Линейные уравнения высших порядков

Линейные уравнения высших порядков. Рассмотрим дифференциальное уравнение [c.27]

К обсуждению этого допущения и оценке вносимой им неточности вернемся позже, а здесь, принимая во внимание условие (3-10), проинтегрируем уравнение (3-8). Допущение (3-10) сводит уравнение (3-8) к линейному уравнению второго порядка с постоянными коэ( )фициентами. Решение этого уравнения приводится в многочисленных руководствах по высшей математике. Можно показать, что в рассматриваемой задаче всегда выполняется условие а —4 >0, где величины а и 6 определены зависимостями (3-9). [c.75]

При аналитическом исследовании устойчивости системы в малом необходимо совместно решить указанные уравнения и получить одно уравнение высшего порядка, определить характеристи-чеокое ура внение системы и затем методами линейной теории автоматического регулирования провести анализ. [c.153]

Для решения этих независимых друг от друга линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами мы можем воспользоваться теорией интегрирования таких уравнений, известной из курса высшей математики. [c.473]

Дробный факторный эксперимент. Во многих практических задачах взаимодействия второго и высших порядков отсутствуют или пренебрежимо малы. Кроме того, на первых этапах исследования часто нужно получить в первом приближении лишь линейную аппроксимацию изучаемого уравнения связи при минимальном числе экспериментов. Поэтому использовать полный факторный эксперимент для определения коэффициентов лишь при линейных членах и парных произведениях неэффективно из-за реализации [c.123]

Исследование устойчивости. Метод гармоник (метод Фурье). Дать строгое обоснование корректности сеточных краевых задач удается не часто. Исследования такого рода составляют скорее исключение, чем правило. Объясняется это рядом причин. В условиях практической расчетной работы задачу приходится упрощать. Если исходная сеточная задача нелинейная, то прежде всего производят линеаризацию, т. е. рассматривают малые возмущения решения и, отбрасывая малые величины высших порядков, получают линейную краевую задачу для малых возмущений. После линеаризации получают линейную краевую задачу (сеточную), обычно с переменными коэффициентами. На этом уровне иногда удается исследовать ее корректность, но, как правило, переходят к уравнениям с постоянными коэффициентами, используя при этом принцип замораживания коэффициентов. Согласно этому принципу, коэффициенты сеточных уравнений заменяют значениями, которые они принимают в произвольной, но фиксированной точке Ро, принадлежащей расчетной области. При этом, вообще говоря, требуется рассматривать всю совокупность уравнений, возникающую при произвольном выборе точки Ро- [c.85]

Учитывая, что при дифференцировании по и qj порядок малости понижается на единицу, значения Т и П следует, как отмечалось, вычислять с точностью до малых величин второго порядка малости. Хотя пренебрежение малыми величинами высших порядков малости вносит некоторую погрешность в полученные результаты, но эта погрешность компенсируется значительным упрощением теории колебаний. В этом случае движение системы определяется линейными дифференциальными уравнениями. [c.22]

Косинусы же углов, образуемых после деформации линейным элементом 2 с осями X, у, 2, мы найдем из уравнений (7) десятой лекции, опираясь на уравнения (27а) одиннадцатой лекции (в которых надо подставить и, V, ю вместо т , если пренебрежем величинами высшего порядка малости по сравнению с выражениями расширений [c.373]

Если сначала пренебречь очень малыми величинами второго и высших порядков, то получаются линейные уравнения, пользуясь которыми можно значения некоторых из этих переменных выразить через другие затем с помощью этих первых значений можно найти более точные значения, приняв во внимание вторые, а по желанию и более высокие степени. Этим путем можно получить значения некоторых из переменных а, Р, у, а, . .., выраженных в виде разложенных в ряд функций остальных переменных, а эти оставшиеся переменные будут тогда совершенно независимы друг от друга. [c.440]

Если в рассматриваемом уравнении отбросить бесконечно малые величины второго и высших порядков, то оно примет следующий линейный вид [c.362]

Ввиду того что при условии в) амплитуды высших пространственных гармоник достигают весьма больших значений, поле над решеткой имеет своеобразный характер. В отличие от нерезонансных случаев поле определяется в основном —п и +п гармониками большой амплитуда, , распространяющимися вдоль решетки со скоростью, немного меньшей скорости света, и экспоненциально убывающими при удалении от структуры с малым коэффициентом затухания. Поскольку амплитуды поля веЛики, вблизи решетки наблюдается значительная концентрация энергии поля. Это наталкивает на мысль о том, что двойной резонанс связан с собственными режимами решетки. Действительно, величина определителя системы линейных уравнений, из которой определялись Ап, вблизи точек резонанса падает на три-четыре порядка. [c.164]

Квадратичный электрооптический эффект является эффектом высшего порядка, и при наличии линейного электрооптического эффекта им обычно пренебрегают. В отличие от линейного электрооптического эффекта он существует в среде с любой симметрией. Используя условные индексы (7.1.1), уравнение эллипсоида показа- [c.275]

Кроме того, теория ограничена также тем, что ее результаты (см. рис. 6.4) следуют из уравнения (6.3.1), в котором пренебрегается нелинейными и дисперсионными эффектами высших порядков. Это оправданно, пока ширина спектра Асо Oq и результаты достаточно точны для длительностей 0,1 пс. Для более коротких импульсов следует использовать более общее уравнение распространения (2.3.35) из разд. 2.3, Действие дисперсии нелинейности на динамику импульса было рассмотрено в разд. 4.3. В общем случае как форма импульса, так и его спектр становятся несимметричными (см. рис. 4.17 и 4.18). Большее уширение спектра в коротковолновой части на рис. 4.18 обусловлено большей частотной модуляцией у заднего фронта по сравнению с передним. Поэтому частотная модуляция перестает быть линейной, как это было бы без дисперсии нелинейности в общем случае для фемтосекундных импульсов коэффициент сжатия уменьшается по сравнению с предсказаниями рис. 6.4, [c.158]

Аппарат, использованный в рассматриваемых далее работах, был подготовлен в значительной мере Пуассоном в его Мемуаре об интегрировании некоторых линейных уравнений в частных производных, в частности общего уравнения движения упругих жидкостей представленном Парижской академии наук в 1819 г. Пуассон начинаете замечания, что для уравнений в частных производных второго порядка и высших нет обш,их методов интегрирования поэтому он считает целесообразным изучать отдельные типы уравнений, встречающиеся в наиболее важных задачах механики и физики. В силу этого в первую очередь он начинает с интегрирования в общем виде волнового уравнения [c.273]

В линейной теории вычисления могут быть проведены относительно простыми аналитическими средствами, так как линеаризированные уравнения потока в основном совпадают с уравнениями волнового движения малой амплитуды. Следовательно, многие хорошо известные методы теории волн могут быть применены в такой упрощенной сверхзвуковой аэродинамике это особенно справедливо для случая тонких тел вращения (например, для фюзеляжа самолета, корпуса снаряда и для плоских тел, подобных крылу самолета). В этих случаях может быть сделано дальнейшее упрощение, которое касается граничных условий задачи, а именно, требования плавного обтекания. Это условие определяет, в случае осесимметричного потока, направление вектора скорости на поверхности, а в случае плоского тела — направление составляющей вектора скорости, лежащей в плоскости нормальной к средней поверхности тела. Линеаризированные дифференциальные уравнения при указанных граничных условиях можно решить точно, но, обычно, приходится применять численные и графические методы. Поэтому желательно дальнейшее упрощение задачи, которое достигается с помощью предельного перехода от точных граничных условий к условиям, относящимся к оси тела вращения или к плоскости плана крыла вместо действительной поверхности. Приводимые ниже результаты основаны на этом приближении. Строго говоря, только это приближение согласуется с допущениями линейной теории, потому что если удовлетворить граничным условиям на действительной поверхности, то, в рассмотрение, вообще, войдут члены высшего порядка, которые были отброшены в дифференциальных уравнениях. [c.13]

Последнее уравнение опять показывает, что зависимость между температурой и высотой линейная зависимость же между давлением и высотой, как это видно из предпоследнего уравнения, параболическая, высшего порядка. Для р = 0, т. е. вершины параболы, высота А —/г получается из соотношения [c.37]

Если производная высшего порядка входит линейно в нелинейное дифференциальное уравнение, то уравнение называется квазилинейным. Т аким образом, [c.253]

В этом случае вместо непосредственной линеаризации правых частей уравнений (1.1) можно так же, как и для кинетической энергии, провести разложение в ряд Маклорена выражения потенциальной энергии V (<71, , дп)- В этом разложении постоянный член может быть отброшен, так как он не влияет на уравнения движения. Согласно (1.3) линейные члены разложения будут отсутствовать. Следовательно, разложение У начинается членами второго порядка относительно обобщенных координат д , д ,- -,дп- Пренебрегая малыми членами высшего порядка, находим, что [c.243]

Складывая два уравнения, мы сразу получаем выражение (3.281) для второй частной производной по х, но без оператора lim . Это означает, что пренебрежение высшими степенями разложения в ряд Тейлора в точности эквивалентно замене дифференцирования линейной операцией вычисления конечных разностей. Естественно, что погрешность такой замены в точности равна погрешности, обусловленной отбрасыванием членов высшего порядка. [c.146]

В настоящем параграфе модель Друде — Лоренца будет распространена на нелинейные процессы. Как мы уже убедились (см. разд. 1.11), возможен вывод фундаментального уравнения, содержащего классическое описание НЛО, при использовании нелинейной силы вследствие появления при этом поляризационных членов высшего порядка по в принципе достигается полное теоретическое объяснение важнейших экспериментально обнаруживаемых эффектов НЛО. Как и в линейном случае, кроме того, может быть дана количественная интерпретация функций восприимчивости высших порядков. Для этой цели следует воспользоваться определенными общими свойствами нелинейной теории, в частности свойствами симметрии, рассмотренными в разд. 1.22. В дальнейшем оказывается возможным ограничиться простейшим случаем нелинейной силы порядки величин отклонения X от положения равновесия и силовые постоянные кв, к в,. .. таковы, что в разложении силы (1.11-3) можно пренебречь членами третьего и высших порядков по сравнению с членами первого и второго порядков. В данном параграфе мы примем, что соблюдаются допущения разд. 1.11 для постоянной объемной поляризации молекула или кристалл будут считаться построенными из носителей заряда таким образом, что в отсутствие внешнего поля поляризация равна нулю. [c.110]

Заметим, что выписанные в (5.48) линейные члены в первых двух уравнениях не содержат величин z, z, z", а в третье уравнение не входят члены с л , г/ и их производными. Это объясняется тем, что Z, z и z входят в первые два уравнения только через посредство р, Д и их производных, а правая часть третьего уравнения содержит z множителем, который будет входить и во все остальные производные от Z по л и г/. Но члены высших порядков относительно возмущений и их производных первого и второго порядков вообще входят в разложения величин X, Y, Z. [c.242]

Таким образом, эти уравнения являются почти полностью нелинейными . Только благодаря их дивергентной структуре они оказываются линейными относительно членов высшего порядка, т. е. относительно частных производных д ц>к/дх]дх1. [c.279]

Сначала в правой части пренебрежем членами высших порядков и вместо системы уравнений (1) будем решать линейную систему [c.134]

Таким образом, не зависимо от того, чётное п или нечётное, всегда полное число функций Ламэ равно 2гг + 1. Именно этого результата следовало ожидать, т.к. каждая из функций Ламэ L(X) ведёт к многочлену Ламэ V(.x, у, z), удовлетворяющему уравнению = 0. Члены высшей степени в V образуют присоединённый однородный многочлен, скажем Vh, порядка п, удовлетворяющий S/ Vh = 0. Теперь путём подсчёта коэффициентов можно легко доказать, что существуют 2п + 1 независимых однородных полиномиальных решений степени п. Очевидно, члены высшего порядка в каждом из многочленов Ламэ будут являться определённой линейной суммой таких гармоник, представленных в эллипсоидальных координатах. [c.100]

Очевидно, что это рассуждение не вполне строго, потому что в правых частях диференциальных уравнений были отброшены члены высших порядков. Одни линейные члены не дают достаточных условий для существования периодических орбит, и, следовательно, когда рассмотрение ограничено таким образом, то оно отвечает лишь на вопрос, касающийся устойчивости решения. Но в настоящем случае периодические орбиты [c.272]

Основные работы В. Г. Имшенецкого охватывают вопросы интегрирования уравнений с частными производными первого и второго порядков, а также интегрирование линейных дифференциальных уравнений высших порядков с одним независимым переменным. Предложенный им метод отделения переменных для интегрирования уравнений с частными производными первого порядка имеет тем большее значение для аналитической механики, что доведение задачи до конца вне рамок применения этого метода является счастливой случайностью. [c.346]

Анализ выясняет чувствительность системы, склонность её к колебаниям, предел устойчивости системы, получающееся отклонение скорости и т. д. Этот анализ отличается некоторой сложностью [27, 53]. При несколько упрощённом рассмотрении процессов и их линеаризации обычно получается семейство линейных диференциальных уравнений с постоянными коэфициентами 3, 4, 5 и высших порядков. Так как решение алгебраических (характеристических) уравнений выше 4-й степени невозможно, то при анализе обычно ограничиваются выяснением пределов условий устойчивости системы на базе критерия Гур-вица. При этом неизбежно приходится нтти на упрощения, пренебрегая иногда при наличии нескольких членов в отдельных равенствах членами, имеющими по сравнению с другими малую величину. [c.73]

Необходимо заметить, что, используя в качестве дополнительных переменных параметры и а2, определяющие прогибы линз, мы должны выразить через них исходные суммы 5ю (а , а2), 5ио ( 1, г) h Sjiio ( 1, г), которые в общем случае уже не будут линейными функциями поэтому можно будет получить несколько решений системы уравнений (14.135). С точки зрения теории аберраций третьего порядка они будут равнозначными однако на, самом деле, с учетом аберраций высших порядков, эти решения могут очень существенно отличаться друг от друга. [c.263]

Например, можно подумать, что в случае большой дифракционной решетки с разрешением 10 и эмульсии с пределом разрешения 100 лииий1мм для достижения максимальной разрешающей силы всего прибора в целом необходима обратная линейная дисперсия при к = 5000 А, равная 0,5 А/мм. Практически же оказывается, что в случае больших решеток обратная линейная дисперсия должна быть вдвое больше той, которую дает соотношение (6.15). Лишь в этом случае можно полностью использовать возможности прибора. При работе с фазочувствительными приборами очень важное практическое значение имеет дисперсионная область Fg, или диапазон длин волн, в котором можно получать с тектры без перекрытия высших порядков. Поэтому приборы с дифракционными решетками не очень пригодны для дальней инфракрасной области. В самом деле, рассмотрим уравнение для дифракционной решетки [c.332]

При построении по энсперимвнтальным данным линейного уравнения регрес сии достаточно использовать полуреплику полного факторного плана 2 -, а при построении уравнения неполного высшего порядка необходимо использовать весь факторный шлан. Величина ДПД где полезная я затраченная мощ- [c.65]

Из многочисленных эффектов, которые приходится изучать в связи с задачей о нестационарных кавернах, наиболее труден для математического исследования именно тот, который имеет, по-видимому, наиболее важное физическое значение и которому долгое время уделялось гораздо меньше внимания, чем следовало бы. Речь идет о замене модели несжимаемой жидкости моделью сжимаемой жидкости с известным объемным модулем упругости. Как мы уже отмечали, Рэлей не рассматривал эту задачу. Несколькими годами позже Херринг [14], решая задачу о подводном взрыве, исследовал случаи произвольного изменения давления внутри каверны и ввел поправку первого приближения на сжимаемость жидкости. Он рассмотрел жидкость с линейной зависимостью плотности от давления и использовал заимствованное из акустики допущение, что скорости в жидкости всегда малы по сравнению со скоростью звука. Затем он отбросил члены высших порядков в полученном нелинейном дифференциальном уравнении и использовал приближение первого порядка для рассмотрения условий на поверхности охлопывающейся каверны. Триллинг [49] также исследовал каверны, заполненные газом, и получил то же приближенное уравнение, но использовал его решение для полей скорости и давления, чтобы рассчитать условие схлопывания и повторного образования каверн. Оба автора не учитывали вязкость и поверхностное натяжение. [c.141]

Дальнейшее исследование свойств подобных дифференциальных форм высших порядков и уравнений движения, выражающихся через них, бесспорно может привести к новым интересным фактам. Лагранж, Эйлер и все другие классики были бы весьма удивлены новым видом уравнений динамики. Но уже и сейчас можно утверждать, что новая форма уравнений динамики является основой дальнейшего развития механики неголономных систем самого общего вида. Если на базе обычных уравнений Лагранжа удается выводить все существующие типы уравнений движения неголономных механических систем только с неголономными связями первого. порядка и 1при этом линейными относительно обобщенных скоростей, то уравнения новой формы могут быть непосредственно применены и для вывода из них уравнений движения с неголономными связями любого вида, т. е. любого дифференциального порядка и любой структуры в смысле линейности или нелинейности уравнений связей относительно производных от обобщенных координат. Уравнения движения для систем с неголономными связями второго порядка были выведены в середине шестидесятых годов тем же И. Ценовым. Уравнения движения с множителями Лагранжа при нелинейных неголономных связях перво- [c.11]

Теория струй интересуется асимптотическим поведением реше-, ния при i оо. В этой области согласно (10) первый член в (И) — малая велргаина высшего порядка, так что XV удовлетворяет в первом приближении линейному уравнению, которое и рассмотрим спа-чала для случая без вращения, когда Тогда VI представляет [c.278]

Диференциальное уравнение равновесия П. постоянной тол-щ и н ы. Плоскость, параллельную основаниям цилиндра или призмы и делящую высоту пополам, называют срединной плоскостью П. Относим П. к прямоугольной декартовой системе координат. Располагаем оси х-ов и -ов в срединной плоскости ось направляем перпендикулярно к этой плоскости. Через обозначаем прогиб срединной плоскости (го называют упругой поверхностью П.), а через и и V—перемещения, соответственно параллельные осямя -ов и у-оъ. При выводе ур-ия поверхности, вид к-рой принимает срединная плоскость, принимают, что последняя не испытывает рас-тялсений, что линейные элементы, перпендикулярные к срединной плоскости, после изгиба нормальны к срединной поверхности, что при изгибе П. точки срединной плоскости перемещаются только параллельно оси -ов, т. е. для точек этой плоскости перемещения u=v = 0, что толщина П. 1г бесконечно мала по сравнению с ее размерами, а прогиб мал по сравнению с к. Удлинениями линейных элементов срединной плоскости пренебрегают как бесконечно малыми высшего порядка по сравнению с такими удлинениями для слоев П., удаленных от срединной плоскости. При вычислении нормальных напряжений и касательных Уд для данного напряженного состоя- [c.275]

Первый шаг состоит в линеаризации уравнения Лиувилля подобным же образом мы линеаризовывали и уравнение Больцмана. Наш гамильтониан содержит член нулевого порядка Но, который описывает просто кинетическую энергию, и член первого порядка Hi, содержащий приложенный потенциал. Матрица плотности тогда также содержит член нулевого порядка ро — равновесное распределение и член первого порядка — линейный отклик. Члены высших порядков мы опустим. Подставляя соответствующие величины в уравнение Лиувилля (3.46), получаем уравнения нулевого и первого порядков [c.329]

Подобным же образом, как и в только что приведенном примере, можно также показать [8], что суш ествует каноническая система дифференциальных уравнений с аналитической функцией Гамильтона Н, для которой вообще нет никаких сходящихся интегралов д(х, у), кроме самой Н и сходящихся степенных рядов относительно Н. В случае п = 2 для построения такой функции Н можно исходить опять из формул (18) и (19), но нри этом 1/q нужно заменить еще более быстро стремящейся к нулю функцией от q. Точнее, любую функцию Гамильтона с квадратичной частью i xiy + РХ2У2) произвольно малым изменением коэффициентов членов высших порядков можно превратить в такую, которая уже обладает указанным свойством, т. е. у которой отсутствуют другие сходящиеся интегралы. В связи с этим можно упомянуть теорему Пуанкаре [9]. В ней рассматриваются функции Гамильтона H z, 11), которые, кроме z, . .., Z2n, зависят еще от параметра , причем аналитически около точки = 0. Тогда теорема гласит, что при некоторых предположениях относительно H z, 0) и производной H z, 0), которые в общем случае вьшолнены, не существует других сходящихся степенных рядов по 2п + 1 переменным, . .., Z2n и /i, являющихся интегралами системы Гамильтона, соответствующей функции H(z, 11), кроме степенных рядов по самим Н ъ л. Однако в теореме Пуанкаре ничего не говорится о фиксированных значениях параметра jjL. Мы уже упоминали выше, что система Гамильтона в случае линейно независимых собственных значений Ai,. .., Л может приводиться к нормальной форме подстановкой, задаваемой расходящимся степенным рядом, если не существует п независимых сходящихся интегралов здесь мы построили такой пример. Теперь можно было бы думать, что множество чисто мнимых корней (f = 1,. .., гг), для которых преобразование в нормальную форму представлено расходящимися рядами, имеет п-мерную меру Лебега, равную нулю, как это было [c.280]

Отметим, что для построения и исследования высших приближений ВКБ для уравнения (8.1) удобно использовать его связь с нелинейным дифференциальным уравнением Милна (см. работу [416] и указанную в ней литературу) и особенно связь с эквивалентным последнему линейным дифференциальным уравнением третьего порядка [239]. [c.165]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...