Система координат сферическая п дифференциальных уравнений

В настоящей главе с помощью термодинамики необратимых процессов вы водятся соотношения и уравнения взаимосвязанной динамической задачи термоупругости тел с прямолинейной анизотропией, физико-механические характеристики которых —функции прямоугольных декартовых координат. Полученная взаимосвязанная система дифференциальных уравнений описывает деформацию тела, возникающую при нестационарных механических и тепловых воздействиях, а также обратный эффект — изменение его температурного поля, обусловленное деформацией. Из этой системы вытекают соответствующие уравнения несвязанных динамической и квазистатической задач термоупругости неоднородных тел, обладающих прямолинейной анизотропией, и изотропных тел, отнесенных к прямоугольной декартовой системе координат. Далее приводятся уравнения несвязанной динамической задачи термоупругости для тел, физико-механические характеристики которых —функции цилиндрических или сферических координат. Наконец, выводятся уравнения несвязанной динамической задачи термоупругости тонких неоднородных пластин, обладающих прямолинейной или цилиндрической анизотропией, и соответствующие уравнения для тонких изотропных пластин. [c.13]

При решении многих задач механики твердого деформируемого тела часто пользуются не декартовой системой координат, а цилиндрической или сферической. Дифференциальные уравнения равновесия в цилиндрической системе координат г, 0, г выводятся из рассмотрения равновесия элементарного объема (рис. 23) и имеют следующий вид [c.62]

При исследовании пространственных течений приходится пользоваться различными криволинейными системами координат цилиндрической, сферической, эллиптической и др. Такой подход не только упрощает описание картины движения, но иногда просто неизбежен от удачного выбора системы координат зависит возможность разделения переменных в дифференциальных уравнениях, простота приемов удовлетворения граничных условий. В плоском безвихревом движении переход от физической плоскости г = х +1у к вспомогательной плоскости = I + гг] был эквивалентен пользованию в физической плоскости криволинейными координатами I, г вместо прямолинейных х, у. В пространстве трех измерений столь удобного аналитического аппарата, как комплексное переменное, нет, и приходится непосредственно применять формулы перехода от прямолинейных координат к криволинейным, выражая в этих координатах сами дифференциальные уравнения и соответствующие граничные условия. [c.347]

Также из (2.31) и (4.35) с учетом формул (3.33) и (3.34) получим дифференциальные уравнения движения в перемещениях в сферической системе координат. Они имеют вид [c.79]

Возьмем консервативную механическую систему, имеющую п степеней свободы и наход щуюся в постоянном и консервативном поле сил. Ее движение может быть выражено дифференциальными уравнениями различной формы. Среди них уравнения, введенные Гамильтоном, имеют прежде всего преимущество симметрии. В гамильтоновом методе состояние механической системы с п степенями свободы определяется п координатами qi, которые фиксируют конфигурацию системы и п соответствующих импульсов Pi. Координаты q могут быть выбраны различными способами, в частном случае это могут быть декартовы координаты х, у, г, цилиндрические или сферические координаты. Во всех случаях всякое изменение qi вызывает изменение Pi. [c.895]

Дифференциальные уравнения равновесия элемента при отсутствии объемных сил в сферической системе координат [121 ] [c.152]

Безмоментные дифференциальные уравнения сферической оболочки, срединная поверхность которой отнесена к изотермической системе координат, сведена в 13.2 к уравнениям (13.2.7) и (13.2.9). Каждому интегралу t, S уравнений (13.2.7) соответствуют тангенциальные усилия, вычисляемые по формулам (13.2.5), (13.2.6), последним можно придать следующий вид [c.180]

При исследовании пространственных течений приходится пользоваться различными криволинейными системами координат цилиндрической, сферической, эллиптической и др. Такой подход не только упрощает описание картины движения, но иногда просто неизбежен от удачного выбора системы координат зависит возможность разделения переменных в дифференциальных уравнениях, простота приемов удовлетворения граничных условий. В плоском безвихревом движении переход от физической плоскости г = х + щ [c.290]

Мы ограничились наиболее употребительными случаями аналогично можно получить записи дифференциальных уравнений движения материальной точки в других системах криволинейных координат (цилиндрической, сферической и т. д.). [c.17]

Уравнения (4), (6), (7) представляют полную систему интегралов исходной системы дифференциальных уравнений движения, содержащую 2п произвольных постоянных. Наличие п — пг циклических координат позволило понизить порядок интегрируемой системы до 2т и свести задачу к интегрированию этой системы (5) и к выполнению п — т квадратур (7). Надо к этому добавить, что от выбора обобщенных координат зависит и число циклических координат например, при задании положения материальной точки в поле центральной силы декартовыми координатами л , у, г циклические координаты отсутствуют, тогда как при применении сферических координат одна из них (долгота) будет циклической (пример 1° п. 7.18). [c.349]

Дифференциальные уравнения равновесия бесконечно малого эле-мента (рис. 24) в сферической системе координат р, 0, ф записываются таким образом [c.62]

Однако для случая тонких оболочек можно ограничиться приближениями порядка = О и Л/" = 1, Поэтому остановимся на них более детально. При этом для пластинки и сферической оболочки постоянной толщины полученные выше системы уравнений можно проинтегрировать в явной форме. Приближения порядка N = О соответствуют тому случаю, когда картины напряженного и деформированного состояния вовсе не зависят от координаты а , т, е, одинаковы вдоль поверхностей, параллельных срединной поверхности. Этот случай напряженного равновесия оболочки, по существу, является безмоментным. Но в приближении порядка Л = О, в отличие от классической безмоментной теории, мы получаем корректную систему дифференциальных уравнений, которая совместима со всеми (в данном случае с тремя) физическими краевыми условиями. Следует подчеркнуть, что здесь имеем эллиптическую систему уравнений, которая равносильна одному эллиптическому уравнению шестого порядка, а в классической безмоментной теории задача сводится к эллиптическому уравнению второго порядка. [c.276]

Основными исходными уравнениями, используемыми для отыскания поля напряжений, являются уравнения равновесия. В общем случае уравнения равновесия образуют систему трех дифференциальных уравнений с шестью неизвестными. Эти уравнения могут быть составлены для прямоугольной, цилиндрической и сферической систем координат. Выбор системы координат определяется характером деформирования заготовки и возможностью получить максимально простые аналитические зависимости. [c.11]

Этот метод заключается в совместном решении системы из дифференциальных уравнений равновесия и уравнения, выражающего условие пластичности. Уравнения пишут в форме (для объемного, осесимметричного, плоского напряженного состояний, плоского деформированного состояния) и в координатах (прямоугольных, цилиндрических, полярных, сферических), отвечающих условиям рассматриваемой конкретной задачи. [c.176]

В настоящем параграфе формулируется теория разрушения вязкопластических сред, основанная на модели сферических пор, которая учитывает инерционность их роста и взаимодействие. При этом проводится и используется аналогия между развитием динамического разрушения жидких и твёрдых вязкопластических сред. Получена система обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, описывающая взаимовлияние цепочки пор, которую можно свести к уравнению в частных производных для волн разрушения. Рассмотрены случаи, когда процесс разрушения зависит от двух или трех пространственных координат. [c.42]

В сферической системе координат р, ф, 9 в области осевого сечения скручиваемого тела функция г)1 удовлетворяет дифференциальному уравнению [c.247]

Применим метод обобщенных координат для получения дифференциальных уравнений движения из общего уравнения механики. Метод обобщенных координат приводит к исключительно важному результату. Он дает общий вид дифференциальных уравнений движения в обобщенных координатах, называемых уравнениями Лагранжа (второго рода). Эти уравнения позволяют для каждой задачи на несвободную систему пользоваться наиболее удобными и естественными величинами при описании движения системы, исключая из рассмотрения связи и силы реакции. Лагранжевы уравнения оказываются полезными и для свободных тел и точек, так как имеют инвариантную (скалярную) форму во всех системах координат, а это позволяет легко составить уравнения в наиболее удобной системе координат, не пользуясь громоздкими формулами перехода (например, от декартовых к сферическим). [c.180]

Можно показать, что предельный переход при а О и 0 в уравнениях (5.8), (5.10) дает то же решение, что и первый член разложения при отыскании решения в виде ряда. Система уравнений (5.8) такова, что при а=р=0 получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений, решение которых легко находится и служит начальными данными для расчета следующей точки на линии растекания, а затем во всей области вблизи окрестности особой точки. Расчет пограничного слоя ведется от критической точки на поверхности тела, соответствующей максимуму давления. В окрестности критической точки на сферической части вторичное течение в системе координат, связанной с линиями тока внешнего течения, мало. [c.302]

Рассмотрим пространственно одномерную стационарную задачу теплопроводности в шаровой стенке с радиусами внутренней и внешней поверхности Г] и Г2 (рис. 2.17) и коэффициентом теплопроводности материала стенки X. Одномерность задачи означает, что распределение температуры в стенке зависит только от радиуса, а потому основное дифференциальное уравнение теплопроводности в сферической системе координат [см. выражение (2.18)] примет вид [c.40]

Для решения многих конкретных задач вместо декартовых координат X, у, г часто удобнее использовать сферические г, ( , 9 или цилиндрические д, (р, г координаты. Дифференциальные операторы, входящие в уравнение (3.1.14), в этих системах координат имеют вид [c.101]

Дифференциальные уравнения движения материальной точки записываются соответственно избранной системе координат. Так, диффю-ренциальные уравнения можно составить в цилиндрических, сферических и других криволинейных координатах. Ниже, в главе X, 6 записаны дифференциальные уравнения движения материальной точки, отнесенные к любой системе координат. [c.12]

В 6.3 исходные уравнения гинердвижения записываются с использованием тензорного исчисления в криволинейных сферических координатах, так как пространственный анализ возмущенного и невозмущенного движения удобно проводить именно в этой координатной системе. Затем особое внимание уделяется плоскому или орбитальному движению относительно притягивающего центра, получению различных дифференциальных уравнений плоского гипер-реактивного движения. [c.175]

При исследовании пространственных течений постоянно приходится пользоваться различными криволинейными системами координат цилиндрической, сферической и др. Такой подход не только упрощает описание картины движения, но иногда просто неизбежен от удачного выбора системы координат зависит воз.чожность разделения переменных в дифференциальных уравнениях, простота приемов удовлетворения граничных условий и многое другое. В плоском движении роль фиволинейных координат, как это было показано в 40 гл. V, играет метод функций комплексного переменного и конформных отображений переход от физической плоскости г — х- -1у к вспомогательной плоскости С = был эквивалентен пользованию криволинейными координатами , 17 вместо прямолинейных х, у. [c.387]

Здесь 0, ф — сферические координаты. Поля скорости и давления не зависят от азимутального угла ф и стационарны. Этот класс для случая Рф = О был указан Слезкиным [120], который обнаружил, что задача может быть сведена к обыкновенному дифференциальному уравнению первого порядка. Позднее аналогичный вывод сделали независимо Яцеев [151] и Сквайр [240]. Для закрученных течений (г =0) порядок системы обыкновенных дифференциальных уравнени также может быть понижен [212, 199, 32]. [c.84]

В 6 изложен, как нам представляется, наиболее простой приём составления основных дифференциальных операций в криволинейных координатах. Мы ограничились случаем ортогональных координат, как наиболее важным для приложений. В 7 этот приём применён для записи в ортогональных криволинейных координатах основных соотношений механики сплошной среды, в том числе для составления условий сплошности. Другой вывод условий сплошности (в любых криволинейных координатах) дан в статьях Т, Н. Блинчикова Дифференциальные уравнения равновесия теории упругости в криволинейной координатной системе (Прикл. матем. и мех., 2, 1938, стр. 407) и В. 3. Власова Уравнения неразрывности деформаций в криволинейных координатах (там же, 8, 1944, стр. 301). Запись уравнений сплошности в сферических и цилиндрических координатах приведена в книге В. 3. Власова Общая теория оболочек (Гостехиздат, 1949). [c.69]

Это векторное уравнение эквивалентно системе трех дифференциальных уравнений в координатах и содержит шесть неизвестных функций — проекции радиуса-вектора материальной точки и проекции натяжения нити в декартовых координатах неизвестными являются х (), y t), z t), Rx t), Ry t), Rz t) Для отыскания решения приведенного уравнения необходимы дополнительные сведения. В поставленной задаче такие сведения есть во-первых, в любой момент времени материальная точк находится на сферической поверхности радиуса I (если нить натянута) и, следовательно, координаты точ ки должны удовлетворять условию г = 1 во-вторых, натяжение нити направлено вдоль нити, в связи с чем можно написать, что К = 2А.г, где X — неизвестная скалярная функция. Таким образом, условия задачи приводят к системе [c.198]

В случае сферического купола, ограниченного координатами О, алг , система дифференциальных уравнений колебаний имеет в полюсе особую точку и непосредственное применение процедуры anisotfopi shell vibration невозможно. Наличие малого свободного отверстия в полюсе, очевидно, не приведет к существенному изменению характера собственных колебаний сфериче- [c.351]

Дифференциальные уравнения движения в сферических координатах. Относительно основной системы координат Oxyz положение снаряда определяем сферическими координатами г, ф, X (рис. 7). Эти координаты найдем из системы дифференциальных уравнений (2.13). При допущениях эллиптической теории движения силовая функция определяется следующей формулой [c.63]

Определение сферических координат и X. Сферические координаты f и X можно найти из системы дифференциальных уравнений (2.13). Повторяя преобразования, приведенные в 10, можно из (2.13) вывести дифференциальные уравнения, близкие к линейным Зфавнениям вида (3.67) и (3.71). Как и в случае невозмущенного движения, интегралы этих уравнений просто получить из геометрических соображений. Из KPiD имеем (рис. 25) [c.91]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...