Дифференциальные уравнения движения системы в обобщенных координатах

Уравнения (127) и представляют собой дифференциальные уравнения движения системы в обобщенных координатах или уравнениях Лагранжа. Число этих уравнений, как видим, равно числу степеней свободы системы. [c.378]

УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ii РОДА (ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ В ОБОБЩЕННЫХ КООРДИНАТАХ) [c.395]

Эти уравнения представляют собой дифференциальные уравнения движения системы в обобщенных координатах. [c.434]

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ В ОБОБЩЕННЫХ КООРДИНАТАХ [c.256]

Уравнения Лагранжа в форме (92) представляют собой но существу правила составления динамических дифференциальных уравнений движения системы в обобщенных координатах. Уравнения движения составятся, если выполнить все операции над кинетической энергией, указанные в уравнениях (92), и вычислить выражения обобщенных сил согласно условиям той или иной задачи. [c.365]

Из общего уравнения динамики (2, 123) можно вывести так называемые дифференциальные уравнения движения системы в обобщенных координатах, подобно тому, как из общего уравнения статики (1, 121) были выведены условия равновесия системы в обобщенных координатах (2, 122). [c.788]

Как пишутся в общем виде дифференциальные уравнения движения системы в обобщенных координатах (уравнения Лагранжа второго рода) [c.838]

Дифференциальные уравнения движения системы в обобщенных координатах (уравнения Лагранжа второго рода) [c.328]

Однако бывают случаи, когда силы зависят не только от положения, но еще и от скорости и времени или зависят только от скорости или от времени. Например, в электродвигателях (кроме синхронных машин переменного тока) развиваемый ими движущий момент зависит, как правило, от угловой скорости их ротора точно так же в центробежных насосах и вентиляторах потребляемый момент изменяется в квадратичной зависимости от угловой скорости (о механических характеристиках машин см. п. 27). В этих случаях теорема об изменении кинетической энергии не может свести задачу i интегрируемым дифференциальным уравнениям (так как работа сил не может быть определена без знания самого закона движения), поэтому задача определения движения машины должна в таких случаях строиться на решении дифференциального уравнения движения системы в обобщенных координатах, соответствующего обобщенным силам или обобщенным моментам, т. е. так называемого дифференциального уравнения Лагранжа 2-го рода. Для установления этого уравнения воспользуемся зависимостью (48). Из нее для бесконечно малого промежутка времени получим [c.251]

Дифференциальные уравнения движения системы в обобщенных координатах, т. е. уравнения Лагранжа, в случае существования силовой функции принимают на основании равенств (205) и (206) следующий вид [c.560]

Вариации обобщенных координат — произвольные и независимые величины, и равенство нулю написанной суммы возможно только при обращении в нуль сомножителей при вариациях обобщенных координат. Приравнивание их нулю приводит нас к искомым дифференциальным уравнениям движения системы в обобщенных координатах — уравнениям Лагранжа а дТ дт [c.183]

Дифференциальные уравнения движения системы в обобщенных координатах [c.201]

С помощью уравнений Лагранжа обыкновенные дифференциальные уравнения движения лопасти в обобщенных координатах получаются непосредственно из выражений для энергии системы без использования дифференциального уравнения в частных производных. [c.427]

Структура уравнений Лагранжа и их составление. Уравнения Лагранжа для обобщенных координат являются обыкновенными дифференциальными уравнениями второго порядка, как и дифференциальные уравнения движения точки в декартовых координатах. Число уравнений Лагранжа совпадает с числом обобщенных координат. Действительно, для кинетической энергии системы, используя ее определение и формулу (33) для [c.409]

Вместо сочетания некоторых общих теорем и уравнений динамики, выбор которых представляет значительные трудности, применение уравнений Лагранжа является обшим приемом, который приводит к составлению дифференциальных уравнений движения. Удачный выбор обобщенных координат обеспечивает относительную простоту составления этих уравнений. Удобно и то, что в составленные дифференциальные уравнения движения не входят реакции идеальных связей, определение которых обычно связано с большими трудностями (реакции связей при движении системы являются функциями от времени, положения, скоростей и ускорений точек системы).. [c.581]

Основная задача динамики в обобщенных координатах состоит в том, чтобы, зная обобщенные силы Qi, Qa, . и начальные условия, найти закон движения системы в виде (107), т. е. определить обобщенные координаты qu q ,. . как функции времени. Так как кинетическая энергия Т зависит от обобщенных скоростей qi, то при дифференцировании первых членов уравнений, (127) по t в левых частях этих уравнений появятся вторые производные по времени qi от искомых координат. Следовательно, уравнения Лагранжа представляют собой обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка относительно обобщенных координат q [c.378]

Допустим, что консервативная механическая система, состоящая из п материальных точек и имеющая одну степень свободы, находится в некотором положении в устойчивом равновесии. Исследуем, какое движение будет совершать эта система, если ее вывести из равновесия малым возмущением. Условимся опять определять положение системы обобщенной координатой q, выбранной так, что при равновесии равновесие устойчиво, а возмущения малы, то координата q и обобщенная скорость q будут во все время движения тоже оставаться величинами малыми. Для составления дифференциального уравнения движения системы воспользуемся уравнением Лагранжа, которое, если выразить обобщенную силу Q через потенциальную энергию системы,П [(см. 143, формулы (115)], примет вид [c.389]

Дифференциальные уравнения движения механической системы в обобщенных координатах были получены Лагранжем. Уравнения Лагранжа определяют движение механической системы в наиболее общей форме. Эти уравнения Лагранж применил к исследованию малых колебаний системы, имеющих большое практическое значение. [c.6]

Пример 184. Кулачок, имеющий форму круглого эксцентрика радиуса R, вращается вокруг оси О парой сил с моментом М (рис. 222). Вес кулачка равен Р, и центр тяжести его находится в геометрическом центре С,, причем ОС, =е радиус инерции кулачка относительно оси О равен k. Жесткость пружины, прижимающей тарелку толкателя к кулачку, равна с и при наинизшем положении толкателя (ф==0) пружина сжата на величину Х . Принимая угол поворота ф кулачка за обобщенную координату, составить дифференциальное уравнение движения системы. Трением пренебречь. Вес толкателя равен [c.397]

В. Груз имеет массу и может двигаться только вертикально. Найти дифференциальные уравнения движения системы, приняв за обобщенные координаты г и ф. Трением пренебречь. [c.452]

Задача 1278 (рис. 689). Груз В массой т при помощи троса поднимается лебедкой, развивающей постоянный осевой момент М. Принимая за обобщенные координаты системы угол ф поворота лебедки и угол г ) отклонения части АВ троса от вертикали, составить дифференциальные уравнения движения системы. Считать радиус барабана лебедки равным г, начальную длину свешивающейся части троса равной Размерами блока Л и массой барабана пренебречь. Все объекты считать расположенными в одной плоскости. [c.452]

Присоединяя к ним уравнения связей (112), получаем полную систему дифференциальных уравнений для нахождения всех обобщенных координат в функции времени I, т. е. для нахождения движения системы точек. [c.381]

Составить дифференциальные уравнения движения системы, выбрав в качестве обобщенных координат угол поворота <р стержня 4 п перемещение s ползуна 3. Пружина 5 при ф=0 н s = 0 не деформирована. Массой стержня пренебречь. [c.179]

В 1788 г. появилось сочинение Ж- Лагранжа Аналитическая механика , в котором вся механика была изложена строго аналитически на основе принципа Даламбера и принципа возможных перемещений. При этом Лагранжем были получены дифференциальные уравнения движения механической системы в обобщенных координатах. Дальнейшее развитие аналитических методов, предложенных Лагранжем для исследования движения и равновесия несвободных механических систем, привело к установлению ряда дифференциальных и вариационных принципов механики. [c.16]

Данная система дифференциальных уравнений движения механической системы в обобщенных координатах — уравнений Лагранжа второго рода — дает единый и достаточно простой метод решения задач динамики. Их вид и число не зависят ни от количества тел, входящих в рассматриваемую систему, ни от того, как эти тела движутся, и определяются лишь числом степеней свободы. Кроме того, при идеальных связях в правые части уравнений входят только активные силы. Следовательно, эти уравнения позволяют заранее исключить из рассмотрения все неизвестные заранее реакции связей. [c.303]

Циклические координаты. Крайне важным источником упрощения интегрирования дифференциальных уравнении движения является наличие циклических координат. Рассмотрим этот вопрос для голономных систем, движущихся в потенциальном поле сил. Пусть система имеет п степеней свободы, а i, 25 -, Qn — ее обобщенные координаты. Координата называется циклической, если она не входит в функцию Лагранжа, т. е. если dL/dqa = О [c.326]

Задача 2. Выразить дифференциальные уравнения движения свободной системы в обобщенных координатах рд. [c.535]

Подставляя эти значения производных в уравнение (40), получим первое дифференциальное уравнение движения системы для первой обобщенной координаты [c.41]

Действительные значения перемещений х, у и углов поворота 11] и 0 при колебательном процессе определяются путем интегрирования дифференциальных уравнений движения системы, так как эти величины являются независимыми обобщенными координатами. Что же касается углов поворота зубчатых колес вокруг осей 2, то они также могут быть использованы в качестве обобщенных координат, так как упругая податливость зубьев зацепления вводит дополнительную степень свободы. Однако для дальнейших преобразований удобнее разделить переносные и относительные углы поворота, выразив последние через другие координаты. [c.239]

Дифференциальные уравнения движения системы в обобщенных координатах. Уравнения Феррерса, уравнения Лагранжа первого и второго рода [c.125]

Приравнивая коэффициенты при б( о в уравиении (Ь) нулю, найдем дифференциальные уравнения движения системы в обобщенных координатах, или уравнения Феррерса ) [c.127]

Преимущество общего уравнения динамики оказывается особенно значительным в тех случаях, когда имеем дело с системой тел, которые можно рассматривать как материальные точки, в частности, когда зсе тела системы движутся поступательно. Для систем с непоступательно движущимися телами целесообразнее пользоваться дифференциальными уравнениями движения системы в обобщенных координатах, которые мы получим в 124. [c.781]

Кинетическая энергия системы Т = 0,25xj -t- 0,25 (i + 1 2 + + irl)- Из дифференциального уравнения движения системы, соответствующего обобщенной координате лгг, определить ускорение Хг в момент времени, когда ускорение i l = 5 м/с , а обобщенная сила е 2=2,5 Н. (2,5) [c.335]

Кинетическая энергия консервативной системы Т = х х1 t + 2x1 2, потенциальная энергияЯ= 0,5xi +Х2- Из дифференциального уравнения движения системы, соответствующего обобщенной координате Х2, определить ускорение Х2 в момент времени, когда обобщенная координата Xj = 0,25 м. (- 0,25) [c.337]

Равенство (3) имеет такую же общность, что и общее уравнение динамики (6.3.2). Оно представляет результат формального преобразования последнего и применимо поэтому как к голономным, так и иеголономным системам, В случае голоиомиых связей и независимых обобщенных координат вариации независимы, вследствие чего коэффициент при каждом 8 в сумме (3) должен быть по отдельности равен нулю. Получаем систему дифференциальных уравнений движения, выраженных в обобщенных координатах [c.283]

Систему S дифференциальных уравнений (125.6) называют урт-нсниями Лагранжа второго рода. Эти уравнения представляют собой дифференциальные уравнения второго порядка относительно обобщенных координат системы q , q , q . Интегрируя эти дифференциальные уравнения и определяя по начальным условиям постоянные интегрирования, получаем s уравнений движения механической системы в обобщенных координатах [c.343]

В задачах этого типа рассматриваются малые колебания системы с одной (первая группа) или двумя (вторая группа) степенями свободы около положения устойчивого равновесия. В этих задачах положение усгойчивого равновесия следует принять за начало отсчета обобщенных координат и, далее, пользуясь уравнениями Лагранжа, составлять дифференциальные уравнения движения системы. [c.405]

На этом заканчивается вывод дифференциальных уравнений движения системы материальпых точек в обобщенных координатах, называемых уравнениями Лагранжа второго рода. [c.332]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...