Векторы Понятие

До сих пор мы рассматривали вектор как направленный отрезок, характеризуемый величиной, направлением и точкой приложения. Для системы скользящих векторов понятие точки приложения оказывается излишним. Благодаря постулируемому правилу, разрешающему добавлять и отбрасывать векторные нули, векторы систем как бы освобождаются от точек приложения, наделяются возможностью скользить вдоль линии действия ). [c.347]

Способы нахождения, определение, вес, нахождение, применение, радиус-вектор, понятие, знание, скорость, ускорение, движение, поднятие, опускание, положение, существование, координаты, абсцисса, ордината, траектория. .. центра масс. Расстояние. .. до (от) центра масс. [c.99]

Скорость изменения вектора. Понятие бесконечно малого поворота дает мощный инструмент для описания движения твердого тела. Рассмотрим какой-нибудь вектор G, например радиус-вектор материальной точки или вектор кинетического момента. В процессе движения такой вектор обычно изменяется и изменение его часто зависит от координатной системы, в ког торой производится наблюдение этого вектора. Возьмем, например, систему координат, связанную с твердым телом, и рассмотрим вектор, идущий из начала координат этой системы в некоторую точку тела. Ясно, что в системе координат, связанной с этим телом, такой вектор будет постоянным. Однако наблюдатель, связанный с неподвижной системой координат, будет считать, что составляющие этого вектора изменяются в процессе движения тела. [c.151]

Вообще говоря, матрицы и не обязательно совпадают (совпадение имеет место для ортогональных преобразований), поэтому законы преобразования компонент градиента скалярной функции и компонент вектора г различны. В связи с этим в общей теории тензоров оказывается необходимым различать два вида векторов и тензоров — контравариантные и ковариант-ные. Не приводя полного определения, дадим часто употребляемое. Говорят, что контравариантный вектор — это такой вектор, компоненты которого Л,- преобразуются при переходе к другой системе координат, как компоненты вектора г. Аналогично величины /4,- определяют ковариантный вектор, если прй переходе от одной системы координат к другой эти компоненты преобразуются как компоненты градиента функции, т. е. как частные производные по координатам. Для аффинных ортогональных векторов понятия ковариантного и контравариантного векторов являются совпадающими. В общей теории тензоров рассматриваются не только неортогональные, но и нелинейные преобразования координат. [c.25]

Для упрощения заменим понятие и обозначение вектора понятием и обозначением точки, имея в виду, что точка является концом соответствующего вектора, начало которого совпадает с началом координат. В соответствии с этим пространство назовем Х-векторным и-мерным, а точки плоскости X (Х1, Х2), соответствующие изделиям Aj (У = 1,..., 5) и Р (Л = 1,..., 4), определим так [c.333]

До сих пор мы рассматривали тензоры и тензорные операции, не привлекая понятия компонент тензора. С такой ситуацией мы уже сталкивались при рассмотрении векторов, когда наглядно представляли их в виде стрелок в пространстве. С введением векторного базиса е , е , бд компоненты тензора в выбранном базисе можно определить как [c.23]

Важно проводить строгое различие между системами отсчета и системами координат. В разд. 1-2 мы ввели понятие системы координат как некоторого соотношения, ставящего в соответствие точкам пространства упорядоченные тройки чисел. Ясно, что это соотношение можно определить бесконечным числом способов в одном и том же пространстве, т. е. в одной и той же системе отсчета. Если в одной и той же системе отсчета изменить систему координат, то векторы и тензоры не изменятся, а изменятся лишь их компоненты. [c.36]

Конечно, простейший пример функции имеет место в случае, к гда как аргумент (или аргументы), так и значение функции являются скалярными величинами. Тем не менее распространение этого понятия на другие случаи оказывается интуитивно весьма несложным. В частности, мы трактовали тензоры как векторные функции векторных аргументов, обладающие специальным свойством линейности. Кроме того, мы встречались с функциями тензорных аргументов, значения которых могут быть скалярами, векторами или тензорами. [c.134]

Если применить понятие вектор-градиента oi скалярной функции и [c.345]

Аналитический метод решения задач статики основывается на понятии о проекции силы на ось. Проекция силы (как и любого другого вектора) на ось есть алгебраическая величина, равная произве- [c.20]

В 8 было введено понятие о моменте силы относительно центра О. Эго вектор гП(у Р), направленный перпендикулярно плоскости ОАВ (рис. 85), модуль которого согласно формуле (13) имеет значение [c.72]

При помощи формул (7.3) легко определяется вектор полного напряжения на любой площадке, проходящей через рассматриваемую точку (рис. 271). Напряженное состояние в точке представляет собой понятие, более сложное, чем те, которыми мы оперировали до сих пор. [c.234]

Пользуясь понятием вектора угловой скорости ш, легко получить векторное выражение вращательной скорости. [c.209]

Во многих практических случаях качество проектов оценивается несколькими важными показателями, каждый из которых с одинаковым успехом может быть принят за критерий оптимальности. В таких случаях задача оптимального проектирования становится многокритериальной, а понятие оптимального решения теряет однозначный смысл. Действительно, при наличии нескольких критериев целевая функция заменяется целевой вектор-функцией Но, о которой известно лишь следующее. Заданы все составляющие Но и желательные направления их улучшения в сторону увеличения или уменьшения. Однако остается неясным, какие комбинации составляющих Но предпочтительны, когда нет реальной возможности оптимизировать (максимизировать или минимизировать) каждую составляющую в отдельности. [c.136]

В связи с тем, что в общем случае оси Qi не ортогональны, понятия проекция вектора (ортогональная) и компонента вектора по оси не совпадают. [c.19]

Легко видеть, что М/ не зависит от выбора точки О на оси I. О методе определения М/ и о некоторых иных фактах, относящихся к понятиям момент вектора , главный момент совокупности векторов и главный момент относительно оси , см. приложение. В приложении речь идет о системе скользящих векторов. Множество сил, приложенных к разным точкам СИСтемы материальных точек, не образует системы скользящих векторов, однако приведенные в приложении результаты, касающиеся указанных выше понятий, относятся к любой совокупности векторов, в том числе и к совокупности, не являющейся системой скользящих векторов. [c.68]

Однако прежде чем ввести понятие об эквивалентности двух множеств векторов, мы в 2 введем в рассмотрение две векторные характеристики — главный вектор и главный момент системы, — которые имеют смысл для любого множества векторов. Далее в 3 дается определение эквивалентности систем векторов, и тем самым выделяется интересующий нас класс таких множеств. Наконец, в 4 устанавливаются основные свойства множеств векторов выделенного класса. [c.338]

Используя понятие центральной оси и теорему 1, нетрудно установить всю картину распределения векторов Мо в пространстве для произвольной системы векторов с / 0. Для этого рассмотрим поверхность кругового цилиндра, ось которого совпадает с центральной осью системы (рис. П.9), а радиус равен г. [c.345]

До сих пор мы считали, что у рассматриваемой системы векторов ЯфО. Если же / = О, то в силу теоремы 1 момент М не зависит от выбора полюса и понятие центральной оси или оси минимальных моментов лишено смысла — главные моменты для такой системы во всех точках пространства одинаковы. [c.346]

Для того чтобы наиболее удобным образом ввести понятие об эквивалентности двух множеств векторов и построить затем систему правил, позволяющих упрощать эти множества, определять, эквивалентны ли они, и т. д., введем предварительно понятие о векторном нуле. [c.346]

Введем теперь понятие простейших систем скользящих векторов. Назовем простейшими следуюш,ие четыре системы [c.352]

He следует смешивать понятия проекции силы на ось и составляющей силы (рис. 2.2). Составляющая силы является вектором, равным произведению соответствующей проекции силы на орт оси проекций, т. е. [c.149]

Перейдем к определению понятия виртуального перемещения. Предположим, что точка находится на поверхности / (х, у, Z, t) = 0. Радиус-вектор г = xi + yj + zk в фиксированный момент времени t определяет положение точки. Рассмотрим теперь множество бесконечно близких положений точки, допускаемых связью в этот фиксированный момент времени. Пусть эти бесконечно близкие положения определяются радиусом-вектором [c.16]

Момент вектора. Для неподвижного (или для скользящего) вектора можно ввести понятие момента относительно центра и относительно оси. Пусть вектор а приложен в точке М. Положение точки М по отношению к осям Охуг может быть определено радиусом-вектором г, проведенным из центра О в точку /И (рис. 23). [c.35]

Перейдем теперь к рассмотрению понятия производной от переменного вектора. Если аргумент t получит приращение Д , то вектор а получит приращение Ла = а ( -f 0 — а (О (рис. 28). Предел отнощения Да к Kt (при Д ->0), если он существует, называется производной вектора а по скалярному аргументу t (это определение совпадает с определением производной скалярной функции). Следовательно, [c.39]

Пусть точка М движется по прямой Ох (см. рис. 39) и в момент времени находится в положении М , а в момент положении М2- Вектор М М2, имеющий начало в начальном положении точки, а конец — в конечном, называется перемещением точки М за промежуток времени 2 — Необходимо различать между собой понятия перемещение и путь точка М может прийти из положения Ml в положение М2, пройдя разные пути (например, путь MiM M2), тогда как перемещение ее будет одно и то же, т. е. MiM . [c.53]

При рассмогрснии движения сплошной среды и применении перемен[п>1х Эйлера используется понятие линий тока, т. е. линий, в каждой точке которых в рассматриваемый моменг времени векторы скоростей параллельны касательным этих линий. Если вектор в какой-либо точке линии тока направлен по касательной к этой линии, то, по определению линии гока, он должен быть параллельным вектору скоросги v в этой точке. Два параллельных вектора отличаются друг от друга только скалярным множителем к (положительным или отрицательным). Следовательно, [c.282]

Решение многих задач ме саники связано с известной из векторной алгебры операцией сложения векторов и, в частности, сил. Величину, равную геометрической сумме сил какой-нибудь системы, будем в дальнейшем называть главным вектором этой системы сил. Как отмечалось в 3 (см. рис. 6), понятие о геометрической сумме сил не следует смешивать с понятием о равнодействуюш,ей для многих систем сил, как мы увидим в дальнейшем, равнодействующей вообще не существует, геометрическую же сумму (главный вектор) можно вычислить для любой системы сил. [c.18]

Таким образом, момент силы F относительно центра О равен векторному произведению радиуса-вектора г=ОА, проведенного из центра О в пючку А, где приложена сила, на саму силу. Этот результат может служить другим определением понятия о моменте силы относительно центра. [c.33]

Если учесть, 4Tods= drl, где dr — вектор элементарного перемещения точки, и воспользоваться известным из векторной алгебры понятием о скалярном произведении двух векторов, то равенство (4J) можно представить в виде [c.208]

Кроме линейного перемещения, можно ввесги понятие углового перемет,сния. Если рассмотреть отрезок прямой между двумя близкими точками до и после изменения формы тела, то легко установить, что этот отрезок поворачивается в пространстве на некоторый угол. Этот угол поворота также характеризуется вектором, который может быть разложен по осям х, у и г. [c.21]

Нам известно понятие числа и понятие вектора как величины, определяемой тремя числами. Напряженное состояние определяется уже не тремя, а шестью числами и представляет собой тензор. Тензору в отличие от вектора не может быть дано простого геометрического толкования, и тензор обычно задают матрицей (таблицей), иаписаипой, например, в виде [c.234]

В разделе Статика ( 44 и 45) введены и широко использо-взЕгы понятая моментов силы относительно точки и относительно оси. Так как количество движения материальной точки mv является вектором, ТО можно определить его моменты относительно центра н относительно оси таким же путем, как определяются моменты силы. [c.145]

Надо отметить, что в практике проектирования часто возникают многокритериальные задачи, т. е. превосходство оптимального варианта определяется не по одному критерию, а по нескольким критериям одновременно. В этом случае вводится понятие целевого вектор-функционала Но, составляющими которого являются функционалы типа (3.42), характеризующие отдельные критерии. Однако в [25] показано, что постановка многокритериальной задачи оптимизации эквивалентна задаче с одним критерием при наличии неопределенных факторов, т. е. задаче А, в которой недоопре- [c.71]

Дополнительная информация для свертывания частных критериев не всегда может быть убедительно обоснована. Поэтому с целью применения поисковых методов для решения многокритериальных задач иногда вводится понятие эффективного вектора по аналогии с оптимальным вектором в однокритериальных задачах. Эффективным называется такой вектор Но(2эф), у которого все составляющие (частные критерии) одновременно удовлетворяют условию [c.137]

Вернемся к понятию о главном моменте системы пекторов относительно полюса О. Выше уже было показано, что в отличие от главного вектора системы R главный момент УИо зависит от выбора полюса. Однако имеет место [c.342]

И.ч предположения, что к множеству векторов можно прибавлять (или что от него можно отбрасывать) векторные нули, следуе , что понятие точка приложения вектора теряет смысл. Обратное утверждение неверно. Если определить систему екольяящих векторов как множество векторов, лишенных точек приложения и определяемых лишь величиной, направлением и линией действия, то из такого определения не следует возможность отбрасывать или добяплпть векторные нули (вспомните пример с двумя взаимно притягивающимися телами ). Все развиваемые далее теоремы о системах скользящих векторов опираются на возможность добавлять и отбрасывать векторные нули. Поэтому для того, чтобы проверить, изображается ли некоторое множество векторных объектов системо скользящих векторов, надо проверить, не изменятся ли изучаемые механические явления, если добавить или отбросить векторный нуль. [c.347]

Векторная величина, характеризуюищя в каждый данный момент времени направление и быстроту движения точки, называется скоростью. В обыденной жизни понятие скорость воспринимается как скалярная величина, и поэтому термины скорость и быстрота считаются синонимами. Как кинематическое понятие скорость — вектор, т.е. и быстрота, и направление. Быстроту движения точки выражает числовое значение (модуль) вектора. За единицу скорости обычно принимается 1 м/с, но часто скорость выражают в км/ч(1 км/ч = 10 м/3600 сл 0,278 м/с) или в м/мин (1 м/мин=1 м/60 сл 0,0167 м/с). [c.83]

В случае прямолинейного движения векторы перемещений точек будут коллинеарны. и мы их можем гоже рассматривать как алгебраические величины. Понятия перемещение и путь совпадают только в том случае, если движение прямолинейно и монотонно. [c.53]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...