Сумматорная функция

А. Я. Хинчин в своей книге Математические основы статистической механики [23], впервые объединившей, по существу, методы теории вероятностей и статистической механики и заложившей основы рационального метода получения асимптотических выражений статистической механики, посвящает несколько параграфов интересующему нас сейчас вопросу и дает одно из наиболее последовательных и математически ясных выражений рассматриваемой точки зрения. Хинчин отмечает, что значительное большинство изучаемых в статистической механике величин является так называемыми сумматорными функциями (т. е. суммами функций, каждая из которых зависит лишь от переменных одной молекулы), обладающими некоторым специфическим свойством. Это свойство заключается в том, что сумматорная функция на подавляющей части поверхности заданной энергии принимает значения, близкие к некоторой характерной для данной поверхности постоянной. Можно легко установить, что благодаря этому свойству подавляющая часть начальных состояний будет приводить к средним во времени значениям сумматорных функций, близким к этим постоянным, и следовательно, близким к фазовым средним. Таким образом, существование приближенных формул статистики, казалось бы, оказывается следствием одного лишь того свойства, что статистические системы состоят из огромного числа частиц. [c.121]

Остановимся на приведенном выше рассуждении, относящемся к отмеченным Хинчином свойствам сумматорных функций. По поводу этого рассуждения, так же как и по поводу других подобных рассуждений, нужно сказать следующее. Прежде всего, для построения физической статистики совершенно недостаточно результатов, относящихся только к некоторому узкому классу функций, вроде сумматорных функций. Уже указание на применяемый в статистике — и единственно там возможный — способ определения важнейшей физической величины вероятности состояния (обычно описываемый как способ определения числа комплексий), в частности, указание на флюктуационпую формулу (причем здесь, поскольку речь идет о равенстве средних фазовых средним временным, эти формулы для вероятностей рассматриваются нами как законы распределения во времени), показывает, что физическая статистика принципиально не может ограничиться установлением равенства временного и фазового средних лишь для сумматорных функций. Эти формулы для вероятностей показывают, что вероятность осуществления любой области фазового Г-пространства определяется величиной фазового среднего ее — характеристической функции, отнюдь не являющейся сумматорной функцией. Для статистики необходимо равенство средних для всех таких характеристических функций (см. 1). Если бы равенство распространялось лишь на сумматорные функции, то статистика была бы лишена возможности определения не только вероятностей возникновения неравновесных состояний, но и возможности определения любых величин, характеризующих эти неравновесные состояния. Кроме того, тот же результат — невозможность ограничиться суженными требованиями к динамическим свойствам статистических систем — независимо от всех только что упомянутых оснований, связанных с законами распределения временных средних, вытекает из существования релаксации, т. е. существования вероятностных распределений, в любой момент после времени релаксации (см. 1). Как мы видели, существование релаксации влечет за собой необходимость приписать статистическим системам вполне определенную характеристику,— они должны быть размешивающимися системами ( 5). [c.122]

В статистической механике прежде всего приходит на помощь то обстоятельство, что значительное большинство фазовых функций, интерпретирующих важнейшие физические величины, имеет (как мы кратко уже упоминали в 10) совершенно своеобразное поведение такая функция, как правило, оказывается на каждой поверхности постоянной энергии приближенно постоянной, т. е. принимает всюду за исключением множества весьма малой меры значения, весьма близкие к некоторому постоянному для данной поверхности числу, за которое можно, разумеется, принять фазовую среднюю рассматриваемой функции. Причины этого своеобразного поведения мы частично укажем немного ниже, а полностью вскроем в последующих главах здесь же заметим, что эти причины отчасти заложены в особых свойствах механических систем статистической физики (распадение на большое число компонент), отчасти же лежат в специфических чертах тех функций, с которыми приходится иметь дело (это, как правило, сумматорные функции, т. е. суммы функций каждая из которых зависит от динамических координат только одной компоненты). Без всяких вычислений очевидно, что для такой функции временные средние вдоль большинства траекторий должны иметь значения, близкие к фазовой средней. Если желать все же произвести примерный расчет, то к этому можно подойти следующим образом. [c.44]

Рассмотрим, наконец, еще одно несложное соображение, относящееся к этому же кругу идей. Условимся называть суммируемую фазовую функцию /(Р) эргодической, если для почти всех траекторий /(Р) = /. Мы уже говорили выше, что большинство изучаемых в статистической механике фазовых функций имеет тип сумматорной функции, т. е. представляет собой сумму функций, каждая из которых зависит от динамических координат только одной из составляющих данную систему молекул. Очевидно, такая функция будет эргодической, если этим свойством обладает каждое из ее слагаемых, ибо оба средние / и / являются линейными образованиями. Таким образом, для установления эргодичности таких функций было бы достаточно убедиться в эргодичности функций, зависящих от состояния одной единственной молекулы. Мы имеем в виду привести теперь некоторые соображения, направленные к тому, чтобы сделать правдоподобным этот последний факт. [c.46]

Средние значения сумматорных функций. [c.63]

Подавляющее большинство фазовых функций, встречающихся в статистической механике, имеет весьма специальную форму это почти всегда — суммы функций, каждая из которых зависит от динамических координат только одной молекулы. Такие фазовые функции мы в дальнейшем будем называть сумматорными функциями. Таким образом, если система О состоит из молекул gl, g2,..., g с фазовыми пространствами соответственно 71,72,..., 7 , то сумматорная фазовая функция имеет вид [c.66]

Отыскание асимптотического выражения для закона распределения, которому подчиняется сумматорная функция как случайная величина, вообще говоря, представляет собой более сложную задачу, решение которой мы рассмотрим в общем виде в одной из последующих глав (см. гл. VIII). Однако, для важнейшего частного случая функции Е, рассмотренной нами в конце предыдущего параграфа, эта задача может быть решена уже имеющимися в нашем распоряжении средствами. [c.67]

Мы говорили уже о том, что большинство фазовых функций, интересующих статистическую механику, имеет вид сумматорных функций, т. е. таких сумм, каждое слагаемое которых зависит от динамических координат только одной молекулы. Среднее значение такого слагаемого, ввиду отмеченной близости законов распределения малых компонент, может быть приближенно вычислено, исходя из формул канонического распределения (именно в этом и состоял наш приближенный метод ). Но среднее значение суммы всегда равно сумме средних значений слагаемых, будут ли эти слагаемые зависимы или независимы между собой поэтому при вычислении средних значений сумматорных функций мы можем всегда, в порядке приближения, исходить из канонического распределения (64) вместо микроканонического (63) как уже замечено выше, этот переход и составляет, в сущности, содержание нашего приближенного метода. [c.76]

Однако, если функция, среднее значение которой мы ищем, не имеет вида сумматорной функции (если она есть, например, квадрат сумматорной функции), то замена исходного закона (63) законом (64) приводит, вообще говоря, к полному искажению результата среднее значение такой функции в микроканоническом распределении не имеет ничего общего со средним значением ее в каноническом распределении. Тривиальный пример этого рода представляет собой дисперсия полной энергии данной системы эта величина. [c.76]

Мы видим теперь, как обстоит дело в действительности. Исходные законы (63) и (64) соответствуют совершенно различным идеализированным картинам если искать их разумного обоснования, а не ограничиваться ссылками на практический успех, то эргодическая теория или что-либо ей эквивалентное необходимы в обоих случаях, так как обосновать закон (64) для системы в термостате мы умеем, только отправляясь от закона (63) для изолированной системы. Наконец, утверждение, что результаты обеих теорий совпадают, даже в приближенном смысле является верным только до известных пределов (для средних значений сумматорных функций) при выходе за эти пределы мы пришли бы к грубым ошибкам, если бы стали для величин одной из этих двух идеализированных картин пользоваться приближенными значениями, заимствованными из другой картины. [c.77]

Дисперсии и законы распределения сумматорных функций. [c.99]

Представим себе изолированную систему, состоящую из большого числа п молекул, и выберем две любые из этих молекул. Пусть фазовая функция нашей системы, зависящая только от динамических координат первой выбранной молекулы, а ф(Р) функция, зависящая только от динамических координат второй молекулы. Тогда функции (f P) и ф Р), рассматриваемые как случайные величины, не будут независимыми, так как неизменность полной энергии Е системы известным образом связывает между собой динамические координаты двух выбранных нами молекул. Можно, конечно, ожидать, что ввиду большого числа молекул эта стохастическая зависимость между величинами (f P) и ф(Р) окажется весьма слабой. В частности, мы можем до всяких вычислений предвидеть, что коэффициент корреляции этих двух величин окажется ничтожно малым. Это и действительно так, как мы скоро убедимся однако, во многих вопросах (в частности, при вычислении дисперсий сумматорных функций) такие коэффициенты корреляции приходится суммировать в очень большом числе, вследствие чего получаемые суммы часто оказываются даже бесконечно большими, порядок которых не позволяет пренебрегать ими ). Вот почему необходимо уметь найти хотя бы приближенные выражения для таких межмолекулярных коэффициентов корреляции. Этому вопросу мы и посвящаем настоящий параграф. [c.99]

Как мы имели случай убедиться в 13 гл. III, для принципиального обоснования всей нашей теории имеет основное значение оценка дисперсий сумматорных функций. Именно малость (относительная) средних квадратических отклонений сумматорных функций позволяет обосновать репрезентативность их средних значений, т. е. утверждать, что каждая такая функция с подавляющей вероятностью получает значение, близкое к ее среднему значению в терминах теории вероятностей можно выразить это, говоря, что сумматорные функции при безгранично возрастающем числе молекул подчиняются закону больших чисел. После расчетов предыдущего параграфа эта задача не вызывает уже существенных затруднений. [c.104]

Перейдем теперь к вопросу о законах распределения, которым подчиняются сумматорные функции при этом, как обычно, мы будем ставить нашу задачу как предельную, т. е. изучать поведение искомых законов в предположении та оо. [c.105]

Мы можем предвидеть до всяких вычислений, что гауссовский тип предельного закона, обнаруженный нами в 22 гл. V при исследовании энергии большой компоненты (представляющей собой одну из простейших сумматорных функций), будет здесь фигурировать в качестве общего правила. В самом деле, всякая сумматорная функция представляет собой с точки зрения теории вероятностей сумму безгранично возрастающего числа случайных величин взаимная зависимость этих величин целиком сводится к требованию, чтобы сумма энергий всех молекул была равна данному значению Е полной энергии системы. При большом числе молекул зависимость между динамическими координатами каких-либо двух из них должна поэтому становиться весьма слабой так, мы видели, что коэффициенты корреляции, связывающей молекулы попарно, при та оо стремятся к нулю. Отсюда в силу известных общих теорем теории вероятностей можно предвидеть, что законы распределения сумматорных функций при большом числе молекул, как правило, будут иметь тип, близкий к гауссовскому. Мы кратко наметим расчеты, приводящие к доказательству этого предположения заметим еще только, что так как средние значения и дисперсии сумматорных функций в их предельном поведении нами [c.105]

Рассмотрим сумматорную функцию / (д ), где через символически обозна- [c.106]

Планка характеристическая функция, 97 Потенциал термодинамический, 97 Поверхность постоянной энергии, 26 Работа газа элементарная, 89, 90 Редуцированное многообразие, 37 Ротационная энергия молекулы двухатомного газа, 73 Структурная функция, 25 Сумматорная функция, 44 Свободный интеграл, 37 Температура абсолютная, 81 Теорема о равномерном распределении энергии по степеням свободы, 70 [c.116]

Возьмем в качестве функций ср суыматорные инварианты т, m i и /г " 2.4 показано, что для сумматорных инвариантов= 0. Учитывая определения гидродинамических величин, преобразуем входящие в (1.5) интегралы [c.95]

Легко составить уравнения для q, и всех остальных моментов Л1 моментов и т. д. Для этого в общее уравнение переноса (1.5) достаточно вместо ф подставить соответственно bibjbit и т. д. при этом в левую часть уравнений для моментов порядка N входят моменты (Л/- -1)-го порядка. Следовательно, уравнение Больцмана может быть заменено лишь бесконечной системой совместных уравнений. При выводе уравнений (1.8)—(1.10) в качестве функции ф( ) выбирались сумматорные инварианты В этом случае интегралы обращались тождественно в нуль. При построении же уравнений переноса для моментов более высокого порядка интегралы в общем случае в нуль не обращаются и в уравнение моментов Л/-го порядка входят не только неизвестные моменты (N 1)-го порядка, но и неизвестные интегралы / . Поэтому необходимо прежде всего выразить интегралы через моменты. [c.98]

Функции Р и Fg непрерывны соответственно в областях А п В и учитывают разрыв на границе областей (4.2) / д Ф Рд. Подставляя аппроксимации (4.4) в определения моментов, можно установить связь коэффициентов и с моментами. Дифференциальные уравнения для моментов (или коэффициентов и В ) можно строить двумя путями аналогично изложенному в 3.2 м 3.3. Умножая уравнение Больцмана иа соответствующие степени скоростей, можно интегрировать либо по всему пространству скоростей, либо в областях А и В раздельно. При интегрировании по области А (или В) интегралы столкновений не исчезают даже при умножении уравнения Больцмана на сумматорные инварианты. Поэтому применим и смешанный метод, когда уравнения для первых моментов строятся интегрированием по всему пространству скоростей, а для более высоких моментов— по полупространствам. Все эти подходы представляются равноценными, и лишь конкретный вид аппроксимирующих функций и специфика задачи позволяют Отдать прсдпочтепие одному из них (см. [c.119]

Условие ортогональности правой части интегрального уравнения для ф( собственным функциям уравнения (сумматорным инвариантам) имеет вид [c.135]

С помощью специально выведенного им интегрального представления М. А. Мартыненко [25] в рамках метода парных уравнений получил несколько более удобное, чем известное ранее [37], не требующее введения вспомогательных констант решение парных сумматорных уравнений по присоединенным функциям Лежандра первого рода и целого порядка. [c.117]

Осесимметричная задача о вдавливании жесткого гладкого штампа в упругую сферу при использовании функций Г. Н. Положего с помощью парных сумматорных уравнений решена С. П. Кругловой и Л. Н. Ломоносом [19]. [c.119]

Грубо приближенные методы можно разбить на две группы. К первой группе относятся методы, в которых приближенно заменяют искомую-функцию распределения, ко второй — методы, в которых аппроксимируюг (упрощают) интеграл столкновений, заменяют уравнение Больцмана, модельными уравнениями. К первой группе относятся, прежде всего, моментные методы, когда функцию распределения аппроксимируют той или иной зависимостью от скоростей молекул с некоторым числом неизвестных макроскопических параметров, для которых соответствующее число макроскопических уравнений получают последовательным умножением уравнения Больцмана на весовые функции и интегрированием по скоростям молекул. В качестве весовых функций, как правило, выбираются пять сумматорных инвариантов столкновения молекул и некоторое число дополнительных функций. В соответствии с этим обычно получают систему уравнений более сложную, чем уравнения Навье — Стокса. Поэтому до сих пор решаются главным образом одномерные задачи о структуре ударных волн, течении Куэтта и т. п. (см., например, С. П. Баканов, и Б. В. Деря1 ин, 1961 В. Д. Перминов, 1969). В методе моментов имеется определенный произвол как в выборе аппроксимирующей функции, так и в выборе весовых функций. Последний произвол отсутствует в вариационном методе, предложенном И. Г. Таммом (1965) ). Очевидно, что. функционал [c.430]

Пусть мы имеем сумматорную фазовую функцию [c.104]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...