Многочлены Ламэ

Если = О, многочлен У х, у, г) называется многочленом Ламэ или эллипсоидальной гармонической функцией, и для каждого тина функций Ламэ существует отдельный вид эллипсоидальной гармонической функции. [c.92]

Форма решения в прямоугольных координатах (многочлен Ламэ степени га) [c.98]

Таким образом, не зависимо от того, чётное п или нечётное, всегда полное число функций Ламэ равно 2гг + 1. Именно этого результата следовало ожидать, т.к. каждая из функций Ламэ L(X) ведёт к многочлену Ламэ V(.x, у, z), удовлетворяющему уравнению = 0. Члены высшей степени в V образуют присоединённый однородный многочлен, скажем Vh, порядка п, удовлетворяющий S/ Vh = 0. Теперь путём подсчёта коэффициентов можно легко доказать, что существуют 2п + 1 независимых однородных полиномиальных решений степени п. Очевидно, члены высшего порядка в каждом из многочленов Ламэ будут являться определённой линейной суммой таких гармоник, представленных в эллипсоидальных координатах. [c.100]

Члены низшего порядка в многочлене Ламэ V(ж, у, z) единственным образом определяются через члены высшего порядка, т. к. мы имеем [c.100]

Позже будет показано, что 2п + 1 однородных многочленов, образующихся из многочленов Ламэ порядка п, линейно независимы и, следовательно, любой однородный гармонический многочлен порядка п единственным образом можно выразить через линейную сумму таких многочленов. [c.100]

Связь многочленов Ламэ со сферическими гармоническими функциями [c.101]

Перед тем как продолжить доказательство того, что К в уравнениях Ламэ являются вещественными и различными, рассмотрим аналогию между многочленами Ламэ, которые предназначены для использования в эллипсоидах, и обыкновенными сферическими функциями. [c.101]

Многочлен Ламэ, соответствующий определённому нормальному решению L X)M ii)N(i ), на большом расстоянии от начала координат будет с хорошим приближением равен X / M ii)N v). Но поскольку Л , последнее выражение всегда будет в точности представлять однородную часть многочлена Ламэ. Но это есть сферическая гармоническая функция, а т. к. координаты в, (р стремятся к в, (р сферических полярных координат, мы имеем [c.102]

Определение. Если Q выбирается как многочлен Ламэ порядка п вида [c.193]

Следовательно, если рассматриваются 2п + 1 независимых многочленов Ламэ LMN порядка п, а Pi, Р2,. .., Р2П+1 обозначают соответствующие многочлены Пуанкаре, то на эллипсоиде должны существовать связи следующего вида [c.196]

Здесь мы запишем, что ip = Р — многочлен Пуанкаре порядка п, который на эллипсоиде сводится к произведению Ламэ MN порядка п. В пространстве Р будет соответствовать определённому многочлену Ламэ LMN того же порядка п. Соответствующая постоянная разложения в П (уф) будет равна [c.196]

Но если бы эта система уравнений выполнялась, это значило бы, что х является гармоническим многочленом степени п, ортогональным всем многочленам Ламэ степени п, а такого быть не может. [c.204]

Прежде чем показать, что К можно выбрать так, чтобы суш ество-вали решения данного вида, заметим, что полиномиальные решения по X, у, Z уравнения = О можно разбить на четыре разных типа. В таблице III представлены эти четыре случая, а также дана связь между степенью многочлена Ламэ V и функцией Ламэ L. В этой таблице F обозначает многочлен по х" , вида [c.97]

В настоящем разделе обозначим через Ьг рациональную часть любой из выбранных функций Ламэ, т. е. такую, где радикалы (если они существуют) опускаются. Радикалы, если они есть в функции Ламэ, являются нулями при Л = —а , Л = —6 или Л = —с , так что если рассматривать Ь как многочлен от Л + (а это окажется удобным впоследствии), наличие радикалов будет означать нули Ь при Л + а = = О, иди аР — г . Также отметим, что [c.116]

Теперь предположим, что Р — многочлен Пуанкаре степени п, сводящийся на эллипсоиде к произведению функций Ламэ МН того же порядка п, и что ф = Р. Также допустим, что р = Р, где Р — любой другой многочлен Пуанкаре степени гп < п. (Здесь тип, конечно же, являются целыми числами, а не только что использовавшимися символами для направляющих косинусов в поверхностных интегралах.) Тогда из предыдущего результата [c.195]

Но правая часть этого выражения сводится к нулю, т. к. 0- [Р ) является просто многочленом степени т < п, и поэтому может выражаться как сумма функций Ламэ МН порядка т и ниже, т. е. порядка, ниже, чем п. Это значит, что [c.195]

Поэтому П Р) на эллипсоиде ортогональна всем функциям Ламэ порядка, меньшего, чем п. Но в пространстве П Р) является многочленом степени п, поэтому, исходя из этого результата, он должен сводится на эллипсоиде к сумме функций Ламэ, также имеющих порядок п. [c.195]

Объединяя эти три случая вместе, можно сделать вывод, что при убывании г от сю первым коэффициентом устойчивости, стремяш,имся к нулю, является коэффициент, связанный с функцией Ламэ 2 = + + Л второго порядка. Поэтому вековая устойчивость ряда Маклорена теряется в этой точке. Однако необходимо напомнить, что насто-яш,ий результат был получен при рассмотрении функции Ш что соответствует устойчивости относительно системы координат, вра-гцающейся с постоянной угловой скоростью. Поскольку гармонические функции, связанные с этой 2, являются многочленами второго порядка вида и ху, допустимо, чтобы в результате соответствующих деформаций поверхности ш изменялась в первом порядке малости . Поэтому необходимо доказать, что неустойчивость, проявляющая себя здесь, является истинной неустойчивостью (см. стр. 50). [c.160]

Теорема III. Если Р — многочлен Пуанкаре степени п, то функция Dx P) сводится на эллипсоиде только к сумме поверхностных функций Ламэ MkNk порядка п. [c.194]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...