Классический ансамбль

Коэффициент диффузии — 209 Кинетическая теория газов —211 Классический ансамбль — 212 Квазиклассический предел для статистической суммы — 212 Классическая теория электролитов — 213 [c.239]

Статистическая закономерность (закономерность поведения ансамбля), хотя и является уже иным типом каузальной связи, чем динамическая, но в то же время является ближайшей к ней по своему характеру, поскольку в основе ее лежит наложение реальных движений огромного количества дискретных частиц, входящих в статистический ансамбль. То, что это—иной тип каузальной связи для ансамбля, видно уже из необходимости ввести понятие о микроканоническом распределении и вероятности. То, что этот тип близок к динамическому, видно, во-первых, из того, что возможность рассмотрения такого ансамбля основана на экспериментально подтвержденном представлении о механическом однородном и независимом (на длине свободного пробега) движении каждой из частиц, входящих в ансамбль, и, во-вторых, из того, что описание поведения физических классических ансамблей осуществляется в статистической механике гамильтоновыми уравнениями с помощью тех же по форме и существу функций, которые применяются в классической механике. [c.873]

Классические ансамбли. Функции распределения в фазовом пространстве [c.51]

Одна из важнейших задач статистической механики — дать статистическое определение энтропии, применимое как для равновесных, так и для неравновесных систем из многих частиц. В классическом случае статистическое определение энтропии впервые было дано Гиббсом [13] энтропия Гиббса для классического ансамбля, описы- [c.45]

Покажем, что энтропия Гиббса является аддитивной величиной. Для этого предположим, что функция распределения g qi,pi,q2,p2]t) описывает два независимых классических ансамбля с функциями распределения g qi p2 t) и g q2 P2]t). Тогда g t) = g t) и, следовательно, после преобразования логарифма энтропия полного ансамбля может быть записана в виде [c.45]

Итак, мы ввели классический ансамбль, соответствующий экстремуму информационной энтропии для энергетически изолированных систем. Как мы видели, он совпадает с равновесным микроканоническим ансамблем, который был введен Гиббсом на основе постулата о равновероятности всех доступных динамических состояний изолированной системы. [c.55]

Здесь М — масса атома, К — его средняя кинетическая энергия, и — потенциальная энергия системы, ZJ — компонента вектора Tj в направлении к, ( ) кл — среднее по термодинамически равновесному классическому ансамблю. [c.70]

Условимся называть решение (95) с минимальной энтропией чистым классическим ансамблем многократные измерения, проводимые над таким состоянием будут давать всегда один и тот же результат. Именно этот факт и соответствует утверждению 5 = 0. Но кроме чистого состояния (95) существуют состояния с 5 0. Мы их будем называть смешанными. Заметим, что любое смешанное состояние можно рассматривать как композицию чистых [c.84]

Классический ансамбль используется в задаче 9.4. Трудности, о которых говорится в п. б и в , обсуждаются в работе [3] ), в которой даны ссылки на более ранние работы.] [c.113]

Согласно статистической механике, равновесное распреде ление классического ансамбля молекул по скоростям описы вается формулой Максвелла — Больцмана [c.96]

Здесь Q(E)dE — число возможных состояний между Е и E+dE, которое на языке чисто классической механики пропорционально фазовому пространству для всей системы из N частиц с энергиями между Е и E + dE 0 — параметр, характеризующий канонический ансамбль. Множитель n( ) является очень быстро возрастающей функцией Е, тогда как яв- [c.21]

Строгий вывод для второго вириального коэффициента газа, подчиняющегося статистике Больцмана, довольно сложен. Результат не зависит от того, что принято за основу при расчете вириальная теорема Клаузиуса, классическая или квантовая механика или канонический ансамбль. Исходя из классической механики, имеем [c.80]

Рассмотренный на примере классического канонического распределения Гиббса метод термодинамической теории возмущений аналогичным образом используется и в большом каноническом ансамбле. При этом в приведенных выше 4>ормулах достаточно произвести формальную замену — xJV и использовать [c.210]

Переход к новому типу каузальной связи, который условно можно было бы назвать <(Квантовым и который характерен для квантовой (нерелятивистской и релятивистской) механики, где уже классические величины заменяются операторами, где вероятность состояния индивидуальной частицы и индивидуального акта взаимодействия имеет, как известно, совсем иной смысл, чем вероятность состояния ансамбля в классической статистической механике, приводит к тому, что положение и роль принципа Гамильтона оказываются в квантовой механике совершенно иными, чем в классической физике. Важная историческая роль, сыгранная принципом и оптико-механической аналогией в начальной стадии формирования волновой механики, объясняется не только тем, что существует реальная связь и предельный переход от механики атома к классической физике, но также и тем, что существуют общие черты в типах каузальной связи макро- и микрокосмоса. Но именно потому, что для энергии и времени, так же как для импульса и соответствующей координаты, в квантовой механике имеют место перестановочные соотношения, а сами они являются уже операторами, классический интеграл Гамильтона (и принцип наименьшего действия) имеет в ней не- [c.873]

Атомное упорядочение условно разделяют на дальнее и ближнее. Согласно классическим представлениям, ансамбль атомов, расположенных в узлах кристаллической решетки твердых растворов, по мере снижения температуры должен либо упорядочиваться, либо распадаться на несколько фаз. Упорядочение — это стремление системы снизить энтропию путем самоорганизации диссипативных структур при переходе беспорядок-порядок. [c.252]

Как и всякое уравнение классической механики, уравнение Лиувилля обратимо во времени. Это значит, что при замене / на —/ оно остается неизменным. Следовательно, наряду с прямым движением экземпляров ансамбля, столь же возможным при соответствующем изменении начальных условий является и обращенное движение. [c.475]

Для решения нелинейных стохастических задач наибольшее распространение получили методы классической теории нелинейных колебаний в сочетании с осреднением по статистическому ансамблю. Этот принцип положен в основу методов статистической линеаризации, возмущений (малого параметра), медленно меняющихся амплитуд и др. [c.33]

Чтобы придать нашим рассуждениям более количественный характер, рассмотрим здесь кратко квантовомеханический расчет вероятности перехода W. Упрощенное рассмотрение используется просто для того, чтобы показать, каким образом получаются правила отбора. Вероятность перехода можно представить выражением (2.39), при условии что нам известно значение величины колеблющегося дипольного момента ц . Прежде чем вывести выражение для цр, вспомним, что для ансамбля отрицательных зарядов (электроны молекулы) величиной е (с учетом знака) и положительных зарядов величиной б/, (ядра молекулы) классический электрический дипольный момент равен ц = еГ( + X/Здесь Г( и R/ определяют положения соответственно электронов и ядер относительно некоторой точки отсчета, а суммирование производится по всем электронам и [c.99]

Предлагаемый первый том автор начинает с подробного обсуждения основных идей статистической механики, которые относятся в равной мере как к равновесному, так и к неравновесному случаю методов динамики Гамильтона в классическом и квантовом случае, метода статистических ансамблей и метода частичных функций распределения (гл. 1—3). [c.5]

Выражения (4.3.18) и (4.3.19) определяют новый равновесный ансамбль, называемый каноническим ансамблем. Впервые такой ансамбль был введен Дж. У. Гиббсом (в классическом случае) около 1900 г. Средние значения оператора Ъ в таком ансамбле определяются весьма просто [c.140]

Причину такого сходства результатов можно качественно объяснить следующим образом. Микроканонический ансамбль описывает систему, энергия которой Н фиксирована (в пределах, которые в классической физике могут быть сколь угодно узкими). Б системе, описываемой каноническим ансамблем, энергия может [c.154]

Применим теперь эти формулы для вычисления давления. Выражение для этой величины в классическом каноническом ансамбле дано в табл. 4.4.1 [c.259]

В случае статистики Ферми интерпретация дополнительного члена весьма проста он представляет собой формулу больцманов-ского типа для энтропии дырок, которую следует добавить к классическому члену для получения правильного выражения. В случае бозе-статистики интерпретация менее ясна. Можно показать,, что эта формула для энтропии дает правильный результат, совпадающий с выражением, которое получается с помощью функции распределения большого канонического ансамбля. [c.271]

В третьей части этой книги мы постараемся понять процесс эволюции во времени большой системы молекул. В принципе, вероятно, возможно рассмотреть поставленную задачу решив уравнение Лиувилля при надлежащем выборе начальных и граничных условий. Детальный анализ такого решения должен выявить все особенности, наблюдаемые в макроскопической физике. Сказанное основано на следующей фундаментальной идее если задана некоторая система, описываемая в момент времени f = О произвольным распределением ансамбля, то ее эволюцию во все последующие времена можно объяснить посредством точных законов классической или квантовой механики. Иными словами, мы утверждаем, что для понимания кажущегося противоречия между поведением большой совокупности молекул и основными законами движения не требуется никакой качественной модификации законов механики. [c.9]

Математический аппарат статистической физики создан Гиббсом и опубликован в 1902 г. в его книге Основные принципы статистической механики [5]. Здесь впервые введено понятие классического ансамбля. В 1905—1906 гг. Эйнштейн и Смолу-ховский построили молекулярную теорию брауновского движения. [c.212]

К классическому пределу, можно обосновать метод классических ансамблей Гиббса. Следует также напомнить, что определение безразмерного элемента фазового пространства drдг, включающее множитель 1/М и минимальный размер фазовой ячейки (27r/i) , можно обосновать только в рамках квантовой статистики. [c.28]

После изложенных соображений, касающихся существа предмета (квантовой оптики), обратимся к данному учебному пособию. Оно состоит из четырех частей 1. Развитие фотонных представлений. 2. Физика микрообъектов. 3. Квантовооптические явления. 4. Теоретические основы квантовой оптики. В первой части на основе ставших классическими работ Планка, Бора, Эйнштейна рассматриваются рождение и становление квантовой теории света, излагаются свойства фотона и фотонных ансамблей, демонстрируется переход от волновых представлений к квантовым. Во второй части анализируются некоторые принципиальные вопросы квантовой физики это позволяет объяснить интерференционные эффекты на корпускулярном языке. В третьей части приводятся необходимые сведения из физики твердого тела и затем обстоятельно рассматриваются три группы оптических явлений фотоэлектрические, люминесцентные, нелинейно-оптические эти явления иногда объединяют термином квантово-оптические . Вопросы, излагаемые в указанных трех частях пособия, составляют содержание раздела Квантовая природа света , [c.5]

Поскольку предсказания квантовой теории имеют вероятностный характер, а сравнение предсказаний теории с результатами экспериментов возможно лишь статистически, возникает идея рассматривать изучаемый микрообъект (например, электрон) и условия, которыми определяется движение изучаемого объекта, как статистическую систему в том же смысле, как и в классической статистической физике. Совокупность систем составляет статистический ансамбль систем, причем принадлежность системы к ансамблю определяется макроскопическими условиями. Движение рассматриваемого микрообъекта в каждой из систем ансамбля, вообше говоря, различно и характеризуется разными значениями описывающих движение параметров. Кванювание параметров и статистика их числовых значений обусловливаются динамическими процессами более глубокого уровня, которые в квантовой механике проявляются статистически в соответствии с ее законами. Теория процессов более глубокого уровня (теория скрытых па-рамел ров) находится с квантовой механикой в таком же соотношении, как л еория движения отдельных частиц со статистической механикой совокупности частиц. [c.406]

Макроскопические свойства веществ, изучаемые классической термодинамикой и наблюдаемые экспериментально, в своей основе определяются микроскопическими процессами взаимодействия (столкновениями) между частицами ансамбля, а также процессами взаимодействия частиц с раз. шчными внешними силовыми полями. Д.чя описания таких ансамблей логично использовать динамические процессы многих тел, составляющих ансамбль. При этом каждое те мо считается либо точечной частицей, либо микрочастицей, обладающей лишь небольшим числом внутренних степеней свободы. [c.424]

Для того чтобы корректно изучать неоднородные материалы со статистической точки зрения, необходимо ввести понятие ансамбля. Его определение аналогично используемому в теории турбулентности и в классической статистической механике. Применяя подход, основанный на понятии ансамбля, мы рассматриваем не один образец материала, а целый набор образцов, изготовленных одним и тем же макроскопическим способом. Под этим мы подразумеваем, что технология изготовления, состав и геометрическая форма всех образцов одинаковы, так что каждый из них в общем неотличим от остальных образцов набора. Разницу между образцами можно обнаружить только на субмакроскопическом уровне. [c.249]

Г. р. в классич. статистич. механике являются предельными случаями Г. р. квантовой статистич. механики при таких плотностях и темп-рах, когда можно пренебречь квантовыми эффектами. Для квантовых систем Г. р. имеют такую же форму, как и для классических, но в них вместо Я(р, д) входит анергия j-ro квантового уровня системы Для ансамбля замкнутых, энергетически изолированных систем с пост, объёмом V и полным числом частиц N, имеющих одинаковую энергию 8 с точностью до все квантово-механич. состояния в слое AS предполагаются равновероятными (осн. постулат квантовой статистич. механики). Такой микроканонич. ансамбль описывается микроканонич. распределением квантовой статистики. Вероятность пребывания системы в i-м состоянии равна [c.452]

Рассмотрим ансамбль из М атомных систем, находящихся в некотором элементе объема его размеры будем считать малыми по сравнению с длиной световой волны. В отношении действующего светового импульса мы воспользуемся тем фактом, что поле излучения лазера (в отличие от поля излучения тепловых источников света ) может очень хорошо описываться классической электромагнитной волной с нефлуктуирующей амплитудой. Все атомы ансамбля подвергаются действию соответствующего электрического поля [c.37]

Здесь следует обратить внимание на аналогию между такой интерпретацией статистической механики и интерпретацией обьга г ной квантовомеханической теории. Квантовая механика также утверждает, что теоретически предсказуемы только средние значения наблюдаемых. Однако статистический характер квантовой теории определяется совершенно иными физическими причинами. Этот немаловажный факт можно понять, если опять о15ратиться к уже рассматривавшемуся простому эксперименту с потоком тепла, но дать ему на сей раз квантовомеханическую интерпретацию. Пусть теперь металл характеризуется микроскопически некоторой определенной волновой функцией, удовлетворяющей уравнению Шредингера. Для данного состояния можно вычислить квантовомеханическое среднее значение энергии и проследить эволюцию во времени этого значения. Однако волновая функция системы многих тел чрезвычайно сложна. Если в нулевой момент времени заданы лишь макроскопические условия (например, градиент температуры), то в нашем распоряжении имеется огромное число возможных волновых функций данной системы, совместимых с заданными макроскопическими условиями. Каждой из этих разрешенных функций, т.-е. состояний, соответствует вполне определенное квантовомеханическое среднее значение энергии эти значения обычно отличаются одно от другого. Следовательно, мы оказываемся в том же положении, как и в классическом случае. Рассуждая далее по аналогии, припишем соответствующ ша образом подобранные веса каждому возможному состоянию системы. Определим теперь наблюдаемое значение энергии как усредненное по ансамблю значение квантовомеханических средних величин микроскопической энергии. Таким образом, ясно, что описание квантовостатистической системы подразумевает два последовательных процесса усреднения первое усреднение связано с принципом неопределенности Гейзенберга, а второе — с неопределенностью начального состояния системы многих тел. [c.51]

Теперь остается лишь установить значение константы кв-Из соотношения (4.4.8) видно, что она должна обладать размерностью знтроиии (т. е. энергия на градус). Нужно найти такое ее значение, чтобы все термодинамические соотношения согласовывались друг с другом. Как известно, определение температурной шкалы в классической термодинамике связано (посредством понятия о газовом термометре) с законами идеального газа. В гл. 5 (разд. 5.2) показано, что уравнение состояния классического идеального газа, получаемое из канонического ансамбля, имеет вид [c.147]

В данной главе мы неоднократно подчеркивали тот факт, что правомерность использования в термодинамике моделей равновесных ансамблей не обеспечивается автоматически, ибо она критическим образом зависит от природы гамильтониана. Рассмотрим теперь эту связь более подробно, ограничиваясь слзггаем классической механики, а в этих рамках — каноническим ансамблем. Для этого ансамбля ключевой является формула (4.4.12). В разд. 4.4 уже было показано, что функция А (Т, N) обладает формальными свойствами, позволяющими отождествлять ее с термодинамической свободной энергией, при условии, что таковая существует] Сам факт возникновения проблемы существования связан с тем, что мы неоднократно использовали переход к термодинамическому пределу для эмпирического подтверждения многих этапов наших рассуждений. Окончательное строгое обоснование равновесной статистической механики, таким образом, покоится на апостериорном доказательстве того, что фушщия А Т, N) существует в термодинамическом пределе. Более точно, мы должны доказать, что А (Т, N) представляет собой экстенсивную функцию, или, эквивалентно, что плотность свободной энергии а = А конечна в термодинамическом пределе (3.3.1) и поэтому зависит только от плотности п = Nl i (а также от температуры) [c.158]

Перейдем теперь к рассмотрению наиболее тонкого понятия в теории термодинамических функций — энтропии. В классическом каноническом ансамбле она определйется следующей формулой (см. табл. 4.4.1) [c.262]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...