Кристоффель

Поскольку в декартовой системе все символы Кристоффеля равны нулю, компоненты (любого типа) тензора градиента скорости Vv задаются просто производными dv ldx (см. уравнение (1-4.9) или (1-4.14)) [c.83]

Величины называются символами Кристоффеля второго рода. Далее мы найдем формулы, связывающие символы Кристоффеля с компонентами метрического тензора. Из формулы (П.59) видно, что символы Кристоффеля второго рода симметричны относительно нижней пары индексов. [c.93]

Чтобы вычислить символы Кристоффеля второго рода, рассмотрим символы Кристоффеля первого рода. Определим символы Кристоффеля первого рода равенствами [c.93]

Покажем теперь, что символы Кристоффеля второго рода выражаются через символы Кристоффеля первого рода. Применяя формулу (1.56), можем написать [c.94]

Отметим некоторые особенности найденных выражений абсолютных дифференциалов. Эти выражения показывают, что величины da и ёа , рассматриваемые в отдельности, не подчиняются формулам преобразования контравариантных или ковариантных векторов. Также можно убедиться в том, что символы Кристоффеля не принадлежат к тензорным величинам, так как закон их преобразования при переходе к новой системе координат не является законом преобразования компонент некоторого тензора. Мы не будем здесь рассматривать эти формулы преобразования. Они будут приведены в т. II настоящей книги ). [c.94]

Символы Кристоффеля с тремя различными индексами равны нулю. Остальные символы Кристоффеля имеют следующий вид [c.96]

Из символов Кристоффеля отличаются от нуля лишь два [c.97]

Отличные от нуля символы Кристоффеля второго рода имеют следующий вид [c.97]

Если рассматривать символы V как ковариантные компоненты символического вектора V, то величины и можно рассматривать как компоненты некоторых мультипликативных тензоров второго ранга. Но сравнение формул (IV. 146), (IV. 148) и (IV. 150) приводит к выводу, что введение вектора у не встречает препятствий лишь при применении системы прямолинейных декартовых координат, так как лишь в этой системе символы Кристоффеля равны нулю. [c.386]

Символы Кристоффеля второго рода 93 [c.455]

Как известно, всегда можно выбрать компоненты метрического тензора так, что в фиксированной точке все символы Кристоффеля обратятся в нуль. Такая голономная система координат называется римановой, или нормальной, системой координат. В этой системе координат метрика пространства в ок- [c.156]

Развернутая форма уравнений движения материальной системы в неголономных системах координат. Обобщение символов Кристоффеля [c.159]

Символы Кристоффеля второго рода определяются через компоненты метрического тензора по формулам (П.71Ь). Метрический тензор определим из равенства, совпадающего с (И. 70Ь) [c.167]

Кристоффеля второго рода. Поэтому можно утверждать, что пространство конфигураций для систем с голономными связями является пространством Римана ). [c.175]

Тензор четвертого ранга Rik.a- называется тензором кривизны или тензором Римана — Кристоффеля. [c.505]

При параллельном переносе вектора в евклидовом пространстве (Ди)7 = 0. Действительно, в евклидовом пространстве существует декартова система координат с единичным метрическим тензором. В этой системе все символы Кристоффеля равны нулю. Следовательно, равны нулю компоненты тензора Римана — Кристоффеля. [c.507]

В неевклидовом пространстве тензор Римана — Кристоффеля не равен нулю. Примером такого пространства является криволинейная поверхность, отличающаяся от цилиндрической. [c.507]

При применении ортогональных систем координат следует пользоваться содержанием 48 т. I. При применении цилиндрических и сферических координат надо пользоваться символами Кристоффеля, вычисленными в 49 т. I. [c.514]

Для оценки слагаемых, содержащих символы Кристоффеля, примем, что свойства реального физического пространства мало отличаются от евклидовых. Это предположение основывается на огромном количестве наблюдений и опытов, составляющих основу классической механики. Поэтому компоненты метрического тензора будем определять соотношениями [c.527]

Рассмотрим символы Кристоффеля Г . Имеем [c.527]

Здесь, как и в 64, — символ Кристоффеля второго рода. [c.536]

Однако, в отличие от 64, здесь эти символы Кристоффеля второго рода могут быть определены в метрике, не связанной с неголономной системой отсчета. [c.536]

Уравнение (2.392) называется уравнением Кристоффеля оно является основным в теории распространения волн в кристаллах. Из этого уравнения для каждого направления п получаются три скорости распространения плоских волн в изотропном случае для любого нанравления п получаются две скорости [два из трех корней уравнения (2.392) совпадают]. [c.107]

Совокупность чисел называется символом Кристоффеля II рода-, очевидно, символы Кристоффеля симметричны по нижним индексам, что следует из их определения (1.115) и определения векторов ei=dx/dai. [c.322]

Величины Га,1 называются символами Кристоффеля. Вводя символ = получим уравнение движения [c.81]

Величины Т пк называются коэффициентами связности или символами Кристоффеля. Если координаты декартовы, то е — постоянные векторы, поэтому = 0, тогда как для криволинейной системы координат Г 1й 0. [c.19]

Символы Кристоффеля выражаются через производные метрического тензора. Умножая равенство (1.57) скалярно на ет и учитывая (1.28), получим [c.20]

Отсюда также видно, что символы Кристоффеля симметричны относительно индексов пик. [c.20]

Тензор Римана — Кристоффеля. [c.23]

Символы, определяемые выражениями (1-4.11) и (1-4.10), называются символами Кристоффеля первого и второго роДа соответственно. Как видно из этих соотношений, они являются комбинацией производных метрического тензора по координатам и обра-ш аются в нуль, если компоненты метрического тензора постоянны, как это имеет место в декартовой системе координат. Известное правило суммирования распространяется также и на эти символы. Индексы в символах Кристоффеля первого рода считаются нижними, а в символах Кристоффеля второго рода один из индексов считается верхним и два — нижними. [c.32]

Легко убедиться в том, что Шу , так же как н символы Кристоффеля, не преобразуются как компоненты тензора. Лишь при постоянных коэффициентах преобразования, т. е. в косоугольных системах декартовых координат, величиш, ш . . образуют антисимметричный тензор второго ранга. Его можно з этом случае отождествить с антисимметричным тензором угловой скорости, определенной Формулами (П.ЮбЬ). [c.135]

Формулы (II. 71а) и (II. 71Ь) в голономной системе координат определяют трехзначковые символы Кристоффеля первого и второго родов, обозначенные в первом томе Г , k и г ь- В не-голономной системе символы Кристоффеля несколько обобщаются. [c.160]

Примечание. Равенства (И. 100а) и (II. ЮОЬ) определяют закон преобразования символов Кристоффеля второго рода. Как видно из равенства (II. ЮОЬ), закон преобразований отличается от закона преобразования тензорных величин ) Символы Кристоффеля образуют геометрический объект в то1 смысле, что при произвольном преобразовании системы координат они определяются своими значениями в начальной системе и законом преобразования. [c.169]

В 210 первого тома было упомянуто о связи между абсолютным ди( )-ференцнрованием и параллельным переносом вектора в криволинейной системе координат. Как известно, задача о параллельном переносе вектора требует введения символов Кристоф( )еля второго рода. Поэтому эти символы иногда называют параметрами параллельного переноса или коэффициентами аффинной связности. Последний термин напоминает о том, что символы Кристоффеля позволяют установить связь между значениями векторной функции в смежных точках пространства. [c.174]

Пользуясь формулой (II. 100а), найдем символы Г ,. Заметим, что в декартовой системе координат все символы Кристоффеля равны нулю. Следовательно, [c.178]

Простейщим примером евклидова пространства двух измерений будет плоскость. Так как основным отличием между поверхностью и плоскостью является кривизна поверхности, связанная с тензором Римана — Кристоффеля, то этот тензор называется также тензором кривизны, как было сказано выше. [c.507]

Чтобы найти зависимость от и, надо найти конформное отображение полу-полосы плоскости в верхнюю полуплоскость и. Рассматривая эту полупо-лосу как треугольник, одна из вершин которого удалена в бесконечность, можно найти искомое отображение с помощью известной формулы Шварца — Кристоффеля ответ гласит [c.48]

Решение. Афинная связность — символы Кристоффеля равны T . = kq gik. Учитывая интеграл энергии gv.-,q"q = V( , получим замечательно простое уравнение геодезических [c.83]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...