Основные уравнения в системах криволинейных координат

Имея в виду дальнейшие преобразования основных уравнений движения идеальной (т. е. невязкой и нетеплопроводной) сжимаемой жидкости, приведем их сразу в произвольной правой ортогональной системе криволинейных координат д с соответствующими [c.275]

При исследовании движения связанных механических систем, как об этом указывалось в 25, наиболее широко используются дифференциальные уравнения движения в обобщённых (или независимых) координатах, получившие название уравнений Лагранжа второго рода (в дальнейшем мы будем называть их просто уравнениями Лагранжа). Эти уравнения замечательны тем, что не содержат явно неизвестные силы реакций связей, что существенно упрощает решение основной динамической задачи, связанной с движением несвободной системы, — отыскание и исследование законов ее движения. Большое значение уравнения Лагранжа имеют также и для динамики свободных систем, по отношению к которым они являются уравнениями движения в произвольных криволинейных координатах. [c.159]

Одним из основных методов решения линейных уравнений с частными производными является метод разделения переменных, согласно которому исходное уравнение разбивается на несколько обыкновенных, содержащих по одному независимому переменному. Разделение переменных возможно лишь в некоторых криволинейных системах координат. Рассмотрим произвольную криволинейную систему координат (gi, I2, ёз), связанную с прямоугольными координатами соотношениями [68] [c.47]

В этой книге излагается общая теория криволинейных координат и ее применения в механике, в учении о теплоте и теории упругости разъясняется преобразование уравнений теории упругости к криволинейной системе координат и в качестве примера исследуется деформация сферической оболочки. В заключительных главах Ламе подвергает критическому анализу принципы, на основе которых строится вывод основных уравнений теории упругости. Теперь он уже не одобряет вывод уравнений по способу Навье (с привлечением гипотезы молекулярных сил), а отдает предпочтение методу Коши (в котором используется лишь статика твердого тела). Затем он принимает гипотезу Коши, согласно которой компоненты напряжения должны быть линейными функциями компонент деформации. Для изотропных материалов принятие этой гипотезы приводит к сокращению кисла необходимых упругих постоянных до двух, находимых из испытаний на простое растяжение и простое кручение. Таким путем все не- [c.144]

Основное уравнение динамики материальной точки записывается соответственно выбранной системе координат. Так, основное уравнение динамики можно составить в цилиндрических, сферических и других криволинейных координатах. Ниже, в гл. 10, 6, приводится основное уравнение динамики материальной точки, отнесенное к любой системе координат. [c.13]

Основные уравнение и их решение. Рассмотрим обтекание тела вращения или плоского контура сверхзвуковым потоком. Движение будем рассматривать в криволинейной системе координат, [c.280]

В этой главе кратко суммированы основные понятия, необходимые для изучения книги. Начав с введения о содержании, мы затем привели уравнения Максвелла (1.1) — (1.4), описывающие поведение электрических и магнитных полей. Введена обобщенная криволинейная ортогональная система координат как удобный способ записи уравнений в любых координатах, подходящих для решения поставленной задачи. Уравнение (1.14) [c.21]

Мы рассмотрели основные законы движения заряженных частиц в электрическом и магнитном полях. Сначала мы определили лагранжиан частиц (уравнение (2.15)). Закон сохранения энергии позволил представить скорость частицы в виде функции потенциала (уравнение (2.31)). Затем были получены релятивистские уравнения движения (2.50) — (2.52) в обобщенной ортогональной криволинейной системе координат. Были рассмотрены частные случаи уравнений движения в декартовой (уравнения (2.53) — (2.55) и цилиндрической (2.60)—(2.62) системах координат. Уравнения движения были затем преобразованы в траекторные уравнения (2.76) —(2.77), (2.80), (2.81) и (2.84) — (2.85) соответственно. Мы ввели релятивистский потенциал (уравнение (2.89)) и показали, что он позволяет использовать нерелятивистские уравнения в магнитных полях даже в случае высоких энергий частиц. Затем был введен электронно-оптический показатель преломления (соотношение (2.92)) и установлены аналогии между геометрической оптикой, с одной стороны, и электронной и ионной оптикой, — с другой. Были определены траектории частиц в однородных электростатическом и магнитном полях посредством точного решения траекторных уравнений. В качестве практических примеров рассмотрены плоские конденсаторы, длинные магнитные линзы, электростатические и магнитные отклоняющие системы, простые анализаторы масс и скоростей. Наконец, были приведены законы подобия электронной и ионной оптики (соотношения (2.183) — (2.188) и (2.190)). [c.63]

Часто весьма целесообразно оперировать основными уравнениями теории упругости в криволинейных ортогональных системах координат. Правда, это требует применения тензорного исчисления в общей форме, от которого в этой книге сознательно отказываются. Однако необходимые для дальнейшего основные соотношения для наиболее часто встречающихся криволинейных координат — цилиндрических и сферических приведены без вывода К [c.71]

Запишем первоначально основные уравнения задачи в криволинейной системе координат, которую будем связывать с кривой у=[о з) в плоскости дг, у (рис. 1.1). Координаты точки в этой системе определяются длиной дуги 5, расстоянием по нормали к этой [c.18]

В настоящей работе развивается смешанный вариационный метод теории упругости применительно к расчету корпусных деталей машин и других инженерных конструкций на прочность, жесткость, виброустойчивость и термопрочность. Автором при помощи смешанного вариационного метода выведены системы новых дифференциальных уравнений в частных производных по двум переменным (одной из координат и времени) в произвольной ортогональной криволинейной системе координат при учете факторов температуры и времени. Эти уравнения обобщают все существующие другие уравнения по данному вопросу, в том числе и уравнения, полученные в ранних работах автора [32, 33]. В книге показано, что все основные приближенные уравнения прикладной теории упругости, а также широко применяемые технические расчеты получаются из общих уравнений при соответствующем, выборе аппроксимирующих функций. Для многих технических расчетов аппроксимирующие функции выбирают в виде линейных зависимостей, при которых обеспечивается необходимая для практиче- [c.11]

С целью выяснения качественной картины процесса принято, что на движение твердой частицы влияют два основных фактора инерционная сила и сила сопротивления. В неподвижной системе координат общее уравнение движения твердой частицы в криволинейном потоке имеет вид [c.72]

Интегральные представления комплексных потенциалов Ф (г), (г) и интегральные уравнения основных граничных задач для бесконечной плоскости, содержащей систему криволинейных разрезов, приведем в несколько иной форме. Для этого отнесем каждый контур к локальной системе координат В основной [c.34]

Интегральные уравнения задачи [206]. Пусть бесконечная упругая изотропная плоскость ослаблена конгруэнтными группами криволинейных разрезов. В основном параллелограмме периодов имеется N гладких криволинейных разрезов (/г = 1, 2,. .., N), отнесенных к локальным системам координат (см. рис. 7). [c.105]

Разрешающее уравнение задачи термоупругости. Рассмотрим тонкую пологую оболочку, ослабленную криволинейными трещинами. Будем считать материал изотропным в смысле термомеханических свойств. Предположим, что оболочка находится в стационарном температурном поле и не испытывает внешней силовой нагрузки. Отнесем срединную поверхность оболочки к декартовой системе координат (х, у) ось 2, определяющую расстояние точки от срединной поверхности, направим нормально к ней (см. рис. 68). Разделим общее температурное поле ti (л , у, г) на основное (х, у, 2), возникающее в сплошной оболочке, и возмущенное t (л , у, z), вызванное наличием трещин [c.288]

Задача изучения криволинейного движения материальной точки под действием заданных сил состоит в решении (интегри ровании) системы (67) совместных дифференциальных уравнений второго порядка, т. е. в определении координат точки в функции времени. Общие методы решения системы (67) при произвольных /ь /а, /з пока не разработаны. Однако некоторые приемы построения решений системы (67) можно указать. Заметим, что, принимая в качестве основных законов механики законы Ньютона, мы с необходимостью приходим к выводу о том, что функции /ь 2, /з не могут зависеть от производных второго или более высокого порядка от х, у, г по времени, так как действие силы на материальную точку не зависит от того, имеет эта точка ускорение или нет (закон независимого действия сил). [c.203]

Для криволинейных геометрий, отличных от сферической, также необходимо ввести две угловые переменные. Это справедливо даже для бесконечно длинного цилиндра, в котором поток нейтронов зависит только от одной пространственной переменной г (см. табл. 1.1). Интегрирование по угловым переменным можно проводить в этом случае так же, как в прямоугольной геометрии. Кроме того, необходимо аппроксимировать производные по угловым переменным. Как и для сферической геометрии, конечно-разностные уравнения могут быть основаны на законах сохранения нейтронов. По-прежнему уравнение переноса можно сначала решить в выделенных направлениях, вдоль которых угловые координаты не меняются при прохождении нейтронов через среду полученные результаты можно затем использовать в качестве граничных условий для основной системы уравнений. [c.186]

Для настоящей модели выберем криволинейные ортогональные координаты [26], адаптированные к форме стенки канала, которые известны до решения основной газодинамической задачи и могут быть разрешены для любого сечения. Упрощенную систему уравнений будем выводить, взяв за основу полные уравнения Навье - Стокса, записанные в этой адаптированной системе координат. [c.63]

Для механики сплошной среды вообще и механики деформируемого твердого тела в частности аппарат теории тензоров является естественным аппаратом. В большинстве теорий выбор системы координат, в которых ведется рассмотрение, может быть произвольным. Проще всего, конечно, вести это рассмотрение в ортогональных декартовых координатах. Очевидно, что доказательство общих теорем и установление обнщх принципов при написании уравнений именно в декартовых координатах не нарушает общности. Что касается решения задач, то иногда бывает удобно использовать ту или иную криволинейную систему координат. Однако при этом почти всегда речь идет о простейших ортогональных координатных системах — цилиндрической или сферической для пространственных задач, изотермической координатной сетке, порождаемой конформным отображением, для плоских задач. В некоторых случаях, когда рассматриваются большие деформации тела, сопровождаемые существенным изменением его формы, система координат связывается с материальными точками и деформируется вместе с телом. При построении соответствующих теорий преимущества общей тензорной символики, не связанной с определенным выбором системы координат, становятся очевидными. Однако в большинстве случаев эти преимущества используются при формулировке общих уравнений, не открывая возможности для решения конкретных задач. Поэтому мы будем вести основное изложение в декартовых прямоугольных координатах, случай цилиндрических координат будет рассмотрен отдельно. [c.208]

В 6 изложен, как нам представляется, наиболее простой приём составления основных дифференциальных операций в криволинейных координатах. Мы ограничились случаем ортогональных координат, как наиболее важным для приложений. В 7 этот приём применён для записи в ортогональных криволинейных координатах основных соотношений механики сплошной среды, в том числе для составления условий сплошности. Другой вывод условий сплошности (в любых криволинейных координатах) дан в статьях Т, Н. Блинчикова Дифференциальные уравнения равновесия теории упругости в криволинейной координатной системе (Прикл. матем. и мех., 2, 1938, стр. 407) и В. 3. Власова Уравнения неразрывности деформаций в криволинейных координатах (там же, 8, 1944, стр. 301). Запись уравнений сплошности в сферических и цилиндрических координатах приведена в книге В. 3. Власова Общая теория оболочек (Гостехиздат, 1949). [c.69]

Как уже указывалось, векторная форма записи уравнений равновесия или движения стержня инвариантна по отношению к координатным системам, однако при численных методах решения уравнений всегда переходят к скалярной форме записи уравнений, которая зависит от выбранной конкретной системы координат. От удачного выбора координатной системы существенно зависит зфчфективность решения задачи. Основное отличие ортогональных прямолинейных координатных осей с базисом i, от ортогональных криволинейных с базисом е, (рис. П.4) заключается в том, что базисные векторы i не зависят [c.291]

Интегральные уравнения основных граничных задач. Пусть в упругой изотропной плоскости, связанной с декартовой системой координат хОу, есть N гладких криволинейных разрезов (п = 1, 2,. .., Л ), не имеюилих общих точек. Поскольку формулы [c.33]

Для потока, направленного вдоль оси тела вращения, Боль-це [15] вывел основные дифференциальные уравнения течения в криволинейной системе координат х — длина меридиана, отсчитываемая от передней критической точки, у — длина по нормали к контуру. Контур тела вращения задается радиусом г (х) сечения тела по нормали к оси (фиг. 4). Вводится предположение об отсутствии острых углов контура, так что й г1йх нигде не становится [c.117]

В начале тридцатых годов Н. М. Вернадским (1931, 1933) впервые был предложен теоретический метод решения плановой задачи речной гидравлики. Основным допущением Н. М. Вернадского было предположение о компланарности векторов скорости для точек, лежащих на одной вертикали. Это дало ему возможность построить для установившегося движения план течения в криволинейной ортогональной системе координат, включающей поверхности тока. Два динамических уравнения при этом определяют продольный и поперечный уклоны свободной поверхности для каждой ячейки, образуемой такой криволинейной сеткой. Сам способ расчета оказывается достаточно громоздким — отыскание картины течения приходится производить методом последовательных приближений. [c.750]

Об упрощении уравнений Навье-Стокса. При решении стационарных задач эллиптический характер уравнений Навье-Стокса, а также большой объем вычислений, связанный с присутствием в них тензора вязких напряжений (особенно значительный в криволинейной системе координат в пространственном случае), заставляют искать пути использования более простых уравнений, описывающих основные характерные черты течений. Как уже отмечалось, одна из возможностей упрощения состоит в наличии преимущественного направления распространения возмущений. Таким свойством обладает целый ряд течений при достаточно больших числах Рейнольдса например, в ударном слое за отошедшей ударной волной, около удлинетых тел, в каналах и соплах при сверхзвуковых скоростях ядра потока и т.д. [c.174]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...