Однородные статические задачи

Случай I Д7 < Зл. Стерженек, с помощью которого условно изображается краевое закрепление, при однократном обходе края оболочки совершает менее чем полтора полных оборота в положительном направлении (по часовой стрелке, если смотреть со стороны внешней нормали). Тогда однородная статическая задача не имеет нетривиальных решений, а число линейно независимых нетривиальных решений однородной геометрической задачи [c.255]

Существование решения однородной статической задачи означает, что срединная поверхность оболочки имеет изгибания. Выясним характер соответствующих перемещений. Примем, что выполняется равенство (18.37.8) и выразим в нем целые числа тип формулами [c.265]

Однородные статические задачи (/>2) и (Т ). Вектор 51 (д ) с проекциями на осях (л ,, х , Л3) [c.167]

ОДНОРОДНЫЕ СТАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ (0° И (Г 169 [c.169]

Примечание. 1. В ряде задач теории упругости и теории пластичности массовые силы оказывают очень небольшое влияние, и поэтому при расчетах ими пренебрегают. В таком случае в уравнениях (1.5.2) исключают члены, содержащие X, У, 2. Если к тому же рассмотреть случай покоя (статическая теория упругости), то уравнения равновесия (1.5.2) окажутся однородными диф ренциальными уравнениями. Если в этих уравнениях применить нумерованные обозначения напряжений и координатных осей, то такие однородные статические уравнения примут следующий исключительно краткий вид с=з [c.18]

Хорошо известно, что в статических задачах линейной механики разрушения при нагружении по типу I можно использовать так называемый /-интеграл для осуществления эффективных и простых вычислений параметров разрушения. Объясняется это тем, что при соответствующих допущениях, касающихся однородности материала и т. д., интенсивность полей у вершины трещины (например, Ki) определяется интегралом, который рассчитывается по контуру, расположенному вдали от вершины трещины. Поскольку расчетные значения напряжений и перемещений в области, существенно удаленной от вершины трещины, как правило, обладают сравнительно небольшой чувствительностью к особенностям моделирования зоны у вершины, этот интеграл по дальнему контуру можно рассчитать с достаточной точностью, пользуясь сравнительно грубой конечно-элементной моделью конструкции. [c.290]

Теорема 2. Если однородная статическая безмоментная задача имеет нетривиальное решение T[ то геометрическая безмоментная [c.110]

Подставив это в (7.7.6) и учтя (7.7.7), получим равенство (7.7.8). Аналогично, если под статическими неизвестными в (7.7.6) понимается нетривиальное решение однородной статической безмоментной задачи, то в (7.7.6) надо положить [c.111]

Легко показать, что, если полная безмоментная краевая задача имеет решение, то в нем будут присутствовать элементы произвола, соответствующие возможным изгибаниям срединной поверхности. Перемещениям любого изгибания соответствуют нулевые компоненты тангенциальной деформации, а значит, в силу формул (7.1.4), и нулевые тангенциальные усилия. Поэтому перемещения возможного изгибания заведомо удовлетворяют однородным безмоментным статическим уравнениям и однородным статическим тангенциальным условиям. Кроме того, они по определению удовлетворяют однородным безмоментным геометрическим уравнениям и однородным геометрическим тангенциальным условиям. Таким образом,. [c.219]

Таким образом, однородные статическая и геометрическая задачи без-моментной теории могут иметь нетривиальные решения только тогда, когда [c.265]

Итак, для однополостного гиперболоида вращения, закрепленного выше описанным способом, существуют размеры, определяемые равенством (18.37.8) они будут в дальнейшем называться собственными размерами), при которых однородные статическая и геометрическая задачи безмоментной теории одновременно имеют нетривиальные решения. При этом собственные размеры однополостного гиперболоида расположены всюду плотно среди всех возможных его размеров (как рациональные числа расположены среди всех возможных действительных чисел) [32, 112, 113, 151]. [c.265]

Левые части этих уравнений — такие же, как в (18.37.6). Поэтому их определители будут равны нулю, если при п = k w некотором целом т выполняется равенство (18.37.8). Решение неоднородной статической задачи будет в этом случае, вообще говоря, невозможно. Это можно было предвидеть заранее. Рассматриваемые здесь статическая и геометрическая безмоментные задачи сопряжены (в смысле 7.7). Поэтому, если выполнено (18.37.8), т. е. если однородная геометрическая задача имеет нетривиальные решения, то согласно теореме 1 7.7 надо требовать, чтобы внешние силы статической задачи не совершали работы на перемеш,ениях сех возможных изгибаний. Выше было показано, что таких изгибаний бесконечное множество. Однако соответствующие им перемещения меняются по ag как sin rva или os r -ai,2, а внешние силы меняются по как sin ka или os ka2, поэтому, в силу ортогональности тригонометрических функций, работа внешних сил может отличаться от нуля лишь при п> = k. При фиксированном г существуют только два линейных независимых изгибания, а значит, и число нетривиальных условий Существования решения статической задачи также равно двум. Это и будут те два условия, которым должны отвечать правые части двух систем [c.266]

Это уравнение совпадает с уравнением для определения собственных чисел однородных решений в статических задачах для слоя [80, 137]. Характерной особенностью данного уравнения является независимость его корней от коэффициента Пуассона v. [c.129]

Если определяющие соотношения явно зависят от координат, то динамическая, квазистатическая или статическая задачи называются неоднородными. В противном случае она называется однородной. [c.45]

У е S. Так как одновременно эти векторы на границы заданы быть не могут, то формула (2.29) непосредственного практического применения не имеет. Но, как мы увидим далее, она может быть использована для получения многих важных результатов. Рассмотрим изотропную среду. Прежде чем получить явное выражение перемещений Кельвина, построим некоторые важные частные решения статической задачи упругости, т.е. решения, которые удовлетворяют уравнениям Ламе (1.72), но не обязательно удовлетворяют граничным условиям. Такие частные решения обычно разыскиваются с помощью вектора перемещения через не которые векторы, удовлетворяющие уравнениям более простым, чем уравнения Ламе, например уравнению Лапласа или Пуассона, однородному или неоднородному бигармоническому уравнению. Такое выражение принято называть представлением решения задачи теории упругости. Применим к уравнениям (1.72) один раз оператор div, а другой раз оператор Лапласа Д = Тогда получим соответственно [c.86]

В этой главе излагается общий подход к решению проблемы особых точек, основанный на понятии корректной краевой задачи и теореме об однородных решениях Р ]. В сочетании с простейшими инвариантно-групповыми соображениями предлагаемый подход позволил достаточно полно изучить наиболее интересные случаи в плоской статической задаче теории упругости, а также случай цилиндрической точки. [c.52]

СТАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕРМОУПРУГОСТИ КУСОЧНО-ОДНОРОДНЫХ ТЕЛ [c.233]

СТАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ КУСОЧНО-ОДНОРОДНЫХ ТЕЛ [c.234]

Статические задачи Для кусочно-однородных тел [Гл. б [c.250]

СТАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ КУСОЧНО-ОДНОРОДнЫХ ТЕЛ [c.256]

СТАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ КУСОЧНО-ОДНОРОДНЫХ ТЁЛ [c.258]

При решении статических задач термоупругости при нестационарных температурных полях обычно предполагают, что напряженное состояние в каждый момент времени соответствует перепаду температур, который наблюдается в этот же момент. Инерционными членами в уравнениях упругости при этом пренебрегают. Статические задачи термоупругости легче поддаются решению, чем динамические, и к настоящему времени найдено в аналитическом виде достаточно большое число решений [2]. Однако полученные решения имеют достаточно сложный вид и не всегда удобны для практического применения. Кроме того, они получены с использованием приближений, не учитывающих отдельные особенности реальных материалов (материал считается однородным и изотропным, модули упругости и другие параметры материала считаются не зависящими от температуры и т. д.). Для практических целей часто прибегают к значительным упрощениям теоретических представлений и к экспе- [c.215]

При со = О имеем соответствующие статические задачи (1) , (П) и т. д. Как и выше, однородные задачи будем обозначать соответственно через [c.424]

Согласно теоремам из П1, 1, п. 6, однородные гранично-контактные статические задачи, кроме второй, допускают лишь нулевые решения, вторая же задача имеет ненулевое решение, являющееся жестким смещением. На этом основании, в соответствии с теоремами эквивалентности, можно утверждать, что однородные функциональные уравнения, соответствующие уравнению (5.52) для всех задач, кроме второй, имеют лишь тривиальные решения [c.490]

Теорема. Однородные статические задачи (I)f, (П) ", (II1) , (IV)5 , (V)f, (VI)o , (VII)o имеют лишь тривиальные реиления, a задача (11)0 до- [c.424]

В самом деле, при ш = 0 динамические задачи (D ) и (Г ) обращаются в соответствующие статические задачи по теореме 5 однородная статическая задача ( > ) имеет лишь тривиальное решение, и следовательно, для динамической задачи (D ) значение ш = 0 не является характеристическим. По теореме же 6 однородная статическая задача (т1) допускает отличные от нуля решения вида 0+9X3 —rXj, 6+ГХ1 —рлгз, + pxj —9x1, [c.90]

В главе I было проведено исследование аоимптотического рас-пределения напряжений и смещений в> малой окрестности вершины трещины, находящейся в кусочно - однородной среде, без учета сил инер-(, . 1 щш i статическая задача теории упругости ). Учет сил инерции приводит к некоторому перераспределению напряжьний и смещений в малой ркрестносги вершины трещины. [c.92]

В силу того что в общем случае нагрузкар (s) на S не самоуравновеше-на, дополнительно предположим, что тело закреплено от смещений и поворотов в некоторой точке V. Определим из решения этой задачи вектор перемещений (s) на 5. Вычитая полученный вектор перемещений из заданного м (s), сведем исходную задачу к случаю однородных статических краевых условий на S. Таким образом, поставленную задачу, не нарушая общности, можно рассматривать с нулевым вектором напряжений на 5 (p (s) =0) и кинематическим краевым условием, равным и,1 = — [c.64]

Не нарушая общности, будем рассматривать задачу со свободной от нагрузок частью поверхности 5(р1 = р =0). Предположим также, что смешанная краевая задача для области V разрешима при любых кусочнонепрерывных граничных условиях. Итерационный процесс, решающий поставленную задачу, строится следующим образом. Кинематиадское краевое условие, заданное на участке поверхности 5(г/ =г/ ), доопределим однородным статическим краевым условием на Z, —p i = = 0. Выбор нулевого приближения вектора напряжений в этом виде не является обязательным. Процесс может быть начат с произвольной кусочно-непрерывной функции (х), X L. Решая с этими условиями смешанную краевую задачу, находим поле перемещений в К и получаем предельные значения вектора перемещений на L. Значение uj принимаем за кинематическое краевое условие на L, а на 5 ставим заданное статическое условие р j = р =0. Решая эту краевую задачу, находим поле тензора напряжений ов К и получаем на L предельные значения векто-74 [c.74]

Рассмотрим решение соответствующих статических задач для конструкций большой протяженности. Допустим, что балка бесконечной длины расположена на упругом винклеровском основании. Коэффициент упругости основания будем считать однородной случайной функцией координаты с математическим ожиданием (с (л )) с = onst и флуктуациями q (х) гауссовского типа. [c.176]

Она и решает рассматриваемую безмоментную статическую задачу для случая, когда отсутствуют поверхностные силы (в том числе и сосредоточенные). Это значит, что однородная безможНтная статическая задача, соответствующая условию (17.31.2), при п 2 имеет нетривиальное решение, зависящее от 2п — 3 действительных констант Лр, 5 (й == 1, 2,. . . . .., п — 2). Можно показать (на этом мы не будем останавливаться), что при рассматриваемых условиях формула (17.31.6) дает самое общее выражение комплексной функции напряжения и что множители при Л и 5 линейно независимы. [c.251]

Таким образом, одноролная статическая задача (17.31.2) и однородная геометрическая задача (17.31.1) не могут одновременно иметь нетривиальные решения, но одна из них нетривиальное решение всегда имеет. [c.252]

Рассмотрим некоторые особенности погранслоя в телах из малосжимаемых материалов типа резины и связанные с малой сжимаемостью нарушения принципа Сен-Венана о локальном харгштере распределения напряжений. Для тонких тел из металлических и других жестких материалов решение погранслоя обычно строится при однородных статических условиях на лицевых поверхностях — это краевые задачи оболочек и пластин. Такому решению должно отвечать самоуравмовешешюе по толщине слоя напряженное состояние. [c.76]

Итак, чтобы решить статическую задачу теории упругости Х2.1), (2.2) для композита, представляющего собой квазиперио-дическую структуру, необходимо решить две рекуррентные последовательности задач. Первая из них (задачи Да(/э), р=0, 1,. ..) состоит в решении краевых задач однородной теории упругости, вторая (задачи Жа( , Р), =—1, 0, 1,. .. р = —1, 0,. .., д) — решении задачи неоднородной теории упругости на некоторой ячейке. В результате решения каждой задачи Жа( , Р) (5.22) находятся локальные функции N(,,)(( ). При этом используются условия (2.15), (2.22) и условия (5.23), (5.35), из которых определяются и величины Ь(,)(э), Ь (,)(з), входящие во входные данные задач Да(р). После решения задач Да(р) и Жа( , Р) с учетом (5.32) находим решение исходной задачи по формуле (5.16). [c.128]

Стационарные динамические задачи. Мощный ме -од, развитый Л. А. Галиным в плоской стационарной задаче динамической теории упругости позволяет легко получить следующий результат если упругое однородное и изотропное тело представляет собой внешность любого числа разрезов вдоль одной и той же прямой, движущихся с одной и той же скоростью вдоль этой прямой, а внешние нагрузки симметричны относительно этой прямой и перемещаются вдоль нее с той же скоростью, то коэффициенты интенсивности напряжений в концах разрезов будут такими же, как и в соответствующей статической задаче. Коэффициент Ki определяется в соответствии с формулами (3.187). [c.578]

В настоящей главе рассматриваются следующие статические задачи термоуп ругостж пространственная для бесконечной среды с конечным числом включений, имеющих форму параллелепипеда, при постоянной температуре одномерная для многослойного цилиндра, поверхность которого поддерживается при постоянной температуре для полого цилиндра, материал которого представляет собой композит, состоящий из двух чередующихся между собой концентрически расположенных слоев с различными-фнзико-механнческимн характеристиками, а внутренняя и внешняя поверхности поддерживаются при различных температурах двумерная для кусочно-однородного полупространства, нагреваемого действующими на некотором расстоянии от краевой поверхности источниками тепла, плотность которых периодически изменяется по координате двумерная для полубесконечной пластинки с тонким инородным пластинчатым включением, параллельным ее боковым поверхностям, нагреваемой движущимся по краевой поверхности линейным источником тепла, При этом используются метод возмущений и метод, основанный на использовании аппарата асимметричных и симметричных обобщенных функций. Для пространственной задачи построено приближенное решение, на основе которого показано, что внутри включения напряжения изменяются незначительно, касательные напряжения везде, кроме близких окрестностей вершин параллелепипеда, в которых они имеют логарифмическую особенность, незначительны по сравнению с нормальными напряжениями. Для кусочно-однородного цилиндра находятся замкнутые решения, единые для всей области их определения. [c.233]

Во второй главе рассматриваются основные уравнения задачи термоупругости в квазистатической постановке, когда не учитываются связывающий член в уравнении теплопроводности и инерционные члены в уравнениях равновесия. Рассмотрение этого вопроса в специальной главе оправдывается тем, что квазистатическая задача термоупругости имеет наибольшее практическое значение в обычных условиях теплообмена тепловые потоки, образующиеся вследствие деформации, и динамические эффекты, обусловленные нестационарным нагревом, настолько невелики, что соответствующие члены в уравнениях могут быть отброшены и система уравнений распадается на обычное уравнение нестационарной теплопроводности и уравнения, описывающие статическую задачу о термоупругих напряжениях при заданном температурном поле, вызванном внешними источниками тепла. Здесь при изложении постановки квазистатической задачи термоупругости в перемещениях представление общего решения выбрано в форме, полученной П. Ф. Папкови-чем в 1932—1937 гг. В этой форме решение однородного уравнения для вектора перемещения содержит произвольные гармонические вектор и скаляр, а частное решение соответствующего неоднородного уравнения, отвечающего заданному температурному полю, определяется через скалярную функцию, получившую название термоупругого потенциала перемещений, которая удовлетворяет уравнению Пуассона. [c.7]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...