Дифференциальные уравнения в приводящиеся к уравнениям с постоянными коэффициентами

Одной из важнейших проблем динамики приводов с нелинейными характеристиками является исследование устойчивости периодических режимов. Выше были рассмотрены периодические режимы в приводах, описываемых системами дифференциальных уравнений с кусочно-постоянными коэффициентами. Исследуем устойчивость этих режимов, для чего рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений вида [c.264]

В случае призматических стержней исследование колебаний не встречает каких-либо затруднений, так как разыскание нормальных функций приводится к интегрированию линейного дифференциального уравнения (170) с постоянными коэффициентами. Задача становится более сложной, если сечения стержня изменяются по длине. В таком случае для определения собственных колебаний стержня нужно обратиться к решению уравнения (167) [c.349]

Многие развиваемые в настоящее время прогрессивные методы комплексного определения теплофизических характеристик материалов, базирующиеся на научной теории тепло- и массообмена, основаны на закономерностях нестационарного температурного поля. Разумеется, применение дифференциального уравнения теплопроводности с постоянными теплофизическими коэффициентами для раскрытия механизма тепло- и массообмена в материалах, подвергаемых термической обработке, в некоторых случаях может привести к значительным ошибкам. Исключительная трудность аналитического решения задач нестационарного тепло- и массообмена в телах с переменными теплофизическими коэффициентами известными классическими методами приводит к необходимости применения приближенных аналитических и графоаналитических методов. [c.183]

В силу приведенных выше зависимостей подстановка вектор-функций (1) в уравнения (2) приводит к дифференциальным уравнениям с переменными (периодическими) коэффициентами, что существенно усложняет анализ электромагнитных процессов. Известные предложения, направленные на упрощение математического описания рассматриваемых процессов, основаны на замене переменных, приводящей систему дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами к системе с постоянными коэффициентами [ 3, 5]. [c.310]

Решения уравнений (5.30)... (5.32) дают разнообразные случаи распределения температуры в телах. При выводе указанных уравнений предполагалось, что коэффициенты Я, ср, а и ос постоянны. Учет зависимости этих коэффициентов от температуры приводит к нелинейным дифференциальным уравнениями, что чрезвычайно усложняет получение решения аналитическими методами. Для технических целей в ряде случаев точность решения оказывается достаточной, если выбирать средние значения коэффициентов Я, ср, а и а в диапазоне температур, характерном для рассматриваемого процесса. Судить о том, насколько удачно выбраны постоянные коэффициенты, можно на основании сравнения опытных и расчетных значений температур. Значения коэффициентов для расчетов температур при сварке сталей и других материалов рекомендуется выбирать по табл. 5.1. [c.151]

Следовательно, при постоянной частоте вращения и пренебрежении насыщением уравнения ЭМП с периодическими коэффициентами можно преобразовать к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами, которые легко решаются хорошо известными методами. При переменной частоте и учете насыщения преобразования не исключают нелинейные члены в уравнениях. Однако и в этом случае переход от периодических коэффициентов к постоянным часто оказывается выгодным. Таким образом, хотя преобразования уравнений не всегда приводят к общим правилам их решения, все же оказываются весьма полезными при решении многих конкретных задач. [c.83]

Лишь расчет круговой цилиндрической оболочки приводит к системе дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. [c.239]

Если задать п чисел уо,. .., у , то уравнение (2.38) приводит к последовательности. Решение такого рода уравнений имеет много общего с решением обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Можно показать, что если л ,, 2, J n — различные корни уравнения (2.29), записанные в порядке убывания их модулей, то общее решение уравнения (2.38) будет иметь вид [c.86]

В обоих случаях система приводится к дифференциальному уравнению с переменными коэффициентами 6-го порядка относительно перемещений или ы,. В частном случае круговой оси бруса (р = а) уравнение будет содержать постоянные коэффициенты. Для прямого стержня (9о = 0 Р= эо с1ф = 0, ds = pd9 = d2) получим [c.73]

Для простейших динамических моделей механизмов с одной степенью свободы уравнения движения могут быть представлены в виде обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. При установлении ти повых уравнений ограничимся рассмотрением только тех уравнений движения, которые выражаются дифференциальными уравнениями не выше второго порядка относительно обобщенной координаты или первого порядка относительно обобщенной скорости, хотя в механизмах с приводом от электродвигателя и в механизмах с голономными связями порядок дифференциального уравнения движения механизма может быть выше второго ). Обобщенные силы считаем в общем случае зависящими от обобщенных координат, обобщенной скорости, времени и первой производной момента сил движущих или сил сопротивления по времени. [c.162]

Закон сохранения энергии имеет то преимущество, что он всегда приводит к цели, каким бы образом сила X ни зависела от х. Для нашего же случая, в котором X линейно зависит от ж, существует другой, значительно более изящный, способ решения уравнения движения. Он основывается на непосредственно очевидном положении, что однородное линейное дифференциальное уравнение любого порядка с постоянными коэффициентами х — искомая функции, t — независимая переменная) всегда имеет решение вида [c.39]

Подстановка решения (6.48) в уравнение (6,23) приводит к обыкновенному линейному дифференциальному уравнению четвертого порядка с постоянными коэффициентами относительно функции поперечного распределения смещения w y) [c.191]

Приводы современных технологических машин (металлорежущих станков, металлургических и других машин) представляют собой электро- или гидромеханические системы той или иной сложности. При определенных указанных в п. 1 условиях динамические процессы в таких приводах описываются системами линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами типа (6.28). Для отыскания решений таких систем существуют эффективные (например, матричный, операционный) методы. Однако для многомассовых систем, хотя и не существует принципиальных сложностей в построении решения, вычислительные работы могут оказаться весьма [c.190]

В рассмотренном выше случае все коэффициенты Aik были постоянными. В общем случае, если Л, = ( j,. . ., qi , подстановка выражений для кинетической и потенциальной энергий в уравнения Лагранжа второго рода приводит к следующей системе дифференциальных уравнений [55] [c.62]

Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами. В введении было показано, что ряд задач динамики механизмов с упругими связями приводит к рассмотрению дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Теория этих уравнений значительно более сложна, чем в случае постоянных коэффициентов. Естественно, что, излагая элементы этой теории, мы по-прежнему ограничимся рассмотрением уравнений второго порядка. Начнем с отыскания обш,его решения однородного уравнения вида [c.48]

Для некоторых типов теплообменников такой метод позволяет резко упростить вычислительный процесс, он очень удобен для определения движения границ начала и конца испарения. В том случае, когда коэффициенты уравнения энергии являются функциями температуры, метод разбиения линиями уровня позволяет перейти к решению обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными, заранее заданными или вычисленными коэффициентами, в то время как метод прямых приводит к системе нелинейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. [c.89]

Для получения уравнения замкнутой системы управления нужно продифференцировать уравнение динамики (5.38) и подставить в полученное выражение (5.42). В результате получим нелинейное дифференциальное уравнение четвертого порядка относительно вектора обобщенных координат q = (Qi,. .., qmV Анализ этого уравнения показывает, что подбором постоянной времени ТГ, передаточного числа редуктора и коэффициентов передачи основных элементов системы управления, изображенной на рис. 5,14, можно обеспечить лишь устойчивость ПД qp (() в малом, т. е, при достаточно малых начальных возмущениях. Такая система программного управления весьма чувствительна к сколько-нибудь значительным параметрическим возмущениям, что отрицательно сказывается на характере переходных процессов (ухудшаются точность и быстродействие). Другим существенным недостатком этой системы является взаимное влияние каналов локального сервоуправления ввиду того, что все приводы работают на общую нагрузку. [c.164]

Сформулированные выше утверждения относились к случаю, когда линейное приближение приводит к дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами. Это типично для задач об устойчивости состояний равновесия или стационарного движения. В общем случае матрица 6 уравнений первого приближения зависит от 7. При этом нельзя утверждать, что из асимптотической устойчивости решений уравнений первого приближения следует устойчивость решений нелинейной системы. Ляпунов выделил класс так называемых правильных систем, для которых справедлив аналог теоремы об устойчивости по первому приближению. Среди этих систем - системы с переменными коэффициентами, которые являются ограниченными периодическими функциями времени с одинаковым вещественным периодом. [c.460]

Уравнения (14.12.3) образуют систему обыкновенных линейных дифференциальных уравнений, эквивалентную одному уравнению второго порядка с переменными коэффициентами, зависящими от формы меридиана. В некоторых частных случаях она допускает упрощения. Для оболочек вращения второго порядка система (14.10.5) приводится к уравнениям типа Коши—Римана или к уравнениям колебания струны для оболочек вращения с меридианом, имеющим вид параболы (14.11.11), система (14.10.5) приводится к уравнениям с постоянными коэффициентами ( 14.11). Во всех этих случаях можно, очевидным образом, избавиться от переменных коэффициентов и в уравнениях (14.12.3). Для этого надо, например, исходить не из системы (14.10.5), а из уравнений вида (14.11.6) или (14.11.14). [c.203]

Итак, сформулирована линейная однородная краевая задача (4.5.5), (4.5.6) на собственные значения, минимальные из которых — критическая интенсивность давления. Упростим эту задачу, опустив в системе уравнений (4.5.5) подчеркнутые члены, которыми учитывается влияние докритических деформаций. В гл. 7 будет показано, что неучет влияния этих членов приводит к несущественной относительной погрешности в определении критических интенсивностей давления для длинной круговой жестко защемленной панели и ими допустимо пренебречь. Опустив в (4.5.5) подчеркнутые слагаемые, приходим к системе линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Относительно простое строение матрицы ее коэффициентов позволяет в явном виде указать четыре собственных значения этой матрицы [c.125]

Пример 12.3. Рассмотрим устойчивость стержня постоянного сечения под действием собственного веса. Эта задача сводится к определению критического значения интенсивности q равномерно распределенной сжимающей продольной нагрузки (рис. 12.19). Решение этой задачи методом Эйлера приводит к дифференциальному уравнению с переменными коэффициентами, которое можно проинтегрировать с помощью бесселевых функций. В результате придем к решению [c.392]

Это выражение является однородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянным коэффициентом. К подобным уравнениям приводят многие задачи из различных областей физики. [c.9]

Иногда бывает и так, что различные модели формально сводятся к одним и тем же соотношениям. Например, модель грунтовой среды с условием пластичности Прандтля и с постоянной паковкой приводит к дифференциальному уравнению такого же вида, как (9). Разница состоит только в выражениях для коэффициентов. [c.401]

Решения уравнений (16.30), (16.31) и (16.32)—разнообразные случаи распределения температуры в телах. При выводе указанных уравнений предполагалось, что X, ср, а н а являются постоянными коэффициентами. Учет зависимости этих коэффициентов от температуры приводит к нелинейным дифференциальным уравнениям, что чрезвычайно усложняет получение решения аналитическими методами. Для технических целей в ряде случаев точность решения оказывается достаточной, если выби- [c.390]

Уравнения (4.3) являются обычными дифференциальными уравнениями с вещественными постоянными коэффициентами, а в случае (o= onst они становятся линейными. Решение подобных уравнений излагается в математических справочниках и не вызывает затруднений. Однако постоянство индуктивных сопротивлений в (4.3), достигнутое при пренебрежении насыщением, приводит к большим погрешностям в решении уравнений. Учет насыщения в осях d, q осуществляется проще, чем для исходной модели ЭМП (рис. 4.1, а). Обычно насыщение учитывается раздельно по каждой из осей d. q. Для этого вводятся новые переменные в виде собственных и взаимных потокосцеплений катушек, которые связываются с токами с помощью заданных функций насыщения. [c.86]

Для нахождения решения систем дифференциальных уравнений с кусочно-постоянными коэффициентами, как указывалось выше, в настоящее время обычно используется метод припасов ывани я. Указанное приводит к необходимости решать на каждом шаге трансцендентные системы уравнений, что осуществимо в общем случае только численными методами. Кроме того, построение этим методом периодического решения приводит к известным сложностям [2], [5], 177]. [c.157]

Ряды (11.23)-( 11.25) подставляются в уравнение (11.20), после чего приравниваются члены при одинаковых степенях параметра ц. В результате получается совокупность рекуррентных линейных неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Из этих уравнений определяются функции Х2(0), Хз(0), а из условий их периодичности находятся коэффициенты 82,02,84,04 и т.д., причем для отыскания каждой пары коэффициентов 8 , получаются линейные алгебраические уравнения. Конкретно, равенство коэффициентов при jj, удовлетворяется тождественно приравнивание коэффициентов при дает линейное неоднородное уравнение для Х , откуда и находится функция х = Xji ) как периодическое решение этого уравнения. Затем приравниваются коэффициенты при и получается уравнение для Ху Требование периодичности решения лГз(0) приводит к алгебраическим уравнениям для 82 и СТ2, определив которые, находим лГз(0), после чего составляем уравнение для 4(0), приравнивая коэффициенты при ц и т.д. В общих чфтах здесь повторяются выкладки и рассуждения, характерные для метода Пуанкаре. Детали станут ясными из примера в 11.3. [c.229]

Поэтому, казалось бы, естественно поставить задачу виброакустической диагностики прямозубой передачи как задачу разделения виброакустического сигнала на ряд компонент, обусловленных различными факторами, каждый из которых является самостоятельным источником виброакустической активности. Конечно, такое разделение без всяких оговорок возможно-лишь в том случае, когда зубчатая передача может рассматриваться как линейная механическая система с постоянными параметрами [6—8]. При этом1 различным факторам, обусловливающим виброакустичность, соответствуют различные по структуре правые части системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, описывающих колебания передачи. Однако если необходимо учесть периодическое изменение жесткости зацепления в процессе пересопряжения зубьев (чередование интервалов однопарного и двупарного зацепления), то математическая модель передачи описывается системой дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами [9—12]. Здесь уже принцип суперпозиции действует только при условии, что жесткость зацепления как функция времени не зависит от вида правых частей уравнений. Даже при этом условии можно разделить те факторы возбуждения вибраций, которые определяют правые части системы уравнений при известном законе изменения жесткости, но нельзя выделить составляющую виброакустического сигнала, обусловленную переменной жесткостью зацепления. Наконец, учет нелинейностей приводит к принципиальной невозможности непосредственного разложения виброакустического сигнала на сумму составляющих, порожденных различными факторами. Тем не менее оценить влияние каждого из этих факторов на вибро-акустический сигнал и выделить основные причины интенсивной вибрации можно и в нелинейной системе. Для этого следует подробно изучить поведение характеристик виброакустического сигнала при изменении каждого из порождающих вибрации факторов, причем для более полного описания каж- [c.44]

Случай изменяющейся геометрии стержней приводит к дифференциальным уравнениям с переменными коэффициентами (ступенчатые стержни, стержни с непрерывно меняющимися по длине сечениями, криволинейные стержни с переменными радиусами кривизны, а также стержни с изменяющимися по длине массой, сжимающей силой, коэффициентом постели и т.п.). Теория построения решений таких уравнений приводит к псевдодифференциальным уравнениям и сложным фундаментальным функциям. Известны буквально считанные случаи в механике и других науках, когда удавалось построить фундаментальные решения для дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. В публикациях на эту тему наметился другой подход, когда объект с распределенными параметрами заменялся объектом с кусочно-постоянными параметрами (рисунок 2.36). В этом случае все ступени описываются дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, решения которых всегда можно получить. При достаточном числе ступеней решение для дискретизированного таким образом стержня будет мало отличаться от решения для стержня с распределенными параметрами. Эта простая идея довольно долго не могла быть реализована из-за отсутствия соответствующего метода расчета. Метод начальных параметров (МНП), методы сил и перемещений, МКЭ и другие методы приводят алгоритм расчета к произведениям матриц фундаментальных функций, что при большом числе ступеней существенно ухудшает точность результатов вследствие неустранимых погрешностей округления. Предлагаемый аналитический вариант МГЭ свободен от этого недостатка. [c.109]

Общая теория малых колебаний материальной точки приводится во всех курсах теоретической механики. Задача обычно сводится к отысканию решения линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Наибольшие затруднения, по-видимому, представляют вопросы, связанные с определением сил,, создающих колебательное движение, а также составление дифференциальных уравнений, определяющих малые колебания. В простейших задачах линейные дифференциальные уравнения в точности описывают механический процесс. В общем же случае эти уравнения являются лишь приближенными и остаются справедливыми только для достаточно малых колебаний. Методы линеаризации уравнений движения остаются и в настоящее время наиболее простым и эффективным средством решения бТ)льшей части технических задач. [c.48]

Здесь это легко вытекает из следующего рассуждения. В 5 было доказано, что при отсутствии кратных множителей любая задача обобщенного равновесия приводится к такой, для которой уравнения вариации имеют постоянные коэффициенты, посредством линейного преобразования зависимых переменных с коэффициентами, периодически зависящими от с периодом г. При этом преобразовании сохраняется пфаффова форма дифференциальных уравнений согласно 12 главы II. (То обстоятельство, что преобразование содержит Ь, не отражается на этом факте.) Нетрудно также видеть, что сохраняются и множители . Пусть в самом деле преобразование от старых переменных Ж1,. .., х,2т к новым Ж1,. .., Ж2т выражается матричным равенством [c.365]

Коэффициенты системы (8.12) остаются постоянными на полусегменте [/j, т. е. в пределах каждого -го режима движение привода описывается системой уравнений с постоянными коэффициентами. При этом последовательность моментов времени изменения режимов /j до получения решения системы уравнений (8.12) остается неизвестной и подлежит определению. Система уравнений движения привода при вынужденных колебаниях является дифференциальной системой общего типа. Частным случаем такой системы является, например, система дифференциальных уравнений движения привода, упруго-диссипативные характеристики всех соединений которого заданы зависимостями гистерезисного типа (рис. 79, а—б) [c.226]

Системы уравнений движения при вынужденных колебаниях приводов, имеющих нелинейные соединения с кусочно-линейной характеристикой, являются либо дифференциальными, либо алгебро-диф-ференциальными с кусочно-постоянными коэффициентами. Рассмотрим построение решения системы дифференциальных уравнений [c.231]

Основываясь на полученных выше результатах для системы дифференциальных уравнений (8.12), построим решения алгебродифференциальной системы (8.22), описываюш ей вынужденные колебания в приводе с нелинейностью, встроенной в массу. Коэффициенты системы уравнений движения являются кусочно-постоянными функциями обобщенных координат у/ (0< k, k + , А + 2, и производных 7/ (i), j = k, k + 2, в соответствии с управляющими воздействиями согласно (8.20). Вектор-функция М (Uk-j-i) [c.244]

Показывается, что использование управляемого гидромотора вместо управляемого насоса в силовом гидроприводе с разомкнутой схемой управления, кроме существенного уменьшения веса и габаритов, приводит к значительному увеличению постоянной времени и коэффициента демпфирования на больших скоростях движения, делает параметры системы существенно зависимыми от значения параметра регулирования. Устанавливается, что по Отношению к стационарным случайным, воздействиям рассматриваемый гидропривод неустойчив в случае использования гидромотора, кинематика которого меняется с изменением значения параметра регулирования. Дается связь между основными конструктивными параметрами гидромашян и параметрами дифференциального уравнения. Зависимость коэффициентов динамической ошибки от нагрузки и значения параметра регулирования является причиной низкого качества управляемости системы. Динамические свойства на малых скоростях движения не отличаются от свойств традиционной системы. Рис. 2, библ. 16. [c.221]

Только благодаря TOifj, что мы взяли э.шменты невозму1ценной задачи как раз в форме, которую дает метод Гамильтона, мы смогли так упростить дифференциальные уравнения, что в каждое из них входит только одна производная от возмущаюп1,ей функции и что коэффициент при этой производной приводится к положительной или отрицательной единице. Этот выбор элементов имеет огромную важность поэтому при определении движения планет по методу Гамильтона мы подробно выяснили геометрическое значение введенных там произвольных постоянных. [c.254]

Здесь сразу следует обратить внимание на то, что стационарные кривые, представляющие зависимость величины квадрата амплитуды колебаний от отношения частот (nlX , не будут одинаковыми для гироскопических роторных систем с постоянной и переменной массой. Это объясняется тем, что в первом случае движение системы описывается дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, а во втором случае—дифференциальными уравнениями с переменными коэффициентами (1). Поэтому в последнем случае фундаментальное уравнение (2а) является уравнением с переменными коэффициентами. G физической точки зрения это означает, что в гироскопической роторной системе с переменной массой, в отличие от такой же системы с постоянной массой, спектр собственных частот зависит не только от угловой скорости вращения, но и переменности массы. Так как в рассматриваемых стационарных режимах проявляется лишь одна собственная частота, а именно первая частота прямой прецессии то для иллюстрации сказанного выше на рис. 8 приводятся зависимости собственной частоты от угловой скорости вращения (О с различными скоростями изменения массы f j при указанных параметрах системы vi к = 200 секГ , е = 1,0 мм. Из кривых на рис. 8 видим, что в рассматриваемой системе по отношению к системе с постоянной массой (к = 0) с ростом со величина падает при увеличении массы и растет при уменьшении массы тем больше, чем больше скорость изменения массы. [c.134]

Для того чтобы уравнение (3-9) было обыкновенным дифференциальным уравнением для функции /, необходимо, чтобы коэффициенты а, р и у были постоянными величинами, т. е. не зависели бы от координаты х. Граничные условия, которым должна удовлетворять функция тока, приводят, как видно из выражений для д р1дх и к следующим условиям, которым должна удовлетворять функция / [c.76]

Рассмотрим диффузию примеси в безграничном течении с постоянным градиентом средней скорости йх(г) и однородным и стационарным полем пульсаций и (Х, ). В п. 10.4 мы видели, что в этом случае взаимодействие сдвига с поперечным рассеянием приводит к качественному изменению продольного рассеяния продольная дисперсия Dxx x) становится асимптотически пропорциональной т , а не т, как обычно. Поэтому вначале сферическое облако примеси в таком течении через некоторое время принимает форму вытянутого по направлению оси ОХ эллипсоидообразного веретена, большая ось которого слегка наклонена по отношению к плоскости Z = 0. Поскольку поле пульсаций и однородно и стационарно, коэффициенты турбулентной диффузии постоянны в пространстве и во времени. Поэтому основные особенности диффузии можно выяснить, рассмотрев решение дифференциального уравнения [c.567]

Уравнение (6.6) является линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Если коэффициент fell равен нулю или сравнительно мал, то это уравнение описывает колебания системы, называемые линейными. Стационарность сил и связей, рассматриваемых в данной задаче, приводит не только к постоянству коэффициентов уравнения (6.6), но и к его однородности поэтому описываемые этим уравнением колебания называют собственными (или свободными). [c.255]

Постоянные времени Ту и Тг можно вычислить стандартным способом по результату решения характеристического уравнения с коэффициентами дифференциального уравнения (9.13). Эта процедура приводит к довольно громоздким алгебраическим выражениям, которые, однако, можно упростить, полагая Л74 <Ят2 и Собр После ряда математических выкладок получаем [c.130]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...