ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ приводящиеся к уравнениям с постоянными коэффициентами

Закон сохранения энергии имеет то преимущество, что он всегда приводит к цели, каким бы образом сила X ни зависела от х. Для нашего же случая, в котором X линейно зависит от ж, существует другой, значительно более изящный, способ решения уравнения движения. Он основывается на непосредственно очевидном положении, что однородное линейное дифференциальное уравнение любого порядка с постоянными коэффициентами х — искомая функции, t — независимая переменная) всегда имеет решение вида [c.39]

Подстановка решения (6.48) в уравнение (6,23) приводит к обыкновенному линейному дифференциальному уравнению четвертого порядка с постоянными коэффициентами относительно функции поперечного распределения смещения w y) [c.191]

Сформулированные выше утверждения относились к случаю, когда линейное приближение приводит к дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами. Это типично для задач об устойчивости состояний равновесия или стационарного движения. В общем случае матрица 6 уравнений первого приближения зависит от 7. При этом нельзя утверждать, что из асимптотической устойчивости решений уравнений первого приближения следует устойчивость решений нелинейной системы. Ляпунов выделил класс так называемых правильных систем, для которых справедлив аналог теоремы об устойчивости по первому приближению. Среди этих систем - системы с переменными коэффициентами, которые являются ограниченными периодическими функциями времени с одинаковым вещественным периодом. [c.460]

В случае призматических стержней исследование колебаний не встречает каких-либо затруднений, так как разыскание нормальных функций приводится к интегрированию линейного дифференциального уравнения (170) с постоянными коэффициентами. Задача становится более сложной, если сечения стержня изменяются по длине. В таком случае для определения собственных колебаний стержня нужно обратиться к решению уравнения (167) [c.349]

В силу приведенных выше зависимостей подстановка вектор-функций (1) в уравнения (2) приводит к дифференциальным уравнениям с переменными (периодическими) коэффициентами, что существенно усложняет анализ электромагнитных процессов. Известные предложения, направленные на упрощение математического описания рассматриваемых процессов, основаны на замене переменных, приводящей систему дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами к системе с постоянными коэффициентами [ 3, 5]. [c.310]

Для некоторых типов теплообменников такой метод позволяет резко упростить вычислительный процесс, он очень удобен для определения движения границ начала и конца испарения. В том случае, когда коэффициенты уравнения энергии являются функциями температуры, метод разбиения линиями уровня позволяет перейти к решению обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными, заранее заданными или вычисленными коэффициентами, в то время как метод прямых приводит к системе нелинейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. [c.89]

Пример 12.3. Рассмотрим устойчивость стержня постоянного сечения под действием собственного веса. Эта задача сводится к определению критического значения интенсивности q равномерно распределенной сжимающей продольной нагрузки (рис. 12.19). Решение этой задачи методом Эйлера приводит к дифференциальному уравнению с переменными коэффициентами, которое можно проинтегрировать с помощью бесселевых функций. В результате придем к решению [c.392]

Уравнения (4.3) являются обычными дифференциальными уравнениями с вещественными постоянными коэффициентами, а в случае (o= onst они становятся линейными. Решение подобных уравнений излагается в математических справочниках и не вызывает затруднений. Однако постоянство индуктивных сопротивлений в (4.3), достигнутое при пренебрежении насыщением, приводит к большим погрешностям в решении уравнений. Учет насыщения в осях d, q осуществляется проще, чем для исходной модели ЭМП (рис. 4.1, а). Обычно насыщение учитывается раздельно по каждой из осей d. q. Для этого вводятся новые переменные в виде собственных и взаимных потокосцеплений катушек, которые связываются с токами с помощью заданных функций насыщения. [c.86]

Поэтому, казалось бы, естественно поставить задачу виброакустической диагностики прямозубой передачи как задачу разделения виброакустического сигнала на ряд компонент, обусловленных различными факторами, каждый из которых является самостоятельным источником виброакустической активности. Конечно, такое разделение без всяких оговорок возможно-лишь в том случае, когда зубчатая передача может рассматриваться как линейная механическая система с постоянными параметрами [6—8]. При этом1 различным факторам, обусловливающим виброакустичность, соответствуют различные по структуре правые части системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, описывающих колебания передачи. Однако если необходимо учесть периодическое изменение жесткости зацепления в процессе пересопряжения зубьев (чередование интервалов однопарного и двупарного зацепления), то математическая модель передачи описывается системой дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами [9—12]. Здесь уже принцип суперпозиции действует только при условии, что жесткость зацепления как функция времени не зависит от вида правых частей уравнений. Даже при этом условии можно разделить те факторы возбуждения вибраций, которые определяют правые части системы уравнений при известном законе изменения жесткости, но нельзя выделить составляющую виброакустического сигнала, обусловленную переменной жесткостью зацепления. Наконец, учет нелинейностей приводит к принципиальной невозможности непосредственного разложения виброакустического сигнала на сумму составляющих, порожденных различными факторами. Тем не менее оценить влияние каждого из этих факторов на вибро-акустический сигнал и выделить основные причины интенсивной вибрации можно и в нелинейной системе. Для этого следует подробно изучить поведение характеристик виброакустического сигнала при изменении каждого из порождающих вибрации факторов, причем для более полного описания каж- [c.44]

Случай изменяющейся геометрии стержней приводит к дифференциальным уравнениям с переменными коэффициентами (ступенчатые стержни, стержни с непрерывно меняющимися по длине сечениями, криволинейные стержни с переменными радиусами кривизны, а также стержни с изменяющимися по длине массой, сжимающей силой, коэффициентом постели и т.п.). Теория построения решений таких уравнений приводит к псевдодифференциальным уравнениям и сложным фундаментальным функциям. Известны буквально считанные случаи в механике и других науках, когда удавалось построить фундаментальные решения для дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. В публикациях на эту тему наметился другой подход, когда объект с распределенными параметрами заменялся объектом с кусочно-постоянными параметрами (рисунок 2.36). В этом случае все ступени описываются дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, решения которых всегда можно получить. При достаточном числе ступеней решение для дискретизированного таким образом стержня будет мало отличаться от решения для стержня с распределенными параметрами. Эта простая идея довольно долго не могла быть реализована из-за отсутствия соответствующего метода расчета. Метод начальных параметров (МНП), методы сил и перемещений, МКЭ и другие методы приводят алгоритм расчета к произведениям матриц фундаментальных функций, что при большом числе ступеней существенно ухудшает точность результатов вследствие неустранимых погрешностей округления. Предлагаемый аналитический вариант МГЭ свободен от этого недостатка. [c.109]

Другими частными решениями задачи трех тел, существование которых доказано строго, являются периодические орбиты. Работа Пуанкаре ) представляет обширную теорию этого класса орбит. В гл. XII настоящей книги пример такого рода периодических орбит приводится при рассмотрении теории Хилла —Брауна движения Луны. Метод, примененный для изучения орбит в окрестности периодической орбиты, выбранной в качестве первого приближения в теории Луны, применим в большинстве случаев и к периодическим орбитам в ограниченной задаче. Однако в этом случае уравнения в вариациях больше не являются линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, как это было для частных решений Лагранжа. Коэффициенты этих линейных уравнений представляют собой периодические функции времени. [c.234]

Ряды (11.23)-( 11.25) подставляются в уравнение (11.20), после чего приравниваются члены при одинаковых степенях параметра ц. В результате получается совокупность рекуррентных линейных неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Из этих уравнений определяются функции Х2(0), Хз(0), а из условий их периодичности находятся коэффициенты 82,02,84,04 и т.д., причем для отыскания каждой пары коэффициентов 8 , получаются линейные алгебраические уравнения. Конкретно, равенство коэффициентов при jj, удовлетворяется тождественно приравнивание коэффициентов при дает линейное неоднородное уравнение для Х , откуда и находится функция х = Xji ) как периодическое решение этого уравнения. Затем приравниваются коэффициенты при и получается уравнение для Ху Требование периодичности решения лГз(0) приводит к алгебраическим уравнениям для 82 и СТ2, определив которые, находим лГз(0), после чего составляем уравнение для 4(0), приравнивая коэффициенты при ц и т.д. В общих чфтах здесь повторяются выкладки и рассуждения, характерные для метода Пуанкаре. Детали станут ясными из примера в 11.3. [c.229]

Основываясь на полученных выше результатах для системы дифференциальных уравнений (8.12), построим решения алгебродифференциальной системы (8.22), описываюш ей вынужденные колебания в приводе с нелинейностью, встроенной в массу. Коэффициенты системы уравнений движения являются кусочно-постоянными функциями обобщенных координат у/ (0< k, k + , А + 2, и производных 7/ (i), j = k, k + 2, в соответствии с управляющими воздействиями согласно (8.20). Вектор-функция М (Uk-j-i) [c.244]

Только благодаря TOifj, что мы взяли э.шменты невозму1ценной задачи как раз в форме, которую дает метод Гамильтона, мы смогли так упростить дифференциальные уравнения, что в каждое из них входит только одна производная от возмущаюп1,ей функции и что коэффициент при этой производной приводится к положительной или отрицательной единице. Этот выбор элементов имеет огромную важность поэтому при определении движения планет по методу Гамильтона мы подробно выяснили геометрическое значение введенных там произвольных постоянных. [c.254]

Для того чтобы уравнение (3-9) было обыкновенным дифференциальным уравнением для функции /, необходимо, чтобы коэффициенты а, р и у были постоянными величинами, т. е. не зависели бы от координаты х. Граничные условия, которым должна удовлетворять функция тока, приводят, как видно из выражений для д р1дх и к следующим условиям, которым должна удовлетворять функция / [c.76]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...