с этим вопрос как надо выбрать криволинейные координаты на исходной поверхности, чтобы равенством (1.8.3) определялась триортогональная система координат в пространстве. [c.23]

В 210 первого тома было упомянуто о связи между абсолютным ди( )-ференцнрованием и параллельным переносом вектора в криволинейной системе координат. Как известно, задача о параллельном переносе вектора требует введения символов Кристоф( )еля второго рода. Поэтому эти символы иногда называют параметрами параллельного переноса или коэффициентами аффинной связности. Последний термин напоминает о том, что символы Кристоффеля позволяют установить связь между значениями векторной функции в смежных точках пространства. [c.174]

В трехмерном евклидовом пространстве от общих криволинейных координат, в которых квадрат расстоя11ия между двумя бесконечно близкими точками определяется формулой (2 .40), всегда можно перейти к прямолинейной прямоугольной системе координат Xk = = Xk (х ), в которой [c.416]

Следовательно, Qijh = для любой криволинейной системы координат. Поэтому результат неоднократного ковариантного дифференцирования не зависит от порядка дифференцирования для эвклидова пространства. Уравнение (1-2-42) впервые было выведено де Гроотом [Л. 1-5]. [c.18]

Три величины Q2, называются криволинейными координатами точки, если они однозначно определяют положение этой точки в пространстве. Если принято правило отсчета этих величин для любого положения точки в пространстве, то тем самым определена криволинейная система координат. Так как радиус-вектор точки г и криволинейные координаты Ч, Чг, 9з независимо и однознавдо определяют положение точки, то можно рассматривать радиус-вектор как функцию криволинейных координат [c.401]

Система криволинейных разрезов в полупространстве [207, 2081. Пусть в бесконечном пространстве имеется N -j- 1 разрезов L (п = О, 1,. .., Л/ ), отнесенных к локальным системам координат х 0 п (см. рис. 7). Предположим, что контур Lo представляет собой действительную ось Ох = О, 2° = 0), а остальные разрезы находятся в нижнем полупространстве (у < 0). На контуре Lq задана самоуравновешенная нагрузка Хд (х) (до (х) = 0), а на остальных — скачки смещений (t ) и напряжений fi (/ ) (п = = 1, 2.....N). Воспользовавшись решением (VI.125), исключим [c.206]

Рассмотрим бесконечное пространство, которое имеет неоднородность в виде тела вращения, ограниченного поверхностью Г (см. рис. 3.5). Поверхность получена в результате вращения вокруг оси Охз плоскости с отверстием, для которого известна конформно-отображающая функция. Введем три системы координат с центром в точке О прямоугольную (. ь Х2, х ), сферическую (р, 6, ф) и криволинейную ортогональную (р, у, к), где х=ф. Все координаты будем считать безразмерными, отнесенными к Го. В плоскости XsOri отображающую функцию представим в форме [c.120]

Остановимся подробнее на получении системы интегро-функциональ-ных уравнений контактной задачи. Использование принципа суперпозиции предполагает возможность получения аналитического решения краевой задачи динамической теории упругости с однородными граничными условиями в напряжениях для составляющих многослойную область с каноническим включением элементов. Таковыми являются однородный упругий слой, однородное упругое полупространство, полость в безграничном пространстве и упругое включение, граница которого тождественна границе полости. Решение задач для однородного слоя (полупространства) строится методом интегральных преобразований с использованием принципа предельного поглощения и может быть получено в виде контурного несобственного интеграла [2,4,14]. В зависимости от постановки задачи (пространственная, плоская, осесимметричная) получаем контурные интегралы типа обращения преобразования Фурье или Ханкеля [16]. Решение задачи для пространства с полостью, описываемой координатной поверхностью в ортогональной криволинейной системе координат, получаем в виде рядов по специальным функциям (сферическим, цилиндрическим (Ханкеля), эллиптическим (Матье)) [17]. При этом важно корректно удовлетворить условиям излучения, для чего можно использовать принцип излучения. Исключение составляет случай горизонтальной цилиндрической полости при исследовании пространственной задачи. Здесь необходимо использовать метод интегральных преобразований Фурье [16] вдоль образующей цилиндра и принцип предельного поглощения [3] для корректного удовлетворения условиям излучения энергии вдоль образующей. [c.312]

Положение точки в трехмерном пространстве, как известно, можно одгюзначно определить тремя числами. Так, например, в декартовой системе координат такими числами будут координаты X, у п Z точки, в цилиндрической и сферической системах координат такими числами соответственно будут р, ф, г и г, 6, Ф ( 9,2). Очевидно, что можно ввести в рассмотрение и другие системы координат, в которых определен >акон выбора трех чисел, однозначно определяющих положение любой точки. В этом параграфе мы рассмотрим так называемые криволинейные координаты. [c.176]

Векторы в криволинейной системе координат 26 Евклидово пространство (26). Дифференциал вектора (30). Взаимный базис (31). Взаимный базис в криволинейной системе координат (34). О неголономности координат X. (35). Произвольная ортогональная система координат (37). Преобразование координат (38). [c.5]

Эвклидово пространство. Рассмотрим криволинейные системы координат в эвклидовом пространстве. Раз пространство эвклидово - значит можно ввести единую систему координат во всем пространстве. Положение точки в пространстве определяется её радиус - вектором r z ,z2,z ), который не зависит от выбора системы координат. [c.26]

Если тот же единичный объем среды движется со скоростью V относительно некоторой системы координат наблюдателя (эйлерово пространство), то движение заряда представляет ток век-торы ], Е, В,. .., определенные в этом пространстве, отличаются от Е, В, . .. в той же физической точке среды, т. е. по их природе векторы электромагнитного поля ], Е, В,. .. при переходе ог неподвижной к подвижной системе координат преобразуются по особым законам, отличным от преобразований векторов, ранее рассмотренных, Понятно, что все преобразования в системах координат (декартовых, криволинейных), неподвижных одна относительно другой, сохраняются для ], Е, В,. .. такими же, как и для обычных векторов и тензоров. Эти особенности электромагнитных полей связаны с различием физических законов классической механики и теории относительности, определяемым параметром =v (отношение скорости движения к скорости света). [c.262]

Заряженная частица в высокочастотном поле. Электроны движутся в резонаторе в статическом электромагнитном поле, заданном потенциалами (у9 (х) и А (х), и переменном электромагнитном поле резонатора. Резонатор представляет собой пространство, ограниченное металлической поверхностью, совпадающей с координатными поверхностями криволинейной ортогональной системы координат (п — 1, 2, 3). Декартовы и криволинейные координаты связаны соотнощениями Ха = = /а(д1, 52, дз)- Структура поля в резонаторе определяется решениями уравнений Максвелла. Рассмотрим резонатор, в котором могут быть возбуждены стоячие волны поперечно-электрического или поперечно-магнит-ного типов [152, 154, 266]. Благодаря граничным условиям на проводящих поверхностях собственные частоты резонатора оказываются дискретными и = ьох п) индекс Л = е т означает тип волны, п — набор дискретных собственных чисел. [c.329]

Все приведенные выше выкладки по существу справедливы для любой ортогональной системы координат. Ортогональной называется такая система, в которой все три координатные линии в любой точке пространства пересекаются под прямым углом. Координатная линия — кривая, уравнение которой qi = onst (7, — координата в криволинейной системе координат). В общем случае координатные линии являются произвольными пространственными кривыми (рис. 13). Наиболее распространенными криволинейными системами координат являются цилиндрическая (полярная для плоской задачи) и сферическая. [c.24]

Основным результатом механического воздействия на материал являются относительные смещения частиц материала (движение), при которых не нарушается его сплошность, или непрерывность, вызывающие его деформацию. Смещения характеризуются по отношению к выбранной системе отсчета, или системе координат. В трехмерном пространстве каждая частица материала может быть определена как точка с тремя координатами х , з . Система координат может выбираться криволинейной и прямолинейной. В последнем случае координат-Рис. 1.2.1. Криволинейная II декар- ные линии — прямые. Если они това системы координат. ортогональны (взаимно перпенди- [c.8]

Теперь обобщение тензорного исчисления, развитого в 4.7—4.12 для декартовой системы координат, на общие криволинейные координаты риманова пространства очевидно. Тензором ранга п в 4-пространстве называется величина с 4" компонентами, преобразующаяся по каждому индексу как век- [c.217]

Формула (9.118) определяет изменение компонент вектора, обусловленное его инфинитезимальным параллельным переносом вдоль вектора dx . Тогда полное изменение вектора а, обусловленное его параллельным переносом вдоль конечной кривой, можно получить с помощью интегрирования. В плоском пространстве полное изменение вектора а в результате параллельного переноса по замкнутому контуру должно быть равно нулю. Это особенно очевидно в декартовой или псевдодекартовой системах координат, в которых компоненты вектора вообще не изменяются при параллельном переносе. Результирующий вектор в этом случае после прохождения по замкнутому контуру должен просто совпасть с исходным. Этот вывод не должен измениться и тогда, когда перенос осуществляется в криволинейной системе координат. В искривленном пространстве результирующий вектор а вообще говоря, будет отличен от исходного вектора а причем разность а — а зависит от выбора замкнутой кривой (см. 9.13). Таким образом, если данный вектор переносить параллельно из точки Ру в точку Рз вдоль некоторой кривой, соединяющей эти две точки, то результирующий вектор зависит от формы этой линии, если пространство искривленное, и не зависит, если пространство плоское. Фактически это единственное существенное различие между плоским и искривленным пространствами. [c.231]

Формально gik аналогичны метрике инерциальной системы с криволинейными пространственными координатами однако следует помнить, что здесь Yfiv могут зависеть также от времени и описывают в общем случае неевклидово трехмерное пространство. [c.253]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...