Течение в лагранжево

Кратко рассмотрим понятие поля параметров. При анализе задач гидромеханики удобно определять параметры движущейся жидкости в зависимости от пространственных координат, и, следовательно, поле параметров определено, если в каждой точке пространства, занятого течением, известны значения этих параметров. Таким образом, например, функция р х, у, г,() определяет давление в точке Q(x, у, г) для частицы жидкости, попадающей в эту точку в момент времени I. В лагранжевых координатах давление отдельной частицы / определяется функцией р — р1 1). Другими словами, при подходе Лагранжа не требуется задавать фиксированную систему координат, как при подходе Эйлера, поскольку система координат движется вместе с частицей. Основные законы движения жидкости справедливы только для системы, имеющей постоянную массу, как в подходе Лагранжа, но они выражаются в фиксированной системе координат, как в подходе Эйлера. Поэтому необходимо найти со-отнощение, связывающее оба этих подхода, и это соотношение [c.345]

Однородная турбулентность в безграничном пространстве является математической идеализацией, а предположение, о стационарности еще усугубляет дело, поскольку из-за наличия диссипации энергии стационарное течение вязкой жидкости должно иметь внешние источники энергии и поэтому не может быть однородным. Однако вывод формулы (10.31) требует лишь, чтобы течение было однородным в направлении 0x1. Это позволяет указать реальные течения, к которым могут быть применены полученные результаты. В частности, Бэтчелор отметил, что эти результаты могут быть непосредственно применены к простейшему турбулентному течению в длинной прямой трубе (Бэтчелор и Таунсенд (1956), Бэтчелор (1957)). В самом деле, пусть направление трубы совпадает с осью Ох тогда по этому направлению течение будет однородным. Рассмотрим компоненту 1 х) смещения жидкой частицы за время т по направлению Ох. Соответствующая лагранжева скорость йУ х)1йх=У х, 0 + г) будет, вообще говоря, нестационарной случайной функцией т, зависящей от выбора начального положе-ния частицы х в плоскости Ох хъ. Однако через некоторое время после момента выхода рассматриваемой частицы влияние ее на-чального положения х практически перестанет сказываться, так что далее функцию У х, tQ- -x) можно будет считать не зависящей от X и стационарной. В таком случае средняя продольная ско- [c.498]

Для того чтобы помимо плоского одномерного (V = 1) течения пузырьковой жидкости в лагранжевых переменных г ж I описать течения с цилиндрической (V = 2) и сферической (V = 3) симметриями, необходимо вместо (6.7.2) и первых трех уравнений (6.7.3) использовать их обобщения, следующие из (1.10.14) или (1.10.15) [c.111]

Движение, как уже отмечалось выше, обладает необычной автомодельностью профили скорости, плотности, давления как бы привязаны к фронту ударной волны и движутся вместе с фронтом, не растягиваясь с течением времени (меняются лишь амплитуды этих величин). Однако в лагранжевых координатах движение автомодельно в обычном смысле. Лагранжева координата т равна [c.666]

А. А. Ильюшин [56] исследовал течение вязкопластической полосы при малых возмущениях границы в лагранжевых координатах. Позднее А. Ю. Ишлинский [60, 61] выполнил аналогичное исследование в эйлеровых координатах. [c.7]

Возвращаясь теперь к историческому изложению основных этапов развития теории турбулентности, упомянем прежде всего интересную работу Джеффри Тэйлора (1921) о турбулентной диффузии, в которой впервые выявилась важная роль корреляционных функций (т. е. смешанных вторых моментов) поля скорости (правда, не для обычной эйлеровой скорости течения в фиксированной точке, а для более сложной лагранжевой скорости фиксированной жидкой частицы). Однако в общем виде идея о том, что корреляционные функции и другие статистические моменты гидродинамических полей должны быть признаны основными характеристиками турбулентного движения, была впервые высказана Л. В. Келлером и А. А. Фридманом (1924), предложившими общий метод построения (с помощью уравнений движения реальной жидкости) дифференциальных уравнений для моментов произвольного порядка гидродинамических полей турбулентных течений. Определение всех таких моментов при некоторых общих предположениях эквивалентно определению соответствующего распределения вероятности в функциональном пространстве P(d o) или Pt d(u), т. е. решению, проблемы турбулентности. Поэтому полная бесконечная система уравнений Фридмана — Келлера [c.17]

Лагранжево описание неприемлемо скорее в задачах с большими искажениями (т. е. касательными деформациями) лагранжевой сетки, например в задачах о течениях в пограничном слое. [c.463]

До сих пор рассматривались пограничные течения в том случае, когда неподвил ное препятствие помещалось в звуковую волну. Рассмотрен вопрос о потоках, возникающих в среде вблизи колеблющихся тел [31]. Вблизи колеблющихся тел скорость потока в лагранжевых координатах инвариантна относительно преобразования координат, приводящих к тому, что в новой системе координат поверхность тела неподвижна, а колебания совершает окружающая среда. Эта теорема, называемая в дальнейшем теоремой Вестервелъта, справедлива для несжимаемого акустического течения [что для медленных течений в лагранжевых координатах всегда имеет место в соответствии с (23) и (14)] при достаточно правильной геометрии поверхности тела и характерных размерах тела, много меньших длины звуковой волны, но превышающих амплитуду смещения (поверхности тела или окружающей среды). Эта теорема была экс [c.108]

В лагранжевых периодических течениях поле скоростей стационарно в эйлеровом смысле в некоторой системе отсчета. В такой системе отсчета каждая материальная точка циклически перемещается по замкнутой траектории и элементы материала подвергаются периодическим деформациям. Кроме того, лагранжевы периодические течения являются течениями с предысторией постоянной деформации, и, следовательно, тензор if в уравнении (5-1.24) не зависит от [c.203]

Легко видеть, что уравнение (7-6.16) приводит к конечному значению напряжения при всех значениях растяжения Г. Этот результат можно сравнить с результатом, полученным в случае рассматривавшегося в разд. 6-4 экстензиометрического течения, согласно которому для того же самого реологического соотношения получались бесконечные напряжения при значениях растяжения, превышавших некоторое предельное значение. Такое различие в поведении связано с нестационарной в лагранжевом смысле природой течения к стоку. Его можно лучше понять, рассматривая подробно другие типы нестационарных течений растяжения. [c.291]

В момент i = О координаты твердой частицы и элемента жидкости совпадают. В момент 1 t частица оказывается в точке, характеризуемой смеш ением у1, и там она встречает элемент жидкости, имеющий лагранжеву скорость V (а, 1), а исходный элемент жидкости находится в положении Х1, обладая лагранжевой скоростью V (О, 1). Второй возможный вариант развития событий для рассматриваемой системы изображен на фиг. 2.15, б. В течение времени i 1 пути элемента жидкости и твердой частицы совпадают, но поле скоростей в окружающей жидкости не такое, как в случае (а). В положении у = у1 твердая частица встречается с элементом жидкости, имеющил скорость V (Ь, 1), в общем случае не равную V (а, t ). Это означает, что твердая частица встречается с элементохм жидкости, начальное положение которого иное, чем в случае (а). Осредняя по всем реализуемым ситуациям типа а, Ь, с,. .. (т. е. по начальным положениям элементов жидкости, оказывающихся в положении у1 в момент времени t ), получим осредненную скорость, приобретаемую твердой частицей, при условии, что существует некоторая заданная ф5шк-цпя — скорость жидкости в лагранжевой системе V (О, 1). Согласно [230], эта приобретенная скорость выражается математически как условное ожидание величины 11 (у, 1) при заданной V (0, 1) в положении х [c.69]

Отметим, что при решении задач, связанных с упругонласти-ческим течением, необходимо следить за историей частицы, чтобы выявить переход из упругого в пластический режим деформации. С этой точки зрения лагранжево представление обладает определенным преимуществом. Кроме того, при решении задач в лагранжевых переменных проще задание граничных условий на [c.145]

Методы экспериментального исследования перемешивания теплоносителя в поперечном сечении пучка витых труб на стационарном режиме были рассмотрены в работе [39]. Это — классические методы исследования переносных свойств потока методы диффузии тепла (вещества) от точечного источника, непрерьшно испускающего нагретые частицы воздуха (или газа другого рода) в основной поток, и метод диффузии тепла от линейного источника, трансформированные с учетом особенностей течения в пучке витых труб, а также его конструкции. При этом для проведения экспериментов и обработки опытных данных использовалась гомогенизированная модель течения. Измерения полей температуры и скорости потока проводились вне пристенного слоя, а теоретически рассчитанные поля температуры теплоносителя и скорости потока бьши непрерьшны в пределах диаметра кожуха пучка. При этом считалось, что в пучке течет двухфазная гомогенизированная среда с неподвижной твердой фазой. При исследовании эффективного коэффициента турбулентной диффузии в прямом пучке витых труб первым методом диаметр источника диффузии бьш равен диаметру витой трубы с , а сам источник перемещался относительно выходного сечения пучка, гделроизво-дились измерения полей скорости. Однако эти отклонения от известного метода диффузии не стали препятствием для использования понятия точечного источника в пучке витых труб при достаточно больших расстояниях от него, где измеренные поля температур практически не отличались от гауссовского распределения [39]. Этот метод, основанный на статистическом лагранжевом описании турбулентного поля при изучении истории движения индивидуальных частиц, непрерьшно испускаемых источником, используется в данной работе и для определения эффективных коэффициентов турбулентной диффузии в закрз енном пучке витых труб, но при неподвижных источниках диффузии. [c.52]

Последнее замечание следует сделать относительно выбора координат. В предложенных к настоящему времени методах комбинированного анализа используется система координат Эйлера x,t), поскольку она применяется при рассмотрении контрольного объема. Можно применять и другие системы координат, а именно лагранжевы и псевдолагранжевы. Если сравнивать с этими двумя системами, то использование эй.теровых координат приводит к более громоздким расчетам при анализе одномерного нестационарного течения [66]. Как будет показано ниже, метод характеристик и метод узлов на самом деле связывают подходы Эйлера и Лагранжа, и связывающее соотношение можно найти, исходя из понятия поля параметров. Однако в данный момент мы определим различные координаты для одномерной системы. В рамках подхода Эйлера рассматривается постоянный объем в пространстве, и параметры рабочего тела, мгновенно занимающего этот объем, определяются таким образом, что нет необходимости следить за отдельными частицами газа. При использовании подхода Лагранжа рассматриваются отдельные частицы и прослеживаются их траектории в поле течения. В одномерной системе рассматривается слой газа (а не отдельные частицы) и переменная л заменяется другим параметром (скажем, а для данного слоя газа), который равен величине х при = 0, и, следовательно, значение а будет изменяться от частицы (слоя) к частице (слою). Псевдолагран-жева координата т данного слоя газа обозначает массу газа, содержащегося в объеме между этим слоем и исходным слоем при = о, и поэтому каждый слой имеет свое значение т, ко- [c.344]

Течения возникают не только у неподвижных препятствий, помещенных в звуковое поле, но также и около колеблющихся с конечной амплитудой тел. Это будет видно далее на примере эккартовского потока. Это также следует из теоремы Вестервельта [18, 19], согласно которой скорость стационарного потока в лагранжевых координатах вблизи колеблющихся тел инвариантна относительно преобразований координат, приводящих к тому, что в новой системе координат поверхность тела неподвижна, а колебания совершает жидкость. Теорема Вестервельта справедлива для несжимаемого акустическою течения [c.221]

Чаще всего для измерения скорости используются маленькие взвешенные в потоке частицы аэрозолей (табачный дым пли дым MgO) или гидрозолей (алюминиевая пыль). Фотографирование освещенных част1Щ с определенной экспозицией позволяет по длине треков на фотографии определить скорость потока. Поскольку скорость потока обычно различна в разных участках поля, боковую подсветку делают узким пучком света, для чего часто используют длиннофокусные цилиндрические линзы. Узкий пучок света позволяет исследовать течение в какой-то выбранной плоскости. Для получения хорошей освещенности применяют довольно мощные источники света. Этот метод дает скорость потока в лагранжевых координатах, если известно, что скорость взвешенных частиц равна скорости жидкости или газа. Частицы полностью увлекаются потоком, если размеры частиц очень малы, а их плотность незначительно отличается от плотности среды. [c.235]

Хиклинг и Плессет [16] получили на быстродействующей ЭВМ решения для схлопывания газовой каверны в сжимаемой жидкости без учета вязкости и поверхностного натяжения. Они рассчитали движение стенки пузырька и распределения скорости и давления в окружающей жидкости, а также описали повторное образование каверны и возникающую при этом ударную волну, распространяющуюся в жидкости. Движение до момента достижения минимального радиуса было рассчитано методом Гилмора, основанным на гипотезе Кирквуда—Бете и решениях уравнений движения как в лагранжевых координатах, так и в виде характеристик. Начальными условиями последних двух точных решений служило движение стенки пузырька в дозвуковом диапазоне ( //С 0,1), рассчитанное методом Гилмора. Это позволяло значительно сократить время счета, которое требовалось бы при использовании точного метода расчета движения от его начала. После достижения минимального радиуса течение жидкости в области повторного возникновения пузырька до момента образования ударной волны рассчитывалось в лагранжевых координатах. [c.154]

Обозначим отношение временных лагранжева и эйлерова масштабов через [3 = Т//Тс, а соответствующих пространственных масштабов - через я = А/Ьу = (уТ1)/ 11Те). Значения /3 и х отражают сопоставление масштабов турбулентных пульсаций, измеренных в разных системах координат. Поэтому можно предположить наличие зависимости Р и к от отношения скоростей движения систем координат, т.е. от величины е = у/11. В [5] на основании некоторых предположений получена зависимость /3(г), оказывшаяся универсальной для всех типов течений. В [3, 4] приводятся отдельные результаты определения 3, которая по этим данным имеет примерно постоянное значение порядка 2 Ч- 3. [c.412]

Вывод формул (10.37) — (10.39) опирается на то, что движение жидких частиц в поперечной плоскости 0х2х происходит лишь в пределах фиксированной конечной ее части. Это условие выполняется лишь для некоторых специальных турбулентных течений. В случае же, например, турбулентного пограничного слоя или турбулентной струи среднее расстояние частицы от ограничивающей поток стенки или от оси струи будет неограниченно возрастать с ростом т поэтому здесь лагранжеву скорость dY x)ldx нельзя считать стационарной случайной функцией времени. Таким образом, класс течений, к которым можно непосредственно применить формулы (10.30) — (10.36), довольно узок. [c.499]

В случае одномерных движений, т. е. плоских, цилиндрически и сфе-рически-симметричных, часто пользуются другими, лагранжевыми координатами. В отличие от эйлеровой, лагранжева координата связана не с определенной точкой пространства, а с определенной частицей вещества. Газодинамические величины, выраженные как функции лагранжевых координат, характеризуют изменения плотности, давления, скорости каждой частицы вещества с течением времени. Лагранжевы координаты особенно удобны при рассмотрении внутренних процессов, протекающих в веществе (не выходящих за рамки данной частицы) скажем, химической реакции, ход которой с течением времени зависит от изменения температуры и плотности частицы. Введение лагранжевых координат в ряде случаев позволяет также более коротким и легким путем находить точные решения уравнений газодинамики или делает более удобным численное интегрирование последних. [c.16]

Поле скорости жидкости. Скорость является важнейшим понятием, которое наряду с законом движения характеризует течение жидкости. В лагранжевых координатах при наличии закона движения (1.12) скорость 1> Х,0 жидкой частицы по определению V = Ьх/Ы. Она вычисляется для фиксированной частицы и численно равна расстоянию, прдходимому за единицу времени, поэтому здесь берется частная производная от х по Однако задание скорости в лагранжевых координатах при описании движения жидкости встречается крайне редко. Кроме того, такое задание не позволяет просто определить пространственные градиенты скорости в точках жидкости. Поэтому при анализе течения основной независимой переменной выступает векторная функция и(х, 1) — скорость жидкости в точке х в момент времени /. В эйлеровых координатах она определяется как объем жидкости, проходящей за единицу времени через единичную площадку, которая перпендикулярна направлению потока. Отыскание векторного поля скоростей к(х, 1) наряду со скалярными полями давления р(х,0 и плотности р(х, /) является основной задачей гидромеханики. [c.16]

Чаще всего для наблюдения и определения скорости медленных течений применяются частицы аэрозолей (табачный дым или дым М 0) или суспензий в жидкостях (алюминиевая или бронзовая пыль). Вообще говоря, для каждой среды должны быть подобраны частицы, которые будут взвешены и полностью увлекутся потоком. Полное увлечение частиц потоком происходит, если размер частиц очень мал и плотность их ненамнога отличается от плотности среды. Фотографирование освещенных частиц с определенной экспозицией позволяет по длине треков на фотографии определить скорость потока. Иногда для более точного определения локальных скоростей и исключения возможности наложения различных треков друг на друга используется стробоскопическое освещение [15, 34]. При определении скорости в быстрых потоках производилась также скоростная киносъемка (до 1500 кадров в секунду) [20]. Поскольку скорость потока в разных участках поля различна, то боковую подсветку делают узким пучком света, для чего часто используются длиннофокусные цилиндрические линзы узкий пучок света позволяет исследовать распределение скоростей в освещенной плоскости. Для получения достаточной освещенности применяются мощные источники света. Этот метод дает мгновенное поле скоростей в лагранжевых координатах, если известно, что скорость взвешенных частиц равна скорости жидкости или газа. [c.110]

Схема Годунова [1959] (см. также Годунов с соавторами [1961]) является двухшаговой схемой первого порядка и дает размытые скачки. Как и в двухшаговой схеме Рихтмайера и других схемах, описанных в разд. 5.5.6, второй шаг в ней проводится ио схеме чехарда . Однако проведение первого предварительного шага осуществляется очень интересно. В лагранжевых переменных необходимо вычисление предварительных значений и на (п 1) М шаге по времени (рассчитывать Е не обязательно). Эти предварительные значения определяются ири помощи решения задачи Римана о распаде разрыва (см., например, Овчарек [1964]) на границе расчетной ячейки. Данная схема довольно сложна, однако любые разрывы в течении (включая и контактные разрывы) трактуются в ней более физично, чем в схемах с искусственной вязкостью. Двумерный вариант схемы применяли Годунов с соавторами [1961] и Мессой с соавторами [1969]. Мессон [1968] численно решал по этой схеме пространственные задачи по упрощенным уравнениям (в предположении малости иоперечных потоков). [c.381]

В лагранжевых методах применяемые уравнения получаются на основе наблюдения за фиксированной частицей жидкости и прослеживания ее движения через весь поток. Эти методы противостоят принятым в настоящей книге эйлеровым методам, в которых рассматривается фиксированный объем в пространстве с протекающими через него частицами жидкости. Мы уже отмечали некоторые схемы (скажем, метод частиц в ячейках, разд. 5.5.3), в которых применяется смешанное лагранжево и эйлерово описание. Для одномерных течений лагранжев подход часто является более простым, однако для многомерных течений с большими искажениями расчетной сеткп лагранжевы методы становятся неточными и чрезвычайно сложными ). [c.463]

Практические тестовые задачи, обладающие точными решениями для одномерных течений невязкого совершенного газа, удачно подобраны Хиксом [1968]. Он привел семь тестовых задач, включающих скачки, волны разрежения и взаимодействие волн. Хикс и Пелцл [1968] применяли эти задачи для сравнения точности различных схем в лагранжевых переменных. Гордон и Скала [1969] в качестве тестовых задач использовали плоскую задачу о поршне, плоскую задачу о разлете массы и центрально-симметричную задачу о сферическом взрыве. Никастро [1968] нашел точные автомодельные решения радиационной газодинамики в сферически-симметрнчном случае как для взрыва, так и для схлопывания. Эти решения оказались весьма ценными для проверки столь трудных для численного решения задач, поскольку в них накладывались не слишком жесткие ограничения на начальные условия и вид закона переноса излучения. Стерн-берг [1970] нашел автомодельные решения для распространения плоских, цилиндрических и сферических ударных волн с учетом химических реакций. [c.487]

Бреди [1967] рассчитал невязкое течение со свободной поверхностью. Бреннен [1971] рассматривал волны на свободной поверхности в лагранжевом представлении. [c.458]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...