Использование математических функций

Использование математических функций [c.343]

Задача оптимизации параметров изделий при использовании математических моделей заключается в том, чтобы в резу.льтате вычислений найти значения параметров изделия Р (t == 1, 2,. .., и) и их распределение во времени, при которых целевая функция достигает максимального (или минимального) значения при соблюдении ограничений. [c.107]

Задача синтеза решается либо просто как поиск параметров, удовлетворяющих целевой функции, либо как выбор таких их значений, при которых целевая функция имеет экстремальное значение. В этом случае говорят об оптимальном синтезе механизма по нескольким параметрам. Практически оптимальный синтез всегда возможен только с применением ЭВМ при использовании математических методов оптимизации случайного поиска, направленного поиска и т. п. [c.62]

С Требованиями теории относительности следует предположить, что вектор Ai имеет четыре компоненты (при использовании математических координат пространственные компоненты должны быть чисто мнимыми). Он является, таким образом, 4-вектором пространственно-временного мира. Рассмотрим этот вектор как некое поле, заданное в виде функции четырех координат <7/ = х/. Образовав скалярное произведение этого вектора на 4-вектор скорости, получим истинный скаляр в пространстве Минковского. Соответственно заменим потенциальную энергию инвариантом [c.366]

Система материальных точек, непрерывно заполняющая некоторую часть пространства, называется сплошной средой. Сплошная среда представляет собой модель реально существующих материалов, т.е. является определенной идеализацией, полезной для решения многих практических задач. Моделью сплошной среды пользуются для описания жидких тел (воды, нефти, нефтепродуктов и т.д.), твердых деформируемых тел (металлов, горных пород), а также газообразных веществ (воздуха, природного газа). Жидкость в гидромеханике рассматривается как сплошная среда, что очень удобно при использовании математического аппарата непрерывных функций. [c.5]

В зависимости от точности математического описания и конкретных требований, предъявляемых техническими условиями на выходные параметры качества деталей, модели процессов могут быть построены на уровне случайных величин и случайных функций. Применение случайных величин дает возможность получить статические модели технологических процессов, а использование случайных функций — динамические модели, более полно отражающие реальные процессы [54]. [c.255]

Процессу оптимизации параметров теплоэнергетических установок свойственны определенные погрешности. В [19] рассмотрены погрешность метода решения задачи оптимизации и вычислительная погрешность, а также дан анализ источников их появления. В то же время мало исследован весьма важный вопрос о соотношении между погрешностями определения функции цели и решения задачи. Положения работ [2, 19] позволяют определить погрешность нахождения функции цели АЗ. Это очень важный показатель качества решения задачи. Вторым не менее важным показателем является погрешность решения задачи АХ, т. е. разница между значениями параметров теплоэнергетической установки, полученными в результате решения задачи, и действительно оптимальными значениями параметров. Вопрос о количественной оценке погрешности решения задачи АХ разработан мало. Практически для ее нахождения используются знания о величине погрешности определения функции цели и характере поведения функции цели в зоне оптимальных значений параметров. Последнее, как правило, определяется в результате расчетных исследований на ЭЦВМ с использованием математических моделей. [c.12]

Задача оптимизации параметров изделий при использовании математических моделей заключается в том, чтобы в результате вычислений найти такие значения параметров изделий Р (п = 1,2,. ..) и такое их изменение во времени, при которых целевая функция Ц достигает [c.126]

Достоинство метода контрольного объема определяется не каким-либо его определенным свойством, а тем, что он является наилучшим в некотором среднем смысле [201- Его преимущество заключается в том, что он основан на макроскопических физических законах, а не на использовании математического аппарата непрерывных функций. В методе контрольного объема заложено точное интегральное сохранение таких величин, как масса, импульс и энергия на любой группе контрольных объемов и, следовательно, на всей расчетной области. Это свойство проявляется при любом числе узловых точек, а не только в предельном случае очень большого их числа. Поэтому даже решение на грубой сетке удовлетворяет точным интегральным балансам. [c.94]

Выбор рационального раскроя материала и варианта технологии изготовления деталей (заготовок) с помощью ЭВМ. Рациональную схему размещения деталей произвольной конфигурации обеспечивают математические методы с использованием ЭВМ и, в частности. метод плотного размещения деталей на материале с использованием годографа функции плотного размещения. [c.298]

Задача построения математически непротиворечивой теории оболочек, являющейся корректно разрешимой и обеспечивающей выполнение всех независимых физических краевых условий, связана с необходимостью отказа от всех упрощающих физических и геометрических гипотез и использованием математически строгих методов редукции уравнений теории упругости. Сюда можно отнести проекционный метод уменьшения размерности дифференциальных уравнений в частных производных, основанный на том, что любую непрерывную функцию можно равномерно приблизить полиномами (теорема Вейерштрасса). Он представляет собой обобщение классических приближенных методов (метода моментов, метода Бубнова—Галеркина и др.) в рамках функционального анализа [75]. [c.8]

Для реальных задач построить аналитическое решение зачастую не удается. Даже когда определяющие дифференциальные уравнения в частных производных линейны, область R может оказаться неоднородной, геометрия—нерегулярной, а граничные условия — трудно описываемыми простыми математическими функциями. В таких случаях, используя численные методы, при помощи вычислительных машин можно найти приближенное решение. Численные методы решения краевых задач можно разделить на два отчетливых класса класс, который требует использования аппроксимаций во всей области R, и класс, который требует использования аппроксимаций только на границе С. В первый класс входят методы конечных разностей и конечных элементов, во второй — методы граничных элементов. [c.10]

Хотя приведенное определение дельта-функции, как легко видеть, математически противоречиво, формальное использование этой функции часто оказывается очень полезным. В современной математической физике построена строгая теория функций Дирака и других аналогичных функций (теория обобщенных функций). [c.189]

Кривые упрочнения обычно аппроксимируют математическими функциями для использования в практических расчетах. Наиболее часто используют линейную и степенную аппроксимации [c.13]

Рассмотрим без математического обоснования физические предпосылки использования этой функции. [c.461]

Существуют два подхода к прогнозированию - феноменологический и физический. Первый основан на формальном использовании математического аппарата для описания изменения свойств материала без анализа физико-химических процессов, приводящих к этим изменениям. При этом используют известные уравнения из механики твердого тела (например, уравнение Журкова) или просто аппроксимируют получаемые экспериментальные данные какой-либо функцией. Такой подход оказался весьма плодотворным при прогнозировании, в частности, механических характеристик стеклопластиков. [c.8]

Анализ физики явлений и известные методы математического описания динамических систем (с использованием диссипативной функции, уравнений кинетической и потенциальной энергий, а также Лагранжа) приводит нас к двум системам нелинейных дифференциальных уравнений. Первая из них с достаточным приближением описывает поведение ползуна в неподвижной системе координат XOV. [c.280]

Оптимизацию вновь проектируемых и действующих технологических процессов производят по различным целевым функциям. Чаще оптимизацию производят для получения наименьшей себестоимости изготовления изделий. В других случаях объектом оптимизации могут быть наибольшая производительность или наивысшее качество производимых изделий. Знание основных закономерностей построения технологических процессов и использование математических методов позволяет находить оптимальные решения с помощью электронно-вычислительных машин. [c.228]

С точки зрения математического аппарата, нововведением Вариньона было систематическое оперирование алгебраически записанными равенствами (пропорциями), а также широкое использование тригонометрических функций (и первое, и второе было выражено в весьма своеобразной форме). [c.188]

При использовании передаточных функций математические модели систем автоматического регулирования можно представить в виде структурных схем. В таких схемах динамические звенья изображаются прямоугольниками, в поле которых записываются соответствующие передаточные функции связи между звеньями показываются стрелками, причем операции сложения и вычитания величин обозначаются так же, как в функциональных схемах. Динамические звенья в структурных схемах соединяются последовательно, параллельно и с обратной связью. [c.73]

Если допустимо использование математической модели линии в виде уравнений (9.49), (10.38) и (10.39) с линейными граничными условиями, то переходные процессы можно рассчитать операционным методом по уравнениям (10.64) и (10.65) или по получаемым из этих уравнений передаточным функциям. При решении такой задачи необходимо осуществить переход от предварительно вычисленных изображений расхода или давления к оригиналам. Этот последний шаг является наиболее трудным и может потребовать выполнения [c.237]

При использовании оценочной функции предполагается, что ее минимум соответствует оптимальному коррекционному состоянию системы. К сожалению, до настоящего времени ие найдено выражение для оценочной функции, удовлетворяющее этому условию. Поэтому введение в практику расчетов оценочной функции ие может быть оправдано с оптической точки зрения. Одиако при этом с математической точки зрения задача значительно упрощается, так как понижается в конечном счете порядок уравнения. Действительно, решение системы из к нелинейных уравнений, каждое из которых имеет порядок 5, равносильно решению одного уравнения с одним неизвестным, но имеющего порядок К5. Причем составление такого уравнения в большинстве случаев практически невыполнимо. При введении оценочной функции вида (уп,24) задача упрощается и сводится к отысканию минимума функции, которая имеет порядок не выше 25. [c.390]

Сравнивая уравнения (2.1) они отличаются друг от друга только физическими константами и природой потенциальных функций Т, С, Е В. Формально, математически, уравнения полностью подобны. Это значит, что при одинаковости начальных и граничных условий решения конкретных задач обеспечиваются одними и теми же математическими функциями от координат и времени. Однако подобие — это не тождество, особенно для процессов физических, разных по своей природе. Для того чтобы внушить осторожность при использовании принципов подобия, достаточно рассмотреть два разных потока, движущихся по одной и той же модели (рис. 2.1). На участках АВ по стержням ограниченных размеров оба потока ( и I) движутся абсолютно подобно. Как только эти потоки вступают в пространство ВС, т. е. в неограниченную металлическую пластину, электрический ток выходит из этой пластины в область СО таким же по величине, каким он и вошел в нее, какие бы искривления он ни претерпел при этом внутри пластины. [c.67]

Натурные экспериментальные методы исследования и оценки громоздки, что приводит к необходимости значительного сужения диапазона условий. Макетные, лабораторные, стендовые экспериментальные методы позволяют решать лишь частные задачи, с их помощью вариативные проектные задачи системотехнического проектирования с отысканием оптимума целевой функции решены быть не могут. Все это подтверждает целесообразность, а в ряде случаев, и единственную возможность использования математического моделирования при решении таких задач. Кроме того, в процессе моделирования можно выявить критические состояния системы и в соответствии с этим дать рекомендации для проведения экспериментов. Особенность метода моделирования состоит в том, что в большинстве случаев удается включить в модель реальные элементы системы, форма- [c.89]

В бесконечном пространстве оператор, порождаемый функцией Грина неограничен, и преимущества его использования математически не столь очевидны. Тем не менее, на формальном (физическом) уровне строгости переход к интегральным уравнениям оказывается весьма эффективным. Особенно это проявляется в задаче усреднения уравнений со случайными коэффициентами. [c.68]

Преимущества МКО заключаются в том, что он основан на физических законах для макроскопических систем, а не на использовании математического аппарата непрерывных функций, что в конечном итоге позволяет применять конечно-разностные уравнения при произвольной, в том числе и нерегулярной, разбивке расчетной области, характерной для МКЭ. Использование МКО позволяет обеспечить в каждом КО соблюдение интегральных законов сохранения массы, количества движения и энергии. Произвольно взятый КО в рабочем объеме цилиндра характеризуется массой [c.4]

При проектировании технических объектов с использованием моделей и методов математического программирования оказывается удобной геометрическая иллюстрация процесса получения оптимального решения, Рассмотрим геометрическую интерпретацию задачи математического программирования с линейной целевой функцией и с системой ограничений, образующих выпуклую оболочку области существования задачи оптимизации, т. е. пусть имеется система уравнений [c.265]

Эпштейн показал полную эквивалентность обоих методов. Во всех этих. методах использован математический прием, состоящий в применении преобразования Лежандра. В старой классической квантовой механике стремились ввести такие координаты, которые делают функцию Гамильтона зйвисимой только от канонически сопряженных импульсов, так как в этом случае механическая задача легко разрешима. [c.860]

В разд. 7.8 мы также советовали не придавать энтальпии какого-либо физического смысла, помимо того, который содержится в ее определении (Н U pV). То же самое, но еще настойчивее можно советовать в случае F и G, поскольку в некоторых учебниках они называются иначе, что может привести только к путанице. Так, F называлась также свободной энергией и свободной энергией Гельмгольца, а G — свободной энтальпией и свободной энергией Гиббса (или даже просто свободной энергией). Больще всего может вызвать недоразумений использование термина свободная энергия применительно к G, так как G определено через энтальпию Я, а не через внутреннюю энергию U. Поэтому читателю рекомендуется рассматривать F п G просто как комбинации характеристик, определенные равенствами (13.1) и (13.2), и твердо придерживаться названий функция Гельмгольца и функция Гиббса . Даже эти названия не вполне идеальны, поскольку F и G не являются математическими функциями в том смысле, в каком г является функцией л и г/, когда мы пишем z — z x, у). Однако сейчас уже поздно изобретать более подходящие новые названия. [c.216]

Предположим, что необходимо разработать рецептуры (состав) и технологию производства ПИНС группы Д-1 с минимальным временем и трудовыми затратами, с ограничениями по сырьевым ресурсам (компонентам) при условии создания продукта высшего качества, т. е. с максимально высокими суммарными функциональными свойствами. Задача сводится к получению необходимой и достаточной информации во-первых, на стадии выбора компонентов, определения их концентрации и Технологии получения продукта для возможности использования математического аппарата, ускоряющего и оптимизирующего такую разработку во-вторых, для оценки обобщенной функции полезности продукта в сравнении с известными эталонами сравнения для выдачи рекомендаций по. применению полученного продукта и прогнозу гарантийных сроков защиты им металлоизделий в различных условиях хранения, транспортирования и эксплуатации. Очевидно, выполнение поставленной задачи необходимо проводить в несколько этапов. Прежде всего на основе анализа априорной и аналоговой информации, с помощью накопленных знаний, опыта и ин-тз иции, с учетом вопросов обеспеченности сырьем, ресурсов, экономических вопросов ориентировочно выбирают основные компоненты ПИНС группы Д-1, [c.45]

Поэтому представляется целесообразным изучение биомеханических, гемодинамические функций и показателей ЛС на основе использования математической модели для различных физиологических условий, воспроизводящих упомянутые механизмы. Полученные при этом результаты важны для понимания рассматриваемых ниже закономерностей нарушения кровообращения при патологических состояниях, а также потому что они демонстрируют степень физиологичности модели, ее способность отвечать на изменяющиеся кардио- и гемодинамические условия. [c.566]

В уравнения для медленно меняющихся величин поля и поляризации а и мы Евели дельта коррелированные флуктуационные силы Га, Гр. Использование б-функций (благодаря которым дальнейшее численное рассмотрение очень сильно упростилось) явилось математическим отображением следующей физической си-туацпп области корреляции флуктуационных сил мож- [c.305]

Вместо описания частицы с помощью параметров ее орбиты г (t) квантовая механика описывает частицу с помощью волновой функции Ч " (г, г), зависящей от координат и времени, и определенных математических операторов, которые дают соответствующую информацию о частице с использованием волновой функции. Свойства волновой функции тогда определят состояние частицы. Волновая функция получается как решение уравнения Шрединге- [c.84]

Г радиентные методы поиска оптимальных решений основаны на использовании математических моделей, аппроксимирующих функции цели, и на анализе их частных проиаводных. Г р а д и е н -том целевой функции в рассматриваемой точке называется вектор, который направлен по нормали к поверхности постоянного уровня и по алгебраической величине равен производной этой функции. Указанный вектор в каждой точке области определения функции цели направлен по нормали к поверхности постоянного уровня, проведенной через эту точку, и поэтому совпадает по направлению с наискорейшим уменьшением или возрастанием целевой функции. Поэтому движение к оптимуму по градиенту совершается по кратчайшему пути. В общем виде градиент целевой функции у = / (x , Хц, Х/,) есть вектор [c.322]

Для различных типов ПЭВМ, которые существенно отличаются друг от друга, были разработаны соответствующие версии языка. Для ПЭВМ типа IBM P AT и совместимых с ними ПЭВМ наиболее удачной считается версия фирмы Mi rosoft. Она обеспечивает использование Бейсика для решения задач обработки больших массивов данных (работа с файлами), инженерно-технических и научных расчетов (с помощью большого набора математических функций), обработки текстов (за счет эффективной работы со знаковыми последовательностями), а также решения комплексных задач (за счет созхишия оверлейньас программных структур). [c.202]

Во всех рассмотренных в работе [183] задачах реализован единый подход, который используется для многих задач математической физики. Сущность его заключается в следующем. Для каждой области существования звукового (электромагнитного) поля на основе выбора соответствующих частных региений уравнения Гельмгольца строится такая их совокупность, которую мы называем общим решением граничной задачи. Это не совсем традиционное для математической физики понятие означает, что каждый раз мы строим некоторую совокупность частных решений уравнения Гельмгольца, которая содержит достаточно произвола для того, чтобы удовлетворить произвольное граничное условие для скорости или давления на поверхности, ограничивающей область существования поля. Само доказательство такой возможности обычно основано на использовании свойств функций штурм-лиувиллевского типа [152]. В частности, одно из важнейших их свойств — свойство ортогональности позволяет в последующем свести задачу определения произвольных постоянных и функций в общем представлении характеристик поля к решению простых систем линейных алгебраических уравнений. Задача несколько усложняется, если на граничной поверхности, совпадающей с координатной поверхностью, заданы смешанные граничные условия В этом случае на одной части границы задана нормаль ная составляющая скорости, а на другой — давление. Такие граничные условия приводят к довольно сложным системам интегральных или алгебраических уравнений, для решения которых не предложены к настоящему времени методы, эффективные для произвольной длины волны. [c.13]

Достоинство метода контрольного объема определяется не каким-либо его свойством, а тем, что он является наилучшим в некотором среднем смысле. Преимущество этого метода заключается в том, что он основан на макроскопических физических законах, а не на использовании математического аппарата непрерывных функций. Особенно важным это оказывается в тех случаях, когда имеют дело с разреженными газами или с течениями невязкого газа, в которых существуют ударные волны. В этих случаях дифференциальные уравнения не имеют всюду непрерывных решений, которые можно было бы в каждой точке представить рядами Тейлора. Однако масса, например, все же сохраняется, и конвективная часть уравнения (3.35) по-прежнему остается справедливой. Но даже и в тех случаях, когда непрерывные решения существуют, в методе контрольного объема внимание сосредоточивается на фактическом выполнении физических законов макроскопически, а не только в неком академическом пределе при Ах и А , стремящихся к нулю. Это лежит в основе понятия консервативности конечно-разностного метода, к обсуждению которого мы переходим. [c.51]

Можно, конечно, попытаться улучшить теорию, оставаясь в рамках механической метафоры и либеральной догмы. Нам, однако, аргументы Австрийской школы представляются достаточно серьезными для того, чтобы, не отказываясь от использования математических моделей в экономике, подумать о смене математической метафоры. И аргументы для подобной смены представляются нам достаточно весомыми. Как мы убедились выше, хайековское понимание рынка как процедуры открытия подчеркивает принципиальную роль информации в рыночной экономике (в отличие от центральной роли ненаблюдаемых функций полезности в неоклассических исследованиях, основанных на механической метафоре равновесия). Нам представляется естественным попытаться построить модель рыночного равновесия, основываясь на математической теории информации 4.4 . Как показал Бриллюэн, математическая теория информации по существу тождественна термодинамике, если отождествлять информацию и негэнтропию. [c.36]

Оптимизация устройств СВЧ характеризуется рядом особенностей, которые обусловлены в первую очередь распределенным характером взаимодействия электромагнитных полей с элементами конструкции устройства. Реакции на воздействие внешних электромагнитных полей определяются внутренней геометрией устройства, и, таким образом, задача оптимизации сводится к нахождению оптимальных функций, описывающих геометрию и законы изменения электрофизических параметров элементов. Задачи такого типа могут быть отнесены к оптимизационным задачам оптимального управления системами с распределенными параметрами [133, 134]. Оптимизируемые функции (функции управления) в общем случае являются элементами бесконечномерных гильбертовых пространств, и, таким образом, задачи параметрической оптимизации устройства принципиально являются бесконечномерными. Отметим, однако, что построение математической модели, оптимизация н изготовление некоюрого устройства с весьма прихотливой внутренней геометрией затруднительны, а часто и невозможны. Поэтому иа практике ограничиваются использованием устройств, функция управления которых имеют простой вид (например, являются кусочно-постоянными). [c.38]

Необходимость ограничения управляюшего сигнала i (х) обусловлена следующими причинами. Использование передаточной функции объекта управления предполагает, что последний является линейным в конечном диапазоне входных сигналов. При достаточно большом уровне управляющего сигнала неизбежно произойдет насыщение объекта, которое может иметь различные формы, и принятая линейная математическая модель системы станет неправомерной. Наиболее простым средством борьбы с насыщением является ограничение интегрального квадратического значения управляющего сигнала г (х), позволяющее аналитически решить задачу оптимизации системы управления. [c.161]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...